CC BY
182
Финансы предприятия
уточнение модели баумоля-тобииа по управлению денежной наличностью
А.Г. МНАЦАКАНЯН, заведующий кафедрой финансов и кредита, доктор экономических наук, профессор
В.И. РЕШЕЦКИЙ, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры финансового менеджмента Балтийский институт экономики и финансов,
г. Калининград
Оптимальные решения по управлению денежной наличностью принимаются на основе нескольких моделей. Выбор той или иной модели зависит от специфики решаемой практической проблемы финансового менеджмента. Среди них модель Баумоля-Тобина занимает особое положение и относится к классическим результатам финансового менеджмента, поскольку имеет важное теоретическое значение.
Модель Баумоля-Тобина рассматривается во многих книгах по экономике и финансам [1 — 6, 9 — 11] (иногда ее называют «модель Баумоля»). При этом авторы основной акцент делают на разъяснения по практическому использованию основных результатов и обычно пренебрегают, в той или иной степени, детальным выводом и расчетом основных результатов (это характерно не только для этой модели), что нередко приводит к неосознанному тиражированию ошибочных результатов. Однако логика вывода основного результата (формулы) крайне важна как в методическом плане, так и для правильного использования модели, поскольку в ней всегда должны оговариваться условия применимости этой модели, ее сущность и даваться подробное описание внутренней картины финансового процесса. Логика получения основного результата, т. е. формулы, является описанием технологии управления соответствующим финансовым процессом. Не бывает совершенных технологий управления, и любая из них может стать еще более совершенной. Слово «модель» — это не вполне удачный термин, так как подчеркивает нереальность, надуманность. Более
корректно здесь говорить о технологии, а не о модели. В данной статье мы будем придерживаться общепринятой терминологии, так как это удобно для проведения параллелей и сопоставлений наших результатов с результатами, вытекающими из работы Баумоля-Тобина.
Модель Баумоля-Тобина более всего важна не с практической, а скорее с теоретической точки зрения, так как она лежит в основе развития многих других экономических и финансовых концепций и финансовых технологий. В частности, это касается технологии определения кривой спроса на кассовые остатки [6], а также построения стохастических моделей управления денежной наличностью [1, 2, 5, 10]. Для объективности заметим, что в основу модели Баумоля-Тобина были положены идеи Вильсона по управлению материальными запасами [4].
Поэтому мы еще раз, но более подробно, опишем принцип действия этой модели (технологию) и проанализируем ее уязвимые места, чтобы получить более правильные и точные результаты, которые приводятся ниже. Отметим только, что в этой модели имеется один важный недочет (заблуждение), который носит принципиальный и общий характер, касающийся временного горизонта финансового планирования. В общем случае этот горизонт не может быть коротким, что доказывается в нашей статье. При этом порядок рассмотрения будет следующим.
1. В самом начале будет выявлено, что в модели Баумоля-Тобина неверно определена альтернативная стоимость затрат, связанных с недополученным
48
финансы и кредит
процентным доходом по банковскому депозиту (или любому другому активу). В действительности эти затраты значительно выше, чем считалось ранее.
2. Будет показано, что эта модель носит приближенный характер (линеризация по времени), поэтому результаты можно (но нежелательно) применять только при достаточно низких процентных ставках (заметим, что в России эти ставки пока остаются относительно высокими) и небольшом количестве посещений банка N в целях изъятия денег с депозитного счета. Заметим, что из модели Баумоля-Тобина, которая заведомо является приближенной, не следует количественный критерий этой приближенности. Поэтому остаются неясными условия ее применимости.
3. В заключение будут впервые получены точные результаты в форме трансцендентного уравнения, которое позволяет принимать оптимальные решения при любых процентных ставках и любом количестве посещений банка N для изъятия денег с депозитного счета (т. е. в самом общем случае). Будет показано, что модель Баумоля-Тобина является частным случаем этих общих результатов, и это может служить дополнительным доказательством их справедливости, т. е. наши результаты сводятся к результатам модели Баумоля-Тобина при стремлении процентной ставки к нулю.
