CC BY
9
2019
Математика и механика
№ 57
МАТЕМАТИКА
УДК 519.642.4 М8С 80М15, 65Е05
Б01 10.17223/19988621/57/1
Д.Ю. Иванов
УТОЧНЕНИЕ КОЛЛОКАЦИОННОГО МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ В СЛУЧАЕ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО РОДА
Рассматривается решение двумерных начально-краевых задач для уравнения д, и = а2Д2и - ри с постоянными а, р >0 с граничными условиями второго и третьего рода при нулевом начальном условии с помощью коллокационного метода граничных элементов. Для того чтобы приближенное решение сходилось к точному с кубической скоростью равномерно в пространственно-временной области Ах[0,Т], при вычислении потенциала простого слоя в точке х интегралы на граничных элементах, отстоящих от точки х на расстоянии г, не превышающем, примерно, трети радиуса круга Ляпунова, аппроксимируются на основе аналитического интегрирования по некоторой компоненте расстояния г. Такая аппроксимация практически и теоретически осуществима для любой аналитически заданной границы дО класса С5.
Ключевые слова: нестационарная теплопроводность, граничные интегральные уравнения, тепловой потенциал простого слоя, сингулярный граничный элемент, коллокация, оператор, равномерная сходимость.
В настоящей работе рассматриваются внутренние и внешние начально-краевые задачи (НКЗ) для уравнения д,и = а2Д2и - ри с постоянными а, р > 0 в открытой двумерной пространственной области О с граничными условиями второго и третьего рода при нулевом начальном условии. Предлагается полностью обоснованный коллокационный метод граничных элементов (КМГЭ) [1, с. 21], позволяющий получить равномерно сходящиеся в пространственно-временной области О х [0, Т ] приближенные решения указанных НКЗ. Решения ищутся в виде потенциала простого слоя с неизвестной функцией плотности, определяемой из граничного интегрального уравнения (ГИУ) второго рода. Ранее обоснование КМГЭ для решения таких НКЗ типа Неймана на основе ГИУ второго рода было выполнено в работах [2-5]. В работах [2, 4, 5] доказательство сходимости метода было сделано на границах класса гладкости Сш, а в работе [3] - на негладких поверхностях, удовлетворяющих условию типа Липшица. В работе [4] при решении ГИУ используется замена переменных, которая позволяет избавиться от сингулярности в правой части ГИУ.
В настоящей работе осуществляется кусочно-квадратичная интерполяция (ККИ) временной С0-полугруппы и(т), через которую выражаются ядра интегральных операторов, с равным шагом кт по параметру полугруппы т. Кроме того, осуществляется ККИ функции плотности, при этом граница дО разбивается на равные по длине дуги 5 граничные элементы (ГЭ).
Дальнейшая аппроксимация ГИУ осуществляется в соответствии с работой [6], где для вычисления интегралов по 5 на сингулярном ГЭ, а также на околосингулярных ГЭ в некоторой фиксированной по длине дуги области, прилегающей к сингулярному ГЭ, используется точное интегрирование по переменной г — расстоянию от граничной точки, в которой вычисляется интеграл как функция от параметра, до текущей точки интегрирования х' е дО (сингулярным называется ГЭ, в котором достигается значение г = 0). Такое интегрирование практически осуществимо для любой аналитически заданной границы дО. Для дальнейшей аппроксимации потенциала в точках х еО здесь предлагается схожая методика. А именно, для вычисления интегралов по 5 на ГЭ, отстоящих от точки х на расстоянии, не превышающем, примерно, трети радиуса круга Ляпунова, используется точное интегрирование по некоторой компоненте р расстояния г от точки х
до точки х' е дО : р = Vг2 — й2 (й — расстояние от х до дО), также практически осуществимое для любой аналитически заданной кривой дО. При таком интегрировании в качестве весовых функций берутся функции переменной р, порожденные фундаментальным решением уравнения теплопроводности, а остальная часть подынтегральной функции аппроксимируется с помощью квадратичной интерполяции по р. Другие интегралы по 5 на ГЭ вычисляются с помощью простых квадратурных формул Гаусса (ПКФГ) [1, с. 79]. Интегрирование по т проводится аналогично: множитель рт аппроксимируется с помощью ККИ, и тогда интегралы вычисляются точно.
Матричные коэффициенты разрешающих НКЗ и ГИУ дискретных операторов экономно вычисляются в алгебре полиномов, образованных степенями оператора и(Нт). С помощью разрешающего НКЗ дискретного оператора и значений граничной функции в точках коллокации 1п = пкт вычисляются значения приближенного решения НКЗ в точках 1п, что позволяет осуществить ККИ приближенного решения НКЗ по времени t.
Доказано, что полученные таким образом приближенные решения НКЗ сходятся к точным с кубической относительно шагов по времени и длине дуги скоростью равномерно в области Ох [0,Т]. Доказана равномерная в Ох [0,Т] устойчивость приближенных решений НКЗ к возмущениям граничных функций. Полученные результаты справедливы для границы с гладкостью С5. В работе [5] также доказана равномерная сходимость приближенных решений, но в предположении, что интегралы на ГЭ вычислены точно. Вопрос аппроксимации интегралов на ГЭ в литературе считается чисто вычислительным и выносится за рамки доказательства сходимости. Обычно интегралы по 5 в потенциале рекомендуется вычислять с помощью ПКФГ, так как подынтегральная функция при х еО, стро-
го говоря, гладкая. Но при г ^+0 подынтегральная функция, полученная после предварительного интегрирования по т, обладает логарифмической особенностью, поэтому применение ПКФГ при г и 0 нарушает равномерную сходимость, что проявляется в снижении точности вблизи границы дО.
Приведены результаты вычислительных экспериментов по решению НКЗ в круговой пространственной области, которые показывают, что применение точного интегрирования по р позволяет в значительной мере сократить уменьшение
точности численных решений при приближении к границе дО по сравнению с применением исключительно ПКФГ для аппроксимации интегралов по длине дуги на ГЭ при вычислении потенциала.
Предварительные замечания
Пусть О+ — двумерная открытая ограниченная односвязная область, и О- = я2 \ О+ (я = (-да, ). Кроме того, пусть дО, граница области О+ , является кривой класса гладкости С2, если не оговорено особо. Рассмотрим внутренние и внешние краевые задачи:
а2Д2 и± - ри± = Ви± (х = (х, х2) е О± ), дп(х)и±-п и± = ш± (х едО ), (1)
где и± (х) и щ (х) - векторные функции со значениями в гильбертовом пространстве Ь2 = Ь2 (1Т) (1Т = [0, Т]), заданные на множествах О± и дО соответственно (все пространства функций здесь комплексные); п( х) - нормаль к кривой дО, проходящая через точку х и направленная внутрь области О+; Д2 =дХ1Х 1 +д22Х2 (непрерывность и дифференцируемость векторных функций предполагается здесь в норме пространства их значений, в данном случае - Ь2 ); р > 0 , а > 0 (коэффициент температуропроводности), п^ 0 (коэффициент теплообмена) - постоянные; В - замкнутый оператор в Ь2: (В/) (,) = /'(,), заданный на множестве -О(В) классов функций / е Ь2, эквивалентных абсолютно непрерывным на промежутке 1Т функциям /(,), таким, что /(0) = 0 .
Пусть С (О ') и Ск (О ') - пространства непрерывных и к раз непрерывно дифференцируемых на некотором множестве О ' с я2 векторных функций со значениями в пространстве Ь2. В работах [7, 8] доказана однозначная разрешимость
задач (1) в классе С (О±) п С 2(О±) при любых е С (дО). Решения имеют вид векторных потенциалов - криволинейных интегралов первого рода:
и± (х) = О0 (х) у± (х е О±), (2а)
где функции у± е С (дО) находятся из соответствующих ГИУ:
(о± у±) (х) = м>± (х) (х едО ), О2± = +2-1 + О2-п О0, (2Ь)
О, (х) / = (О, /) (х) К, (х, х ') / (х ') ds' (/ е С (дО), I = 0,2),
дО
Ki (х, х') (х Ф х') - ограниченные операторы в пространстве L2, определяемые равенствами:
Ki (х, х') f - | gt (х, х', т) е"pTU(т) f dт (f е L2 , i = 0,2),
IT
g0(х,х',т) - a0(r,т), g2(х,х',т) - a2(r,т)b2(х,х'), a0(r,т) - a(r,т), a2(r,т) --r dra(r,т), Ь2(х,х') = 5и(х) lnr-.
