CC BY
33
УДК 539.3
Й. Й. ЛУЧКО (Л^вська фшя Д11Ту), I. М. ДОБРЯНСЬКИЙ (Львiвський нацiональний аграрний унiверситет)
УТОЧНЕНИЙ РОЗРАХУНОК I ДОСЛ1ДЖЕННЯ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ БАЛКИ ПРИ ЗГИН1
У статп наводиться розв'язок задач1 теори пружносп про згин балки, яка будуеться з врахуванням наяв-ност1 ск1нченних опорних д1лянок, як1 сприймають тимчасове навантаження в окол1 торця балки, де можуть виникати i розповсюджуватись трщини.
В статье изложено решение задачи теории упругости об изгибе балки, которая строится с учетом наличия конечных опорных участков, воспринимающих временную загрузку в окрестности торца, где могут зарождаться и распространятся трещины.
In the paper it is presented a solution for the problem of elasticity theory about the beam bending, which is being constructed with account of available finite base areas taking up a temporary load in the district of beam edge, where the cracks can initiate and propagate.
Постановка проблеми
Залiзобетон на сьогодш е основним складником конструктивних елеменпв будiвельноI шдустрп. Враховуючи нестримний рют масш-табiв бущвництва зрозумшою е актуальнють проблеми рацюнального проектування залiзо-бетонних конструкцш з використанням сучас-них модифшованих методик, бо навiть незнач-на економiя матерiалу на виробах масового ви-робництва дае значну економда вiдповiдних матерiальних ресурсiв.
Аналiз дослщжень i публiкацiй з даноТ проблематики
Ращональшсть та економiчнiсть проектова-но1 конструкцiI е залежними вiд багатьох чин-никiв, важливим серед яких це методика розра-хунку. Хоча на даний час методи розрахунку бущвельних конструкцш надзвичайно розвину-т1, але 1х удосконалення тривае постшно [1-5].
Постановка завдання
Поставимо метою побудувати схему уточ-неного розрахунку балки при згиш на основi методiв теорiI пружностi. При цьому врахову-ватимемо наявнiсть дiлянок скшчено! довжини в околi торцiв балки, яю сприймають тимчасове навантаження. В такш постановцi граничнi умови на кшцях балки можна задовольнити точно без притягнення принципу Сен-Венана. Розрахункову схему приймемо у виглядi балки прямокутного поперечного шчення одинично1 ширини, висотою Н i довжиною 2Ь, на двох
шаршрних опорах, яка перебувае в умовах ди розподiленого навантаження р (х). Вважаемо,
що балка е iзотропним лiнiйно-пружним мате-рiальним континуумом. Нижня i верхня кромки балки вшьш вiд дотичних зусиль, на торцях напруження вiдсутнi (рис. 1, а).
Виклад основного матерiалу дослiджень
В лiтературi [6, 7] вiдомi ефективнi методи розв'язування задачi про згин балки при стало-му зовнiшньому навантаженнi. Однак у вказа-них роботах задача про згин балки замшена задачею про рiвновагу полоси, до бокових граней яко1 прикладено дотичнi зусилля тху (Ь, у)
(рис. 1, Ь), як зрiвноважують зовнiшне наван-таження р , тобто
Н
¡Тху (Ь,у)у = рЬ . (1)
0
Враховуючи принцип Сен-Венана, наявш в лiтературi розв'язки е досить адекватними при опис згину балок. Але подальший аналiз задачi про визначення напружено-деформованого стану залiзобетонноI балки з трiщиною вимагае бшьш точного пiдходу, особливо в околi точок х = ±Ь , тобто на торцях балки, де можливе за-родження i розповсюдження похилих трiщин.
В данш роботi поставимо задачу про отри-мання розрахункових формул для компонент тензора напружень у балщ в довшьному перер> зi, в тому чи^ й там, де можливе зародження трiщини.
© Лучко Й Й., Добрянський I. М., 2010
¿X
МИНИН
ШШШ
»
А
ж
итт
/
Рис. 1. Статично-визначена балка:
а - балка на двох опорах; Ь -ршновага полоси з дотични-ми зусиллями на гранях; с - ршнотрне розподшення опорних реакцш; < - епюра перер1зуючи сил
Запишемо граничш умови задача
у =-Р(х) пРи У = н , Тху = 0 при У = 0> У = н ,
стх = 0 > тху = 0 при х = ±ь • (2)
Опорш реакцл замшимо розподшеним на-вантаженням, яке ди на деякш сюнченш д1лян-щ по шириш опори.