Как обычно, под деньгами здесь будем понимать самый ликвидный вид активов, обычно обозначаемый в макроэкономике как М1, куда входят наличные деньги и деньги на расчетных, текущих и прочих счетах до востребования. Эти деньги приносят либо очень низкий доход, либо не приносят его совсем. Существуют и другие денежные агрегаты М2, МЗ и т. д., которые менее ликвидные, но при той же степени риска могут приносить значительный доход с течением времени: срочные сберегательные вклады, государственные облигации, депозитные сертификаты. Несмотря на большое многообразие различных видов активов, способных приносить доход с течением времени, население все-таки часть своих средств или активов хранит в форме наличных денег, а точнее в форме М1. Это значит, что население предъявляет ненулевой спрос на денежную наличность. Перед экономистами стояла задача определить количественные характеристики этого спроса. Полезность денег вообще определяется, как известно, тремя функциями: средство обращения, мера стоимости, средство сохранения доходов. Очевидно, что наличные деньги, как средство обращения, превосходят все другие денежные агрегаты, так как абсолютно ликвидны. Но наличные деньги
в качестве средства сохранения дохода хуже остальных денежных форм. Теории спроса на деньги, основанные на их роли как средства обращения, называются теориями трансакционного спроса на деньги [6]. Денежная наличность нужна для совершения покупок или в общем случае для совершения сделок. Среди различных трансакционных теорий спроса на деньги модель Баумоля-Тобина до сих пор остается наиболее широко известной и популярной, хотя появилась она более полувека назад — в 1952 г. Кроме определения кривой спроса на деньги, эта модель позволяет оптимально управлять денежной наличностью компаний (кассовые остатки), а также граждан. Стремление к оптимальности должны задавать параметры кривой спроса. Компании должны соответствующим образом прогнозировать свои кассовые остатки на оптимальном уровне. Исходя из знаний о будущих потребностях компании в денежных средствах, менеджер должен решить, какой объем кассовых остатков следует иметь. Избыток денежных средств можно вложить в высококачественные краткосрочные ценные бумаги, выплатить дивиденды, создать дополнительные запасы и т. д. Недостаток денежных средств вынуждает компанию обращаться к займам, продавать ценные бумаги, так как необходимо оплачивать счета и быть готовой к различным неожиданным ситуациям. Все эти меры относятся к такому важному элементу управления компанией, как управление денежными средствами, задача которого сводится к определению оптимальной величины кассового остатка. Кассовый остаток— это меняющаяся с течением сумма наличных денег, которой располагает домашнее хозяйство (семья) или компания. Те же проблемы приходится решать не только компаниям, но и правительству, администрациям областей, городов и т. д.
Главное преимущество денежной наличности состоит в ее удобстве, так как исчезает необходимость ходить в банк при каждой покупке и нести при этом некоторые затраты, связанные в основном с потерей времени. Наличные деньги можно было бы поместить в банк, инвестировать в облигации или даже в акции и иметь соответствующий дополнительный доход. Поэтому можно сказать, что наличные деньги приносят убытки в виде неполученных процентов (альтернативная стоимость денег всегда присутствует как обратная сторона медали). То есть за удобства наличных денег приходится всегда платить, но не переплачивать. Задача каждого человека (менеджера) состоит в том, чтобы сократить до минимума общие затраты. Предположим, что человек знает (запланировал на основе преды-
дущего опыта), что в течение ближайшего периода Т0 = 1 (например, пяти лет, года, месяца и т. д.) ему потребуется S0 наличных рублей. Заметим, что S0 здесь имеет финансовый смысл денежного потока, так как эта сумма относится к условной единице времени Т0 (например, к году) [7, 8]. Естественно предположить, что эту сумму S0 он будет тратить равномерно, например, ежедневно по So/365 руб.
Существует несколько вариантов управления наличностью. Можно в начале года снять всю сумму S0 и затем равномерно тратить ее в течение года. Среднегодовая сумма, в смысле арифметического среднего, которой будет располагать человек в течение года, составит + 0) = S0/2. Как обычно, в качестве единицы времени мы принимаем один год. Это делается только для наглядности. В действительности наш подход предусматривает возможность выбора любой условной единицы времени.