Здесь a(r,т) -(4пт)-1ехрr2j(4, r - |х- х'|; дифференцирование дя(х)
осуществляется по точке х. Операторы U(т) образуют С0 -полугруппу правых сдвигов, порождаемую оператором B: (U(т) f )(t) = f(t-т) при т< t, (U (т) f)(t) = 0 при т> t, Bf = lim т-1 (f - U (т) f) (f е D(B)). Заметим, что
||U(т)|| = 1 при т<Т , U(т) = O при т>Т (O - нулевой оператор). Имеют место равенства:
BnU(т) f = U(т)Bn f (f е D(Bn), n е n - {1,2, ...}). (3)
Введем в рассмотрение параметрические уравнения кривой dQ: ; = Xi(s), x2 = x2 (s). Параметр s по модулю равен длине дуги, откладываемой от некоторой фиксированной точки и заканчивающейся в точке х(s) -(Xj(s), x2(s)), причем s > 0, если дуга откладывается по часовой стрелке, и s < 0, если против. Функции ; (s), x2 (s), периодические с периодом 2 S (S — половина длины dQ), осуществляют взаимно-однозначное отображение множества I'S - [-S, S) на множество dQ. Условимся далее писать dQ е Ck, если функции xi (s) (i = 1,2) имеют непрерывные производные на замкнутом множестве I'S до порядка k включительно, причем x( )(-S + 0) = x(l)(S - 0) (l = 0k).
Введем в рассмотрение банаховы пространства
Ck(SQ) (k е z+ - {0,1,...})
функций f е C(dQ), имеющих непрерывные на множестве dQ производные f(l): f(l)(s) - dl f (х (s))/dsl (sеTs , l=0k), с нормами ||f||ck = maxsupll f(l )(s)||
l=0,k sеI'S
(C0 (SQ)-C(SQ)). Обозначим
через Hn (nеn) гильбертовы пространства
функций f е L2: Bm f е L2 (m = 1, n), с нормами ||f||Hn -
(H0 - L2). Определим банаховы пространства Ckn (dQ) (k е z+, n е n) функций f е Ck (SQ): f (х) е Hn (х е50 ) и Bm f е Ck (SQ) (m = ),
с нормами \f\Ck (SQ) - maxsup f(l )(s) n (C^ (dQ) - Ck (dQ)). Зададим банаховы
n ( ) l=0,k яе^
пространства Ckm (ÖQ) - Ckn (ÖQ) n Cn+m (ÖQ) (Cn (ÖQ) - Cn0(5Q)) с нормами Wf\\alm (SQ) -\\f IIcJ (SQ) + llf ICn+m (SQ) (k,n,m е z+).
s mj Bm f\ IL.
Условимся оператор А, отображающий банахово пространство В в банахово пространство С, обозначать как А [ В ^ С ], а если С = В, то А [ В ]. В силу следствия 3 [9] имеет место утверждение:
Теорема 1. Пусть дО е Ск+2. Тогда операторы О± [ Скпт (дО) ] всюду определены, ограничены и ограниченно обратимы (к, п, т е Z+).
Приближенное решение граничного интегрального уравнения
В настоящем параграфе кратко опишем результаты работы [6], касающиеся операторов, позволяющих получить приближенное решение ГИУ (2Ь) на сетке границы дО.
Пусть 5, 5 ' - значения параметра, соответствующие точкам х, х ' е дО . Введем обозначение: ст = 5 ' - 5 . На множестве © = {(5,5' ): сте /£ 5 е /£} зададим функцию р(5,5 '): р = г , если ст>0; р = -г , если ст<0 (г(5,5' ) = |х(5)-х(5' )|). Введем в рассмотрение функции у, (5,5') (I = 0,2,3), заданные на множестве © при 5 ' Ф 5 равенствами у, = Фг/ст2 (I = 0,2) и у3 = Ф3/ст, где
Ф0 (5, 5 ') = г2 = [[ (5 ') - Х (5)]2 + [Х2 (5 ') - Х2 (5)]2 , Ф2 (5, 5') = 2-1 дп(х)Ф0 = -ХХ2 (5) [[ (5 ') - Х (5)] + Х (5) [[¿2 (5') - 3^2 )] ,
Фз (5, 5 ') = 2-1 д5 -Ф0 = X (5 ') [[ (5 ') - Х (5)] + Х2 (5 ') [2 (5 ') - Х?2 С?)] , а при 5 ' = 5 равенствами
У0 (5, 5) = у 3 (5, 5) = 1 , у2 (5, 5) = 2-1 [-Х2 (5) хХ1" (5) + Х{ (5) Х'2 (5)] . Кроме того, определим на множестве © функции
5(5, 5') = (д^ р)-1 = ,/У0/Уз , 82(5, 5 ') = Ь2(х (5), х (5 ')) = -у 2/у 0 .
Теорема 2. Пусть дОе Сп+2 (п е z+). Тогда существуют непрерывные на множестве © производные д5,52 (] = 0,п). Кроме того, для любого М > 1 существует число Е : 0 <Е< £, такое, что при (5, ст) е /£ х /'Е (/'Е = [-Е, Е]) функция 5 ограничена: 1 <5< М, и существуют непрерывные производные д5,5 (] = 0, п).
Следствие 1. Пусть дО е Сп+2 (п е z+). Тогда функция р5 (ст) = р(5,5 + ст) при любых фиксированных 5 е /£ и М > 1 диффеоморфно с гладкостью Сп+1 отображает множество /'Е на множество р5 (/'Е) = [р5 (-Е), р5 (Е)]. Функции 5 0 (5, р) = 5(5, 5 + ст^ (р) ), 5 2 (5, р) = 5(5, 5 +ст^ (р) )52 (5, 5 + ст^ (р) ) ( (р) - функция, обратная к функции р5 (ст)) имеют непрерывные на множестве /£ х р5 (/'Е) производные др55, (] = 0, п , I = 0,2).
Обозначим через Лт (г) и Лт (г) (г е [а,Ь], т = 0,2) интерполяционные многочлены Лагранжа:
К (z) - П , Zj - z + q;hz (j = 0,2);
j=0(jфш) Zm Zj
2
Z - Z
Л m (z) - П -T-j, z; - z + q;hz (j = 0,2).
j=0( jФш) zj
Здесь hz - 2-1(b - a), z - 2-1(a + b); q0 - -1, q1 - 0, q2 - 1; q0 - ->/3/2 , q1 - 0, q2 -л/з/2 [10, с. 92]. Пусть /(z) - трижды непрерывно дифференцируемая на промежутке [a,b] функция со значениями в произвольном банаховом пространств В . Тогда Для фунКЦий Ш=^-/(zm )Лш (Z), "Z Ш=0/(zm )Лm (z) и первых и вторых производных функции /1(z) при z е [a,b] имеют место оценки: /z) - /(z)||В < cffl sup ||/(3)(z)||Bh3, ||/2 - /\В < cffl sup ||/(3)(z)|| h],
ze[a,b ] ze[a ,b]
cffl- 2V3/9 , cffl - 4-1; (4)
\\Ш\в < Сл ЩтЛ/(zm )B , ||j^2(z)||В < СЛ П^Ц/(zm )|1в ,
m=0,2 m=0,2
Сл-3, СЛ"3-1 (7 + 2-J3); (5)
||/.Ш<"В <с'л II/")(-)||В , В <с; .щр!/*2)(г)||В,
ге[а,Ь ] ге[а ,Ь]
с;= 3, с;= 2-1. (6)
Пусть Ы/2 е n , N¡2 е n ; тп = пИт (п е z+), Ит = ; тп = пИт (п е z+),
К= К/ N.
