Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, № 2

УДК 517.929.4

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В МОДЕЛИ ХИЩНИК-ЖЕРТВА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ М. А. Скворцова

Аннотация. Рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, описывающая взаимодействие популяций хищников и жертв, а также изучается асимптотическая устойчивость положений равновесия данной системы. С помощью модифицированного функционала Ляпунова — Красовского установлены оценки решений, характеризующие скорость сходимости к положениям равновесия.

Ключевые слова: модель хищник-жертва, уравнения с запаздывающим аргументом, асимптотическая устойчивость, характеристический квазимногочлен, оценки решений, модифицированный функционал Ляпунова — Красовского.

1. Описание модели

В работе рассматривается система дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом следующего вида:

£х(1)=гх(1)(1-^)-рх(1)у(1),

±у{1) = Ъре-с-х(1 - т)у{1, - г) - <1у{1), (1)

■^г(г) = ъРх(г)у(г) - ъРе-стх(г - т)у{г - г) - сг(г). Данная система описывает взаимодействие популяций хищников и жертв, обитающих на одной территории [1]. Здесь ж(£) — численность популяции жертв, у(*) — численность популяции взрослых хищников, ^(*) — численность популяции молодых хищников. Предполагается, что только взрослые хищники могут нападать на жертв и воспроизводить потомство. Параметр запаздывания т отвечает за время взросления хищников, г — коэффициент прироста популяции жертв, К — максимально допустимая численность популяции жертв, р — коэффициент взаимодействия жертв и взрослых хищников, Ь — коэффициент рождаемости хищников, с — коэффициент смертности молодых хищников, < — коэффициент смертности взрослых хищников. Все параметры системы предполагаются положительными.

Для системы (1) зададим начальные условия:

х(*) = <?(*),* е [-т, 0], х(+0) = <р(0), е С([—т, 0]), у(*) = Ф(*), * е [—Т, 0], у(+0) = Ф(0), ф е с([—т, 0]), (2)

2(0) = П-

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15-01—00745).

© 2016 Скворцова М. А.

Известно, что решение начальной задачи (1), (2) существует и единственно. Также легко показать, что если

<^(г) > о, -0(4) > о, г е [—т, 0],

(3)

то ж(г), у(г) будут определены при всех г > 0, причем ж(г) > 0, у(г) > 0 при г > 0. Более того, если при этом выполнено неравенство

П > / С

(4)

то г(г) > 0 при всех г > 0. Действительно, при г е [0, т] из третьего уравнения системы (1) нетрудно получить

т т

г(г)в- = , — / ^ — т— т) * + / Ьре-фЫ^ *

Т

> J Ьре^ж^у^) ¿в > 0.

Неравенство г (г) > 0 при г > т доказывается аналогично.

Замечание. Условие (4) имеет вполне определенный биологический смысл. Действительно, если предположить, что хищники не размножаются (Ь = 0), то изменение численности молодых хищников происходит по закону =

—сг (г). Значит, если г (г) — численность молодых хищников в момент времени г, то к моменту времени г + е их останется е-сег(г). Тем самым условие (4) означает, что численность молодых хищников в момент времени г = 0 больше или равна численности хищников, которые родились в промежуток времени г е [—т, 0] и дожили до момента времени г = 0.

Всюду далее будем предполагать, что начальные данные ^(г), -(г), п удовлетворяют условиям (3), (4).

Теперь найдем положения равновесия системы (1):

1) при условии Ьре-стК < й в системе два положения равновесия: (х(г), у(г),

г(г)) = (0, 0, 0) и (х(г), у(г), г(г)) = (К, 0, 0);

2) при условии Ьре-ст К > й в системе три положения равновесия: (х(г), у (г), г(г)) = (0, 0, 0), (ж(г),у(г),г(г)) = (К, 0, 0) и (х(г), у(г), г(г)) = (хо, уо, *о), где

(хо,уо, го)

Ьре

Р

1

й

Ьре ст К

й г с р

1

Ьре ст К

(ест — 1) . (5)

Целью работы является изучение устойчивости положений равновесия системы (1) и получение оценок решений, характеризующих скорость сходимости к положениям равновесия.