Почнемо з бшьш проспшого випадку стало-го навантаження в окол1 опор (рис. 1, с). Допо-внимо граничш умови (2), вважаючи що при у = 0 мае мюце додаткова умова
у = -а (х ) = •
0,0 < |х| < Ь - а, а,Ь - а < |х| < Ь,
(3)
шсть вшьного члена шляхом продовження фу-нкци р (х) на штервал довжиною 4Ь
(-2Ь < х < 2Ь) таким чином:
р ( 2Ь - х ) = - р (х); 0 < х < Ь ; р (-х ) = р ( х) ; -2Ь < х < 2Ь (рис. 2, а). В результат отримуе-мо:
р (х) = Е рк ^ акх , р2к = 0,
рк =
к=1 4 р
(-1)п+\ к = 2п -1.
(2п - 1)п
(4)
Поступаючи аналопчним чином стосовно функцп а (х) (рис. 2, Ь) у граничнш умов1 (3), матимемо
ад
а (х ) = Е ак^ акх,
к=1
Як =
4а (-1))
(2к - 1)п
1 - СО 8
(2к -1) 2ЬТ
па
(5)
Рис. 2. Графж функцш р( х) (а) 1 а( х) (Ь) на розширеному штервал (-2Ь < х < 2Ь)
Шукаш компоненти тензора напружень ви-разимо через б1гармоншну функщю Ер1 и [8]:
д2 и
д2 и
д у
; с„ =-
2 ' У
д х
; т„, = -
2 ' ху
д2 и
д х д у
причому в умов1 (3) а - ширина опори.
В результат маемо задачу теорп пружносп про визначення напружено-деформованого стану в систем^ що розглядаеться, за граничних умов (2), (3).
Розкладемо зовшшне навантаження р (х) в ряд Фур'е за косинусами з вимогою про вщсут-
Оскшьки функщя Ерг парна по змшнш х, то И можна подати у виглядк
и=Е( АксЬа )у+вк у сЬаку+
к=1
+ вк ^ ку + Ску эЬ^у) сов акх,
на основ1 чого маемо таке представлення для компонент тензора напружень:
(6)
сх = Е[((ак + 2Ск )ак сЪаку +
к=1
+(2 К + вка к )а к8Ьа кУ +
+Уа 2 (вксЬа кУ+Ск8Ьа кУ)] 008 а кх;
ад
с у = -Еа 2 (Ак сЬа кУ + в'у сЬа кУ +
к=1
+Вк кУ + СкУ кУ) 008 а кХ;
ад
тХУ = Еак [((как + Ск)акУ +
к=1
+(вк + вк а к )а кУ + +Уак (вк 8ЬакУ + Ск оЬакУ)] 81п акх-
На основ1 залежностей (6) з гранично! умови
пк
сх = 0 при х = ±Ь маемо ак =—(к = 2п -1) .
2 Ь
Дат з умови (3) буде
А =
Ак = 2 .
(7)
т = 0 1 сУ = -р (х) при У = Н . В результат! приходимо до системи двох лшшних р1внянь qk 8ЬакН + Ск ак 8ЬакН + + На2 (-аквк 8ЬакН + Скак 8ЬакН) = 0 ;
qk оЬакН + вк а2 8Ьа кН + +На2 (-аквкоЬакН + Ск 8ЬакН) = рк , розв'язком яко! е
а ,Н оЬа, Н + 8Ьа, Н
вк = .2,2
а 28Ь2а ,Н -а 2 Н2
8ЬакН акН + а кН а28Ь2акН -а2Н2
С = 8Ьа кН (Рка кН - qk 8Ьа кН) (10)
к / . о - _ о „о \ * V/
ак (2акН - а2Н2)
Формули (9) I залежност (10) дають розв'язок розглядувано! задач1 про згин балки, за виключенням умови вщсутносп дотичних напружень на торцях балки. Для р1внодшно! Я напружень тХУ маемо формулу
Задоволення гранично! умови т^ = 0 при
У = 0 дае
в'к=-аквк. (8)
В результат!, беручи до уваги залежносп (5), (7), (8), сшввщношення (6) можна перепи-сати таким чином:
1
Я = |тХУ dy при х = ±Ь ,
шдставляючи в яку вираз для т з (9), отриму-емо:
Я = Е
Рк-Ь 81па.
к=1
а
(11)
с х=Е [(qk+2Ска к)а коЬа кУ -
к=1
-вк а 2^а к У +
+Уа 2 (-а квкоЬа кУ+Ск8Ьа кУ)]008 а кх;
ад
с у=-Е^коЬа кУ+а 2 вк кУ + (9)
к=1
+Уа 2 (-а квкоЬа кУ+Ск8Ьа кУ)]008 а кх;
ад
т ХУ = Е[( + Ска к )а кУ+
к=1
+Уа 2 (-а квк 8Ьа кУ + Ск оЬа кУ)] 81п а кх.
