CC BY
16УДК 539.3
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЛАСТИН В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ НА ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАГРУЗКИ
В ФУНКЦИЯХ НАПРЯЖЕНИЙ
Р. А. Сабиров
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-mail: rashidsab@mail.ru
На основе функционала Кастилиано для плоской задачи теории упругости разработан вариационно-разностный метод решения краевой задачи в функциях напряжений. Для формирования коэффициентов системы уравнений и правой части используются вариации функционала. Составлена программа расчета на основе пакета Maple; приведен пример расчета свободной от закреплений пластинки на неравномерное нагревание.
Ключевые слова: плоская задача теории упругости, функционал Кастилиано, вариационно-разностный метод, функция напряжений.
VARIATIONAL-DIFFERENTIAL METHOD OF CALCULATION OF PLATES IN CONDITIONS OF PLANE STRESS FOR TEMPERATURE LOADINGS IN STRESS FUNCTIONS
R. A. Sabirov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: rashidsab@mail.ru
On the basis of Kastiliano's functional the variational-differential method for the solution of a boundary problem is developed for a plane problem of elasticity theory in stress functions. Functional variations are used for the formation of coefficients of the equations system and the right part. The calculation program on the basis of a Maple package is made; the example of calculation of an unfixed plate for uneven heating is given.
Keywords: plane problem of the elasticity theory, Kastiliano's functional, variational-differential method, stress function.
1. Введение. Требуется оценить напряженное состояние тонких незакрепленных прямоугольных пластин на нагрузки, возникающие при воздействии стационарного теплового потока - температура является функцией координат. Для решения задачи воспользуемся «методом устранения деформаций» [1; 2]. В методе для изотермического нагружения объемные и поверхностные силы определяются через температурное поле T(x, y, z) исходной температурной задачи. Известно, что модуль упругости стали при нагревании уменьшается [2], а модули упругости сплавов при нагревании как уменьшаются, так и увеличиваются (причем в 1,5-2 раза) [4]. Чтобы в разрешающие уравнения не входили упругие постоянные материала, краевую задачу сформулируем в напряжениях.
Научное содержание работы состоит: в полученном выражении функционала Кастилиано в функциях напряжений, учитывающем изменение температуры; алгоритме формирования системы уравнений и ее правой части; составленной программе расчета; расчете напряженного состояния пластинки при неравномерном нагреве.
2. Формулировка задачи. Рассмотрим вариационную формулировку, для которой получим функционал Кастилиано с учетом изменения температуры. Если для плоской задачи теории упругости использовать закон Гука [2], связывающий компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций
с учетом температурной деформации, то функционал приобретает вид
ЭК (ст x, СТ y , Т xy ) =
J„J 2E
CTx2 - 2ЦСТс СТ y + СТ y2 + 2(1 + М0 +
dxdx. (1)
x y y
+EaT (ct x +CT y) Здесь E = E(x, y) - модуль упругости; ц = ц(x, y) -коэффициент Пуассона; a=a(x,y) - коэффициент линейного температурного расширения материала; T = T (x, y) - температурное поле.
Введем в функционал (1) функцию (Airy) напряжений ф( x, y)
ЭК (Ф) =
•У 2E
fx 2 А2 д ф
dx2
„ д2фд2ф - 2ц II + dx2 dy2
f^ А2
dy2
+2(1 + ц)
f д2ф А
дxдy
+ EaT
fs^+sV
дx2 дy2
dxdx (2)
и сформулируем, что из всех возможных напряженных состояний находящейся в равновесии пластинки действительное напряженное состояние сообщает (2) максимальное значение. Чтобы найти это напряженное состояние пластинки, запишем первую и вторую вариации (2):
Проектирование и производство летательных аппаратов, космические исследования и проекты
5Эк (ф( X, у)) = Л Е
д2ф д25ф дх2 дх2
2
-2 ц
д25ф д2ф д2ф д25ф дх2 ду2 дх2 дУ2
2,- Я2 Я2
д2ф д25ф
-I--Г-1.+
ду2 ду2
+2(1 + ц) ^ д25ф + ЕаТ
дхду дхду 52(51Эк )) = ([ Е
Гд2 5ф д 25фА дх2 ~
дУ2
д252ф д251ф дх2 дх2
йхйу; (3)
-2 ц
Л
д 52ф д 51ф + д 51ф д 52ф дх2 ду2 дх2 ду2
+ д 52ф д 51ф +
ду2 ду2
+ 2(1 + ц)
д252ф д251ф
йхйу .
(4)
т п 1
52(5Эк )) = Ц—
д 52ф д 51ф д 51ф д 52ф
,2я -А з2
дх2 ду2 дх2 ду2
д 52ф д 51ф
т п-2
+11
2=1 П=1
п т-2
+11
3 =1 4=1
д252ф д251ф дхду дхду
д252ф д251ф
ду2 ду2
',3 +
^ 3
(1+ ц)
(1+ ц)
'г,П +
дхду дхду
'
з,4 :
(5)
3,4
5ЭК (51ф( х, у)) =ХХ
1=1 3=1
аТ
д 51ф + д 51ф
дх2
Су 2
.(6)
1,3
дхду дхду
3. Вариационно-разностная постановка. Выберем на области пластинки прямоугольную равномерную сетку
ю3 ={(хг = х, у] = ДуX 1 = 0,1...,m, 3 = 0,1,...,п} на отрезках [0,1х ] и [0,1у ]. Здесь х = хг и у = у^ -узлы сетки; Xх = 1х / т и Xу = I / п - шаг сетки, а 1х и I - размеры пластинки по направлениям осей координат х и у . Введем сетку с узлами 4, П :
ю4п ={(х4 =Хх/2 + 'К, у3 = Ху/2X I = 0,1, ...,т -1, 3 = 0,1,...,п -1}.
