Устойчивость решений линейных импульсных скалярных уравнений Ито с запаздывание Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.4+519.21

устойчивость решении линеиных импульсных скалярных уравнений ито с запаздыванием

© 2010 г. Р.И. Кадиев, З.И. Шахбанова

Дагестанский государственный университет, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, 367025, dgu@dgu.ru

Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, 367025, dgu@dgu.ru

Исследуется вопрос экспоненциальной p -устойчивости (2 < p < œ) тривиального решения по начальной функции для линейных импульсных скалярных дифференциальных уравнений Ито с постоянными коэффициентами и запаздываниями.

Ключевые слова: устойчивость по начальной функции, уравнение Ито.

The problem of exponential p -stability (2 < p < œ) of the trivial solutions with respect to the initial function for linear impulse scalar differential Ito equations with constant coefficient and delays is investigated.

Keywords: stability with respect to the initial function, Ito equation.

Вопросам устойчивости для стохастических дифференциальных уравнений с последействием посвящено большое количество работ. Достаточно полный их список приведен в [1-4]. В этих работах в основном применялся метод вспомогательных функций (функционалов Ляпунова-Красовского-Разумихина). С другой стороны, в теории устойчивости решений детерминированных линейных функционально-дифференциальных уравнений высокую эффективность показал метод вспомогательных, или модельных, уравнений - "-метод, разработанный Н.В. Азбелевым и его учениками [5-8].

Для импульсных дифференциальных уравнений Ито с последействием вопросы устойчивости решений по начальной функции ранее, по-видимому, другими авторами не рассматривались. В [9] изучалась экспоненциальная р -устойчивость, 2 < р <<х тривиального решения по начальной функции для линейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с последействием. Исследование проведено методом вспомогательных уравнений.

В настоящей работе исследуется вопрос экспоненциальной р-устойчивости 2 < р <<х тривиального

решения по начальной функции для импульсного скалярного дифференциального уравнения Ито с постоянными коэффициентами и запаздываниями методом модельных уравнений. Конкретный вид уравнения и применяемый метод позволяют получить достаточные условия устойчивости в терминах параметров исследуемых уравнений.

Пусть (О,>0, Р) - стохастический базис; к1 -линейное пространство п -мерных З -измеримых

(1)

(2) (3)

случайных величин; Вг, г = 2,...т - независимые стандартные винеровские процессы; ср - положительное число, зависящее от р 1 < р <<х [10, с. 65]; Е - символ математического ожидания; п.н. - почти наверно.

Рассматривается линейное импульсное скалярное дифференциальное уравнений Ито вида

т-1

аХ(/) = 2 «1 - Н у № +

} = 0 т т

+ 22 ау (/)х($ - Ну )№ г (0(Г > 0), г = 2 у =0

х(у) = р(у)(у < 0),

х(Ну ) = Лух(^у - 0), у = 1,2,3,... п.н., где ау,Ну,г = 1,...т,У = 0,...тг, Ну ,Лу,у = 1,2,3,... -

действительные числа такие, что Н >0,г = 1,...т,

у

у = 0,...тг, 0 = ^0 <Н1 <Н2 <..., Ну ; Р -

у

случайный процесс, независимый от винеровских Вг,г = 2,...т с п.н. ограниченными в существенном траекториями.

В силу [11] следует, что через любое х(0) е к1 проходит единственное решение этого уравнения (с точностью до Р -эквивалентности). Обозначим его решение через х(/, х(0), р). Отметим, что уравнение (1)—(3) однородно, если р(у) = 0 (у < 0).

Замечание 1. Если в (3) Л у = 1 при у = 1,2,3,..., то

(1)-(3) называют дифференциальным уравнением Ито с последействием и при этом условие (3) отбрасывают.

Если, кроме того, в (1) ку = 0,i = 1,...m, j = 0,...mi, то

уравнение (1)-(2) называют дифференциальным уравнением Ито и при этом условие (2) - лишнее.

Определение. Тривиальное решение x(t,0,0) однородного уравнения (1)-(3) называют экспоненциально p -устойчивым по начальной функции, если

при некоторых положительных постоянных c, fi справедливо неравенство E|x(t, x(0),^)|p < < C(£|x(0)|p + vrai supÉp(y)\p)exp{-fit}(t > 0).

v<0

- \a1k, ânëè t > к1к,

Пусть aik (t) = ^ _ при к = 0,.../и1.