Пусть Ь/2 е N . Введем в рассмотрение пространства ИЬ векторных сеточных функций / со значениями / е Ь2, заданными в узлах х1 = х() (= 1И5, / = -Ь -1, Ь , = £/(Ь +1)), с нормой ||/|И = тах ||/ ||Ь . Условимся считать,
Ь - Ь-1<, < Ь 2
когда это будет необходимо, что х1+2Ь+2 = х1. Зададим проекционные операторы Рь [ С (дО) ^ Иь ]: (р/), = /(х,) (| Рь II < 1).
Зададим ограниченные операторы = ^Ы 1 О, п и(тп) [ ИЬ ^ ИЬ ] (I = 0,2):
Jn=0
T2n+ 2
А ,0 " J A (т) Ф)Л 0 (Т) d т , (?.2я+1 - | Д. (Т) е(х)Л1 (т) d т (n = 0, М/ 2 -1),
т0 T2n
T2n т2n+2 _
A,2n " J A(т)ф)Л2(х)dx+ J A-(т)е(х)Л0(х)dx (n = 1,N/2-1);
т2п
2
e(T) " Z eXP [-nN+2П+1 + qmhT ) Лm (т)
T2n-2
( T е [TnN+2«n , ТпМ+2П+2 ] , n = ^ Nl2 - 1, n = ^ N - 1).
m=0
Операторы а. (т) [ ИЬ ^ ИЬ ] (т> 0) подобно ( п имеют вид скалярных квадратных матриц порядка 2 Ь + 2 :
(((т)/)к = X йа,1 (т)/ (к = -Ь -1, Ь , / е Иь ),
г=-ь-1
йг,к,21 (Т) - 3г,1,к,21 -1 (Т) + 3г,1,к,21 (Т) ' йг,к,21 -1(Т) - 3г,2,к,21 -3(т) + 3г,2,к,21 -2(т) + 3г,0,к,21 -1(т) + 3\,0,к,21 (т) ( 1 = - Ь1 2 Ь12),
Лт,к,1 (Т) - (Т) + 3',т,к,1 (Т) ( I = -Ь - 1, Ь ). В свою очередь, функции 3'тк1 (т) и Л" тк 1 (т) (т>0) определяются равенствами
Р(___
3'.,т,к,г (т) - | «г (Р, т) 5.,т,к (р) ^Р (. = 0,2, т = 0,2, к,1 = -Ь -1, Ь ),
Р(5')
2 _
8г,т,к (Р) - Е5г,т,к (рк,1 + Чт'К,1 )Лт' (Р) ( Ре[Рк (4X Рк +1 )] X
т '=0
К,1 - 2-1 [ (4+1) - Рк (4)], Рк,г - 2-1 [Рк (4)+Рк (4+1)],
8г ,т,к (Р) - § г (як , Р)Л т (к + СТк (Р) ) ;
(т) - А" X Лу &,т,к (4 + , т) , 4 - 2-1 ( + ^7+! ) , И'{ - 2-1 (4+! - ^
У =1
(г = 0,2, т = 0,2 , к,I = -Ь -1,Ь ).
Здесь Рк (ст) - Р(^к, 5к + ст); стк (р) - функция, обратная к функции Рк (ст);
Лт (^) - кусочно-квадратичная функция, определенная на множестве :
Л т )=Л т ) ( 5 е[ Я21 -¡, 521+1 ] , 1 = - Ь1 2 Ь12); - корни многочлена
р(г) -[у!/(2у)!](у/у)(2 -1) на промежутке [-1;1], ^¡у - весовые коэффициенты ПКФГ с у узлами (X"У=1 = 2, м>у > 0) [10, с. 255];
йг ,т,к т) - йг (як , Як +CT, т)Лт (к +СТ) йг , 5' , т) - йг (X т) . Кроме тоГо,
здесь я' - ш1п{я,Е}, я"- тах{я,Е}, если sl > 0, и я' - тах{5,-Е}, я"- ш1п {я1, -Е}, если я < 0, при этом число Е> 0 выбрано в соответствии с теоремой 2.
Введем в рассмотрение операторы в пространстве ИЬ : - +2-1 + (2 - п (0, ¿2,0 - +2-1 + (го, Огп - (¡2,п -чЯ0,п (п = 0,ж -1). Определено Ыщп е n [6], такое, что при Ы/2 е nшln -{Ыш1п, Ыт1п +1, ...} операторы (¡±0 ограниченно обратимы. Тогда операторы (¡± также ограниченно обратимы и имеют место формулы
1 N-1 1
(±) = и(тя); ¿±,0-1) )-1,
n=0
-fNNG^)G^ 1 G±,0-1) (n = iW-1). (7)
V rn=1 J
Определение. Будем говорить, что ограниченные операторы An [ C ^ D ] (n е n) сходятся при n ^да по операторной норме к соответствующим ограниченным операторам Bn [ C ^ D ], если ||An f - Bn f\|D ^ 0 при n ^да равномерно в шаре ||f |C < 1.
Доказаны следующие утверждения (см. теорему 6 и следствие 3 [6]):
Теорема 3. Пусть 5Qe C2. Тогда операторы (g±) [ HL ] (L/2 е n, N/2 е nmin) совокупно ограничены.
Теорема 4. Пусть 5Q е C5 n C2у и у > 2 . Тогда операторы (g± ) PL [ C0 3 (5Q) ^ HL ] (L/2 е n, N/2 е nmin) сходятся при L, N ^да по операторной норме к соответствующим операторам PL (±) [C03(9Q) ^ HL ] с порядком аппроксимации O (h3 + h3).
Сеточные аппроксимации решений краевых задач
Контур 5Q е C2 не имеет точек самопересечения, поэтому существует постоянная cr = inf > 0 . Справедлива оценка: cK |ст| < c'K c-^2r , где S - острый угол между нормалями, проходящими через точки x(s) и x(s') (s, s' е I'S); cK = sup K(s, s'), K(s, s') = |д2 ф2|; cK = sup K(s, s), K(s, s) - кривизна кривой в
(s,s ')е® sеI¿
точке x(s). Отложим на нормали к кривой 5Q в каждой точке x(s) (s е IS ) отрезок одной и той же длины d е ID = [0, D] (D = clj2 j(3c'K)), направив этот отрезок внутрь области Q± . Величина 3D может быть взята в качестве радиуса круга Ляпунова (круг с таким радиусом с центром в точке x (s) обозначим через 0( s)),
поэтому согласно [11, с. 313] концы таких отрезков x± (s) е Q± образуют замкнутую линию 9Q± е C1, параллельную кривой 5Q, т.е. каждая точка x± (s) может быть получена указанным образом из единственной точки x(s).
Введем в рассмотрение местную систему декартовых координат s, ns) с началом в точке x(s) и осью ординат, направленной по нормали внутрь области Q- . Координаты (|s, ns) точек x± (s) и x(s') равны соответственно (0, + d) и (-2-1 дsф0, 2-1 дп(), поэтому r2 = |x(s') - x± (s)| = ф0 ± 2d ф2 + d2. Зададим
на множестве © функцию ф4 (я, я'), а на множестве У - 1В х © - функции Ф± (ё, я, я ') и ф± (ё, я, 5 '):
Ф4 - д5 'Ф2 = -*2 (я) X (5 ') + X (5) ^2 (я ') , Ф± -Ф0 ± 2ё Ф2, Фз - 2-1 д5'Фо =Фз ± ё Ф4.