В отриманих залежностях (9) невщомими залишаються коефщ1енти вк, Ск ; для !х визна-чення використаемо дв1 з умов (2), а саме:
Зауважимо, що права частина виразу (11) е р1внодшною зовшшнього силового наванта-ження р(х) та опорно! реакцп q (х) . Викорис-
тавши сшввщношення (4), (5), дютаемо вираз для р1внодшно!:
_ 8Ь А 1
Я = Р "Г Ет^ 1)2 п к=1 (2к -1)
8Ь
П к=1
Е-
1
1 - 008
( 2к -1)
па
Е
к=1
(2к -1)
Запишемо вщом1 [9] залежносп
1 —2 ад
1п
= V ; Е
к=1
2Ь
(12)
008 (2к - 1) = п^п
(2к-1)2 " 414-„J,
(2к -1) :
шдставляючи яю у сшввщношення (12), покла-
па
вши при цьому „ = -^ь ; приходимо до р1вност1
R = pL - qa . Однак з умови pÍBHOBara балки випливае pL = qa, звщки остаточно маемо R = 0, тобто побудований розв'язок про згин балки на основi рiвнянь i залежностей теорн пружностi задовольняе всiм граничним умовам (2) за винятком вщсутност дотичних зусиль на торцях балки, де маемо R = 0 при x = ±L .
Будь-який метод розв'язування математично сформульовано! задачi науково-технiчного спрямування мае забезпечити отримання результату, який би кшьюсно i яюсно вiдображав найсуттевiшi особливостi дослщжувано! про-блеми.
Основна мета розгляду задач мехашки поля-гае в тому, щоб отриманi аналiтичнi залежностi набули значно! завершеностi; ще! мети можна досягнути, якщо отриманi загальнi формули допускають проведення обчислень з фiзично виправданою точнiстю.
Залежностi (9) мають дещо незручну форму, пов'язану з наявшстю безмежних рядiв, в яких до того ж фнурують гiперболiчнi синуси i ко-синуси. Тому для побудови розрахункових ал-горитмiв на основi отриманих залежностей не-обхщно здiйснити перетворення виразiв (9) у форму, зручну для програмування з метою не-допущення переповнення при виконанш про-грами.
Загальний аналiз збiжностi рядiв для напру-жень з використанням асимптотичних набли-жень виявив дуже повiльну !х збiжнiсть на гра-ницi тiла i в точках, достатньо близьких до граница Тому виконаемо процедуру покращення збiжностi на основi видiлення i представлення в замкнутому виглядi !х повiльно збiжних час-тин [10].
Оскшьки aky >> 1, то sh2аkH >>а2H2, shaky « chaky . З урахуванням вказаних асимп-тоти формули для сталих Bk, Ck можна подати у такому виглядi
kx -1
Bkk =
(a kH +1) -
'k = 2.2 TjPk 2 qk ,
ak sh akH ak
C = 1 -
Ck = i тт Pk qk .
shakH a k
В результат отримуемо наступнi формули для визначення напружень:
с x = £[(+2Cka k )a kcha ky-
k=1
- Bk ak shaky +
+yal (-akBk chaky + Ck shaky)] cosakx +
Z(akH -aky -1) Pk
-ak (H - y)
cos ak;
k=kx
ky -1
c y=- Z [qkcha ky+a 2 Bksha ky+
k=1
+ya2 (-a kBk cha ky + Ck sha ky)] cos a kx +
ад
+Z (a ky - a kH -1) Pke~a"(H - y) cos a k;
k=ky
kxy -1
T xy = Z [(qk+Cka k )sha ky+
k=1
+yal (-akBk shaky + Ck chaky)]sin akx +
-ak (H - y)
Z(aky-akH)Pke "sinak.
(13)
k=ky
У формулах (13) номери кх, ку, ку - най-
меншi значення iндексу сумування, за яких прямий розрахунок за формулами (9) дае переповнення порядку вщповщно для напружень
Сх, Су i Тху •
Числовий аналiз за розрахунковими формулами (13) проведено при таких параметрах: Н/Ь = 0,3; а/1 = 0,1. Результати дослщжень безрозмiрних величин напружень сх, су i т показано у виглад графшв на рис. 3-6.