Второй вариант управления наличностью состоит в двукратном посещении банка в течение года. В начале года снимается первая половина суммы, равная S0/2, которая равномерно расходуется в течение первого полугодия, сокращаясь до нуля. В это время вторая половина, находящаяся в банке, приносит процентный доход. Следовательно, в течение первого полугодия «на руках» в среднем будет находиться сумма наличных, равная ^¿/2+0) /2= S0/4 (это есть среднее арифметическое, которое здесь правомерно из-за гипотезы равномерного расходования наличных, что приводит к суммам имеющихся наличных в виде арифметической прогрессии). По истечении первого полугодия сразу же снимается с банковского счета вторая сумма S0/2 для расходов в следующем втором полугодии. Следовательно, в течение второго полугодия «на руках» в среднем будет находиться сумма наличных, равная ^¿/2+0) /2=S0/4, что и в первом полугодии. Если в течение каждого полугодия средняя сумма наличных, имеющихся на руках, была равна So/4, то и среднегодовая сумма наличных денег составит S0/4, что очевидно.
Аналогично можно рассмотреть трехкратное, четырехкратное посещение банка. В общем случае при посещении банка Ираз в течение года каждый раз будет сниматься сумма S0/N. Эта сумма будет расходоваться в течение периода 1/И = Т, изменяясь за это время от величины S0/Nдо нуля.
Следовательно, в общем случае среднегодовая сумма наличных денег составит ^¿/Ы + 0) /2 = S0/2N (это средняя сумма убывающей арифметической прогрессии). Из этой формулы видно, что чем больше И, тем меньше среднегодовая сумма «на
руках», а значит, и меньше потери от неполученных процентов. Такова довольно неочевидная логика, положенная в основу модели Баумоля-Тобина. Поэтому ниже мы более внимательно проанализируем и правильно определим эти потери и представим более убедительные обоснования этой логики.
Альтернативная стоимость наличных денег. Теперь следует определить потери от хранения наличных денег на руках. Обычно в экономической литературе бездоказательно, на интуитивном уровне полагается, что эти потери пропорциональны произведению банковской ставки R0 на среднегодовую сумму наличности S0/2N. Однако такое утверждение ошибочно, что приводит к занижению потерь относительно их истинного значения (авторы этой модели следовали логике модели Вильсона, связанной с управлением материальными запасами). Потери от хранения наличности, а точнее их правильный расчет, могут иметь самостоятельное экономическое значение, не имеющее отношения к данному контексту. В частности, заниженная оценка этих потерь может вводить в заблуждение менеджеров, которые не станут обращать внимание на такие «мелочи» и будут игнорировать управление денежной наличностью. Кроме того, экспериментальная проверка кривой спроса на наличность не подтвердила теоретический результат, что показано в работе [6]. Поэтому ниже предлагается соответствующий точный расчет этих потерь.
Пусть R0 — годовая банковская ставка, либо норма доходности альтернативного вложения денег. В модели Баумоля-Тобина «по умолчанию» предполагается, что эта процентная ставка R0 задана относительно условно единичного периода Т0, т. е. R0 = R0(T0), где Т0 = 1. Это обстоятельство также следует иметь в виду при использовании этой модели, в противном случае возможны грубые просчеты. Например, если плановый период Т0= 6 месяцев, то и ставка ^ должна быть определена относительно периода 6 месяцев, который в модели Баумоля-Тобина полагается равным единице. В этом явный недостаток такого подхода, так как возникают определенные сложности, которые нередко приводят к ошибкам. Все эти трудности можно было легко обойти, если не требовать выполнения равенства Т0 = 1. Однако пока мы будем придерживаться традиционного подхода [1 — 6, 9 — 11]. Более подробно эти проблемы освещены в работах [7, 8]. Предположим, что эта ставка достаточно мала, только в этом случае можно применять простые проценты [7, 8], что по умолчанию и делается в модели Баумоля-Тобина. Поясним это ниже.
50
финансы и кредит
В начале года при первом посещении банка со счета будет снята сумма S0/N, процентный доход по которой в течение года составил бы Л^/Д если бы эта сумма находилась в банке, т. е. она представляет собой потери от первого изъятия суммы S0/N. Следовательно, стоимость первого изъятия суммы с банковского счета составит:
So N'
R -1,
где умножение на единицу оставлено для ясности, так как следует иметь в виду, что это есть время Т0 = 1.