Континуальную область в (3) и (4) заменим дискретной. Тогда
^ "с252фд252ф- 2цх
2=13=1 Еи 3 дх дх
Здесь площадки интегрирования 'ар равны: X х X -во внутренних узлах области; XхX /2 - в узлах, расположенных на контуре; XхX /4 - в узлах, расположенных в углах пластинки.
Дифференциальные операторы в (5) и (6) заменяются конечно-разностными аналогами.
4. Алгоритм формирования системы уравнений и правой части. Пусть функционал (2) в дискретной форме содержит вектор р переменных
ф = (ф1, ф2,..., фр). Тогда (5) содержит вариации вектора 5^ = (51ф1,61ф2,..., §]ф р) и 52ф = (52ф1,52ф2,...,52фр). Элемент матрицы а^ системы линейных алгебраических уравнений вычисляется как
а3 = 52ЭК (5lФ, 52ф) = 52(51 ЭК (5lФ, 52ф)) =
р с дЭК (51ф, 52ф)
к=1 дфк 11=1
51ф/
52фк = 51ф/ =
дф/ 1, при к = 2,
0, при к Фг.'
1, при I = 3, 0, при I Ф 3.
/ = 1,2,...,р , 3 = р.
52фк,
(7)
(8)
Цикл (8) из (7) формирует квадратную матрицу симметричную относительно главной диагонали. Соответственно, вектор правой части определяется из (6) циклом:
и я-» /-я-ч -р СЭл (51 ф)
Ъг = 51ЭЛ (51ф) = I-Л-51ф/
/=1 дф/
г= 1,2,.., р ;
51ф/ =
1, при I = г,
(9)
[0, при I Ф г.
В контурных узлах значения функций Эри известны. В законтурных узлах ф вычисляется по формуле
йф / йV = N , где V - нормаль к контуру рамы, а N -
продольное в раме усилие.
5
5. Программа вычислений и расчеты. Составлена программа расчета на основе пакета Maple. Приведем пример тестового расчета пластинки на изменение температуры по закону T (x, y) = Tmax(1 - 2y / ly). Такое распределение температуры рассматривается для балок в [1-3]. Эпюры напряжений для конечно-разностной сетки 40 х 40 приведены на рисунке. Значения напряжений, приведенных на эпюрах, следует умножить на постоянную a Tmax .
6. Характер распределения напряжений ctx согласуется с характером распределения аналогичного напряжения в балках, рассмотренных в [1-3]; исследования сходимости решений в напряжениях от сгущения сетки показали достаточность редкой сетки, что позволяет внедрить метод решения рассмотренной задачи в учебный курс теории упругости.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П. Теория упругости. ОНТИ. М. ; Л., 1937. 451 с.
2. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
3. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1986. 560 с.
4. Механические свойства материалов с эффектом памяти при сложном температурно-силовом воздействии и ортогональном нагружении : монография / под ред. И. Н. Андронова. Ухта: УГТУ, 2010. 191 с.
References
1. Timoshenko S. P. Teorija uprugosti. ONTI. L.-M., 1937. 451 s.
2. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti. M. : Nauka, 1975. 576 s.
3. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov. M. : Nauka, 1986. 560 s.
4. Mehanicheskie svojstva materialov s jeffektom pamjati pri slozhnom temperaturno-silovom vozdejstvii i ortogonal'nom nagruzhenii: monografja/pod red. I. N. Andronova. Uhta : UGTU, 2010. 191 s.
© Сабиров Р. А., 2013
УДК 539.3
К РАСЧЕТУ устойчивости изотропной пластины, нагруженной
В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ СИЛАМИ ИНЕРЦИИ
Р. А. Сабиров, А. В. Быков
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31. Е-mail: rashidsab@mail.ru
Рассматривается подход к расчету напряженно-деформированного состояния и поиску собственных значений пластинки, загруженной силами, действующими в плоскости базисной поверхности.
Ключевые слова: расчет пластин, устойчивость, вариационно-разностный метод.
CALCULATING STABILITY OF THE ISOTROPIC PLATE LOADED IN THE PLANE INERTIA FORCES
R. A. Sabirov, A. V. Bykov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. Е-mail: rashidsab@mail.ru
Approach to calculate the intense deformed condition and to search for the values of a plate loaded by forces operating in the plane of a basic surface is considered.
Keywords: calculation of plates, stability, variation and differential method.
Дифференциальная формулировка задачи о выпучивании изотропной пластинки описывается уравнением равновесия Сен-Венана [1; 2]
D
f^V
сТ4
+ 2
л г д2 w лг
=N ^+Ny
д4 w dx 2 дy2
д2 w
4
д w
д 2 w
—2—+ 2Sxy-
dy2 dxdy
+qz
(1)
функция прогиба; дг - нормальная плоскости пластинки нагрузка. Мембранные усилия Ых, Ыу , £
выражаются через перемещения нейтрального слоя пластинки и = и(х, у), V = v(х,у):
Nx =
Eh
Здесь D - цилиндрическая жесткость, w = w(x, y) -
Ny =
1 -ц2
Eh
1 -ц2
du dv
— + ц—
dx dy
dv du
— + ц—
dy dx
