Векторные поля нулевой полной кривизны первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.М.Онищук

ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НУЛЕВОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ ПЕРВОГО РОДА

Рассматриваются гладкие векторные поля без особых точек в некоторой области трёхмерного евклидова пространства. Доказано существование векторного поля, для которого ортогональное неголономное пфаффово многообразие [1] имеет одно семейство прямолинейных асимптотических. Определена широта класса таких векторных полей. Исследовано также строение векторного поля с неголономной плоскостью в качестве ортогонального ему многообразия Пфаффа.

Пусть V - гладкое векторное поле без особых точек в области О с Я3, для которого полная кривизна первого рода К1 обращается в нуль. Так как К1 = к1 к2 (к1 , к2 - главные кривизны первого рода), то возможны два случая: 1) к1=0, к2ф0 (или всё равно, что к2=0, к1 Ф 0); 2) к1 = к2 = 0. Оба эти случая рассматриваются в данной работе. При исследовании используется ор-тонормированный подвижной репер (М; ё[, е2, е3),

_ V

при этом М е О, е3 = р=г. Деривационные формулы

V

репера имеют вид:

К =

A2 A2

определяют асимптотические линии пфаффова многообразия ю 3= 0. Уравнения

(1.3)

(1.4)

СГ = Ю е{, dei = ю/е}-,

где Г - радиус-вектор точки М, ю/ =-ю/ ,

С ю1 = ю1 лю/,

Сю/ = юк лю]к 0', 1, к = 1,2,3).

Формы ю1, ю3 являются главными, из них ю i - базисные формы, поэтому

ю3 = А/ ю1 . (1.1)

Совокупность всех интегральных кривых уравнения Пфаффа ю3 = 0 называется пфаффовым многообразием, ортогональным векторному полю {е3} [1].

Если уравнение ю3 = 0 вполне интегрируемо, то пфаффово многообразие, им определяемое, называется голономным. В противном случае - неголономным (неголономное пфаффово многообразие называют также неголономной поверхностью [2]).

1. ОСНОВНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ

Основные инварианты векторного поля {е3} определяются формулами:

А1 4

- полная кривизна второго рода

A2 (ю1 )2 + (A - A )ю3ю2 - Al (ю2 )2 = 0, ю3 = 0

- линии кривизны второго рода. Уравнения

A ю + A-^ю + А3Ю = 0, Al2 ю1 + A2 ю2 + A32 ю3 = 0

- эквидирекционные линии (линии, вдоль которых векторы поля {ё3} параллельны [3]). Для нормальной

кривизны к„ кривой, принадлежащей ю3 = 0, имеет место формула

кп =-ALLcos2 ф-(A3 + A32)cosФsinф-A sin2 ф, (3.5)

где ф - угол между касательной к кривой и вектором e. Главные кривизны первого рода - это экстремальные значения функции кп . Полная кривизна первого рода К3 равна произведению главных кривизн первого рода.

Известно, что если К3 = 0, то через каждую точку MeG проходит либо одна асимптотическая линия, либо их бесконечно много. В последнем случае пфаффово неголономное многообразие ю3 = 0 называют неголономной плоскостью.

2. КАНОНИЧЕСКИЙ РЕПЕР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ НУЛЕВОЙ ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ ПЕРВОГО РОДА ОБЩЕГО ВИДА

Рассмотрим векторное поле, для которого К3= 0, но при этом только одна из главных кривизн первого рода равна нулю. Через каждую точку M e G в этом случае проходит лишь одна асимптотическая. Чтобы репер {M; e3, e2, e3} стал каноническим, достаточно вектор e в точке М направить по касательной к асимптотической. Тогда

A = 0, A + A2 = 0, A * 0, A = p A = -2H

и формулы (3.3) примут вид

A1 + A2

(или гауссова кривизна); Н = —1 ^ 2 - средняя

кривизна; р = A1, -A2 - скаляр неголономности;

К1 = К2 — — - полная кривизна первого рода [3]. Уравнения

А11(ю1)2 + (A2 + Aj2)®1®2 + А22(ю2)2 = 0, 1 (1 2)

ю3 =0 | ( .

1 Р 2 3

®з =— ю + aю ,

3 2

= ——ю1 - 2Ню2 + Ью3,

(2.1)

где а = А3, Ь = А32.

Вектор ае1 + Ье2 - вектор кривизны линии тока

векторного поля {Є3} .

