Вариант выбора начальных проектов в итерационных алгоритмах оптимизации конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.041

МИЩЕНКО АНДРЕЙ ВИКТОРОВИЧ, канд. техн. наук, доцент, mavr@hnet. ru

Новосибирский государственный архитектурно-строител ьный университет,

630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская, 113

ВАРИАНТ ВЫБОРА НАЧАЛЬНЫХ ПРОЕКТОВ В ИТЕРАЦИОННЫХ АЛГОРИТМАХ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКЦИЙ

В качестве начального приближения в итерационных алгоритмах оптимизации конструкций предложено использовать решение вспомогательной оптимизационной задачи, сформированной на основе лишь ограничений по прочности. Разработан матричный алгоритм выявления полной серии таких проектов, как статически определимых основных систем метода сил, позволяющих находить соответствующее множество решений многоэкстремальной задачи минимизации. Рассмотрен пример выявления начальных проектов двухпролетной балки. Показано влияние конструктивных ограничений на геометрическую форму начальных проектов.

Ключевые слова: оптимальное проектирование; многоэкстремальная задача; начальное приближение.

ANDREY V. MISHCHENKO, PhD., A/Professor, mavr@hnet. ru

Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering,

113, Leningradskaya, 630008, Novosibirsk, Russia

INITIAL APPROXIMATION IN ITERATION ALGORITHMS OF CONSTRUCTION OPTIMIZATION

For initial approximation, in iteration algorithms of construction optimization it is suggested to use an optimization auxiliary problem solution based merely on the strength limit. A matrix algorithm for detecting a series of such systems has been designed as statically determinate main force method systems which allow finding a lot of proper solutions of a multiextremal problem of minimizing. An example of detecting initial approximation for a beam with central prop has been given herein. Design constraints affected the geometric form of the initial approximation have been described in this paper.

Key words: optimal design; multiextremal problem; initial approximation.

Большинство реальных задач оптимизации инженерных конструкций ставятся как задачи нелинейного математического программирования с реализацией в форме различных итерационных поисковых алгоритмов. Нелинейность задачи и вытекающая отсюда многоэкстремальность обусловлены сложностью аналитических зависимостей, на основе которых формируются ограничения задачи. В таких случаях разные начальные проекты (начальные приближения) могут давать различные оптимальные решения, удовлетворяющие заданному комплексу ограничений. Теоретический и практический ин-

© А.В. Мищенко, 2013

терес представляет разработка методов выявления полного набора оптимальных решений в многоэкстремальных задачах. Одним из ключевых этапов решения данной проблемы является разработка принципов выбора начальных проектов, определяющих как трудоемкость решения, так и, что более важно, принципиальную возможность получения того или иного оптимального решения на основе принятого начального проекта.

В данной работе предложен способ получения начальных проектов, основанный на решении вспомогательной задачи при учете сокращенного набора ограничений с последующим возвратом к основной задаче оптимального проектирования с учетом всех заданных ограничений. Используемый принцип, с одной стороны, позволяет выявлять начальные проекты сравнительно простыми средствами, а с другой - дает возможность находить полную серию оптимальных решений в многоэкстремальной задаче.

1. Среди комплекса ограничений в задаче оптимального проектирования конструкций (ОПК) выделим группы ограничений-неравенств.

К первой группе отнесем условия, отражающие ограничения на локальные параметры напряженно-деформированного состояния в сечении с координатой х, сформулированные в виде конечных выражений

&[$ (х) Ь (х) Ч ] < 0, (1)

содержащих варьируемые параметры bj (или функции bj (х)), внутренние силовые факторы Si е [М,N,Q](х) и нормируемые величины 0.к, в качестве которых обычно выступают расчетные сопротивления материалов Rk или заданные предельные деформации е а4п .

Во вторую группу введем интегральные условия жесткости, устойчивости, ограничения на частоты собственных колебаний и т. п., формулировка которых требует решения соответствующих неоднородных или однородных краевых задач.

В третью группу объединим ограничения, явно не связанные с выполнением требований прочности, жесткости и устойчивости (но, возможно, косвенно от них зависящие)

gз\bJ(х)Чк] < °. (2)

Сюда входят параметрические и конструктивные ограничения типа

^х)/Ь(х) <Чк , Ь(х) ^ Ьшт , КХ) ^ Ашш. (3)

При активности ограничений первой группы соотношения (1), записанные в виде равенств, посредством величин Ь] (х) = Ь]0£,^ (х) устанавливают

геометрическую форму конструкции: при непрерывном варьировании - это функции профилирования ее элементов, а при параметрической оптимизации - это размеры сечений на участках стержней. Ограничения второй группы напрямую форму конструкции £, ^ (х) не задают и могут быть удовлетворены при некоторых произвольных геометрических формах путем варьирования амплитуды Ь] 0 геометрических функций.