Второе посещение банка произойдет через промежуток времени Т = 1 /Ы, и вновь будет снята сумма S0/N. Весь единичный период (один год, например) разбит на N равновеликих интервалов. В течение одного периода Т эта сумма приносит процентный доход, но в остальные ^ — 1) периодов, каждый из которых равен Т= 1/N, процентный доход поступать не будет, что составит потери, равные:
^ я -^.^=^ ^(1 -1),
N 0 N N N ^ N
где множитель (1-1/^ описывает время, аналогичное единице в предыдущем выражении, т. е. время, в течение которого эта сумма могла бы находиться на банковском депозите, но не находилась. Через время 2Т должно произойти третье посещение банка, и вновь снята сумма S0/N. Потери от неполученного процентного дохода при этом составят:
9 9 2 9 2
S0 я - 90 я.— = 90 я0 (1 - —).
N 0 N ^ N N 0 N Дальнейшее рассмотрение можно провести по аналогии. В общем случае через j периодов произойдет 0+1) -е посещение банка и снята со счета сумма S0/N, где у = 1, 2,...Ж Стоимость недополученного процентного дохода в этом общем случае будет равна:
90Я0 - 90 я = ^ Я0 (1 -Ц.
N N N N N В частности, при у = N из этой общей формулы можно определить потери от последнего N^0 по счету изъятия наличных денег, которые составят: я 50 я N -1 = 50 я (1 N -1) я
Этот результат довольно очевиден. Действительно , сумма S0/N будет снята со счета в момент начала последнего ^го периода и не будет приносить доход только в течение времени 1/К Следовательно, произведение этой суммы S0/Nна время 1/N и на ставку Л^даст потери, что и получено в правой части последнего равенства. В течение первых (N-1) периодов эта сумма еще будет приносить процентный
доход. Издержки по этой денежной наличности будут самыми минимальными по сравнению со всеми остальными. Максимальные же потери даст самое первое снятие со счета денежной наличности.
Найдем теперь общие потери процентного дохода от неполученных процентов, обозначенные как C (N), за весь плановый период (один год). Для этого просуммируем все потери по каждому отдельному изъятию наличности, которые были получены выше:
S S 1
) = N•1 + ~N Ro(1 -N +
+^ Ro(i - -2) + ...+^ Ro(i - N^) =
N 0 N N 0 N
10 N
= R
1 + (1 - —) + (1 - —) + (1 - —) +... + (1 - N—1)
N N N N
Выше были выполнены очевидные алгебраические преобразования в целях выделения суммы членов арифметической прогрессии. Каждое последующее слагаемое прогрессии (они в круглых скобках) получается из предыдущего посредством вычитания величины 1/К Мы подробно описываем все эти этапы вычислений, так как именно здесь была допущена первая ошибка более полувека назад и потом многократно повторялась в книгах и статьях. По формуле для суммы членов арифметической прогрессии находим альтернативную стоимость наличности:
S0 „ 1 + N-
С1( N) = -°- R0 1 N 0 2
S
N = R0(1 + N) = 2N 0
= —~ R +— S0 R0. 2N ^ 2 00
(1)
Наш результат (1) отличается от аналогичных выражений [1 — 6] тем, что появилось новое слагаемое справа от последнего знака равенства. Ранее в этих затратах присутствовало только первое слагаемое £0Л0/2Ж Странным является то, что в течение столь длительного времени на эту ошибку не обращалось внимания. Кроме вычислительных доказательств корректности выражения (1), которые были представлены выше со всеми подробностями, можно рассмотреть и финансовый смысл этого выражения и его предшественника. Как обычно, в таких случаях следует прибегнуть к некоторым экстремальным случаям проверки, когда не требуются подробные вычисления. К примеру, в случае однократного посещения банка из формулы (1) следует, что при N=1 альтернативные затраты составят
£ 1
С1 (1) = Я + - S0 Я = ^ Я .