Так как кривая дО и окружность радиуса ё е 10 с центром (я) имеют только одну общую точку х(я) и Ф± = г2 - 2г ё 008 а±, где а± - угол между лучами х(я)х(5') и х(я)х° (я), то Ф° > 0 при (ё, я, 5') еУ , 5 Ф 5 '. Следовательно, на множестве У можно задать функцию р± (ё, я, я' ): р± = , если ст> 0, и
Р± = —л/Ф° , если ст< 0 . Введем также в рассмотрение функцию у4(5, я'), заданную на множестве © при я ' Ф я равенством у4 - Ф4/ст , а при я ' = я равенством У4 (я, я) - -х2 (я) хХ1'(я) + 5с[ (я) х2 (я), а также функции у ± (ё, я, я '), у± (ё, я, я'), 5°(ё,я,я '): у°-у0 ±2ёу2, у°-у3 ±ёу4, 5±-(д5 .р±) = ^у±/у± . Так как у 0(я, я) = 1, |у2(я, я) - 2-1 К (я, я) и Б < 1/(3с^), то при (ё, я) е 1П х Г5 имеем оценку: у±(ё,я,я) > 2/3. Поэтому у± > 0 на множестве У.
При фиксированном я е Г8 обозначим через Е5 связный участок кривой дО между двумя параллельными прямыми, находящимися на расстоянии Б от прямой х(я)хё (я), причем х(я) е Е5. Соответствующие значения ст обозначим через . Левую и правую границу отрезка обозначим через Е5 и Е5 соответственно.
Лемма [9]^ Пусть I - замкнутый интервал на вещественной оси. Предположим, что некоторая вещественная функция /(г, имеет на множестве I х I непрерывные производные дггд;£/ (г = 0, т , у = 0,т'), причем т < т' и ду/|^=г = 0 при г е I, у = 0, q -1, где q = т' - т. Тогда функция А(г, , заданная при ^ ф г равенством А(г,О - //(С-г)q , а при <^ = г - равенством А(г,г) -д?/ !, имеет на множестве I х I непрерывные производные дгг д^А при г = 0, т - у , у = 0, т .
Теорема 5. Пусть дОе Сп+2 (п е z+). Тогда на множестве У '- {(ё, я, я'): стеН5 я е I; , ё е ^} функция 5± положительна, ограничена сверху и существуют непрерывные производные д5-5± (у = 0,п).
Доказательство. Условия леммы выполняются, если / = ф4, т = п , ? = 1, г = я ', ^ = 5 , I = 12; . Тогда, согласно лемме, существуют непрерывные на множестве 12; х 12; производные д5 -у4 (у = 0,п). Аналогично (ср. с теоремами 1 [9] и 2 [6]) доказывается существование непрерывных на множестве Г2; х Г2; произ-
водных дS'уi (j = 0,n , i = 0,2,3). Следовательно, существуют непрерывные на множестве Y производные дS 'у± и дS 'у± (j = 0, n). Так как у± > 0 на множестве Y, то существует положительная постоянная с± = inf у± .
(d, s, s')eY
Пусть ceSS, s eI'S . Справедлива оценка: ds 'p > 2-1. Действительно, допустим обратное: ds ' p<2-1. Имеем равенство: p(s, s ' + As' ) -p(s, s' ) = = p(s', s ' + As')sin a + o(As), где a - угол x(s)x(s')x0; x0 - точка пересечения нормалей к dQ, проведенных через точки x(s) и x(s'). Так как у0 (s ', s') = 1, то lim p(s', s' + As')/As' = 1, и поэтому sin a = ds-p < 2-1, т.е. a = n/6-e1 (s1 > 0).
As '^0
Так как Es cO(s)[11, с. 285], то угол x(s)x0x(s') - угол между нормалями n (x(s)) и n (x(s ')) - равен л/3 -e2, где e2 > 0 (см. оценку (7) [11, с. 283]). Следовательно, угол x(s')x(s)x0 равен л/2 + e2 +e2. Тогда существует точка x(s") пересечения отрезка x(s)x(s') с дугой Es (иначе существует прямая, параллельная n (x(s)), пересекающая Es более чем в одной точке), такая, что угол между нормалями n (x(s')) и n (x(s")) не меньше л/3 + ej. Это невозможно, так как |x(s' )x(s")| < |x(s)x(s')| < 3D , следовательно, точка x(s') находится внутри круга O(s "). Получили противоречие, вследствие которого справедлива оценка ds 'p > 2-1 при любых aeHs, s e IS .
В силу равенства ф3 =pds .p и неравенства p/ct> Cj2 получаем на основании доказанного оценку: у3 > 2-1 с12 (oeSs, s e IS ). Кроме того, |у4| < c'K при (s, s' ) e© , и d < с12/(3c'K), поэтому на множестве Y ' выполняется неравенство
у± > 6-1 с12. Следовательно, функция S± положительна и S± < 6 с-12 sup
(s, s' )e©
на множестве Y '. Учитывая также, что у± > с± > 0 , получаем остальные утверждения теоремы на основе представлений: дs 'S± = Fj^ty±)j+1 (у±)j] , где функции Fj суть многочлены, образованные степенями производных д^у±, и дs -у± (k, l = 0, j ). Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть дQeCn+2 (nez+). Тогда функция p±s(ст) = p±(d,s,s + ст) при любых фиксированных s e IS, d e ID диффеоморфно с гладкостью Cn+l отображает множество S s на множество pd±s (Ss). Функция S± (d, s, p) = 5± (d, s, s + ст± s (p)) (ст± s (p) - функция, обратная к функции pjs (ст)) имеет непрерывные на множестве Y' = {(d, s, p): pepd±s (Ss), s e I'S , d e ID} производные S± (j = 0, n).
Операторы G0(х) [ C(dQ) ^ L2] (х efi+) представим в следующем виде: G0 (х) f = f A(х, т) е"рт U(т) f dт (f e C(dQ)). Здесь A(х, т) [ C(dQ) ^ L2 ]
J Ij.
(т> 0) - ограниченные операторы: A(х, т) f = f a(r, т) f (х') ds'.
J5Q
Замкнутую область, образованную всеми кривыми dQ± (d e ID ), обозначим через QD. Пусть s e IS , d e ID и х = X± (s). Используя местные координаты (|s,ns), равенство s = cosSds' (Q - угол между векторами п(х) и п(х')), оценку (7) [11, с. 283]: cos 2-j (х ' eEs), и оценку r > ||s|, получаем следующую оценку:
D
f exp[-rУ(4a2т)ds' < 2 f exp[-|s2/(4a2^]s < 4а%/Пт1/2
Es -D
(х e QD, т> 0). (8)
Представим операторы A(х, т) (х e Q±, т> 0) в виде суммы:
A( х, т) = A' (х, т) + A''(х, т),
где
A'(х, т)f a(r, т)f (х') ds' (х = X± (s) e QD ),
Es
A'(х,т) f = 0 (х e Q± \ QD), A"(х,т) f = f a(r,т) f (х') ds' (х = X± (s) eQD ),
3Q\Es
A''(х,т) f = f a(r, т) f (х') ds' (х eQ± \ QD ).
3Q
Так как нормаль х(s) X± (s) к кривой dQ при любом s e IS является и нормалью к кривой dQ± (d e ID ) [11, с. 312], то r > D, если (х, х')eQ± \ Qdd xdQ . Действительно, допустим, что при некоторых sj, s2 e IS существуют точки х(sj) и %D(s2), такие, что |х(sj)хD(s2)| < D . Тогда существует s3 e IS , такое, что либо х(sj) Ф хD (s3), прямая х(sj)хD (s3) является нормалью к кривой dQD и |х(sj)XD(s3)| < D, либо х(sj) = %D(s3). В обоих случаях прямая х(sj)х(s3) является нормалью к кривой dQ в точке X(s3), причем длина отрезка X(sj) X(s3) меньше 2D , т.е. точка X(sj) лежит внутри круга 0(s3). Следовательно, существует прямая, параллельная нормали п (X(s3)) и пересекающая дугу X(sj) X(s3) кривой dQ внутри круга 0(s3) более чем в одной точке. Это невозможно, поэтому r > D, если (х, х') e Q± \ QD x dQ .