В работах Л.С. Ляховича [1, 2] с использованием вариационных подходов показано, что решение оптимизационных задач с раздельным учетом ограничений по прочности, устойчивости и частотам собственных колебаний приводит к профилированию стержней, схожему с равнопрочным. Это свидетельствует об особой, важной роли ограничений по напряжениям, входящим в первую группу. Полученные на их основе геометрические формы конструкции являются оптимальными и при расширенном наборе ограничений.

Можно сделать вывод-гипотезу о том, что в многоэкстремальной задаче ОПК локально-оптимальным проектам соответствуют качественно различные варьируемые геометрические функции, формы которых определяются локальными ограничениями первой группы. Выявление таких оптимальных решений требует задания соответствующих им начальных проектов конструкции (НПК) с аналогичными (близкими) формами геометрических функций. Другими словами, в пространстве варьируемых параметров НПК должен располагаться в многогранной чаше соответствующего локального экстремума. На её поверхности допустимые проекты имеют качественно схожие формы и отличаются амплитудами геометрических функций, координатами границ расчетных участков профилирования, наличием и длиной участков с активными параметрическими ограничениями (3).

Для нахождения НПК предлагается подход, основанный на решении вспомогательной задачи оптимизации, сформулированной для заданной конструкции на основе лишь первой группы ограничений (по прочности).

После нахождения множества НПК решается основная задача ОПК с учетом полного комплекса ограничений, которые, имея количественное и качественное влияние на целевую функцию (ЦФ), не доставляют ей новых экстремумов. Однако в ходе решения основной оптимизационной задачи допускается (и, как правило, происходит) исчезновение ряда экстремумов, сформированных прочностными ограничениями. Это может наблюдаться при «сильных» ограничениях второй и третьей групп.

2. Формирование начальных проектов конструкций. Известно, что задачи условной оптимизации, поставленные с использованием лишь прочностных ограничений, в случае соответствия числа варьируемых параметров (ВП) и числа ограничений, приводят к вырождению заданной конструкции в статически определимую [3]. На рис. 1 для жестко защемлённой балки приведены варианты таких вырождений при использовании ограничения по нормальным напряжениям. В случае параметрической оптимизации наблюдается исчезновение правой или левой частей (рис. 1, б, в). Вариационная постановка приводит к продольному профилированию с вырождением как отдельных сечений (е, ж), так и протяженных участков (г, д). Удаленный из стержня материал на схемах показан вертикальной штриховкой.

Получаемые таким образом схемы представляют собой основные системы метода сил (ОСМС). В рамках каждой из них возможно существование бесконечного числа однотипных систем, отличающихся координатами исключаемых связей. Использование для таких структур ограничений (1), записанных в форме равенств, приводит к реализации равнопрочной или полностью напряженной статически определимой конструкции [3].

О)1

t//C

мдшш Тгттттттгт і і • і LUJJ-i I =ИІ

bdi" - ЧТТТТШІ 1 1

Рис. 1. Варианты вырождения статически неопределимой балки

Таким образом, для НПК может быть использован качественно полный набор ОСМС с применением к нему критерия равнопрочности.

3. Выявление полного набора ОСМС. Запишем систему уравнений равновесия узлов стержневой системы в матричном виде

AS + F = 0,

S =

S, =

= [Si ,1 -Si,n ]т, S R = [S R ,1 • •S R,r ]т

' N ] ' Rx ' X '

мъ , S Rk = Ry F = F Г Y

M* _ j . RM _ k m ,

(4)

с использованием векторов: St - концевых обобщенных усилий в n стержнях; SR - реакций в r опорных связях; F - нагрузок в m узлах; S j - независимых концевых усилий в j-м стержне (индексы: b - begin, e - end); SR - реакций в k-й опорной связи; F - нагрузок в i-м узле; прямоугольной матрицы коэффициентов A.

С целью обеспечения возможности исключения промежуточных связей, расположенных в пролетах стержней, введем в каждом стержневом элементе по два дополнительных жестких узла с произвольными координатами. Заметим, что введение избыточного числа дополнительных узлов не опасно и впоследствии приводит лишь к наличию кинематически тождественных ОС, не учитываемых в дальнейшем расчете. И наоборот, при недостаточном их числе могут быть пропущены некоторые характерные ОС, а следовательно, -НПК и соответствующие им локальные экстремумы ЦФ.