о

т

г

2. Устойчивость положений равновесия

В этом разделе будут сформулированы условия на коэффициенты системы, при которых положения равновесия устойчивы. Здесь существенно будем опираться на следующую известную теорему об устойчивости по первому приближению (см., например, [2, гл. 7, § 33]).

Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

^уЦ) = АуЦ) + ВуЦ -т)+ Р(у(1),у(1 - т)), (6)

где А и В — вещественные постоянные матрицы размера п х п, .Р(уьу2) е С 1(М2") — вещественнозначная вектор-функция такая, что

11^1,^2)11 „ II/ NN П

при ||(у1, У2)\\ —► 0.

Справедлива

Теорема (об устойчивости по первому приближению). (I) Если все корни характеристического квазимногочлена

ае^А/ — А — е-Ат В) = 0

лежат в левой полуплоскости С_ = {А е С : Ие А < 0}, то нулевое решение системы (6) асимптотически устойчиво.

(II) Если существует корень квазимногочлена, лежащий в правой полуплоскости С+ = {А е С : Ие А > 0}, то нулевое решение системы (6) неустойчиво.

Применим этот результат к системе (1). Вначале рассмотрим нулевое положение равновесия (х(г),у(г),г(г)) = (0, 0, 0). Система первого приближения имеет вид

= -йу{1), = -сг(1).

Поскольку все параметры положительные, в этом случае очевидно, что нулевое решение неустойчиво.

Теперь рассмотрим положение равновесия (х(г), у(г), г(г)) = (К, 0, 0). Замена х(г) = К + ж(г) приводит к системе

±у{1) = Ьре~ст(К + х(1 - т))у(1 - т) - йу{1), ■^г(г) = Ър(К + х(г))у(г) - Ъре-ст(К + х{Ь - т))у(Ь - т) - сг(г). Значит,

/—г —рК 0 \ /0 0 0\

А = I 0 — й 0 I , В = I 0 Ьре_стК 0 I \0 ЬрК — с/ \0 —Ьре_ст К 0/

и характеристическим квазимногочлен имеет вид

¿еЬ(А/ - А - е-ХтВ) = (А + г)(А + й - Ьре-стКе-Хт)(А + с) = 0.

Таким образом, устойчивость положения равновесия (К, 0, 0) зависит от расположения корней квазимногочлена

А + й - Ьре-стКе

-\т

0.

Известно (см., например, [3, гл. 3, § 3]), что при условии Ьре-стК < й все корни квазимногочлена лежат в левой полуплоскости С-, а при условии Ьре-стК > й существуют корни в правой полуплоскости С+.

Тем самым приходим к следующему результату:

1) если Ьре-стК < й, то положение равновесия (К, 0, 0) асимптотически устойчиво;

2) если Ьре-стК > й, то положение равновесия (К, 0, 0) неустойчиво.

Замечание. При условии Ьре-стК < й в [1] доказан более сильный результат: (К, 0, 0) глобально асимптотически устойчиво. Более того, в разд. 3 получим оценки решений, характеризующие скорость сходимости к данному положению равновесия.

Наконец, рассмотрим положение равновесия (х(1),у(1),г(£)) = (хо,уо,го). Замена х(£) = хо + и(£), у(£) = уо + г>(£), г({) = го + приводит к системе

±и{1) = (хо + и(Щ - - ри{1)),

= Ьре-сту0и{1 - т) + Ъре-ст(х0 + и{Ь - т))у{Ь - т) -= Ъруои(г) + Ър(х0 + и(Ь) )у{г)

-Ьре стуоп(1 - т) - Ьре ст(хо + и(Ь - т))у(Ь - т) - см(Ь). Отсюда легко получить, что

(7)

А

ГХ()

К

- рхо 0 0 -й 0 Ьруо Ьрхо -с

0

В = | Ьре -Ьре

ае^А/ - А - е-ХтВ) =

уо

— ст,

0

уо

Ьре -Ьре

хо

ст

0 0

хо 0

0

^ Л

-^■й -й 0

хо

+ (А + с) = 0

Таким образом, задача свелась к исследованию расположения корней квази-

многочлена

А + ^ ) (А + <1)-с1е

-Ат/ Л , гх0

А + — - руо

0.