Внешнее дифференцирование системы (2.1) приводит к равенствам

2

(± - ари1 + 9(аЬ - pH)и3 - 2Hи2) л®2 + р2

+(da + (-!4 - a2 )ю1 + Ьк>2 ) ли3 = 0,

(-^ + Ьри2 + (аЬ + pH)и3 -2Hю2)ли1 + (2.2)

р2

+(-2dH + (Ь2 + 4Н2 - £-)и3)ли2 +

4

+(dЬ - aи2) ли3 = 0-

Из (2.2), применяя лемму Картана, находим

d Р 1 „ ч 2

=-а11и +(Ьр-а12)и +

+(aЬ +pH-а13)и3 - 2 H ®2,

2dH =-а12и1 -а22и2 +(Ь2 +4H 2 --Р—а23)и3

dЬ =а13и1 +а23и2 +а33и3 +aи12-

2 (2.3)

™23)

d р

Подставляем найденное значение в первое ра-

венство системы (2.2), затем применяем лемму Картана. В результате получим

4H ®2 = (-а11 - ap)и1 -р22 и2 + (2ab-а13-Р23)и3,

da=(a2 -■Рр)ю' +Р23ю2 +Р33ю3 _Ью2.

(2.4)

ю2 = 0, ю3 = 0;

р(ю')2 + 4H ю'ю2 + р(ю2)2 = 0,

ю3 = 0;

—ю2 + аю3 = 0,

2

-—ю1 - 2Ню2 + Ью3 = 0; 2

kn = 2H sin2 ф .

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Из (2.3) и (2.4), произведя соответствующие вычисления, находим

и2 ^-^[(-ац - ap)и1 -Р22 и2 + (2aЬ-alз -Р23 )и3],

4Н

dH=-а^ и1 -^2 и2 +(—+2H 2 -^1-£І)и3,

2 2 2 2 8

d p=(ap-а11)и1 +(Р22 -2а12 +2Ьр)и2 +(Р23 -а13 +

+2pH )и3,

da=[a 2 -Р-+-Н (аи + ap)]и1 + (Р23 + 4^ в22)и2 + (2.5)

Ь3

+[в33 +— (а12 +Р23-2aЬ)]и ,

4Н

dЬ=[аі3 - -О; (ап +ар)]и1 + (а 23 - 4Н Р22)и2 +

+[а33 -~а7 (а13 +Р23- 2аЬ)]и3 .

4Н

Для внешних дифференциалов базисных форм имеют место формулы

d и1 = -4Н (а11 + ор)и1 ли2 -[4Н (а13 +Р23 - 2аЬ)+

+Р ]и2 ли3,

2

d и2 = 4Н Р22и1 ли2 -[-4Н (аі3 +Р23 - 2аЬ)+ (2.6)

+Р]и3 ли1 + 2Ни2 ли3,

2

3 1 2 2 3 3 1

dи =-ри ли -Ьи ли + аи ли .

В выбранном нами каноническом репере уравнения (1.2) - (1.5), определяющие асимптотические линии кривизны второго рода, эквидирекционные линии, нормальную кривизну кривых, принадлежащих и3 = 0, принимают соответственно вид:

Из (2.10) следует, что экстремальные значения кп

А П

принимает при ф1 = 0 и ф2 = —, т.е. главные кривизны

первого рода кп1 и кп2 имеют следующие значения:

кп1 =0, кп2 =2Н. Отсюда следует, что одна из линий кривизны первого рода совпадает с асимптотической линией.

Рассмотрим линейчатые поверхности, описываемые прямыми, проходящими через точки линий кривизны первого рода в направлении векторов поля е3. Найдем горловые линии этих линейчатых поверхностей и их параметры распределения.

а) Для линейчатой поверхности, соответствующей той линии кривизны, которая совпадает с асимптотической ( ю2 = ю3 = 0 ), имеем (Сг, Се3} = 0. То есть

сама асимптотическая представляет собой горловую линию линейчатой поверхности, состоящей из прямых, проходящих через точки этой асимптотической в направлении векторов поля. Параметр распределе-2

ния р = —.

р

б) Для второй линейчатой поверхности горловая линия определяется уравнением

2Н _

R = r +-

■—4- + 4H

а параметр распределения - формулой

При неголономном ю = 0 имеем

—Т + 4H

2

rang

0

_Р 2

—

2

-2H

= 2,

это означает, что векторное поле {е3} не имеет экви-

дирекционных поверхностей.

Количество линий кривизны второго рода зависит от значения инварианта 4Н2 - р2. При р = 2Н (или р = -2Н) через всякую точку М е О проходит только одна линия кривизны второго рода, имеющая уравнения

ю1 = ю2. ю3 = 0

или

1 2 ^ ю = _ю

= 0.