г

е

R

S

S

R

Сформируем систему уравнений (4) для расширенного вектора усилий

с — с(1) С(2) С(3)1 С(1) С(2) С(3)1 т (5)

— С/1 С/1 С/1 | С12 2 2 , (5)

0(1) 0(2) 0(3) „ „ .

где Су , Су , Су - подвекторы концевых усилий для трех частей 7-го стержня (у — 1,...,п ). В полученной системе уравнений выделим из прямоугольной матрицы А квадратный невырожденный блок А0, используя процедуру Гаусса с перестановкой столбцов. Подобные матричные преобразования использовались в работах А.Ф. Ржаницына, Л.А. Розина, А.П. Филина, А.В. Александрова. Выполнив соответствующую перегруппировку элементов в векторе С, получим:

А0 С0 + А1 С1 + F — 0, det(А0) * 0. (6)

Механический смысл данного преобразования заключается в возможности восприятия заданных нагрузок системой, содержащей минимальный набор элементов (связей), усилия в которых сгруппированы в векторе С 0 . Эти элементы обеспечивают геометрическую неизменяемость системы и идентифицируют ОС. п8 усилий в векторе С1 отражают исключенные из системы лишние связи. Количество вариантов преобразования (4) в (6) равно количеству кинематически допустимых вариантов удаления п8 лишних связей и здесь на основе выявления всевозможных комбинаций оставленных в А0 столбцов может быть выполнено формально и легко алгоритмизируется. Данная процедура в исследовании [4] применялась для автоматизированного анализа механизмов пластического разрушения рамных систем.

После нахождения из (6) усилий в ОС С0 — -А-'Е (при С1 — 0 ) на основе прочностных ограничений (1), записанных в форме равенств, определяются геометрические функции (параметры) Ьу, что дает искомое множество статически определимых равнопрочных систем - начальных проектов для итерационной процедуры оптимизации. В полученных начальных проектах, сохранив расчетное профилирование, следует дополнительные узлы удалить.

4. Для иллюстрации метода рассмотрим двухпролетную однородную балку (рис. 2, а) прямоугольного поперечного сечения с размерами Ь, 2h, для которой требуется выявить набор начальных проектов при непрерывном варьировании высоты ^х). Примем Ь = 40 мм, R = 90 МПа (оргстекло). Над осью балки указаны номера узлов, а под осью - номера расчетных участков.

После введения дополнительных жёстких узлов 2, 4, 5 (Дх3-4 — Дх5-6 = 1 м)

расширенный вектор неизвестных усилий принимает вид

■’/ СЯ ] , — [R2 ~ -зл * ~зг * ~3м ^

т

^ [8 ^ _[Д1 Д2 Д3Х ^ Д3И ]

8, = [N | N2 И2Ь Ы2е|N3 ИзЬ ИЪе|N4 ИАЬ ИАе\М5 И5ь И5е]т.

Система уравнений (4) составлена из 2 + 3 • 5 — 17 уравнений равновесия, записанных для одного шарнирного и пяти жёстких узлов, и содержит 19 неизвестных - компонент вектора С .

Рис. 2. Схема балки и ее основные системы

Выполним анализ вариантов систем, получаемых при исключении двух лишних связей. Если не принимать во внимание механический смысл, то

формальное их число равно числу сочетаний Сх29 —171. Учитывая, что в соответствии с постановкой задачи требуется исключать только внутренние связи, соответствующие компонентам вектора С1, получим Сх24 — 91. Поскольку удаление продольных связей в заданной балке дает геометрически изменяемые системы, то, оставляя их, имеем С9 — 36 . Исключив из удаляемых девяти угловых связей парные, оставив по одной в сечениях 2, 3, 4, 5 и 6, имеем С\ —10 систем. Среди них содержится: одна мгновенно изменяемая система (шарниры - в узлах 2, 3), 4 пары с тождественным распределением внутренних усилий и две кинематически тождественные с шарнирами в сечениях 3, 5 и 3, 4. В результате получим 4 системы, пригодные для принятия в качестве основных систем (рис. 2, б - д).

В отличие от выполненного анализа с исключением из рассмотрения некоторых основных систем, предложенная процедура формального преобразования (6) не требует какого-либо качественного рассмотрения получаемых систем и в автоматизированном режиме выдает все возможные варианты. При удалении лишь внутренних угловых связей следует в векторе С продольные силы и реакции внешних связей переместить в начало.

