Уточнённая математическая модель оценки собственных частот колебаний систем с несколькими степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 389536.5:121.383.8

Клепиковский А.В., Тимофеева Е.Н., Шайко-Шайковский А.Г.

Уточнённая математическая модель оценки собственных частот колебаний систем с несколькими степенями свободы

Предложена методика определения собственных частот колебаний термоэлектрических охладителей (ТЭО) - многокаскадных изделий этажерочного типа путем использования уравнений Лагранжа II-го рода.

It was proposed a method of definition of natural frequencies of the multi-cascade products through the use of Lagrange equation of second kind.

Ключевые слова: собственные частоты колебаний, резонанс, демпфирование. Keywords: natural frequencies, resonance, damping.

В состав электронных устройств и систем с целью охлаждения отдельных радиоэлементов и обеспечения нормальных условий их работы, для уменьшения веса и габаритов аппаратуры вводятся термоэлектрические охладители (ТЭО), работа которых базируется на известном принципе Пельтье. В зависимости от специфики и параметров электронных устройств, их мощности, величины выделяемой тепловой энергии используются ТЭО с различным числом каскадов. Аналогичные изделия, в которых используется обратный эффект, применяются в бесконтактных дистанционных измерителях температуры (например, в электронных измерительных приборах, в медицине - при регистрации воспалительных процессов).

Общий вид, 3-х каскадной конструкции ТЭО представлен на рис. 1.

Число термоэлементов в каскадах исследуемых в работе изделий составляло: n1 = 12, n2 = 22, n3 = 52, n4 = 128 (на рис. 1 в качестве примера показан 3-х каскадный охладитель). Длина каждого термоэлемента составляет l = 1,4 мм; размеры поперечного сечения: 0,7 х 0,7 мм. Материал, из которого изготовлены

термоэлементы, - теллурид висмута Bi2Te3, модуль упругости I-го рода которого E = 6 • 105 кг/см2.

Рис.1. Общий вид 3-х каскадной конструкции: 1 - термоэлементы; 2 - теплопереходы

Теплопереходы изготовлены из ситалловых пластин толщиной 0,1 мм с нанесенными на них медными токопроводящими коммутационными дорожками. Массы теплопереходов при указанном выше числе термоэлементов составляли: т1 = 10,92896 • 10-5 кг; т2 = 4,55961 • 10-5 кг; т3 = 1,95753 • 10-5 кг; т4 = 1,31891 • 10-5 кг. Для крепления термоэлементов к токопроводящей дорожке на боковой поверхности теплопереходов применялся припой, толщина которого составляет А = 1 • 10-1 мм, модуль упругости І-го рода которого принят ЕП = 1,2 • 10 кг/см .

Такие изделия (микрохолодильники), несмотря на их малые габариты и массу позволяют достичь перепада температур до 20 0С на каждом каскаде, что дает возможность существенно охлаждать работающие электронные приборы и изделия. Установка подобных ТЭО на подвижных носителях (наземных, подводных, авиационных, космических) позволяет существенно уменьшить общий вес радиоэлектронной аппаратуры, ее габариты.

Как известно, работа любого носителя характеризуется определенной частотой и амплитудой вынуждающих колебаний, которые генерируются установленной на нем аппаратурой. Обеспечение нормальной работы, в частности, ТЭО, их механической целостности сопряжено с недопущением возможности возникновения явления резонанса при воздействии на них определенных спектров частот вынуждающих колебаний.

Поэтому, определение собственных частот колебаний изделий еще на этапе их проектирования - важная инженерно-техническая задача. Для этого, кроме

экспериментальных методов, используется математическое моделирование, которое позволяет при использовании моделей разной сложности с требуемой для каждой конкретной задачи точностью определить искомые проектные параметры [1].

Определение собственных частот колебаний ТЭО, этажерочных конструкций

осуществлялось с помощью математической модели, базирующейся на

использовании дифференциальных уравнений Лагранжа ІІ-го рода [2]:

d_(_ЭТ __ЭП_ЭФ (1)

dt ^ Эх, J Эх, Эх, Эх, ’

где: T - кинетическая энергия системы, П - потенциальная энергия системы, i -обобщенная координата, x, - перемещение i-го каскада (i = 1, 2, 3, 4), Ф -диссипативная функция, t - время.