Таким образом, если через УМ є О проходит только одна линия кривизны второго рода, то она делит пополам угол между линиями кривизны первого рода.

3. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ КЛАССА К1 =0 С ОДНИМ СЕМЕЙСТВОМ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ

Если пфаффово многообразие

ю3

= 0, ортогональное полю {е3}, голономно, то к =К2 есть гауссова кривизна его интегральной поверхности, проходящей через точку М е О. Следовательно, при К1 =0 эта поверхность является развёртывающейся с прямолинейными образующими в качестве асимптотических. Вся область О в этом случае расслаивается на однопараметрическое семейство торсов. Существуют ли векторные поля класса К1 = 0, для которых неголономное ю3 = 0 имеет прямолинейные асимптотические? Ответом на этот вопрос является следующая теорема.

Теорема 1. С произволом трёх функций двух аргументов существуют векторные поля класса К1 = 0, для которых ортогональное неголономное пфаффово многообразие имеет прямолинейные асимптотические.

Доказательство. Пусть асимптотические ю2=ю3=0 - прямые линии, тогда Се1 || е1 при ю2=ю3=0.

Это возможно лишь тогда, когда а11 + ар = 0. Система

(2.5) теперь принимает вид

4Н ю'2 +Р22 ю2 + (а13 +Р23 - 2аЬ)ю3 = 0,

2СН +а12ю1 +а22ю2 +(а23 +Р—Ь2 -4 Н 2)ю3 =0,

С р-2арю' +(2а12 -Р22 -2Ьр)ю2 +(а13 -Р23 -

-2рН )ю3 = 0,

Са+(р— а2)ю' - (Р23 +-Ь- Р22)ю2 +

4Н

+[~Ь (2аЬ -а13-в23)-Р33]ю3 = 0 4Н

ёЬ-а13ю -(а23 Р22)ю +[Т^"(а13 +Р23-

4Н

4Н

-2аЬ)-а 33]ю = 0.

Замыкаем (3.1), получаем следующую систему внешних уравнений:

СР22лю + (Са^3 + СР23)лю + А^ю лю +

+В^ю лю +С1ю лю =0,

С а12 лю1 + С а 22 лю2 + С а 23 лю3 +А2ю1 лю2 +

+^2ю лю +С*2ю лю =0,

(2С а12 - С Р22 )лю2 + (С а13 - Ср23)лю3 + А3ю' лю2 +

+^3ю лю +С3ю лю —0,

(-СР23 7^"Св22)лю Т77(Са13 +СР23 )лю -

4 Н 4Н

—СР33 лю +А^ю лю + В^ю лю +С^ю лю =0,

1 2 а 2 а

С а13 лю - С а 23 лю +~4^С в22 лю + 4Н (С а13 +

3 3 1 2 2 3

+СР23)лю -Са33лю + А5ю лю + В5ю лю + +С^5ю лю = 0.

(3.2)

Положим

СР22 = Хцю + Х^ю +^!3ю ,

(3.3)

(3.1)

С^^13 — ^21ю + ^22ю + ^23ю ,

СР23 =^3]ю +^32ю +^33ю ,

С а12 = Ццю1 + ц12ю2 + М13ю3,

Са22 = М21ю + М22ю + М23ю ,

С а22 = ц31ю' + ц32ю2 + ц33ю3,

СР13 = v11ю1 +v12ю2 +v13ю3,

С а33 = v21ю1 +v22ю2 + v23ю3.

По методу Кэлера [4] строим цепь интегральных элементов Е1 с Е2 с Е3 . Для Е1 полагаем ю2 = ю1 =0.

Имеем 8 независимых параметров Х13, Х23, Х33, ц13, ц23, ц33, v13, v23, то есть г1 = 8 (мы используем обозначения, принятые в [4]). Для Е2 полагаем ю1 = 0 и находим

Х22 = М-13 - "2(В1 + В3),

Х32 = Х13 -М13 + 2(В3 - В1),

М32 = М23 - В2 , (3.4)

\,13 = X 33 + ~4~НВ1 + В4,

V22 = М33 - 4ННВ1 + В5 .

Из (3.4) видим, что г2 =3. Следовательно, характер

51 =п -Г2 = 5.

