Уточненная модель неравномерности вращения Земли и прогноз глобальной составляющей момента импульса атмосферы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.391:521.93

УТОЧНЕННАЯ МОДЕЛЬ НЕРАВНОМЕРНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ И ПРОГНОЗ ГЛОБАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА АТМОСФЕРЫ

© 2011 г. П.С. Нартикоев1, В.В. Перепёлкин2

1Северо-Осетинский государственный университет, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362015

2Московский авиационный институт, А-80, ГСП-3, Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, aet@mail.ru

1North Ossetian State University, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362015

2Moskow Aviation Institute, A-80, GSP-3, Volokolamskoe Highway, 4, Moskow, 125993, aet@mail.ru

Методами небесной механики получено уточнение построенной ранее математической модели неравномерности осевого вращения Земли на основе учета второстепенных слагаемых в разложении лунно-солнечного гравитационно-приливного момента и использовании поправок (резидиума) на возмущения зональных приливов. Приводится сравнение и сопоставление процесса моделирования приливной неравномерности вращения Земли и колебаний глобальной составляющей момента импульса атмосферы с данными наблюдений и измерений МСВЗ, NCEP/NCAR. Показано, что данные о флуктуациях скорости осевого вращения Земли могут быть эффективно использованы для построения прогноза глобальной составляющей момента импульса атмосферы.

Ключевые слова: гравитационно-приливной механизм, деформируемость, момент импульса атмосферы, всемирное время, спектральный анализ, атомное время, центр масс.

Methods of celestial mechanics are used to refine a mathematical model for irregularity in the axial rotation of the Earth proposed earlier. This refinement applies corrections (residuals) introduced by perturbations of zonal tides. We have used the meteorological NCEP/NCAR data to compare the model of the tidal irregularity in the Earth's rotation with oscillations in the overall angular momentum of the atmosphere. Fluctuations in the velocity of the Earth's axial rotation can successfully be used to forecast the overall angular momentum of the atmosphere.

Keywords: gravitational and tidal mechanism, deformability, atmospheric angular momentum, world time (UT), spectral analysis, atomic time, center of mass.

Для решения весьма актуальных задач небесной механики и астрометрии требуется создание высокоточной модели вращательного движения Земли относительно центра масс [1]. Анализ уравнений движения [3-7] и данных наблюдений [1, 2] свидетельствует о необходимости учета возмущающих моментов сил различной физической природы и существенной деформируемости фигуры Земли. Основное влияние оказывают гравитационно-приливные моменты сил от Солнца и Луны.

В ряде важных задач астрометрии, навигации и геофизики существенное значение имеет высокоточный прогноз вращения Земли на сравнительно коротких интервалах времени. Для приложений может представлять интерес предельно точный прогноз на интервалах длительностью от 1 - 2 до 10 - 30 сут. Анализ теоретической модели свидетельствует, что может быть достигнута точность порядка 10-4 -10"5 с. Требуется построить расширенную динамическую модель осевого вращения Земли на основе учета небесномеханических факторов, представляющую собой естественное уточнение разработанной ранее [3-5] математической модели внутриго-довой неравномерности вращения Земли, и осуществить построение адекватной системы опорных функций, выбор оптимальной длительности интервала интерполя взвешенных наименьших квадратов. Погрешность данных Международной службы вращения Земли (МСВЗ [1]) определяется величинами микросекунды. Достигнутая весьма высокая точность измерений достаточна для построения адекватной модели вращения Земли [1, 3-5].

В приливных изменениях вращения Земли выделяются как основные составляющие (годичные, полугодичные, месячные, двухнедельные) приливов, так и множество различных комбинационных гармоник короткопериодических приливов [1-7]. Для изучения вариаций скорости осевого вращения Земли вводится изменение (вариация) длительности суток l.o.d.(t) (lenght of the day changes) [1, 3-5]

l.o.d.(t) = D(t) - D0 ;

D(t ) = • Do. r(t )

Здесь r(t) - скорость осевого вращения Земли;

r0 = 7,292115 х10"5 рад./с; D0 - длительность стандартных суток (в научной литературе принята за единицу времени величина стандартных суток, состоящих из 86400 с по шкале атомного времени TAI (СИ)); D(t) -длительность суток, означающая длительность в секундах TAI, соответствующая повороту Земли на 360°, т.е. возрастанию времени на 24 ч в UT1.