Для четырех основных систем (рис. 2, б - д) получены базисные векторы

80(1) — [ N м1в | N2 м 2ЬI N3 М 3Ь МЪе | N4 М4Ь м 4е | N5 м 5Ь | С - т ]17т,

80(2) — [ N М1в | N2 М 2ЬI N3 М 3Ь М3е | N4 М 4Ь | N5 М 5Ь М 5в| С - т ]^ ,

80(3) — [ N М1в | N2 М 2Ь М 2е | N3 М 3Ь | N4 М 4Ь М 4е | N5 М 5в| С - т ]17т ,

С0(4) — [ N М1в | N2 М 2Ь М2е | N3 М 3Ь | N4 М 4Ь МАе | N5 М 5Ь | С - т ]^

1 2 3

= = 20 кН/м

I | | | | | | | | -3М

5 6

5 К,

3м

4

1^Х

—37

П.

Н1Ш

£Г£

да

-----НА------------он

4

4

и векторы усилии в исключенных связях:

=[м2,ы„ ]2, Э<2> =[М,еМ„ ]2, ^3> =[м„мв ]2, Sl(,> =[М„М„ £. Определив усилия и применив условия равнопрочности, получаем показанные на схемах рис. 3 пунктиром варианты НИК, отличающиеся формами профилирования высоты балок.

200

100

0

-100

-200

h, мм

•НИК

-0

20

х, м

200 100 0 -I -100 -200

Ь мм 2

•НИК - 0 25

0

--------НИК

---------0

........25

х, м

--------НИК

---------0

........ 10

х, м

Рис. 3. Формы профилирования балки:

-------НИК;----------оптимальный проект при использовании лишь прочностных ограничении; ----оптимальный проект с наличием дополнительного огра-

ничения при hmin = 10, 20, 25 мм

Далее после удаления дополнительных расчетных узлов 2, 4, 5 для четырех начальных вариантов профилирования высоты выполнена оптимизация балок при задании: а) ограничений по прочности |атах(х) ^ —

и б) параметрического ограничения ^х) > hmm . Приняв в начале hmln — 0, получим четыре оптимальных проекта, показанных на тех же схемах сплошными линиями (символ «0»). Как видно, их геометрические формы качественно совпадают с соответствующими НПК. Масса оптимальных балок (в кг) составила 21,2; 15,6; 16,8; 21,8 соответственно для вариантов НПК 1, 2, 3 и 4.

Затем оптимизация балок была выполнена для случаев hmln > 0 . Наличие параметрического ограничения препятствует вырождению сечений в точ-

1

0

1

2

3

4

1

2

3

4

х, м

ках с нулевым изгибающим моментом и переводит систему в класс статически неопределимых с иным полем внутренних усилий и, соответственно, -измененной геометрической формой. Величина hmln может оказывать как количественное, так и качественное влияние на характер профилирования И(х) и на материалоемкость балки.

Например, для балки с первой ОС (рис. 2, б) при Ит1п < 5 мм профиль балки качественно не изменяется. При Ит1п > 6 мм эффект защемления на правой опоре становится значительным, что приводит к существенному изменению профиля: сечение с минимальной высотой смещается с правой опоры в пролет, что характерно для НПК 2. Таким образом, при наличии параметрического ограничения с Ит1п > 6 мм локальный оптимум по форме НПК 1 исчезает. Минимальное значение Ит1п > 23 мм создает такой же эффект и на левом конце загруженного пролета, как в НПК 3. В этом случае исчезает локальный оптимум по форме НПК 2. На схемах рис. 3 такие «новые» профили показаны точечными линиями с указанием соответствующего значения Ит1п = 10, 20, 25 мм.

Данные эффекты могут быть также обнаружены и на графике g - hmm , где g — G / G0, G - масса профилированной балки, а G0 — 32,3 кг - призматической балки (И — 84 мм), в которой условие прочности в виде равенства реализовано в одном сечении. На рис. 4 четыре линии gi(Ит1п), i = 1, ..., 4 при Ит1П — 0 выходят из точек 0,65; 0,48; 0,52; 0,67 на вертикальной оси и по мере усиления ограничения поэтапно сливаются друг с другом при почти скачкообразном изменении массы при И ~ 6; 22 мм. После И = 25 мм все линии совпадают друг с другом и отвечают проекту НПК 3. Специфика реализуемого проекта балки, полученного при И > 25 мм, заключается в наличии и постепенном увеличении длин трех непрофилированных участков с высотой И = Ит1п. В случае И > 84 мм балка принимает призматическую форму с массой 32,3 кг (g — 1).