(8)

Вопрос о расположении корней широкого класса трансцендентных целых функций (в том числе функций вида (8)) очень подробно изучался в [4]. Здесь

мы сформулируем и докажем утверждение, непосредственно касающееся квазимногочлена (8).

Вначале заметим, что можно считать, что жо и уо не зависят от т. Действительно, учитывая явный вид величин жо и уо (см. формулу (5)) и вводя вместо Ь новый параметр а = Ье_ст, получим

Ы,уо) = ( , а_ст, -

Ьре ст р

1- "

Ьре ст К

й г ар р

1- "

арК

Имеет место следующее утверждение.

Лемма. (I) Если 0 < руо < ^^, то все корни квазимногочлена (8) лежат в левой полуплоскости С_.

(II) Если руо > то существует то > О такое, что при 0 < т < то

все корни квазимногочлена (8) лежат в левой полуплоскости С_, а при т > то существуют корни квазимногочлена (8), лежащие в правой полуплоскости С+.

Доказательство. Известно, что все корни квазимногочлена (8) содержатся в полуплоскости {А € С : Ие А < ст} для некоторого <г € К, причем в правой полуплоскости С+ корней конечное число. Легко проверить, что при т = 0 все корни квазимногочлена (8) содержатся в левой полуплоскости С_. Значит, это верно и при т ^ 1. Поймем, при каких значениях параметра т существуют корни в правой полуплоскости С+.

Вначале найдем условия, при которых у квазимногочлена (8) существуют корни на мнимой оси А = г£:

(5 + ^) № + <0 = *е+ ^ " РУо) • (9)

Приравнивая модули выражений, стоящих слева и справа, получим откуда

е+е(^-)2 = ^рУ0(рУ0-2-^). (ю)

Если 0 < руо < уравнение (10) не имеет вещественных решений. Значит, в этом случае все корни квазимногочлена (8) содержатся в левой полуплоскости С-.

Если руо = ^Р1, то из (10) получим £ = 0, что противоречит (9). Следовательно, все корни квазимногочлена (8) также содержатся в левой полуплоскости С-.

Наконец, рассмотрим случай руо > ^р. Из (10) нетрудно получить

4 / х 2

6,2 = ±</Г. ГДе Т = ^2РУ0 (РУО - + ^ -\ijjf) >0'

Подставляя найденные значения £1<2 в (9), имеем

откуда найдем т:

arg ш + 2пп

0 < а^ш < 2п, п = 0,1, 2,____

Итак, существует счетное число значений тп, п = 0,1, 2,..., при которых у квазимногочлена (8) существуют корни на мнимой оси. При этом в пределах одного промежутка [0, то), (то, т1), (т1, т2), ... квазимногочлен имеет одинаковое число корней в правой полуплоскости С+.

При т € [0,то) все корни квазимногочлена лежат в левой полуплоскости С_, поскольку это верно при т = 0.

Покажем, что при т > то существуют корни квазимногочлена, лежащие в правой полуплоскости С+. Для этого поймем, как изменяется число корней с положительной вещественной частью при переходе т через критическое значение тп. Вначале установим неравенство

д Ие А

дт

>0

(при этом считаем, что А|т получим

где £ = ±^/7). Дифференцируя (8) по т,

дт

дА т д—Ь Л

дт

Отсюда и из равенства (8) имеем

д\ дт

=А

+

л . гхо А + ~ РУо

+ т

+ йе

-\т

дХ

дт'

ЦА + ^) (А + сО (Л+^-руо)

Следовательно,

д Ие А

дт

= Ие -

+

+ тп

Отсюда нетрудно получить

sgn

/дКеЛХ

V дт )

= sgn

£2

+

£2

£2

Ф ( С4 + ( 2С2 + ( 2) - РУо) 2 + ^РУ0 (РУ0 -

> 0.

Таким образом, с увеличением т при переходе через мнимую ось вещественная часть корня увеличивается. Значит, при переходе т через критическое значение тп появляются корни с положительной вещественной частью. Следовательно, при т > то квазимногочлен (8) имеет корни в правой полуплоскости С+.

ш

п

т=т.

1

1

1

1

1

1

1

1

т=т

2

т=т

Лемма доказана.