сдло
+
н 10
N
Зависимость затрат от количества посещений банка
Справедливость этого результата не оставляет сомнений. Это равно процентному доходу за год от суммы депозита Sg, доходность которого равна В.а Если же использовать прежний результат, то получим только половину действительных затрат.
Второй крайний случай — это бесконечно большое число посещений банка N, при котором достигается минимум затрат (1). Если бы все потери сводились только к этому виду затрат, то минимум этих потерь достигался бы при максимально возможном количестве N посещений банка в течение условно единичного периода (года). Теоретически эта величина может быть равна бесконечности (т. е. сколь угодно большой), тогда затраты будут обусловлены только вторым слагаемым SgRg/2 равенства (1). То есть даже при бесконечно большом значении Аэтот вид затрат не сведется к нулю, а будет равен 0,5^^. В этом пока состоит основное отличие наших результатов от результатов теории Баумоля-Тобина [1 — 6], из которых непосредственно следует, что в этом случае эти затраты сведутся к нулю. Ошибочность таких выводов представляется очевидной, если учесть, что проблема сводится к непрерывному аннуитету [7, 8]. При достаточно большом значении N можно считать, что изъятие сумм происходит непрерывно. Сумма Sg на счете будет непрерывно сокращаться до нуля в течение года, что и будет причиной потерь процентного дохода.
Эта грубая ошибка довольно очевидна из простых качественных соображений, если корректно перейти к непрерывному начислению процентного дохода [7, 8], причем, как видно из этого выражения, при N > 1 вклад второго слагаемого в эти потери всегда выше, чем первого слагаемого в формуле (1). То есть потери от недополученного процентного дохода в действительности значительно выше, чем предполагалось ранее. Наглядно эти различия представлены графиком С(Щ (пунктирная линия).
Этот график не стремится асимптотически к оси абсцисс (нулевому значению), как полагалось ранее, а приближается к горизонтальной прямой С1(да) = SgRg/2 (штрихпунктир-ная линия). Заметим, что иногда в экономической литературе строится зависимость затрат от величины кассового остатка, а не от N что не меняет сущности проблемы.
Имея полное описание затрат в виде формулы (1), получаем дополнительные возможности в принятии оптимальных решений по управлению кассовыми остатками компании. Снятие денег со счета имеет смысл в том случае, если их можно реинвестировать с большей доходностью (или полезностью для физического лица), что по умолчанию и предполагается в модели Баумоля-Тобина. Зная затраты (1), их можно сравнить с теми доходами, которые могут быть получены от реинвестирования. То есть получаем возможность оптимального управления не только наличными деньгами, но и любыми другими активами. Снятие денег со счета будет иметь смысл, если чистая дисконтированная стоимость при этом окажется не меньше нуля. Дальнейшие подробности можно опустить, поскольку затраты (1) оценены здесь приближенно, что показано ниже. Далее будут получены более точные результаты. Заниженный уровень затрат в модели Баумоля-Тобина может приводить к тому, что некоторые менеджеры могут их игнорировать и не применять методы оптимального управления наличностью. Кроме того, эта ошибка носит и логический характер, искажая некоторые качественные представления инвестиционного анализа.
Некоторые уточнения модели. Покажем, что при получении результата (1) действительно были использованы простые (приближенные) проценты, поэтому формула (1) неточно оценивает вмененные затраты из-за недополученного процентного дохода [7, 8]. Кроме того, сделаем еще один шаг к более адекватному решению данной проблемы.
Если N — число ежегодных посещений банка, то период времени Т (измеренный в годах) между каждым посещением банка будет равен
Т = — (год). N
Заметим, что N— это потоковая величина, и ее размерность должна соответствовать количеству
посещений банка в единицу времени (например, за один год). Снимаемая регулярно со счета сумма £ равна:
S = ^ = .
N
За т периодов, каждый из которых равен Т, на сумму £ должен быть начислен процентный доход, равный:
S(1 + R0)mT -S и mTR0S = m
R0 S0
N2
(А)
где приближенное равенство получено с точностью до линейных слагаемых разложения в ряд (простых процентов) [7, 8]. Крайнее слева от знака равенства выражение является точным. Применительно к нашей проблеме т — это число периодов, в течение которых сумма £ = S0/N не находилась на счете, а потому это есть потерянный процентный доход. Для первой изымаемой суммы т = N для второй т = N— 1), для третьей т = N— 2) и т. д. Эти значения следует поочередно подставлять в выражение (А), что и даст соответствующие вмененные затраты, которые были получены при выводе формулы (1).