v/Zr
•tjp
Рис. 3. Змша безрозм1рного дотичного тxy /P
напруження залежно в1д висоти: крива:
1 - x/L = -1; 2 - x/L = -0,95 ; 3 - x/L = -0,9 : 4 - x/L = -0,85 ; 5 - x/L = -0,8
Рис. 4. Змша безрозмiрного дотичного т / р н
апруження вздовж довжини балки при у = 0,5Н = 0,15 м
10 20 30 О^р
Рис. 5. Змiна безрозмiрного нормального с х / р напруження залежно вщ висоти: крива:
1 - х / Ь = -1; 2 - х / Ь = -0,75; 3 - х / Ь = -0,5; 4 - х / Ь = 0
с =-
м (х )\Н - у
тху =
Я ( х ) 5 ( у )
1хЬ
. (14)
У формулах (14) позначено: М (х) - згин-ний момент; Я (х) - перер1зуючи сила, епюра
•• ли т ЬНЪ
яко1 представлена на рис. 1, и; 1Х = " - момент шерцп поперечного перер1зу вщносно го-
У (Н - у) Ь
ловно1 центрально! осц 5 (у) = ■
2
статичний момент частини поперечного перер1-зу вщносно головно! центрально! ось
При шдрахунках зпдно залежностей (14) згинний момент обчислювався за формулами:
• над опорою (-Ь < х < -Ь + а)
М(х) = (д - р)(Ь+х) ;
• м1ж опорами (-Ь + а < х < Ь - а)
/ ч ( а Л (Ь + х)2 М (х ) = да I Ь + х - - I-рч ^ .
Результати вщповщних числових розрахун-юв дотичних { нормальних напружень показано на рис. 7 1 рис. 8.
Рис. 6. Змша безрозмiрного су / р напруження вздовж довжини балки при у = 0,5Н = 0,15 м
Сшвставимо результати розрахунку компонент сх I тху, обчислених зпдно формул (13), з
вщповщними значеннями, розрахованими за вщомими формулами опору матер1ал1в [11]:
Рис. 7. Змша безрозмiрного дотичного тху /р
напруження вздовж довжини балки при у = 0,5Н = 0,15 м
уИ
0.2 0.1 о
-6(1 -4(1 -2(1 (1 2(1 4(1 еь'р
Рис. 8. Змша безрозмiрного дотичного т^ /р
напруження вздовж довжини балки при у = 0,5Н = 0,15 м
-13 2 1
-, Л \| 1
х
Висновки
Запропоновано анал^ичний метод визна-чення напружень згинно! балки на базi рiвнянь теори пружностi. На вiдмiну вiд методiв опору матерiалiв розв'язок будусться без застосуван-ня принципу Сен-Венана; це досягасться шляхом замши опорних реакцiй дieю сталого роз-подiленого навантаження на деякш скiнченнiй дiлянцi в околi опор. Виконано сшвставлення числових результатiв поведшки нормальних i дотичних напружень з вщповщними значення-ми, пiдрахованими за формулами опору матерь алiв. Встановлено, що вони спiвпадають на д> лянцi 0,8 довжини прольоту балки.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гвоздев, А. А. К вопросу о теории железобетон-
ных конструкций [Текст] / А. А. Гвоздев // Бетон и железобетон. - 1980. - № 4. - С. 29-31.
2. Зайцев, Ю. В. Моделирование деформаций и прочности бетона методами механики разрушения [Текст] / Ю. В. Зайцев. - М.: Стройиз-дат, 1982. - 196 с.
3. Лучко, Й. Й. Механика разрушения бетона (об-
зор) [Текст] / Й. Й. Лучко // Физ.-хим. механика материалов. - 1991. - № 3. - С. 3-13.
4. Холмянский, М. М. К использованию расши-
ренной информации при расчете железобетонных элементов на чистый изгиб [Текст] / М. М. Холмянский // Строительная механика и расчет сооружений. - 1978. - № 2. - С. 38-42.
5. Панасюк, В. В. О важнейших исследованиях по
физико-химической механике материалов [Текст] / В. В. Панасюк // Физ.-хим. механика материалов. - 1974. - № 4. - С. 3-13.
6. Тимошенко, С. П. Статический и динамические проблемы теории упругости [Текст] / С. П. Тимошенко. - К.: Наук. думка, 1975. - 506 с.
7. Безухов, Н. И. Основы теории упругости, плас-
тичности и ползучести [Текст] / Н. И. Безухов. - М.: Высш. шк., 1961. - 583 с.
8. Новацкий, В. Теория упругости [Текст] / В. Но-
вацкий. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
9. Градштейн, И. С. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений [Текст] / И. С. Градш-тейн, И. М. Рыжик. - М.: Наука, 1986. - 1108 с.
10. Гринченко, В. Т. Равновесие и установившиеся
колебания упругих тел конечных размеров [Текст] / В. Т. Гринченко. - К.: Наук. думка, 1978. - 264 с.
11. Справочник по сопротивлению материалов
[Текст] / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев; отв. ред. Г. С. Писаренко. - 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Наук. думка, 1988. - 736 с.
Надшшла до редколегп 01.03.2010. Прийнята до друку 15.03.2010.