Подставив (3.3) в (3.2), получим следующие соотношения:

Х11 = _А1 >

М21 = М12 - А2 ,

М31 = М13 + С2,

М11 = - Т( А1 + А3),

Х21 =

Х31 =

2

с + С3 2

С1 - С3

(3.5)

2

Ь

\'ц = С1 + С4,

11 4 Н 1 4

v 21 = х 23 + 4НС - C5,

ЬА1 + 2Н(2А4 + С3 - С1) = 0, аА1 + 2Н (-2 А5 + В + В3 + 2С2) = 0.

Вычислив А1, А4, А5, В1, В3, С1, С2, С3, мы убеждаемся в том, что последние два равенства из (3.5) представляют собой тождества.

Мы построили правильную цепь Е1 с Е2 с Е3 интегральных элементов. Следовательно, система (3.2) - в инволюции. Характеристическое число г3 =0. Характеры 52 = г2 -г3 = 3, 53 = 0. Согласно признаку Кэлера, если построена правильная цепь интегральных элементов, то интегральное многообразие существует с произволом, определяемым последним не равным нулю характером цепи [4]. Таким образом, мы доказали, что исследуемое векторное поле существует и определяется с произволом трёх функций двух аргументов. □

4. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ, ДЛЯ КОТОРОГО ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПФАФФОВО МНОГООБРАЗИЕ ЯВЛЯЕТСЯ НЕГОЛОНОМНОЙ ПЛОСКОСТЬЮ

В этом случае всякая интегральная кривая уравнения ю3 = 0 - асимптотическая линия. Тогда из (1.2) следует Al = A2 = 0, A2 =-А . Средняя кривизна H = 0 и равенства (2.1) принимают вид

1 p 2 3

ю3 = — ю + aю ,

3 2

ю2 = _—ю1 + Ью3. 32

(4.1)

Теорема 2. Существует единственное векторное поле, для которого ортогональное пфаффово многообразие является неголономной плоскостью.

Доказательство. Прежде всего заметим, что если ю3 = 0 является неголономной плоскостью, то линии тока векторного поля {e3} не могут быть прямыми.

Поэтому поместим вектор e в соприкасающуюся плоскость линии тока, тогда b = 0 и формулы (4.1) примут вид

1 p 2 3

Юз =— ю + aю , 3 2

2 p 1 ю3 = _—ю .

32

(4.2)

Дифференцируем (4.2) внешним образом и затем применяем лемму Картана. В результате получаем dp

■ = apo1 +ßo3

(4.3)

2

р2

da = (а2----)и1 +Ри2 + Хи3,

р2

аи'2 = Ри1 +-^4 и2 +уи3.

Дифференцирование равенств (4.3) с использованием формул (4.2) и (4.3) приводит нас к условиям

Р = X = 0, у = ар. И тогда система (4.3) представится

в виде

d р = 2ари1, р2

da = (а2 - — )и1, (4.4)

4

1 р 2 ар 3 аи2 = — и2 +—и3.

2 4 2

Из первых двух уравнений системы (4.4) находим

с

р = -

a =

t2 + і ct , ^, dt

(4.5)

ю2 = , t -du .

і

t2 + і

(4.6)

Ищем функции Х2, Х3, для которых выполнялось бы равенство

С ( Х2 ю2 + Х3 ю3 ) = 0.

Такие функции существуют и равны

X 2 = ■

1

'у[>

2tjt2 + 4-

X3 =

1

t2+і

Полагаем X2 ю2 + X3 ю3 = dv, и тогда

ю3 =

Ф2 + 4'

dv _

1

du.

(4.7)

Из (4.4) и (4.2), используя (4.5) - (4.7), находим

Ю2

1c

ю0 =—. dv,

2^

1 ct Юо = , г dv,

t

t2 + і

ю2 =—^-dt.

" 2(/2 + 1)

Таким образом, мы получили следующие деривационные формулы :

dt tdu 2

dr =-----e, + - |/U2

c

tdu 2 1 du

■щe2 _1Щ

du

)e3,

cdv ctdv

de, =---------, e2 —, e3

cdv _ dt _ de2 = t ~ e, Єз .

2 2^Щ 1 2(t2 + і) 3

ctdv dt

de3 = . e, +

(4.8)

#+І-'ч'2 + і*2

e2.

Интегрируем систему (4.8). Имеем

de,

dv 2>/t2+ï

c _ ct _

=■ e2 і e3 •

d 2 e,

= _c e,.

Су 2

Следовательно,

е = 81 со8(су) + 82 Бт(су), (4.9)

где 81,82 - постоянные линейно независимые векторы.