[ 0, ânëe t > k1k,

Теорема. Пусть существуют индексы I с {0,...mi}, положительные числа Л,р,а,а такие,

что |Лу| < Л, P<Hj+1 - Hj <а при j = 1,2,...,

Aexp{-ap} < 1 и выполнено неравенство

Kdelmax{1,Л}(1 -exp{-«cr}) ^ +

+ c pY 2

a(1 - exp{-ap}A)

max{1, A2}(1 - exp{ --2aa }) 2

2a(1 - exp{-ap}A )

1/2

< 1,

(4)

гдеY1 = S \a1k\

keJ

m I I m m j

S a1 Ahk + cp S S kjk/h1k

j=0' ' i=2j=0

+ sup

t>0

S a 1k (t) + a

keJ

m mi I I

+ s |«1k|> y2 = S S kj. Тогда

kgJ i=2 j=0

тривиальное решение уравнения (1)-(3) экспоненциально 2р -устойчиво по начальной функции.

Доказательство. Для доказательства экспоненциальной 2 р -устойчивости по начальной функции тривиального решения однородного уравнения (1)-(3) воспользуемся [8, следствие 4.2]. В дальнейшем введем оператор Бн, определяемый равенством

\х(И(!)\ если Н(г) > 0, [ 0, если Н(г) < 0. В качестве модельного возьмем уравнение

(Shx)(t) =

do(t) = [aô(t) + fo (t)]dt + S f (t)dBi (t)(t > 0), i=2

x(v) = p(v)(v < 0),

(5)

у^) = exp{-at} П Ajy(0) +

0<^<t

t

+ Jexp{- a(t - i} П Ajf0 (s)ds +

0

m t

<t

+ SJ exp{- a(t - s)} П Ajft (s)dB,. (s)(t > 0).

i=20

S <Ц; <t

В детерминированном случае справедливость аналогичной формулы показана в [12].

Заметим, что результаты из [8] имеют место, если уравнение (29) этой работы заменить на (5), (6). Проверим, что при предположениях теоремы модельное уравнение удовлетворяет условиям следствия 4.2 из

[8]. В нашем случае и(г) = ехр{-аг} П А у ,

0<^у <г

С (г, 5) = ехр{-а(г - 5)} П А] и выполнимость ус-

5 <Ц] <г

ловий R1-R2 из [8] для выбранного модельного уравнения при предположениях теоремы проверяется непосредственно. Кроме того, выполняются все остальные условия этого следствия, если положить 4 (г) = 1(г > 0) в уравнении (29) из [8].

Из сказанного выше и из [8, следствие 4.2] следует, что теорема будет доказана, если доказать обратимость оператора (I -©): М2р ^ М2р, где © опреде-

ляется равенством

t

(&y)(t) = Jexp{-a(t - s)} П A

S<^j <t

S a 1k (s) + a У (s) +

keJ )

+ S a1k

ktJ t

s)

ds +

+ J exp{-a(t - s)} П Aj S a1k (s) >

0 s <ßj <t ke1

S a1j ( %y )T)dT +

m mi f N

+ S S aj |Sry \(T)dBl (t) i=2 j = 0 v hj )

s

X _J

h1k(s)

х(Му) = А]Х(р] -0),у = 1,2,3,... п.н., (6)

где а - некоторое положительное число; /0 - прогрессивно измеримый случайный процесс с п.н. локально суммируемыми траекториями; / - прогрессивно измеримый случайный процесс с п.н. локально суммируемыми с квадратом траекториями при г = 2,...т, остальные параметры определены в (1)-(3).

Заметим, что через любую З0 -измеримую случайную величину о(0) проходит единственное решение модельного уравнения (с точностью до Р -эквивалентности) [11].

Непосредственной проверкой легко убедиться, что для этого решения имеет место представление

т тг г

х +2 Е а1} \ ехр{-а(/ - 5)} П А{ (Б^у)(5)0&г (5), г=2 ]=0 0 5 <ц1 <г '■>

М2р - линейное нормированное пространство скалярных прогрессивно измеримых случайных процессов на

( 2 \1/ 2 р _ [0, да) с нормой sup[ ) р I , Иу (/) = t - Ну ,

г >0 ^ '

= Г г - Ну, апёе г > Ну,

Ну (г) = <! у при г = 1,...т, у = 0,...т.

у 0, апёе г < Ну '

Оценим норму оператора © в пространстве М2 р.