Так как любая прямая, параллельная прямой X(s)X± (s) (s e IS , d e ID ), пересекает границу dQ внутри круга 0(s) не более чем в одной точке, то r > D, если
x = x± (s) е QD , x' е dQ \ Es. С учетом оценки (8) получаем следующие оценки норм операторов A'(x,т), A"(x, т) [ C(dQ) ^ L2 ] при x eQ± , т> 0:
|| A '(x, т)|| < c'A т-1/2, c'A = л-1/2a ; ||A"(x,т)|| < c'A = (2n)-1 S sup т-1 exp[-D2/(4a2т)] . (9)
те(0,да)
В силу оценок (9) имеем равномерную на множестве Q± ограниченность операторов G0 (x) [ C(dQ) ^ L2 ]:
||G0(x)|| < 2jTcA + Tc'A (x е Q±). (10)
Пусть N/2 е n , N/ 2 е n . Зададим ограниченные операторы G0 (x)
[C(dQ) ^L2] (xеQ±):
G0(x)f A(x,т)U(т)f dт (f е C(dQ)), A(x,т) = A(x,т)е(т),
It
2
Щт) и (т2я+1 + ^т) и (т) (те[х2„, т2и+ 2 ], п = 0, N/2 -1).
т=0
Так как р(т)||< 1, |е~рт|< 1 (т>0), то р(т)|| <сл , |е(т)| < сл (см. оценки (5)). В силу оценок (4) имеем оценки
р(т)/ - и(т)/\\с(ЭО) < си |\в>/\\с(э0) Ит3 (/ е С (Ш)),
|е(т) - е-рт|<(р3/#3 ) си й3 (Г е 1Т ). (11)
На основании оценок (9) и (11) при любых / е С3 (да), х е получаем оценки
ро(х)/-Со(х)/| <(2с'А^ + с^Т)\в3/\С(ЭП) + Слсси(р73))/|С(ЭО)]Л3,
из которых вытекает следующее утверждение:
Теорема 6. Пусть дПе С2. Тогда операторы ё0 (х) [ С3 (5П) ^ Ь2] (N12 е n ) сходятся при N по операторной норме к соответствующим операторам Р0 (х) [ С3 (да) ^ ¿2 ] равномерно по х еП± с порядком аппроксимации О (И3).
Пусть Ь12 е n . Введем в рассмотрение операторы р [ Иь ^ С(да) ]:
2
(/) = 1 /2/-1+т Ли(5) (/ е Иь , ^ е [%-!,•%+:], / = -¿/2,¿2).
т=0
На основании оценки (5) имеем оценку ||р || < сл. В силу оценки (4) справедливы оценки
11Р Р / - /| С (за) < / II с (дП)И3 (/ е СЗ(5П)). (12)
С помощью равенств Р0(х)/ - I А(х, т) и(т) р / ёт (/ е Иь, х еП±) зададим
* 1т
ограниченные операторы Р0(х) [ Иь ^ ¿2]. В силу оценок (9), (12), р(т)|| < сЛ и
|е(т)| < Сл имеем оценки
||G0 (х) PL f - G (x) f\ <( 2 c'A4T + c'AT ) Сл Сл cm || f (3) || c (0Q) h3
(/ е С3(дП), х еП1), позволяющие сделать следующее утверждение:
Теорема 7. Пусть дП е С2. Тогда операторы 60 (х)РЬ [ С3 (дП) ^ Ь2 ] (Ь/2 е n, Ж/2 е n ) сходятся при Ь ^го по операторной норме к соответствующим операторам (?0 (х) [ С3 (дП) ^ Ь2 ] равномерно по N и х еП1 с порядком аппроксимации О (И^).
Операторы ¿0 (х) могут быть представлены в виде конечных сумм:
„ N-1 „
Со(х) =Х ёо,„ (х) и(х„), (13)
п=0
„ Т2 „
б00(х) = | А(х, т) е(т)Л0(т) ёт ,
т0
т2 п+2 _
®0,2я+1(х) = | А(х, т) е(т)Л1(т) ёт (п = 0, Ж/2 -1),
т2п
т2п т2п + 2 _
ё02п (х) = | А(х, т) е(т)Л2(т) ёт+ [ А(х, т) е(т)Л0(т) ёт (п = 1, Ж/2 -1).
т2п—2 т2п
Операторы А(х, т) = А(х, т) РЬ [ НЬ ^ Ь2 ] подобно ¿0 п (х) имеют вид скалярных
матриц-строк длиной 2 Ь + 2 :
„ Ь "2,+1
А(х, т)/ = X 8 (х, т)/ (/ е Нь); &21 (х, т) = [ ёДх, 5 ', т) ё5',
1=—Ь—1 52;—1
521—1 521+1 _
ёц—1( х, т) = | ,2( х, 5' , т) ё5' + | ,0( х, 5' , т) ё5' (I = — Ь/ 2,Ь/ 2),
—3 521—1
£т (х, 5 ', т) = ,0 (х, х(5 '), т)Лт (5 ') (т = 0,2). Все интегралы Jml (х, т) +1 ,т (х, 5' , т) ё5' (I = — Ь — 1, Ь , т = 0,2) представим в виде суммы Jm¡ = J'ml + J"ml. Здесь в случае х = х± (5) е П (5 е )
(ё, 5 т) = П^ 8т (-х± (5Х 5 + ^ т) ё ^ '1"т1 (х, т) = 8т (х, 5, т) .
,1 в5, I
При этом а51 = ш1п{5 — 5, Е5}, Рж1 = тах {5,5 + }, если ^ > 5 ;
asl = max{st -s,ES}, ßsl = min{st,s + ES}, если sl <s . В случае x eQ± \Q;
Jm,l = 0 , Jm,l = Jm,l ( ßs,l = Sl ).
В интегралах J'ml (d е ID , s е IS , т> 0) на основании следствия 2 сделаем замену переменной ст = ст± s (р):
R±, s (as,l+1) _
J'm l (d, s,т) = J a(^jр2 + d2, т) 5m (d, s, р) dp (m = 0,2, / = -L -1, L ),
fti,s (as,i )
5+m = 5 + (d, S, P) Лm (s + CT±,s (P)) . Введем в рассмотрение интегралы J'm l, аппроксимирующие J'm l:
R±, s (as ,1 +1) _
J^m,, (d, s,т) = J a(4p2 + d2, т) 5m (d, s, p) dp (m = 0,2, J = -L -1, L )
fti,s (as,i )
2
5m = (d, S, Pd±s,J + ?m'hd,s,l)Лm' (P) ( Ре[р<±,s (as,l X Pd,s (as,J+1 )] ),
m '=0
hd,s,l = 2-1 [Pd,s (as,l+1) -Pd,s (as,l )] , Pd,s,l = 2-1 [Pd±,s (as,l ) + Pd,s (as,l+1)] . Интегралы J'ml (x eQ± , т>0) аппроксимируем с помощью ПКФГ с у узлами:
</ (х, т) - и;,/ Е *} ёт (х, Р,,/ + и;,/ , т) (т = 0,2, / = - £ -1, Ь ),
] =1
в,/ - 2-1 (Р;,/ +Р;,/ +! ) , И;,/ - 2-1 (Р;,/ +! -Р;,/ ) . В силу следствия 2 и неравенства г > Б, имеющего место, если (х, х') еП± \ х дП или х = х± (;) е , х' е дП \ Е(;), при указанной гладкости кривой дП могут быть определены константы:
c j = sup Гр
(d ,s,p)eT
(dQ е Cn+2), c'j =
- sup |djg0 (x, x (s'), т)| (dQ е Cn n C2 )
|x - x ( s ' )| > D,т>0
(j = 0, n , n е z+).
