Устойчивость систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71 ББК 32.817

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С БЛОКАМИ НЕЧЕТКОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА В ОБЪЕКТЕ УПРАВЛЕНИЯ

Усков А. А.1

(Российский университет кооперации, Москва)

Предлагается подход к анализу абсолютной устойчивости одного класса систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления. Разработанные методы исследования систем доведены до уровня простых и удобных в инженерной практике методик.

Ключевые слова: асимптотическая устойчивость, нечеткий логический вывод, система автоматического управления.

1. Введение

В настоящее время достаточно широкое распространение получили нечеткие системы управления. Применение нечеткой логики позволяет использовать субъективные знания (мнения) экспертов, что очень полезно при построении моделей сложных или плохо формализуемых объектов и процессов [3, 5].

В то же время блок нечеткого логического вывода с точки зрения теории автоматического управления представляет собой статическое звено с очень сложной нелинейной характеристикой, что значительно осложняет исследование систем с такими звеньями [5].

1 Андрей Александрович Усков, доктор технических наук, профессор (andrey@uskov. net, www. uskov. net).

В статье предложен подход к анализу абсолютной устойчивости одного класса систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления.

2. Постановка задачи

Рассмотрим замкнутую автономную нелинейную импульсную систему автоматического управления, приведенную на рис. 1.

Рис. 1. Система управления с односвязным объектом

Система состоит из импульсного элемента с амплитудноимпульсной модуляцией ИЭ, линейного регулятора ЛР и объекта управления ОУ. Структурно объект управления состоит из последовательного соединения линейного динамического звена ЛДЗ и статического нелинейного элемента - блок нечеткого логического вывода (БНЛВ).

Зависимость между выходным и и входным х сигналами нелинейного элемента задается набором нечетких продукционных правил:

П1: если х есть А1, то и = а1;

П2: если х есть А2 , то и = а2;

Щ: если х есть Ах , то и = а№ где А1, А2, ..., Ах - нечеткие множества, определенные на множестве действительных чисел R; а1, а2, ..., ах - действительные числа.

Выходной сигнал НЭ и рассчитывается в соответствии с алгоритмом нечеткого вывода Сугэно ^^епо) нулевого порядка [3, 5]:

(1) u( x) = -

Ё Wi (x)

i=1__________

N

Ё v(x)

где ¡щ(х) - функции принадлежности нечетких множеств А.

Необходимо получить достаточное условие асимптотической устойчивости системы с БНЛВ со структурой, приведенной на рис. 1

3. Характеристика блока нечеткого логического вывода

Представим характеристику БНЛВ (1) в виде

(2) u(x) = k(x)-x,

где k(x) - коэффициент передачи БНЛВ, зависящий от входного сигнала x.

В качестве характеристики нелинейной зависимости БНЛВ выберем коэффициент

(3) KH = maxi k (x)|,

VxeR

Ввиду сложности определения численного значения КН для произвольного БНЛВ, воспользуемся его оценкой.

Решая совместно (1)-(3), получаем

(4) K = max -

Ё а^г(x)

Воспользовавшись свойством функции «модуль» [1], из предыдущего выражения получим:

x

(5) К„ < max

i=1 xeR і і

x

•Z v(x)

i =1

Отметим далее, что множитель

N

Z Ы • v( x)

--------=X

£ ^(х)

і=1

определяет, по сути, координаты центра масс Хс невесомого стержня с расположенными на нем грузами с массами ¡щ(х) в точках с координатами |аг|, где і = 1, 2, ..., N. Один из возможных вариантов расположения грузов на стержне показан на рис. 2.

Рис. 2. Иллюстрация к выводу формулы

Очевидно, что координата точки центра масс Xc не может превышать координаты крайнего справа груза, имеющего массу, отличную от 0.

На основании свойства центра масс [2], можно записать:

(6) Kн < max,1 • max(| аг\ • 10(^( х)), \а2\ • 10(^2( х),..., \ап\ • 10(^^ (x))),

xeR X

Г1 при t > 0, ,

где 1 (t) = s - единичная функция.

0 [0 при t = 0;

Последнее выражение можно привести к виду

(7) ^И0 = тах

( Ы Ы Ы

таху-р, таху-р,..., таху-р ^ Кн,

^ хєВ1 |Х ХеВ2 |Х Х^ВМ |Х ^

где В\, В2, ..., ВЫ - носители нечетких множеств Аь А2, ..., АN соответственно [3].

Методику использования соотношения (7) поясним на примере.

Пример 1

Рассмотрим БНЛВ, описываемый набором нечетких правил:

П1: если х есть Z, то и = 0;

П2: если х есть PS, то и = 1;

П3: если х есть РМ, то и = 2;

П4: если х есть ^, то и = -1;

П5: если х есть ЫМ, то и = -2.

На рис. 3 приведены функции принадлежности нечетких множеств Z, PS, РМ, ^ и ЫМ.

Рис. 3. Функции принадлежности нечетких множеств

Рассмотрим применение формулы (7) в данном случае.

Для правила П1 носитель нечеткого множества Z - это

|0| 0

-р4 = = Ііт

х х ^0 х

Анализ приведенного предела показывает, что его значение не превышает 1.

Для правила П2 носитель нечеткого множества PS -

х е [0,5, 2], значение а1 = 1, следовательно тах -1 = 2 .

хе[0,5, 2] |х|

Для правила П3 носитель нечеткого множества РМ -

|2|

х е [1, +х), значение а1 = 2, следовательно тах = 2.

хе[1,+о>] X

Для правила П4 носитель нечеткого множества ^ -

I-1|

х е [-2, -0,5], значение а1 = -1, следовательно тах —!- = 2 .

