Вероятность столкновения метеорных частиц с землей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 523.53:521.75 В.С. Заболотников

ВЕРОЯТНОСТЬ СТОЛКНОВЕНИЯ МЕТЕОРНЫХ ЧАСТИЦ С ЗЕМЛЕЙ

В метеорной астрономии формула, полученная Э.Эпиком [1] для вычисления вероятности столкновения малых тел Солнечной системы с планетами, использовалась с целью учета астрономической селекции. В работе [2] было показано, что подобное ее применение является неправомерным, если трактовать задачу исправления данного вида селективности как переход от наблюдаемых распределений к числу частиц в единице фазового объема, заданного в пространстве элементов кеплеровской орбиты. Целью настоящей работы является доказательство невозможности применения этой формулы и для вычисления вероятности столкновений малых тел с планетами.

Известно, что формула Эпика состоит из двух сомножителей Р1и Р Один из них - Р определяет вероятность того, что планета находится в благоприятных для столкновения условиях. Второй -Р2, что в таких же условиях находится малое тело, например, астероид. С точностью до постоянных сомножителей для указанных вероятностей автором получены следующие соотношения:

Pl =

sin e g

И P2 =

TtgP

-g sin y

где t - радиус эффективного сечения захвата Земли, eg - элонгация геоцентрического радианта, y - угол между плоскостью касательный к сфере t, содержащий вектор гелиоцентрической скорости vh, и плоскостью эклиптики, b - угол между линией узлов и вектором гелиоцентрической скорости.

Очевидно, что если одновременно выполняются оба условия, то столкновение неизбежно. Однако легко показать, что сформулированные условия столкновения являются необходимыми, но недостаточными.

Действительно, требование, которое накладывается на орбиту частицы для того, чтобы она столкнулась с планетой, определяется интервалом аргумента

перигелия Дю ее кеплеровской траектории. Попадание орбиты метеороида в указанный интервал приводит к тому, что он пролетит мимо планеты не дальше радиуса

t от ее траектории. В свою очередь, Дю зависит от величины и направления вектора гелиоцентрической скорости и от величины t. Но даже если значение аргумента перигелия орбиты частицы удовлетворяет необходимому требованию, это не гарантирует ее столкновения с планетой. Выполнение второго условия позволяет оказаться в благоприятном для столкновения

положении только орбиты малого тела, а не самого малого тела. Другими словами, если значение

аргумента перигелия попадает в нужный интервал Дю, то это приведет к тому, что планета за период своего оборота вокруг Солнца обязательно пересечет траекторию малого тела, но его самого в этот момент времени там может и не быть. Для того чтобы получить полное описание процесса столкновения частицы с планетой, необходимо к формуле Э. Эпика добавить третий сомножитель Р определяющий положение малого тела на его орбите в благоприятных для столкновения условиях.

Очевидно, что метеорная частица может столкнуться с планетой только тогда, когда ее траектория проходит от орбиты планеты не дальше эффективного радиуса захвата т. Вследствие движения планеты вокруг Солнца время нахождения метеороида в благоприятных условиях для столкновения ограничено и зависит от кеплеровских элементов его орбиты. Пусть £ь - угол между вектором орбитальной скоростью планеты у( и вектором уь. Тогда у45Іпє1і -проекция у( на направление, нормальное вектору уь. Величина этой проекции определяет скорость изменения прицельного расстояния т. Время нахождения орбиты частицы в зоне захвата определится следующим соотношением:

Д t = -

21

vt sin eh

(1)

где vt - орбитальная скорость Земли.

Формула (1) получена в гелиоцентрической системе координат. Точно такое же уравнение можно вывести, если считать планету неподвижной, а частицу -перемещающейся в пространстве с геоцентрической скоростью у^. Тогда скорость изменения прицельного расстояния х будет равна у^шф, где ф - угол между

векторами уь и у^. Время Д1 определится с помощью следующей формулы:

Д t =

21

v sin j

(2)

Используя треугольник сложения векторов скоростей у4,уь, а также теорему синусов, можно записать у^шеь = у^шф, что указывает на полное тождество формул (1) и (2).