С учетом леммы из теоремы об устойчивости по первому приближению легко получить следующие утверждения:

1) если 0 < руо < т0 положение равновесия (жо, уо, ^о) асимптотически устойчиво;

2) если руо > ^р-, то существует то > 0 такое, что при 0 < т < то положение равновесия (xo,yo,zo) асимптотически устойчиво, а при т > то положение равновесия (xo,yo,zo) неустойчиво.

Замечание. Из явного вида величин xo и yo (см. формулу (5)) следует, что неравенство 0 < руо < эквивалентно d < bpe~CTК < 3d, а неравенство РУо > ~^ эквивалентно Ьре~стК > 3d.

В результате приходим к следующему утверждению.

Теорема 1. (I) Пусть bpe-CTK < d. Тогда (0, 0, 0) неустойчиво, а (K, 0, 0) асимптотически устойчиво.

(II) Пусть d < bpe-CTK < 3d. Тогда (0, 0, 0) и (K, 0, 0) неустойчивы, а (xo,yo,zo), где xo, yo, zo определены в (5), асимптотически устойчиво.

(III) Пусть bpe-CTK > 3d. Тогда (0, 0, 0) и (K, 0, 0) неустойчивы и существует To > 0 такое, что при 0 < т < To положение равновесия (xo,yo, zo) асимптотически устойчиво, а при т > To положение равновесия (xo, yo, zo) неустойчиво.

3. Оценки скорости сходимости к положению равновесия (К, 0, 0)

В этом разделе будем предполагать, что выполнено условие Ьре—стК < В этом случае у системы (1) существуют только два положения равновесия (0, 0, 0) и (К, 0, 0), причем (К, 0, 0) глобально асимптотически устойчиво. Получим оценки решений системы (1), характеризующие скорость сходимости к положению равновесия (К, 0, 0).

При получении оценок будем использовать метод функционалов типа Ляпунова — Красовского, которые являются аналогами функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вначале рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

±уЦ)=АуЦ) + ВуЦ-т). (И)

При исследовании асимптотической устойчивости нулевого решения данной системы Н. Н. Красовский предложил использовать функционал

V(¿,у) = (Яу(*),у(*)> Ш5),у(*)> & (12)

^—т

с матрицами Н = Н* > 0 и Q = Q* > 0 [2, гл. 7, § 34]. Функционалы такого вида называют функционалами Ляпунова — Красовского. Отметим, что с помощью функционалов Ляпунова — Красовского можно проводить исследования асимптотической устойчивости нулевого решения и для нелинейных систем с запаздывающим аргументом.

Для получения оценок решений, характеризующих скорость убывания на бесконечности, применяют различные модификации функционалов Ляпунова — Красовского (см., например, [5-8]). В частности, в [8] предложен модифицированный функционал Ляпунова — Красовского следующего вида:

<

V(¿,у) = {Ну(1),у(1)> т - з)у(з),у(з)> йз, (13)

г_т

где Н = Н* > 0 и Q(s) = Q*(s) > 0. Отметим, что в отличие от функционала (12) здесь матрица Q переменная. С помощью функционала (13) в [8] получены оценки решений системы (11), являющиеся аналогами оценки Крей-на для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [9, гл. 1, § 4]), а также оценки решений и области притяжения нулевого решения для широкого класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Важно отметить, что построение функционала (13) сводится к решению хорошо обусловленных задач и не требует информации о расположении корней характеристического квазимногочлена [8].

Перейдем к получению оценок решений системы (1). Заметим, что если (х(г),у(г), г(г)) — решение системы (1) с начальными условиями (2)-(4), то первая компонента решения х(г) ограничена сверху решением уравнения

с теми же самыми начальными условиями. Для этого уравнения известно, что все решения с положительными начальными условиями стремятся к решению х(г) = К. При этом для любого в > 0 существует ¿о > 0 такое, что 0 < х(г) < К + в при всех г > ¿о. Следовательно, это верно и для первой компоненты решения х(г) системы (1). Не ограничивая общности, можно считать, что ¿о = 0.

Теорема 2. Пусть в > 0 и к > 0 такие, что

Ьре_ст(К + в)ект/2 < й.