хе[-2,-0,5] |х|

Для правила П5 носитель нечеткого множества ЫМ -

I-2|

х е (-х, -1], значение а1 = -2, следовательно тах р—р- = 2 .

хе[-о>, -1] X

Подставляя данные частные результаты в выражение (7), получим КН0 = тах(1, 2, 2, 2, 2) = 2.

4. Достаточное условие устойчивости

Используя описанную методику определения численного значения величины КН0, можно получить достаточное условие асимптотической устойчивости системы на рис. 1.

Если характеристика БНЛВ находится в 1 и 3 квадрантах, а импульсная линейная часть системы устойчива, к рассматриваемой системе применим геометрический критерий абсолютной устойчивости Я.З. Цыпкина [2, 6]. Достаточное условие асимптотической устойчивости в целом положения равновесия в данном случае определяется неравенством:

(8) Re W\+ — > 0,

КН0

где W*() - комплексный коэффициент передачи последовательно соединенных импульсного элемента ИЭ, линейного регулятора ЛР и линейного динамического звена ЛДЗ.

Отметим, что области устойчивости, полученные с помощью критерия Я.З. Цыпкина, не уже областей, полученных с

помощью второго метода А.М. Ляпунова с квадратичной функцией [2, 6].

Пример 2

Рассмотрим автономную систему, приведенную на рис. 1. Последовательно соединенные ЛР и ЛДЗ описывается передаточной функцией w (p) = —k—. Импульсный элемент с

1 + p • T

фиксатором нулевого порядка имеет период квантования T0. Используется БНЛВ из примера 1.

Для системы на рис. 1 справедливо разностное уравнение

J0

хт+1 - е T ' xm + um ' k • (1 -e T ) [1]. Комплексный коэффициент

передачи импульсной линейной части системы

-То

(1 е t ) k

W* (jw) ----------------T— . В соответствии с неравенством (8) не-

сложно получить достаточное условие асимптотической устойчивости в целом положения равновесия рассматриваемой системы:

- Тл

, 1 + е Т

k <----------------.

(1 - е Т ) • Кн 0

Приняв КН0 = 2 (из примера 1) и Т0 = 0,1, определим область устойчивости рассматриваемой системы рис. 4 (область ниже линии 1, показана заштриховкой). Для сравнения на данном рисунке показана также действительная область устойчивости системы (область ниже линии 2).

Согласно рис. 4 предлагаемое достаточное условие позволяет определить около 50% истинной области асимптотической устойчивости в пространстве параметров k и Т.

T

о

ejw - е T

г.

о

Рис. 4. Область устойчивости системы

5. Система с несколькими БНЛВ

Обобщим приведенные выше результаты на случай системы с несколькими БНЛВ.

Рис. 5. Система управления с многосвязным объектом

Рассмотрим автономную импульсную систему с многосвязным объектом управления (рис. 5).

Система состоит из импульсных элементов с амплитудноимпульсной модуляцией ИЭг-, і = 1, 2, ..., п, работающих синхронно, линейного регулятора ЛР и объекта управления ОУ. Структурно объект управления состоит из линейного динамического звена ЛДЗ и статических нелинейных элементов БНЛВі,

і = 1, 2, ..., п.

Допустим, что характеристики БНЛВ описываются наборами нечетких продукционных правил и находятся в 1 и 3 квадрантах. Для каждого из БНЛВ по формуле (7) определены коэф-

фициенты КН0і матрицы

_К

(9)

К но =

Н01

0

0

і = 1, 2, ..., п, которые представлены в виде

0 ... 0

К„„0 ... 0

0

к

Согласно критерию Я.З. Цыпкина для систем с несколькими нелинейностями [6], если импульсная линейная часть системы на рис. 4 устойчива и существует действительное число р такое, что выполняется неравенство

Кно'

но

+К

р-1

но

> 0.

0 < w < л.

где W*(^) - матрица комплексных коэффициентов передачи импульсной линейной части системы, то рассматриваемая система будет асимптотически устойчива в целом.

6. Выводы

В статье предложено достаточное условие асимптотической устойчивости в целом систем управления с односвязными блоками нечеткого логического вывода Сугэно нулевого порядка, позволяющее определять область устойчивости в пространстве параметров системы.

Разработанный метод исследования может быть полезен при анализе и синтезе систем управления с нечеткой логикой.

р

Литература

1. БРОНШТЕЙН И.Н., СЕМЕНДЯЕВ К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. - М.: Наука, 1981. - 723 с.

2. ВИДАЛЬ П. Нелинейные импульсные системы. - М.: Энергия, 1974. - 336 с.

3. КРУГЛОВ В.В., ДЛИ М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. - М.: Издательство физикоматематической литературы, 2002. - 256 с.

4. КРУГЛОВ В.В., УСКОВ А.А. Достаточное условие устойчивости замкнутых систем управления с нечеткими логическими регуляторами // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2004. - №4. - С. 47-51.

5. УСКОВ А.А., КУЗЬМИН А.В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. - М.: Горячая линия - Телеком, 2004. - 143 с.

6. ЦЫПКИН ЯЗ., ПОПКОВ Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. - М.: Наука, 1973. - 416 с.

STABILITY OF SYSTEMS WITH BLOCKS OF FUZZY INFERENCE IN PLANT

Andrey Uskov, Russian University of Cooperation, Moscow,

Doctor of Science, professor.

Abstract: The technique is suggested of analysis of terrain clearance stability of one class of systems with blocks of fuzzy inference in the plant. Simple and convenient engineering routines are developed on the basis of suggested techniques.

Keywords: asymptotic stability, fuzzy logic conclusion, system of automatic control

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. К. Погодаевым