Кроме потерь процентного дохода, имеется еще одна составляющая общих затрат С2(И), связанная непосредственно с процессом изъятия денежных средств со счета, приносящего процентный доход. Как показано выше, затраты С1 сокращаются с ростом числа посещений банка N. Однако с ростом N увеличиваются затраты С2(И), связанные с посещением банка.
Следуя традиции, дадим наиболее простую интерпретацию появления затрат С2(^, связанных с посещением банка. Обозначим через Р затраты на одно посещение банка. Затраты Р не зависят от суммы, снимаемой с банковского счета (это принципиальное условие). В основном они определяются потерями времени на поездку в банк и обратно, ожиданием в очереди и оформлением изъятия денег со сберегательного счета, комиссионных, оплатой контрактов и т. д. Например, при заработке 40 руб. /час и общих потерях времени 5 ч на одно посещение альтернативная стоимость потерянного времени будет равна: 5ч • 40 руб. /ч = 200 руб. К этой сумме потерь следует добавить непосредственные расходы на поездку в банк и обратно. Кроме того, чем чаще будут сниматься со счета деньги, тем ниже процентная ставка по срочным вкладам, что также следует включить в затраты. Сумма этих затрат должна подсчитываться менеджером в каждом конкретном случае отдельно, что не является задачей статьи. За год затраты на
посещение банка, которые обозначены через С, составят:
C2 (N) = P • N. (2)
Очевидно, если бы все потери сводились только к этому виду, то их минимум достигался бы при однократном посещении банка в начале планового периода (года).
При определении этого вида затрат мы следовали классическому подходу, говоря о снятии денег с банковского счета. Однако получение наличных средств может на практике происходить разными способами, о чем уже говорилось выше. В общем, применение данной методики может потребовать немало творческих усилий и не ограничивается только банковскими вкладами. Это также может быть получение кредита или продажа (или распродажа в случае банкротства) доходных рисковых активов компании. Как правило, чем выше эта доходность рисковых активов, тем больше Р. Но во всех этих случаях затраты на «обналичивание» должны определяться формулой (2), в противном случае может потребоваться иная технология управления.
Общая сумма всех затрат за плановый период (год) равна:
TC (N) = C + C2 = 2 R S + 2 R0 So N-1 + PN. (3)
В этом уравнении только N зависит от воли и желаний менеджера (эндогенная переменная), все остальные переменные от него не зависят (экзогенные переменные), поэтому их следует считать постоянными, а переменную N менеджер может менять так, как он считает выгодным. Естественным желанием менеджера является снижение общих затрат (3), которые зависят от N. Задача каждого менеджера состоит в том, чтобы рассчитать такое количество посещений банка N, при котором эти общие затраты станут минимальными:
min {TC(N)}- ?
Условие первого порядка для минимума имеет
вид:
dTC ~dN
-Щ + P = 0,
2N
(4)
где вместо ТС было подставлено выражение (3). Заметим, что здесь отсутствует вклад в производную общих затрат от слагаемого Л^^, так как оно не зависит от N. Поэтому решение, полученное Баумолем и Тобиным, оказалось верным. Решая уравнение (4), находим оптимальное число посещений банка в течение одного года:
N = N =. 'Я
2Р
(5)
при котором общие потери станут минимально возможными. При этом уже конкретном значении N оптимальная сумма наличности, снимаемая каждый раз с банковского счета, должна быть равна
^ = = 12Р$о
N.
Я,
(6)
Этой формулой можно также пользоваться для определения оптимальной величины кассового остатка, который компания должна взять взаймы или получить в результате продажи ценных бумаг, тогда Р — это трансакционные издержки по сделке с ценными бумагами или получению ссуд.