Тогда для решений системы (1) с начальными данными (2), удовлетворяющими условиям (3), (4) и условиям

0 < ф) < К + в, г € [-т, 0], ^(0) > 0, (14)

справедливы оценки

|х(г) - К| <

Кехр(2рл/у(0,ф)/6)

|<р(0) - К\е-гг + ф)ру/у(0,ф)

„_М/2 _ р_гГ

г - (5/2)

где

y(t) < (16)

__g-5*/2 _ e-ct

z(t)<(1>( 0)+r?)e-ct + av^(M)-——, (17)

с - (5/2)

0

v(0, V) = -02(O) + 6pe—CT(K + 0)ekT/2 У eks^2(s) ds,

— T

5 = min{2(d - 6pe—CT(K + 0)ekT/2), k}, (18)

a = max{c - d + bp(K + 0), 0}. (19)

Замечание. Если r = 5/2, то в неравенстве (15) функцию -—-—— нужно заменить на te—5t/2. Аналогично, в неравенстве (17) при с = 5/2 функция

_-it/2_ _-ct — At/2

--пгт§\— заменяется на te ' .

с-(5/2)

Доказательство. Вначале докажем неравенство (16). Рассмотрим модифицированный функционал Ляпунова — Красовского

t

v(t,y) = y2(t)+y K(t - s)y2(s) ds, где k(s) = к(0)е—ks. (20)

t—T

Продифференцируем его вдоль решений системы (1): ^(t, у) = 2y(t)(bpe-CTx(t - r)y(t - г) - dy(i))

t

+ ц^м - к(°,е-kTy2(< - ., - k / k(t—VM..

t—T

В силу условий (14), учитывая рассуждения, проведенные перед формулировкой теоремы 2, имеем 0 < x(t - т) < K + 0 при всех t > 0. Следовательно,

^(t, у) < 2Ъре-ст(К + 9)y(t - r)y{t) - 2dy2(t)

t

+ K(0)y2(t) - к(0)е—kTy2(t - т) - k J к(0)е—k(t—s)y2(s) ds.

t—T

Далее, используя неравенство

2bpe~CT(K + 9)y(t - r)y(t) - «(0)e-feV(i - r) < получим

t

< -(2d-«(0) - ^(ojf-^^2)^^) / «(0)e-k^y2(S)dS.

t—T

Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием 117 Полагая к(0) = Ьре_ст(К + в)ект/2, имеем

т

у) < -2 {й - Ъре-ст(К + в)ект/2)у2{1) -к I к(0)е~к^-''>у2(а) йз.

г_т

Учитывая обозначение (18) и определение (20) функционала V(г,у), получим

й

откуда

у2(г) < у(г, у) < «(0, у)е_н = «(0, ф)е~

Теперь докажем неравенство (15). Из первого уравнения системы (1) выводим

х(г) - К = К

¥>(0) - К - ^(0) I егя ехр | - £ ру(£) й£) ру(з) йз

Т / я

К + ¥(0)г ! егя ехр I ру(£) й£ ) й.з

В силу неравенств

Т / * \ Т

! егя ехр I ру(£) йЛру(з) йз егяру(з) йз, о о о

К + ¥(0)г I ег* ехр | - £ру(£) й^ йз

> ехр | - Iру(£) й^ ^К + ¥(0)г I ег* йз

> егТ ехр I ру(£) йЛ ш1п{К,¥(0)|

имеем

Ш -КI < —

Ке_

ш1п{К,^(0)|

Учитывая оценку (16), получим

ехр И ру(£)й£ I |¥(0) - К| + ^(0) | егяру(з) йз

ехр I <ехр 1ру/у(0,ф) | е^«/2 сИ < ехр(2р^(0,ф)/6),

1

J erspy(s) ds < Рл/у(0,ф) J e[r-{s/2))s ds = Рл/у(0,ф)

* ,_Jr-(S/2))t i

r - (S/2) '

Отсюда непосредственно вытекает (15).

Наконец, докажем неравенство (17). Из второго и третьего уравнений системы (1) нетрудно вывести

+ г(1)) = {с-й + Ърх(1))у(1) - с(у(1) + г(1)).

Поскольку 0 < х(Ь) < К + в при всех 4 > 0, то

+ г(1)) <(с-й + Ър(К + в))у(1) - c(y(í) + г(1)).