Кинетическая энергия системы:

4

T = IT . (2)

i_1

Потенциальная энергия системы:

4

П = 11,. (3)

i_1

Диссипативная функция пропорциональна скорости перемещения центра масс системы:

4

Ф = 16i, (4)

i_1

Фі = 2 ДХ-, (5)

где b - коэффициент затухания.

В работе рассмотрен конкретный случай исследования 4-х каскадного ТЭО (i = 1, 2, 3, 4), который схематически можно изобразить в виде, представленном на рисунке 2.

Здесь в качестве m, берутся массы соответствующих теплопереходов, а в качестве с, - жесткости соответствующих термоэлементов каждого каскада [1].

Слои припоя по торцам термоэлемента имеют значения модуля упругости І-го рода существенно ниже чем аналогичный параметр материала самих термоэлементов, т.е. характеризуются меньшей жесткостью. Поэтому можно считать, что слои припоя по торцам термоэлементов в каждом каскаде выполняют роль своеобразных демпферов, снижающих значения собственных колебаний

изделия.

. % Cl С ■ С3

a) jwwlm^wwi m2 Клала

Шз

C4

]ww[

Ш4

C4

б)

C

Сі

X(t)

О

С

Н

О

В

А

Сі

Д

С2 W ►

►

С2 Сз С4

m WW Ш2 VSW Шз WW Ш4

гг гг гг

LL 0 д Д

Рис.2. Расчетная схема четырехкаскадного изделия: а) без учета демпфирования; б) с учетом демпфирования

Как известно - диссипативная функция носит нелинейный характер [4]. Учет этой нелинейности в сложных технических системах сопряжен со значительными, в том числе математическими трудностями, но во многих случаях может внести определенные уточнения в значениях отыскиваемых величин параметров с учетом специфики изделия и условий их эксплуатации.

В связи с малыми размерами исследуемых изделий, габаритами и спецификой их использования, в работе принято допущение о том, что на проектном этапе исследований величину диссипативных сил можно не учитывать. (Это допущение проверено расчетным путем на примере 1-но каскадного изделия, значения собственных частот колебаний которого определялись как с учетом диссипативной функции, так и без нее. Расхождения значений полученных результатов не выходило за 5%).

Рассмотрена приближенная математическая модель для 2-х, 3-х и 4-х каскадных ТЭО, для чего была использована специально разработанная программа, что позволило определить значения частот собственных колебаний, как для рассмотренных случаев конструктивного выполнения изделий, так и для любой иной численности термоэлементов в каждом каскаде. При этом проанализировано влияние толщины слоев припоя на величины собственных частот колебаний, которые определены также и для случая отсутствия демпфирования. Рассмотрены случаи различного сочетания числа термоэлементов в каждом каскаде, а также

случай, когда жесткость всех каскадов одинакова. Проведенные исследования позволили установить зависимости изменения значений собственных частот колебаний от наличия демпферов, их параметров, а также - от характеристик жесткости каждого каскада.

Полученные результаты позволяют еще на этапе проектирования и разработки будущих изделий предусмотреть случай резонанса систем, принять меры по «уводу» собственных значений колебаний изделий в сторону от значений резонансных частот. Это особенно важно при разработке систем, работающих на подвижных носителях, имеющих определенные значения вынужденных колебаний.

Полученные результаты для удобства анализа содержатся в таблицах 1 - 4.

Таблица 1

Значения собственных частот колебаний 3-х каскадного изделия при п1 = 124,

п2 = 54, п3 = 24 с учетом демпфирования (Гц)

Количество термоэлементов 124 54 24

Дифференциальные уравнения Лагранжа ІІ-го рода 2,177Э04 4,027Э04 5,50Э04

Таблица 2

Значения собственных частот колебаний 3-х каскадного изделия при п1 = 124, п2 =

54, п3 = 24 без учета демпфирования (Гц)

Количество термоэлементов 124 54 24

Дифференциальные уравнения Лагранжа ІІ-го рода 2,949-106 5,455Э06 7,45Э06

Данные таблиц 1 и 2 свидетельствует о том, что разброс собственных частот зависит от количества элементов в каскаде и меняется в пределах 1,94% - 4,51% -для изделий с учетом демпфирования и, соответственно, в пределах 5,27% - 5,19% -для изделий без учета демпфирования (при уменьшении количества термоэлементов в каскаде в обоих случаях расхождение возрастает).