Если в году 365 дней, то эта сумма будет сниматься со счета каждые 365/^ дней. Соответственно среднегодовая сумма денежной наличности на руках составит
_ ^
£ =-£
(7)
2 N \2Я0
Из этой формулы видно, что чем больше процентная ставка, тем меньше среднегодовая сумма денежной наличности на руках у населения и фирм. Справедливость этого утверждения не вызывает сомнения. В экономической литературе [6] модель Баумоля-Тобина используют и как модель спроса на деньги. Заметим, что именно спрос на наличность первоначально интересовал авторов этой модели, а не проблема оптимального управления наличностью. В качестве уравнения спроса при этом принимается уравнение (7). Общие затраты при выполнении равенства (5) имеют минимальное значение, равное:
ТС (Ne) = 2 Я £о + \^2РЯо £о,
где выражение (5) было подставлено в (3) вместо N. В том, что это действительно минимальное значение, легко убедиться, взяв вторую производную, которая очевидно больше нуля: d2TC/dN2 > 0. Таким образом, выполнено не только необходимое условие для минимума, но и достаточное.
Рассмотренная модель имеет некоторые, очевидные сегодня недостатки, которые никак не умаляют достоинства этой теории, представляющей очевидные перспективы для развития и уточнения. К примеру, во-первых, можно учесть в полной мере дисконтирование будущих затрат [7, 8]. Во-вторых, большая часть населения РФ получает заработную плату наличными деньгами. Другие виды доходов также поступают в наличной форме. В таких случаях
следует рассмотреть обратную задачу по сравнению с той, которая была рассмотрена выше. Человек, получив доход, должен решить, какую сумму денег он оставит в наличной форме, а какую часть положит на банковский сберегательный счет, приносящий процентный доход. Такой подход обычно применяется для описания первой половины жизни человека до его выхода на пенсию, когда он стремится зарабатывать больше, чем тратит за это же время. Выше в модели Баумоля-Тобина, по сути, рассматривался человек, находящийся на пенсии и владеющий деньгами на сберегательном счете.
В то же время эта модель имеет значительно более широкий прикладной характер. В частности, она касается управления портфелем ценных бумаг, находящихся в брокерской компании или банке. Ценные бумаги могут иметь разный уровень ликвидности, не зависящий от доходности.
С тем же успехом модель Баумоля-Тобина можно использовать при продаже не только ценных бумаг, но и недвижимости, что можно назвать «обналичиванием вложений в недвижимость». Проблема только в том, чтобы продаваемые активы были делимыми. Это трудно сделать в отношении недвижимости непосредственно, но в принципе возможно.
Литература
1. Брейли Р. Принципы корпоративных финансов / Р. Брейли, С. Майерс; пер. с англ. М.: Олимп-Бизнес, 1997. 1087 с.
2. Бригхем Ю. Финансовый менеджмент / Ю. Бригхем, Л. Гапенски. СПб.: Экономическая школа, 1997. Т. 2. 668 с.
3. Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами / Дж. К. Ван Хорн. М.: Финансы и статистика, 1996. 799 с.
4. Ворст И. Экономика фирмы / И. Ворст, П. Ревент-лоу. М.: Высшая школа, 1994. 272 с.
5. Ковалев В. В. Введение в финансовый менеджмент / В. В. Ковалев. М.: Финансы и статистика, 1999. 768 с.
6. Мэнкью Г. Н. Макроэкономика / Г. Н. Мэнкью. М.: МГУ, 1994. 735 с.
7. Решецкий В. И. Финансовая математика. Анализ и расчет инвестиционных проектов / В. И. Решецкий. Калининград: БИЭФ, 1998. 395 с.
8. Решецкий В. И. Экономический анализ и расчет инвестиционных проектов / В. И. Решецкий. Калининград: Янтарный сказ, 2001. 477 с.
9. Тренев Н. Н. Управление финансами / Н. Н. Тренев. М.: Финансы и статистика, 1999. 495 с.
10. Ченг Ф. Финансы корпораций: теория, методы и практика / Ф. Ченг, Дж. Ли, И. Финнерти. М.: ИНФРА-М, 2000. С. 685.
11. Шим Д.К. Финансовый менеджмент / Д.К. Шим, Д.Г. Сигель. М.: Филинъ, 1996. 365 с.