Величина r(t) может быть выведена из публикуемых значений l.o.d.(t) посредством соотношения r(t) = [1 + l.o.d.(t)/Do Г .

Уточнение основной модели внутригодовой неравномерности вращения Земли

Воспользуемся классическими динамическими уравнениями Эйлера-Лиувилля с переменным тензором инерции [3-5], которые представляются в известной форме

dJö

+ ©Х J©= M;® = (p,q,r)T; J = J* + SJ;J* = COnst;

С*); J = SJ(t); J <<||jIL

dt

J* = diag( A*,

(1)

М = М к + М2 + мЬ

Здесь ш - вектор угловой скорости в связанной с Землей системе координат (референц-системе), оси которой приближенно совпадают с главными центральными осями инерции 3 * «замороженной» фигуры Земли с учетом «экваториального выступа» [3-5]. Выбранная система координат ха = (х1х2х3) вращается вместе

с Землей, причем ось х3 указывает направление, близкое к направлению мгновенной оси собственного вращения Земли, а ось х1 определяет положение географической долготы таким образом, чтобы долгота Гринвичского меридиана была примерно равна нулю. Эта система координат выводится из невращающейся геоцентрической системы путем пространственного вращения, которая учитывает движение осей Земли как в пространстве, так и при собственном вращении (система координат качественно и количественно согласуется с ГШР). Считается, что малые вариации тензора инерции 53 могут содержать различные гармонические составляющие, обусловленные регулярным возмущающим влиянием гравитационных суточных приливов от Солнца и Луны и др. (годичные, полугодичные, месячные, двухнедельные и т.п.). Дополнительные возмущающие члены получаются при дифференцировании вектора кинетического момента деформируемой Земли. Они отнесены к вектору М к весьма сложной структуры,

2 т

который аддитивно входит в М . Векторы М ' - гравитационно-приливные возмущающие моменты от Солнца и Луны соответственно [5]. Например, выражение компоненты Мг имеет следующую структуру:

ме = 3ю2 {в* +5В -

(A* +SA)Ji p У q +

piq

+ Jpq(УР "У2)+JqrУpУr - JprУpУr}

(2)

0,4 < b < 4 я-1;| d <<1.

Здесь 6 - угол нутации; у - угол прецессии; V - истинная аномалия.

Как следует из анализа данных наблюдений и измерений МСВЗ, амплитуды указанных слагаемых более высокой степени малости и составляющих, обусловленных возмущениями зональных приливов, являются величинами одного порядка. Таким образом, для уточнения основной модели неравномерности вращения Земли также необходим учет поправок на возмущения зональных приливов с малыми амплитудами. Для этого вводится резидиум Аё(?) - флуктуации изменения длительности суток 1.о.ё.(?), вызванного приливными возмущениями тензора инерции деформируемой Земли.

Усреднение по быстрой переменной ф (ф - угол

собственного вращения Земли) выражений для компо-

е т е ь е ь

нент моментов Мг' дает коэффициенты %1г' , %2'г

при соответствующих членах в (2), которые имеют вид

2 ь 1/ 5В -5— \ ¡51 \

М С 'ф \ С /ф (4)

S,L

x2r

1/ J

qr

Б1П ф

5J

pr

cos Я .

2Г 2 \ С* ' I \ С *

\ С /ф \ С / ф

Они являются периодическими функциями с основными частотами 9у лунно-солнечных приливных

воздействий, а также других приливных факторов. К примеру

xS; L = bSo L + Z bS-L cos(2^Äj X + ßS;L).

(5)

где ю0 - частота орбитального движения; у р, у , у г -направляющие косинусы радиус-вектора Солнца в связанной системе; — , В , С - эффективные главные центральные моменты инерции с учетом деформаций «замороженной» Земли, которые могут быть вычислены с достаточной точностью. Коэффициенты 5—, 5В, 53 рд, 53 дГ, 53 рГ обусловлены приливными суточными и полусуточными гравитационными воздействиями Луны и Солнца. Они не поддаются прямым измерениям. Для них могут быть получены косвенные оценки на основе измерений характеристик процесса.