Определим расстояние, которое пройдет частица

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

по своей гелиоцентрической траектории за время

нахождения в зоне захвата Д1. Для этого найдем скорость и сближения метеороида с планетой. Для первого случая это будет

Для второго -

u = v, + vcose.

h t h

u = vcosj.

(3)

(4)

Из того же треугольника сложения скоростей легко видеть, что уь + у1соб£ь = у^ОБф. Следовательно, с точностью до постоянных сомножителей искомый отрезок находится с помощью следующего соотношения:

Dl = tctgj.

(5)

Длина отрезка Д1 представляет собой промежуток гелиоцентрической траектории, находясь на котором частица еще может столкнуться с планетой. Отсюда

можно определить промежуток времени Д^ в течение которого частица преодолевает этот отрезок, двигаясь с гелиоцентрической скоростью уь.

Если нормировать функцию (8) на единицу, то она определит вероятность попадания метеорной частицы с некоторыми произвольно фиксированными элементами а, е, і на поверхность Земли за время наблюдения &, поскольку за размеры площадки d0¥ обычно принимается площадь поперечного сечения планеты. Очевидно, что значение функции будет зависеть как от реального числа частиц с этими элементами орбиты в Солнечной системе, так и от вероятности их попадания на Землю. Для учета последнего фактора можно воспользоваться формулой Эпика с добавлением третьего сомножителя (7). Необходимо только учесть, что эта формула определяет вероятность столкновения частицы с планетой за время нахождения в зоне захвата, а функция распределения (8) - за единицу времени dt. В соответствии с этим преобразуем соотношение (7). Разделим его на время

Д t (формула 2) и получим с точностью до постоянных сомножителей

P' =

ґ3

vg cos j

(9)

Dth =

tctgj

(6)

v

Учитывая, что период оборота частицы

В работах [2, 3] при учете астрономической селекции в качестве дополнительного сомножителя к формуле Э. Эпика использовалось следующее выражение:

пропорционален а2, где а - большая полуось орбиты, для искомого сомножителя Р3 получим следующее выражение:

Р3 =

tctgj

(7)

vha

В заключение несколько слов о задаче учета астрономической селекции, возникающей при изучении распределений элементов орбит. Известно, что любым из существующих в метеорной астрономии способов число зарегистрированных метеороидов с произвольными значениями элементов орбиты пропорционально плотности падающего потока, который создается этими метеороидами на границе атмосферы Земли. Следовательно, после учета всех видов селекций - геометрической и физической -непосредственно из наблюдений можно построить распределения следующего вида [2, 3]:

Y

dN

dadedid 0¥ dt

(8)

где е - эксцентриситет орбиты, 1 - наклонение плоскости орбиты к эклиптике, d0¥- площадка, нормальная вектору скорости метеороида, dt - единица времени.

P'

ґ3

v

vha

(10)

Причина различия двух последних формул связана с ошибочным предположением, которое использовалось при выводе равенства (10). Считалось, что за время dt на планету попадут все частицы, которые расположены от нее на расстоянии vgdt, тогда как на самом деле это расстояние равно vgdtcosj.

Литература

1. Ö pik E. J. Collision probabilities with the planets and the distribution of interplanetary matter. - Proc. RIA, 1951, 54, sec. A, №.12, р. 165-199.

2. Заболотников В.С. К вопросу об учете

астрономической селекции при исследованиях распределений элементов орбит спорадических метеорных частиц. // Астрономический

вестник, 1984, N° 1. - С. 52-61.

3. Заболотников В. С. Моделирование распределения метеорного вещества в Солнечной системе по данным наземных наблюдений. - Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. - Одесса, 1988. - 138 с.

vha

3