Учитывая неравенства (4), (6) и h±sl < 2 1 chhs (ch = sup ds .p± ), при ус-
(d, s, s ' )еТ '
ловиях dQ е C5, f е C2 (dQ) при любых d е ID , s е IS , т>0 имеем оценку:
l=L/2 2 0
£ £ £ (Jm,2l+l' - Jm,2l+l' ) f2l -1+m l=-L/2 m=0 l '=-1
l=Ll 2 p±,s (as ,21+1) _
_ || dp [5 ± f (s + ct±s (p))]|i £ J aW p2 + d2, т) dp<
(d,s,p)eT' 2 j=-Lj2
< 8-1 hs3 c3 cffl sup
p±,s (as,2l-1)
<c 'т-1/2hs31 f |c2(dQ), c '=16-1 an-1/2c3cffl [c3 ^ +(4c2 c0 +3C12)cЛ + 6c; <% cЛ] , (14a)
где fl = f (xl), f = PL PL f. Если dQ е C2Y , то при любых x eQ , т>0 имеем оценку:
X X X ((ш,21+1 ' — ^,21+1 ' )) —1+т
0/21
< с" ь?\\/1
I =Ь/ 2 2 0
X X X
I =—Ь/ 2 т=0 I '=—1
„„ _ (у !)4 [с2усл +2ус2'у—! сЛ +у(2у — 1)^сЛ]
1С2(ЗП) '
[(2у)!]3 (2у +1)
(14Ь)
[10, с. 259]. Операторы (0(х), (0п(х) (п = 0,N — 1), в которых интегралы Jml (х, т) заменены выражениями ,/т1 (ё, 5, т) и ,/т1 (х, т), обозначим через (?0(х), (И'0п (х) и (?0'(х), (¡00 п (х) соответственно. В силу оценок (5), (14), ||РЬ || < 1 имеем при условии дП е С5 п С2у оценки:
||(?0(х)рь/ — (?0(х)рь/||ь < сЛсЛ (2с/л/тИ^3 + с'ТИ2у)||/||с2^) (/ е С2(дП))
((?0(х) _ (0(х) + 00(х)), из которых вытекает следующее утверждение:
Теорема 8. Пусть дП е С5 п С2у и у > 2 . Тогда операторы (0 (х)РЬ [ С2 (дП) ^ Ь2] (Ь/2 е N , Ж/2 е n ) сходятся при Ь ^да по операторной норме к соответствующим операторам (0 (х)РЬ [ С2 (дП) ^ Ь2 ] равномерно по N и х еП1 с порядком аппроксимации О (И3).
С учетом оценок (5) получаем следующие неравенства:
I = Ь/ 2 2 0
X XX т,21+1 ' (ё, 5 т)/21 —1+т
I=—Ь/2 т=01'=—1
< сл с0 II/|1н,
I=Ь/ 2 Р<Ь (а5,21+1) _
X [ а(4р2 + ё2, т) ёр< 2—1 а 11/2слс0 т—1/2 |
1=—Ь2 Р1,5 (а5,21—1)
I=Ь/ 2 2 0
XXX т,21+1 ' ( х, т)/21 —1+ т
I=—Ь/ 2 т=01 '=— 1
< 2^11/Н
(ё е /в , 5 е /^ , х еП1, / е НЬ , т> 0), следствием которых являются неравенства
||<?0( х)/||Ь < сл ск(^Та п—V2 сл ¿0 + 2ТБ с'' )\\/^ (/ е Нь ).
Последние неравенства позволяют сделать утверждение:
Следствие 3. Пусть дП е С2 . Тогда операторы (0 (х) [ Нь ^ Ь2 ] (Ь/2 е n, Ж/2 е n ) ограничены в совокупности на множестве П1.
При вычислении операторов (¡'0(х) интегрирование по т осуществляется точно, и интегралы выражаются через интегральные показательные функции
Ь
2
Б1(-гп) (гп - (р2 + ё2 (4а2тп), п = 1, NN). Затем вычисляются интегралы по р,
но не все они вычисляются точно. В таких случаях для аналитического интегрирования функции Б1(-2п) заменяются многочленами, образованными первыми членами разложения этих функций в знакопеременные и быстро сходящиеся ряды Тейлора, а именно: К членами со степенями )к (к = 1,К) и, кроме того, логарифмическим и постоянным членами. Значения ст±; (р±;/ + ЧтИ±;/)
(/ = - Ь -1, Ь , т = 0,2) могут быть получены как численные решения уравнений Рё;(ст) = р±; / + ¿¡тИ±. Производные х'(;) (' = 1,2 ) вычисляются аналитически, так как аналитические выражения функций х{ (;) считаются известными. На основании теорем 6-8 делаем следующий вывод:
Следствие 4. Пусть дП е Со С2у и у > 2 . Тогда операторы <?0 (х)РЬ [ С 3 (дП) ^ Ь2] (Ь/2 е n, N2 е n ) сходятся при Ь, N ^да по операторной норме к соответствующим операторам <0 (х) [ С0 3 (дП) ^ Ь2 ] равномерно по х еП± с порядком аппроксимации О (И3 + И3).
Введем в рассмотрение операторы К± (х) - в0( х )(<±) и К± (х)-<<0( х) (<<±)
(Ь/2 е n, N12 е ). С учетом оценок (10), теорем 1, 4 и следствий 3, 4 получаем следующее утверждение:
Следствие 5. Пусть дП е Со С2у и у > 2 . Тогда операторы Я2 (х) РЬ
[ С0 3 (дП) ^ Ь2 ] (Ь/2 е n, N12 е ) сходятся при Ь, N ^да по операторной норме к соответствующим операторам Я± (х) [ С0 3 (дП) ^ Ь2 ] равномерно по х еП± с порядком аппроксимации О (И3 + И;3).
Введем в рассмотрение банахово пространство С(1Т) классов функций / е Ь2, эквивалентных непрерывным на отрезке 1Т функциям /(1), с нормой ||/||С - Бир|/(1)| . Имеют место вложение И1 с С(1Т) и оценки:
т tеIT
1 Г t IV2
\/(1) = ¡(Б/)(1 ')ё1' < 1 ¡|(Б/)(1 ')|2 Л'
0 I 0 _
Пусть N12 е n . Введем в рассмотрение банаховы пространства CN сеточных функций / со скалярными комплексными значениями /п , заданными в узлах тп (п = 0, N), с нормой: ||/||С = тах |/п|. Зададим операторы PN [ И1 ^ CN ]:
N 0<п^
(PN/)п = /(тп) в силу оценок (15)), и pN [CN ^ С(1т)]:
( / )(1)-ЕЕ /2п+т Л т (1) ( / е CN , 1 е^ , т2п+2 ] , п = 0, ^ 2 - 1).
/||и1 (1 е 1т , / е И>). (15)
т=0
В силу неравенств (4), (5) и (15) справедливы оценки:
\PN PN
||< cAVT , ||Pn Pn f - f\\C(h) < caJT\\f\\H4 h\ (f e H4). (16)
Учитывая оценки (10) и (16), теорему 1, следствие 5, равенства (3) и замкнутость оператора B, приходим к окончательному выводу:
Следствие 6. Пусть dQ e C п C 2У и у > 2 . Тогда операторы PN PN R± (x) PL [C33(5Q) ^ C(IT)] (L¡2 e n, N¡2 e nmin) сходятся при L,N ^да по операторной норме к соответствующим операторам R± (x) [ C33 (dQ) ^ C(IT) ] равномерно по x eQ± с порядком аппроксимации O (h^ + h3).
Следствие 6 позволяет получить приближенные решения задач (1). На основании теоремы 3, следствия 3, равенств (3), первой оценки (16) и оценки ||pj < 1
можно также сделать вывод об ограниченности операторов PN PN R± (x) PL [ Cj (dQ) ^ C(IT) ] (x eQ±) в совокупности. Сформулируем заключительное утверждение:
Следствие 7. Пусть 5Q e C5 п C2у и у > 2 . Тогда, если w± e C33 (dQ), то функции U± (x, t): U± (x) - PN PN R± (x) PL w± (L/2 e n , N¡2 e nmin), сходятся при L, N ^да к соответствующим решениям краевых задач (1) и± (x,t) равномерно по (x, t) efí±x IT (при почти всех t) с порядком аппроксимации O (h3 + h3). Кроме того, |и±[5] (x, t) - и± (x, t)| ^ 0 равномерно по (x, t) efi±x IT
(при почти всех t) при L, N ^да, 5^0 (й±[5]( x) - R± (x) PL PN w2[5],
w±[5] e C (dQ): ||w±[5] - w± II <5 ).