Далее, используя неравенство (16) и учитывая обозначение (19), получим

+ г{1)) < - с(уЦ) + гЦ)).

Отсюда нетрудно установить неравенство (17). Теорема доказана.

Замечание. Используя модифицированные функционалы Ляпунова — Красовского, также можно получить оценки решений, характеризующие скорость сходимости к положению равновесия (хо, уо, го).

Автор выражает благодарность профессору Г. В. Демиденко за внимание к работе.

t

ЛИТЕРАТУРА

1. Forde J. E. Delay differential equation models in mathematical biology: Thes. ... doct. philosophy. Univ. Michigan, 2005.

2. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматлит, 1959.

3. Эльсгольц Л. ЭНоркин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

4. Чеботарев Н. Г., Мейман Н. Н. Проблема Рауса — Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. МИАН СССР. 1949. Т. 26. С. 3-331.

5. Хусаинов Д. Я., Иванов А. ФКожаметов А. Т. Оценки сходимости решений линейных стационарных систем дифференциально-разностных уравнений с постоянным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41, № 8. С. 1137-1140.

6. Kharitonov V. L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Syst. Control Lett. 2004. V. 53, N 5. P. 395-405.

7. Mondie S., Kharitonov V. L. Exponential estimates for retarded time-delay systems: LMI approach // IEEE Trans. Autom. Control. 2005. V. 50, N 2. P. 268-273.

8. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2005. Т. 5, № 3. С. 20-28.

9. Демиденко Г. В. Матричные уравнения. Уч. пособие. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2009.

Статья поступила 15 мая 2016 г.

Скворцова Мария Александровна

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090;

Новосибирский гос. университет,

ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

бш- 18 -пБи@уапдех. ги

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2016. Том 23, №2

UDC 517.929.4

STABILITY OF SOLUTIONS IN THE PREDATOR—PREY MODEL WITH DELAY M. A. Skvortsova

Abstract: We consider a system of delay differential equations describing the interaction between two populations — the predators and prey. We study the asymptotic stability of stationary solutions to this system. Using the modified Lyapunov—Krasovskii functional we establish estimates for solutions characterizing the rate of convergence to the stationary solutions.

Keywords: predator-prey model, delay differential equations, asymptotic stability, characteristic quasipolynomial, estimates for solutions, modified Lyapunov—Krasovskii functional.

REFERENCES

1. Forde J. E., Delay differential equation models in mathematical biology: Thes. ... doct. philosophy. Univ. Michigan, 2005.

2. Krasovskii N. N., Stability of motion, Stanford Uni. Press, Stanford, CA (1959).

3. Elsgoltz L. E. and Norkin S. B., Introduction to the theory of differential equations with deviating argument [in Russian], Nauka, Moscow (1971).

4. Chebotarev N. G. and Meiman N. N., "Raus—Gurvitz problem for polynomials and entire functions," Tr. Steklov Math. Inst., 26, 3-331 (1949).

5. Khusainov D. Ya., Ivanov A. F., and Kozhametov A. T., "Convergence estimates for solutions of linear stationary systems of differential-difference equations with constant delay," Differ. Equ., 41, No. 8, 1196-1200 (2005).

6. Kharitonov V. L. and Hinrichsen D., "Exponential estimates for time delay systems," Syst. Control Lett., 53, No. 5, 395-405 (2004).

7. Mondie S. and Kharitonov V. L., "Exponential estimates for retarded time-delay systems: LMI approach," IEEE Trans. Autom. Control, 50, No. 2, 268-273 (2005).

8. Demidenko G. V. and Matveeva I. I., "Asymptotic properties of solutions to differential equations with delay argument," Vestn. Novosib. Gos. Univ., Ser. Mat. Mekh. Inform., 5, No. 3, 20-28 (2005).

9. Demidenko G. V., Matrix equations [in Russian], Izdat. Novosib. Gos. Univ., Novosibirsk (2009).

Submitted May 15, 2016

Maria Aleksandrovna Skvortsova

Sobolev Institute of Mathematics,

Akademika Koptyuga ave., 4, Novosibirsk, Russia;

Novosibirsk State University,

Pirogova st., 2, Novosibirsk 630090, Russia

sm-18 -nsu@yandex. ru

© 2016 M. A. Skvortsova