Примечательно, что принятие в качестве НПК балки постоянного сечения дает оптимальный проект с профилем третьего типа.

Данное явление качественной смены профиля оптимальной конструкции иллюстрирует ситуацию уменьшения предварительного числа локальных экстремумов, равного числу НПК, благодаря наличию ограничений основного этапа оптимизации. Предсказать заранее, до выполнения основного этапа оптимизации, число оптимальных проектов не представляется возможным. Важным в данном методе является наличие потенциальной возможности выявления их полного набора.

5. Набор основных систем и начальных проектов может быть расширен путем применения полного вектора концевых усилий стержня

С- —[ N QЬ МЬ Ne Qe Ме ]т, что дает возможность исключать любые из шести

концевых связей: угловые, линейные продольные и поперечные.

В реальных многостержневых рамных и ферменных системах число получаемых описанным образом начальных проектов оптимизации может быть достаточно большим.

G/G0

Рис. 4. Изменение массы оптимальных балок для четырех НПК в зависимости от минимальной высоты сечения

В тех случаях, когда не ставится цель отыскания полного набора локальных экстремумов задачи, а находится глобальный минимум, могут быть выполнены определенные упрощения. Во-первых, отбор начальных проектов может быть произведен сразу - по расходу материала, полученному в результате применения критерия равнопрочности. Во-вторых, эффективный способ ранжирования основных систем может быть выполнен и на более ранних этапах. Для этого, выделяя в преобразовании (6) невырожденный блок матрицы равновесия, следует использовать вариант процедуры Гаусса с выбором максимального ведущего элемента по всей не преобразованной части матрицы. Это эквивалентно оставлению в основной системе связей, наиболее эффективно воспринимающих силовые потоки.

Выводы

Достоинствами данного подхода являются: а) возможность выявления полного набора начальных приближений, дающих серию локальных экстремумов задачи оптимизации; б) возможность полной формализации всех шагов предложенного алгоритма; в) применимость разработанного алгоритма к широкому классу деформируемых систем без ограничений типа (плоская, пространственная, стержневая, континуальная) и физической структуры (однородная, композитная).

Рассмотренный принцип выбора начальных приближений требует дальнейшего исследования и развития в плане применения и обоснования при использовании для различных видов конструкций и варьируемых параметров.

Библиографический список

1. Ляхович, Л.С. Особые свойства оптимальных систем и основные направления их реализации в методах расчета сооружений : монография / Л.С. Ляхович. - Томск : Изд-во ТГАСУ, 2009. - 372 с.

2. Ляхович, Л.С. Особые свойства форм потери устойчивости стержней минимальной материалоемкости при ограничении величины критической нагрузки для случаев линейной зависимости моментов инерции сечений и функции цели от варьируемого параметра / Л.С. Ляхович // Вестник ТГАСУ. - 2011. - № 4. - С. 106-112.

3. Баничук, Н.В. Введение в оптимизацию конструкций / Н.В. Баничук. - М. : Наука, 1986. - 302 с.

4. Мищенко, А.В. Предельное равновесие слоистых стержневых систем / А.В. Мищенко // Доклады АН ВШ РФ. - 2004. - № 7. - С. 28-33.

References

1. Lyakhovich, L.S. Osobyye svoystva optimalnykh sistem i osnovnyye napravleniya ikh reali-zatsii v metodakh rascheta sooruzheniy [The properties of optimal systems and their implementation in design methods]. Tomsk : Izd-vo TGASU [TSUAB Publishing House], 2009. 372 p. (rus)

2. Lyakhovich, L.S. Osobyye svoystva form poteri ustoychivosti sterzhney minimalnoy materi-aloyemkosti pri ogranichenii velichiny kriticheskoy nagruzki dlya sluchayev lineynoy zavisi-mosti momentov inertsii secheniy i funktsii tseli ot variruyemogo parametra [The properties of rod stability loss having minimum material capacity under the limited collapse load in case of linear dependence between second area moment and variate objective function]. Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2011. No. 4. P. 106-112. (rus)

3. Banichuk, N. V. Vvedeniye v optimizatsiyu konstruktsiy [Introduction to construction optimization]. Moscow : Nauka, 1986. 302 p. (rus)

4. Mishchenko, A. V. Predelnoye ravnovesiye sloistykh sterzhnevykh sistem [Limit equilibrium of laminated bar systems]. Reports of Russian Higher Education Academy of Sciences. 2004. No. 7. P. 28-33. (rus)