2 1V 7 II 2 2 IIcj(3Q) 7
Для вычисления решения u2± (x, t) в произвольной точке (x, t) e Q± x IT используем равенства:
N-1 n
R± (x) = X R±,n (x) U(Tn ) , RR±,n (x) - X Gom (x) G±m ,
n=0 m=0
Go,n (x) - 4n (x) + G0,n (x) (n = 0, N -1) (см. формулы (7) и (13)), при этом операторы n (x), как и n (x), имеют вид скалярных матриц-строк длиной 2L + 2 . Операторы PN и U(тп ) коммутируют на множестве C(IT), поэтому функции и± (x, t) сначала могут быть вычислены
в трех узлах T2n+ j ( j = 0,1,2 ): и± (x, T2n+ j ) = X ms R±m (x) #± (•, т2 n + j-m ) ( w± - PL w±), а затем в любой точке t e [x2n,T2n+2] (0 < n < N¡2 -1) с помощью квадратичной интерполяции.
Вычислительные эксперименты
Рассмотрим численное решение внутренних задач (1) в случае, когда граница 5Q представляет собой окружность радиуса R = 1. В выбранной таким образом геометрии имеем следующие значения: D = 2/(3л), Е" = arcsin(2/(3п))
(s e I'S). Решения й+ получаем согласно следствию 7. Кроме того, находим решения й+, отличающиеся от решений й+ только тем, что все интегралы
Ji,m,k,l (т) = I gi,m,k (CT, Т) da и Jm,l (Х т) ( i = 0, 2 , m = 0,2 , k, 1 = -L - 1 L , т>0,
sl
x efí+) вычисляются с помощью ПКФГ с у узлами. Вычисления проводим при
T = 1, a = 1, N = 2, M = 2 (Е = 2п/3), K = 10, n = 0, p = 0,
w+ (ф,t) = 16t2 (1 -1)2 sinф (ф — полярный угол). «Точные» решения находим с помощью функций Грина, при этом интегрирование по временной переменной на промежутке [0; 9 • 10-7 ] осуществляем численно с помощью ПКФГ с 12 узлами, а все остальные интегралы вычисляем аналитически. Все решения получаем на окружностях 5Q ' с радиусами R' < 1, концентрических с окружностью 9Q, в узлах (x' , tj) и (x'¡, tj) (l = -L -1, L , tj = jhT, j = 0, N), где x'¡ и x" - точки, получающиеся из граничных точек x¡ = x(s¡) и x¡= x(sl + hs/2) соответственно, в результате сжимающего отображения окружности 5Q на окружность 5Q '. Вычисления проводим с обычной точностью.
Пусть 5м = ||й+ - й2+||/||й+1|, 5м = ||u¿+ - й2+1|/||й+1| (|- среднеквадратичная
норма). Через 5м' и 5м" обозначим значения 5м или 5м, вычисленные в узлах (x', tj) и (x", tj) соответственно. В таблице в каждой основной ячейке представлены три значения 5м' или 5м" : значение 5м, значение 5м при у = 4 и значение 5м при у = 12 в соответствующем порядке сверху вниз.
Практически той же точностью, что и решения й+ , обладают решения й+ , отличающиеся от решений й+ только тем, что все интегралы Jml (x, т) вычисляются с помощью ПКФГ с y узлами. Проведенные эксперименты позволяют утверждать, что применение исключительно ПКФГ для вычисления интегралов J m l (x, т) влечет нарушение равномерной сходимости численных решений в области Q+ : при приближении к границе 9Q точность решений й+ и й+ существенно уменьшается (в меньшей степени - при приближении к точкам, лежащим на границе между двумя граничными элементами). В то же время применение точного интегрирования по компоненте р+ межточечного расстояния r для вычисления интегралов J'm l (d, s, т) обеспечивает почти равномерную сходимость в
области Q+ : при приближении к любой точке границы 5Q точность решений й+ уменьшается менее чем в 10 раз. Близкие результаты были получены при значениях п = 1 и p = п2 .
Относительные среднеквадратичные отклонения 5и
R' 1 - 2/(3n) 0.9 0.99 0.999 0.9999 0.99999 0.999999
/7 к II -s? vo II -sT 5u 9.19-10-4 9.26 -10-4 9.26 -10-4 9.68 -10-4 1.05 -10-3 9.69 -10-4 9.77 -10-4 3.67 -10-3 9.65 -10-4 9.72 -10-4 1.36 -10-2 1.50 -10-3 9.79 -10-4 1.50 -10-2 2.56 -10-3 9.39 -10-4 1.51 -10-2 2.65 -10-3 9.31 -10-4 1.51 -10-2 2.65 -10-3
5u" 9.74 -10-4 1.0110-3 1.0110-3 1.20 -10-3 2.69 -10-3 1.21 -10-3 1.60 -10-3 4.27 -10-2 9.17 -10-3 1.65 -10-3 5.5110-2 1.93 -10-2 1.66 -10-3 5.65 -10-2 2.06 -10-2 1.63 -10-3 5.66 -10-2 2.07 -10-2 1.63-10-3 5.66 -10-2 2.07 -10-2
5 ТЭ II -s? /3 II -sT 5u' 5.76 -10-5 5.73 -10-5 6.10-10-5 6.72 -10-5 7.07 -10-5 6.98 -10-5 7.64 -10-5 8.97 -10-4 8.06 -10-5 7.70 -10-5 5.25 -10-3 6.55 -10-5 8.33 -10-5 6.59 -10-3 7.68 -10-4 6.54 -10-5 6.68 -10-3 8.54 -10-4 6.60 -10-5 6.69 -10-3 8.58-10-4
8u" 5.76 -10-5 5.75 -10-5 6.10-10-5 6.88 -10-5 8.27 -10-5 7.13-10-5 9.42 -10-5 1.35-10-2 1.24 -10-3 9.91-10-5 2.45 -10-2 7.84 -10-3 1.05 -10-4 2.59 -10-2 9.18-10-3 9.02 -10-5 2.60 -10-2 9.28 -10-3 9.04 -10-5 2.60 -10-2 9.28 -10-3
/31 ТЭ II -s? /6 II -sT 5u' 6.76 -10-6 5.87 -10-6 7.26 -10-6 8.36 -10-6 7.02 -10-6 7.02 -10-6 1.02 -10-5 4.28 -10-4 1.10-10-5 1.08 -10-5 1.85 -10-3 7.98 -10-5 1.79 -10-5 3.10-10-3 2.82 -10-4 3.62 -10-5 3.19-10-3 3.60 -10-4 4.66 -10-5 3.19-10-3 3.64 -10-4
8u" 6.75 -10-6 5.87 -10-6 7.27 -10-6 8.37 -10-6 7.02 -10-6 7.02 -10-6 1.05 -10-5 2.97 -10-3 4.63 -10-5 1.13-10-5 1.1110-2 3.09 -10-3 1.82 -10-5 1.24 -10-2 4.34 -10-3 3.63 -10-5 1.25 -10-2 4.44 -10-3 4.66 -10-5 1.25 -10-2 4.44 -10-3
Также были проведены вычислительные эксперименты по решению аналогичных задач Дирихле с помощью потенциала простого слоя [12]. При этом в случае использования аппроксимации J'ml (d, s, т) тоже наблюдалась более высокая точность полученных вблизи границы 5Q численных решений, чем в случае аппроксимации интегралов Jml (х, т) только с помощью ПКФГ (для того, чтобы сравнение было корректным, в обоих случаях для решения соответствующих ГИУ первого рода использовалась аппроксимация J0mkl(т)). В заключение отметим, что
точное интегрирование по р± может быть аналогичным образом использовано для аппроксимации потенциалов простого слоя стационарных уравнений Д2u - pu = 0 (p > 0) в двумерной области Q± .