С целью повышения точности интерполяции и прогноза неравномерности вращения Земли на коротких интервалах времени представляется целесообразным учесть в разложении лунно-солнечного гравитационно-приливного момента следующую третью гармонику в выражении созбзт 6: созбзш 6=Ь(б0, у0 )cosv + ё cos3v +...;

(3)

2 Ь 2 Ь

Коэффициенты %1г' , Хг' содержат постоянные

2 Ь

составляющие (с коэффициентами Ь.0' ), соответствующие основной модели, а также переменные величины, обусловленные другими приливными фактора-

2 Ь 2 Ь

ми. Величины коэффициентов Ь 2 , Р2 в выражениях для %1г' , %2'г типа (5) подлежат определению на

основе данных наблюдений. В приведенном выражении аргумент т означает время, измеряемое годами.

Интегрируя третье уравнение системы (1) для компоненты осевого вращения Земли г(/), получим с учетом меняющихся приливных коэффициентов структуру вариаций длительности суток: 1.о.ё.(т) = а?1 (т) + ^2 (т) + АЛ (т); 4

А?1(т) = ао + Е а^ш^тс^ т + аг-); ■=1

6

^2(т) = Еаго sin(2лvг■ т + а^);

■=5

Аё (т) = А1ё (т) + А 2ё (т) =

= —%3г^ао + Еаго + аг) | +

+--1— Е|а„ cos(2тсS,■т + Рц)cos(2яvг■т +а, )ёт. (6)

1 + Хзг у

Здесь v1 = 1, v2 = 2, v3 = 13 , 28, v4 = 26, 68, V5 = 3 , V6 = 40 - частоты, обусловленные лунно-

солнечным возмущением; а,- - фазы соответствующих колебаний; неизвестные ау - величины, подлежащие

вычислению с помощью метода наименьших квадратов по измерениям МСВЗ. Эти коэффициенты однозначно связаны с неизвестными, содержащимися в выражении гравитационно-приливного момента (2) с учетом представлений типа (5).

Первое слагаемое ^(т) в выражении ¡.оё.(т) представляет собой основную 9-параметрическую модель, изученную в [3-5], второе - ^(т) содержит дополнительные члены более высокого порядка, получаемые из разложения лунно-солнечного гравитационно-приливного момента, а третье слагаемое -резидиум Аё(т) [6, 7], обусловленный приливными возмущениями тензора инерции Земли и представленный в виде поправки между выражением 2 ё , (т)

г

модели (6) и данными измерений.

Прогноз на 2009 г. составляющих ё1(т), а?2(т) и поправки Аё(т), построенный с помощью метода взвешенных наименьших квадратов по результатам интерполяции 2008 г., представлены на рис. 1, 2. Он качественно соответствует данным наблюдений и может быть использован для анализа геофизических процессов глобального характера.

Рис. 1. Прогноз вариаций длительности суток на 2009 г., выполненный с помощью основной модели ^ (т) в сравнении с данными наблюдений МСВЗ (верхний график) и прогноз составляющей а?2 (т) в сравнении с колебаниями составляющей ё2 (т), выделенной из данных наблюдений МСВЗ (нижний график)

Рис. 2. Прогноз резидиума Аё(т) (плавная линия) на 2009 г. в сравнении с колебаниями резидиума Аё(т), выделенного из данных наблюдений МСВЗ (зигзагообразная линия)

Модель неравномерности вращения Земли

с учетом глобальной составляющей момента импульса атмосферы

Научный и практический интерес представляет исследование и прогноз внутригодовой неравномерности вращения Земли [1-7]. В большинстве зарубежных научных работ, посвященных данной проблеме, исходят из того, что, зная изменение во времени глобальной составляющей момента импульса атмосферы, строится прогноз внутригодовых вариаций скорости вращения Земли. Известно [1, 2], что определять колебания глобальной составляющей характеристик атмосферы на практике значительно сложнее (это сбор данных о распределении градиента давления с высотой с аэрологических станций мира, объективный анализ - интерполяция и экстраполяция и т.п.), нежели вычисления вариаций скорости осевого вращения Земли. На основе рядов метеонаблюдений NCEP/NCAR было замечено, что большая часть типов синоптических процессов в атмосфере (особенно это касается приземного слоя, который полностью вовлекается во вращение Земли) меняется синхронно с приливными изменениями угловой скорости собственного вращения Земли. Сложный механизм, связывающий вращательные угловые моменты деформируемой мантии Земли и приземного слоя атмосферы, с помощью которого под действием лунно-солнечных возмущений осуществляется взаимовлияние моментов импульсов, обусловлен зональным приливообра-зующим геопотенциалом. Убедительным доказательством функциональной зависимости колебаний момента импульса атмосферы от внутригодовой неравномерности вращения Земли является совпадение временных вариаций амплитуд годовых и полугодовых гармоник этих процессов.