Тогда

ôe2 c _ _

—2 = —. (є, cos(cv) + є2 sin(cv)).

dv 2^еЦ

Отсюда

где c = const Ф 0. Так как d(■ і

t

t2 + і

-ю ) = 0, то можно

положить

4 ю2 = du . Следовательно,

e2 =-

lyj,

2. It2 + 4

(є, sin(cv) _ є2 cos(cv)) + f (t). (4.10)

Затем из (4.8) и (4.10) получаем dft) = ft) dt 4t (t2 + 4)

и находим

c

t

/ (ґ) =

і2 + і

є3.

(4.11)

Таким образом,

_ 1 г(є18ІИ(су)-_2 СОБ(СУ)) +

Є =-

4

ґ _

^=83

(81 8ІИ(СУ)-82 СОЄ(С^))-

2

ґ 2 + і 1

^=83.

ґ 2 + 1

(4.16)

Из (4.16) и первого уравнения системы (4.8) находим

дф __

ди 83

Следовательно,

ф(и, V) _ 83и + у(у), d ш 1 _ 1 _

— = -^_3, ш_-^V_3.

Таким образом,

_ ґ _ _ 1 _

Г _-----( 81 С0S(СV) + _2 ЄІП(С^)) + (и-V) 83,

то есть

X _ - — СОЄ(С^), С ґ

У _-------ЄІП(^),

С

1

2 _ и-------V.

2

(4.17)

Отсюда находим

dґ _

dv _

хйх + уйу

2 2 ’ х2 + у2

хйу - уйх С( X2 + у 2);

(4.18)

du _ dz +

хdy - ydх 2с( х2 + у2).

V ( 2сх, -2су, -1), для которого ортогональное пфаффово многообразие является неголономной плоскостью. Скаляр неголо-номности

р_

(4.12)

С 2( х2 + у2) + І

Постоянные векторы _1, _2, _ образуют ортонор-мированный базис. Примем его за базис некоторой декартовой системы координат и найдём координаты х, у, г точки М в этой системе координат. Из (4.8) следует

дг 1 _ _

_--------(_ СОЄ(С^) + 82 ЄІП(^)),

дґ С

т.е. Г _ -1(_1 cos(cv) +_2 sin(cv))ґ + ф(и, V).

С

Линии тока векторного поля V лежат на цилиндрах х2 + у2 = а2 и представляют собой винтовые ли-

х _ а соє а, у _ а єіп а,

а

Подставляя dv и du в (4.1), мы получаем уравнение неголономной плоскости и3 _ 0 в некоторой неподвижной декартовой системе координат:

dz _ 2с (х dy - у dх). (4.19)

Отсюда следует, что существует единственное векторное поле

2с

Итак, векторное поле V, для которого ортогональное пфаффово многообразие, представляет собой неголономную плоскость, не имеет особых точек и состоит из касательных векторов винтовых линий, лежащих на круговых цилиндрах с общей осью I. Не только эти винтовые линии, но и ось I является линией тока. Эквидирекционных поверхностей [1] поле V не имеет, а эквидирекционные линии - прямые, параллельные I.

С векторным полем V инвариантно связаны два векторных поля: а) векторное поле единичных векторов п главных нормалей линий тока поля V ; б) векторное поле единичных векторов Ь бинормалей линий тока поля V . Для этих полей прямая I является особой прямой. Ортогональные пфаффовы многообразия для полей п и Ь голономны.

Пфаффово многообразие, ортогональное полю п , расслаивается на однопараметрическое семейство вложенных друг в друга круговых цилиндров с общей осью I. Это те цилиндры, на которых лежат линии тока поля V . Линии тока поля п - прямые линии, лежащие в плоскостях, ортогональных прямой I, и в каждой такой плоскости образующие пучок с центром в особой точке, принадлежащей I. Поле п имеет экви-дирекционные поверхности. Они представляют собой пучок плоскостей с осью I.

Пфаффово многообразие, ортогональное полю Ь , расслаивается на однопараметрическое семейство геликоидов. Линии тока поля Ь - это винтовые линии, лежащие на тех же цилиндрах, что и линии тока поля

V , но ортогональные последним. Эквидирекционных поверхностей поле Ь не имеет. Его эквидирекцион-ными линиями являются прямые, параллельные I.

ЛИТЕРАТУРА

1. Слухаев В.В. Геометрия векторных полей. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1982.

2. Роговой М.Р. К метрической теории неголономных гиперповерхностей в п-мерном пространстве // Украинский геометрический сборник, вып. 5-6. Харьков, 1968. С. 126-138.

3. Аминов Ю.А. Геометрия векторного поля. М.: Наука, 1990.

4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.

Статья представлена кафедрой геометрии механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 мая 2003 г.

С

и