ЛИТЕРАТУРА
1. Бреббия К., ТеллесЖ., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. 524 с.
2. Onishi K. Convergence in the boundary element method for heat equation // Teaching for Robust Understanding of Mathematics. 1981. V. 17. P. 213-225.
3. CostabelM., Onishi K., Wendland W.L. A boundary element collocation method for the Neumann problem of the heat equation // Inverse and Ill-Posed Problems (H.W. Engl and C.W.Groetsch, ed.). Boston: Academic Press, 1987. P. 369-384.
4. Hongtao Y. On the convergence of boundary element methods for initial-Neumann problems for the heat equation // Mathematics of Computation. 1999. V. 68. No. 226. P. 547-557.
5. Iso Y., Takahashi S., Onishi K. Numerical convergence of the boundary solutions in transient heat conduction problems // Topics in Boundary Element Research (C.A. Brebbia, ed.). V. 3. Berlin: Springer, 1987. P. l-24.
6. Иванов Д.Ю. О решении плоских задач нестационарной теплопроводности коллокаци-онным методом граничных элементов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2017. № 50. С. 9-29. DOI: 10.17223/19988621/50/2.
7. Иванов Д.Ю. Решение двумерных краевых задач, соответствующих начально-краевым задачам диффузии на прямом цилиндре // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1094-1103.
8. Иванов Д.Ю., Дзержинский Р.И. Решение задач Робена для двумерных дифференциально-операторных уравнений, описывающих теплопроводность в прямом цилиндре // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. № 1. С. 15-17.
9. Иванов Д.Ю. Устойчивая разрешимость в пространствах дифференцируемых функций некоторых двумерных интегральных уравнений теплопроводности с операторно-полугрупповым ядром // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 6 (38). С. 33-45. DOI: 10.17223/19988621/38/4
10. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 1. М.: ГИФМЛ, 1962. 464 с.
11. СмирновВ.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. М.: Наука, 1981. 551 с.
12. Hamina M., Saranen J. On the spline collocation method for the single layer heat operator equation // Mathematics of Computation. 1994. V. 62. No. 205. P. 41-64. DOI: https:// doi.org/10.1090/S0025-5718-1994-1208222-2
Статья поступила 31.08.2018 г.
Ivanov D.Y. (2019) A REFINEMENT OF THE BOUNDARY ELEMENT COLLOCATION METHOD NEAR THE BOUNDARY OF DOMAIN IN THE CASE OF TWO-DIMENSIONAL PROBLEMS OF NON-STATIONARY HEAT CONDUCTION WITH BOUNDARY CONDITIONS OF THE SECOND AND THIRD KIND. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 57. pp. 5-25
DOI 10.17223/19988621/57/1
Keywords: non-stationary heat conduction, boundary integral equation, single-layer heat potential, singular boundary element, collocation, operator, uniform convergence.
In this paper, we consider initial-boundary value problems (IBVPs) for the equation dt u=a2A2u - p u with constants a, p > 0 in an open two-dimensional spatial domain Q with boundary conditions of the second and third kind at a zero initial condition. A fully justified collocation boundary element method is proposed, which makes it possible to obtain uniformly convergent in the space-time domain Q x [0, T] approximate solutions of the abovementioned IBVPs. The solutions are found in the form of the single-layer potential with unknown density functions determined from boundary integral equations of the second kind.
To ensure the uniform convergence, integration on arc-length s when calculating the potential operator is carried out in two ways. If the distance r from the point x е Q at which the potential is calculated to the integration point x' е 3Q does not exceed approximately one-third of the radius of the Lyapunov circle ЯЛ, then we use exact integration with respect to a certain component p of the distance r: p = (r2 - d2)14 (d is the distance from the point x е Q to the boundary 3Q). This exact integration is practically feasible for any analytically defined curve 3Q. In this integration, functions of the variable p are taken as the weighting functions and the rest of the integrand is approximated by quadratic interpolation on p. The functions of p are generated by the fundamental solution of the heat equation. The integrals with respect to s for r > КЛ/3 are calculated using Gaussian quadrature with у points.
Under the condition 3Q е C5flC2y (y > 2), it is proved that the approximate solutions converge to an exact one with a cubic velocity uniformly in the domain Q x [0, T]. It is also proved that the approximate solutions are stable to perturbations of the boundary function
uniformly in the domain fl x [0, T]. The results of computational experiments on the solution of the IBVPs in a circular spatial domain are presented. These results show that the use of the exact integration with respect to p can substantially reduce the decrease in the accuracy of numerical solutions near the boundary in comparison with the use of exclusively Gauss quadratures in calculating the potential.
AMS Mathematical Subject Classification: 80M15, 65E05
IVANOVDmitry Yurievich (Candidate of Physics and Mathematics, Moscow State University of Railway Engeneering (MIIT), Moscow, Russian Federation). E-mail: ivanovdyu@yandex.ru
REFERENCES
1. Brebbia C.A., Telles J.C.F., Wrobel L.C. (1984) Boundary element techniques. New York: Springer-Verlag. 464 p.
2. Onishi K. (1981) Convergence in the boundary element method for heat equation. Teaching for Robust Understanding of Mathematics. 17. pp. 213-225.
3. Costabel M., Onishi K., Wendland W.L. (1987) A boundary element collocation method for the Neumann problem of the heat equation. Inverse and Ill-Posed Problems (H.W. Engl and C.W.Groetsch, eds.). Boston: Academic Press. pp. 369-384.
4. Hongtao Y. (1999) On the convergence of boundary element methods for initial-Neumann problems for the heat equation. Mathematics of Computation. 68 (226). pp. 547-557.
5. Iso Y., Takahashi S., Onishi K. (1987) Numerical convergence of the boundary solutions in transient heat conduction problems. Topics in Boundary Element Research (C.A. Brebbia, ed.), Vol. 3. Berlin: Springer. pp. l-24.
6. Ivanov D.Yu. (2017) O reshenii ploskikh zadach nestatsionarnoy teploprovodnosti kollokat-sionnym metodom granichnykh elementov [On the solution of plane problems of non-stationary heat conduction by the boundary element collocation method]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 50. pp. 9-29. DOI: 10.17223/19988621/50/2.
7. Ivanov D.Yu. (2010) Solution of two-dimensional boundary-value problems corresponding to initial-boundary value problems of diffusion on a right cylinder. Differential Equations. 46(8). pp. 1104-1113. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266110080045.
8. Ivanov D.Yu., Dzerzhinskiy R.I. (2016) Resheniye zadach Robena dlya dvumernykh differ-entsial'no-operatornykh uravneniy, opisyvayushchikh teploprovodnost' v pryamom tsilindre [Solution of the Robin problems for two-dimensional differential-operator equations describing the thermal conductivity in a straight cylinder]. Nauchno-tekhnicheskiy vestnikPovolzh'ya - Scientific and Technical Journal of the Volga Region. 1. pp. 15-17.
9. Ivanov D.Yu. (2015) Ustoychivaya razreshimost' v prostranstvakh differentsiruemykh funktsiy nekotorykh dvumernykh integralnykh uravneniy teploprovodnosti s operatorno-polugruppovym yadrom [Stable solvability in spaces of differentiable functions of some two-dimensional integral equations of heat conduction with an operator-semigroup kernel]. Vest-nik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal ofMathematics and Mechanics. 6. pp. 33-45. DOI: 10.17223/19988621/38/4.
10. Berezin I.S., Zhidkov N.P. (1962) Metody vychisleniy [Methods of computations]. Vol. 1. Moskow: GIFML.
11. Smirnov V.I. (1964) Kurs vysshey matematiki [A course of higher mathematics]. Vol. 4. Part II. Moskow: Nauka. 551 p.
12. Hamina M., Saranen J. (1994) On the spline collocation method for the single layer heat operator equation. Mathematics of Computation. 62(205). pp. 41-64. DOI: https://doi.org/ 10.1090/S0025-5718-1994-1208222-2
Received: August 31, 2018