Небесномеханическое представление теоретической модели показывает, что внутригодовые вариации вращения Земли вызывают в основном зональные составляющие потенциала ип0. Компонента, описываемая поверхностной гармоникой второй степени и 20, является доминирующей среди них. Зональный потенциал порождает приливы (океанические и твердотельные), которые называются зональными (первого типа по Лапласу).

В данной статье дается развитие теоретической модели неравномерности вращения Земли [3-5], которая отражает взаимовлияние зонального приливо-образующего геопотенциала и зональных приливных атмосферных движений глобальной составляющей момента импульса атмосферы (приземный слой атмосферы). На основе сравнительного анализа данных наблюдений и измерений можно заключить, что метеорологические данные измерений NCEP/NCAR [1] позволяют посредством математической модели внутригодовой приливной неравномерности вращения Земли строить интерполяцию и давать удовлетворительный прогноз на 2-3 мес. колебательного процесса глобальной составляющей момента импульса атмосферы, качественно соответствующий прогнозу внутригодовых вариаций скорости вращения Земли.

Для получения динамических уравнений Эйлера-Лиувилля выпишем выражение кинетического момента системы относительно центра масс С. При этом модель Земли будем представлять состоящей из твердого ядра, мантии и тонкого слоя - атмосферной оболочки. Считается, что реологическая модель мантии описывается линейной теорией вязкоупругости, а процесс деформирования происходит квазистатиче-ски. Тогда

К с = Кс [Ю'и,и' у]= |рг* х у*аХ; ёх = 0X10X20X3 . (7) □

Здесь р = р(г*) - плотность Земли; □ - область,

занимаемая трехслойной планетой; г - радиус-вектор точек планеты относительно центра масс С;

V* - скорость точек. Справедливы соотношения

r = r - Uc + u, u = u 3 = 0, r eQs ;

U = u

reD.e; u = Ue |

e G

+u.

r eO„;

v*=rax(r-uc + u) + Ii, Ii = u3 = 0, reQs;

11 = ue lG + +1Ü a, r eQa ^ = ^, r eO-e,

(8)

Таким образом, момент импульса всей системы может быть представлен в виде

Кс = 3ш + И . (11)

Подставляя (11) в теорему об изменении кинетического момента, выпишем классические динамические уравнения Эйлера-Лиувилля с переменным тензором инерции:

(12)

где ш - вектор угловой скорости в связанной с Землей геоцентрической системе координат; и - вектор приливных деформаций точек среды мантии; иС - смещение центра масс системы относительно первоначального положения; г - радиус-вектор точек относительно положения центра масс деформированной фигуры Земли под действием центробежных сил (для точек твердого ядра и = 0); и - скорости точек среды: если г*еПе, то и - скорости точек мантии, если г* е □, и - ие и + = иа = V - относительная скорость

точек атмосферы (G+ - внешняя граница мантии).

Полагая е = |и| / Яд - малый параметр (Яд - радиус Земли), после несложных вычислений, опуская

малые члены порядка е2 и выше, придем к следующему выражению для кинетического момента системы:

Кс = 3 *® + |р{и х[шх г] + г х [ш х и]ёх + |р г х vdx. (9)

□ е + Па □ а

Введем обозначение

И = |р г х vdX; И = (Й1Й2Й3У' (10)

□а

которое определяет момент импульса атмосферы, где А3 - аксиальная компонента момента импульса зональной циркуляции атмосферы. Следует заметить, что в атмосфере преобладают зональные движения, поэтому Й3 существенно превышает величины экваториальных моментов /?1 и й2 и является доминирующей. В силу квазистатической постановки задачи считается, что динамика тонкого приземного слоя атмосферы полностью обусловлена градиентом при-ливообразующего геопотенциала, поддерживающего вынужденные совместные колебания структуры (мантия + атмосферная оболочка) как единого целого.

^ + ^+»x J« = M; та=( p.q.rf,

dt Jt

J=J *+J; J*= I = const; J * = diag (A*, B*,C*); J = J (t); ||S/|| <<|J II; M = MK + M S + ML.

Численное моделирование глобальной составляющей момента импульса атмосферы

С учетом аксиальной составляющей А3 момента импульса зональной циркуляции атмосферы уравнение осевого вращения Земли на основании системы (12) и анализа данных наблюдений МСВЗ, NCEP/NCAR [1] примет следующий вид:

d_

dt

(1 + Хз; (1 + К ))r + C*~lh

= MSr + ML.