Таблица 3

Значения собственных частот колебаний для системы с 4-ю ступенями свободы с учетом демпфирования (Г ц)

Количество термоэлементов 124 54 24 12

Дифференциальные уравнения Лагранжа ІІ-го рода 1,797^ 104 3,187104 4,682 104 5,741 • 104

Данные таблиц 3, 4 свидетельствует, что разброс значений собственных частот колебаний, полученный двумя независимыми путями с учетом демпфирования лежит в границах 2,44% - 2,91%, а при условии, что демпфирование не учитывается, эти значения будут 6,49% - 5,58%.

Таблица 4

Значения собственных частот колебаний для системы с 4-ю ступенями свободы без учета демпфирования (Гц)

Количество термоэлементов 124 54 24 12

Дифференциальные уравнения Лагранжа ІІ-го рода 2,434 106 4,318106 6,344 106 7,774-106

Анализ полученных расчетным путем результатов позволяет еще на этапе проектирования оценить величины значений собственных частот колебаний конкретных, используемых на практике изделий ТЭО.

Разработанные программы расчетов на персональных компьютерах позволяют определить собственные частоты колебаний ТЭО различных конфигураций с разным конструктивным выполнением, оценить целесообразность применения различных вариантов конструктивного выполнения проектируемых изделий, определить наиболее приемлемый вариант конструкции ТЭО для каждого типа носителя аппаратуры.

Литература

1. Клепиковский А.В., Тимофеева Е.Н., Шайко-Шайковский А.Г. Математическая модель оценки факторов, влияющих на значения собственных частот колебаний систем с несколькими степенями свободы // Труды междунар. симп. «Надежность и качество 2009», (Пенза, 25-30 мая 2009 г.). - Т. 1. - С. 300-302.

2. Вибрации в технике. Справочник. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов / [под ред. Ф.М. Диментберга, К.С. Колесникова]. - М.: Машиностроение, 1980. - 544 с.

3. Методы определения характеристик демпфирования колебаний упругих систем / Писаренко Г.С., Матвеев В.В., Яковлев А.Н. - К.: Наукова думка, 1976. - 86 с.

4. Вибрации в технике. Справочник в 6 тт. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / [под ред. К.В. Фролова]. - М.: Машиностроение, 1981. - 456 с.

Сведения об авторах

1. Клепиковский Андрей Валерьевич, аспирант Черновицкого национального университета имени Юрия Федьковича, 1977 г. рожд., асистенткафедры биофизики и информатики Буковинского государственного медицинского университета.

Дом. адрес: Украина, г. Черновцы, 58032, ул. Головна, дом 281-Б, кв. 6.,

Тел. 0372- 51-56-21 E-mail: a75a@gala.net

2. Тимофеева Елизавета Николаевна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математических проблем управления и кибернетики факультета компьютерных наук Черновицкого национального университета имени Юрия Федьковича.

Дом. адрес: Украина, г. Черновцы, 58000, ул. Университетская, дом 48, кв.5.

Тел. 0372-52-10-10.

E-mail: e_timofeeva@rambler.ru

3. Шайко-Шайковский Александр Геннадиевич, доктор техн. наук, профессор кафедры общей физики инженерно-технического факультета Черновицкого национального университета имени Юрия Федьковича.

Дом. адрес: Украина, г. Черновцы, 58000, ул. Пушкина дом 18, кв.12.

Тел. 0372-52-87-87.

E-mail: shayko@bk.ru

Служ. адрес: Украина, г. Черновцы, 58012, ул. Коцюбинского,2, ЧНУ им. Ю. Федьковича, кафедра общей физики инженерно-технического факультета, тел. 037258-48-89.

ПОДРИСУНОЧНЫЕ ПОДПИСИ

Рис.1. Общий вид 3-х каскадной конструкции: 1 - термоэлементы; 2 - теплопереходы

Рис.2. Расчетная схема четырехкаскадного изделия: а) без учета демпфирования; б) с учетом демпфирования