(13)

Здесь ка - коэффициент, характеризующий относительное изменение осевого момента инерции атмосферной оболочки (по отношению к изменению осевого момента инерции упругой части) вследствие приливных деформаций планеты.

Учитывая выражения /.о.ё.(т) (6), получим решение уравнения (13) для А3

h3 = с0 "kaC X3r I a0 + Zai0 sin(2^Viх + ) 1+ (14)

i=1

knC

+ Е —-1 ау ^^яОут + Ру )cos(2лvг■ т + а, )ёт =

у 1 + %3г = С0 + каС *Аё (т).

Здесь неизвестные коэффициенты определяются на основе метода наименьших квадратов. Выражения для /.о.ё.(т) (6) и А3 (14) построенных моделей определяют синхронный ход поправки на возмущения зональных приливов Аё(т) и глобальной составляющей момента импульса атмосферы А3 . Как следует из моделей /.о.ё.(т) (6) и А3 (8), рост приливных коэффициентов для усредненного по собственному вращению тензора инерции приводит, с одной стороны, к росту глобальной составляющей момента импульса атмосферы А3 и уменьшению приливных вариаций угловой скорости вращения Земли (т.е. увеличению Аё (т)) - с другой.

На рис. 3, 4 в сравнении с данными наблюдений представлены интерполяция (рис. 3) и прогноз (рис. 4) Й3 на 2008, 2009 гг. соответственно, выполненные с помощью модели (14).

4

Рис. 3. Интерполяция h на 2008 г. в сравнении с данными наблюдений NCEP/NCAR

Рис. 4. Прогноз Й3 на 2009 г. в сравнении с данными наблюдений NCEP/NCAR

Выводы

На основе полученных ранее результатов [3-7] с помощью методов небесной механики и учета поправки на возмущения зонального приливообразую-щего потенциала дается развитие динамической модели неравномерности вращения Земли.

Получены динамические уравнения возмущенных вращательных движений деформируемой Земли относительно центра масс в форме Эйлера-Лиувилля с уче-

том глобальной составляющей момента импульса атмосферы.

Показано, что рационально построенная модель вариаций скорости осевого вращения Земли дает право с полной определенностью утверждать, что динамика тонкого приземного слоя атмосферы полностью обусловлена градиентом приливообразующего геопотенциала, в котором зональная компонента является доминирующей.

Проведено численное моделирование колебаний глобальной составляющей момента импульса атмосферы на основе данных измерений МСВЗ и метеоданных NCEP / NCAR. Показано, что разработанная модель приливной неравномерности вращения Земли может быть эффективно использована для построения прогноза и интерполяции глобальной составляющей момента импульса атмосферы.

Полученные результаты могут представлять как естественнонаучный интерес, так и найти применение в прикладных задачах геофизики.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код 10-02-00595).

Литература

1. IERS Annual Reports, 2000-2002 (Frankfurt am Mein: BKG. 2001-2003); NCEP/NCAR. URL: ftp://ftp.aer.com/ (дата обращения: 19.04.2010).

1. Сидоренков Н.С. Физика нестабильностей вращения

Земли. М., 2002. 384 с.

2. Внутригодовые неравномерности вращения Земли

/ Л.Д. Акуленко [и др.] // Астроном. журн. 2008. Т. 85, № 7. С. 657-664.

3. Акуленко Л.Д., Марков Ю.Г., Перепелкин В.В. Неравно-

мерности вращения Земли // Докл. РАН. 2007. Т. 417, № 4. С. 483-488.

4. Нартикоев П.С., Перепелкин В.В. Моделирование и про-

гноз вращательно-колебательных движений деформируемой Земли вокруг центра масс // Изв. вузов Сев. -Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 2. С. 45-49.

5. Неравномерности вращения Земли и прогноз глобаль-

ной составляющей момента импульса атмосферы / Л.Д. Акуленко [и др.] // Докл. РАН. 2010. Т. 432, № 1. С. 35-40.

6. Неравномерности вращения Земли и глобальная состав-

ляющая момента импульса атмосферы / Л.Д. Акуленко [и др.] // Астроном. журн. 2010. Т. 87, № 3. С. 293-302.

Поступила в редакцию

29 ноября 2010 г.