Имеем \®у\М2 < sup

t >0

S a 1k (t ) +

keJ

+a sup

t >0

t

Jexp{-a(t - s)} П \Ajds

\(2 p-1)/2 p

<t

> sup

t >0

ft A1/2p

Jexp{- a(t - s)} П UjNy(s)2p ds

0 s<^j <t ^

+

0

x

m

X

+

kei t>0

t

+ 2 |«1k|sup Jexp{—a(t-s)} П \Ajds

— " ißj <t'

N fcy )(■

ч(2 p—1)/ 2 p

(t /x 9 V/2p

t , I/ 1 2 p

x sup

t >0

J exp{—a(t — s)} П A,N| \S—y J(s)

0 s <Mj <t

ds

( ^(2 P —1)/ 2 p

+ 2 |«1k| sup J exp{—a(t — s)} П Ajds

kel t>0 0 ' ■ "

s <t

x sup

t >0

t . Jexp{— a(t — s)} п \Aj

s <ц, <t

x E

_J

h1k (s)

j=0

2 «1j1 \(T)d? +

1j )

+ 2 2 «j I S—y \(T)dßi (t)

i=2j=0 v j

+ Cp 2 2 «j x i=2 J=0'

2 p

\1/ 2 p

ds

x sup

t > 0

С p—1)/2 P

Jexp{— 2a (t — s)} П (A, )2ds

s<ц, <t

x sup

t>0

Jexp{— 2a(t — s)} П (Aj )2E

0 <t

( \ 2p \

ds

x1/2 p

sup

t >0

2 «1k (t) + a

kel

+ 2 |«1k|

kel

x sup

t>0

J exp{—a(t — s)} П \Ajds

0 s <ц, <t

ft

2 |«1k|sup Jexp{— a(t — s)} П \Ajds

kel t>0V0

s<u,<t 1

x sup t > 0

E

h1k (t)

2 «1 j fs^y\(s)ds +

m mi f \

+ 2 2 «j ( Sry](s)dBi (s) i=2 j=0 V "ij )

2 p

\1/2 p

m mt

+ Cp 2 2 kj l sup

i=2j=0 t>0

Jexp{— 2a(t — s)} П (Aj )2ds

0 s<ß, <t

m1 I I

< 21 \a1 j sup j=0 't >0

( \2p—1 t

J ds

VMO )

t

EJ

"1k(t)

s^y ](s)

2p

ds

1/2 p

mm'

+Cp 2 2 «j sup i=2 j=0 t>0

/ \p—1

t t ^ Л

J ds E J V S^y J(s)

v "1k (t) "1k (t)

2p

ds

1/2 p

m1 | | m mi , ,

2 |«1 j"1k + cp 2 2 \«уУ"у

j=0

i=2 J=0'

WM

2 p

при ке1, оценку

f t ii^ sup Jexp{—a(t — s)} П \Ajds

t>0 s<pj <t

max {1, A}1 — exp {— au }) a(1 — exp {— ap }A)

вытекающую из [13], и неравенство

^ ( , о ^ I,, 1, 1 , шах{1,ЛК1 - ехр{-аст}) |ехр{-а(г - 5)} П \Лу№ <-^-г-5-^

sup

t >0

a(1 — exi

apA )

которое следует из предыдущей оценки, получим

НМ2 р < К\\у\М

'2 p

Учитывая условия теоремы, имеем ||©||м < 1.

Отсюда [8] следует обратимость оператора (/ -©): М2 р ^ М2 р . Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть существуют индексы I с (0,...т1>, положительные числа Л,р,а,а такие,

что Л у | < Л , р < Ну+1 - Ну <а при у = 1,2,...,

Н1к = 0, к е 1, 2 а1к =-а , Л ехр{-ар} < 1, и выпол-

ке1

нено неравенство (4), где

У1 =2 |«1k|

kel

m1 | | m mi | | 1-

2 «1 j "1k + cp 2 2 «j W"1k

j=0 11 pi=2 J=0 J|

+ 2 |«1k|>

kel

WM.

2 p

Учитывая, что

sup

t >0

f

E t J

h1k(t)

J=0 v ^^ f

2 «1JI S^y l(s)ds + 2 2 «j I sry l(s)dßi (s)

2 j=0 "v 1

2 p

V/2 p

< 2 «1 j sup 1=0 t >0

( \2p

t

\1/2 p

E

J

V h1k (t)

^y \(s) ds

m mt

+ Cp 2 2 «j sup i=2 j=0 t >0

E

(

t

J

V h1k (t)

p

\1/2 p

Sü-y ](s)

ds

у2 =22 а . Тогда тривиальное решение уравне-

г=2 у=0

ния (1)-(3) экспоненциально 2р -устойчиво по начальной функции.

В справедливости следствия можно убедиться, если в теореме положить а = - 2 а1к .

ке1

Следствие 2. Пусть Ню = 0, существуют положительные числа Л, р, а, а такие, что |Лу | < Л , р<Ну+1 -Ну <а при у = 1,2,..., а = -аш, Л ехр{-ар} < 1, и выполнено неравенство (4), где

т1 ттг

У1 =2 а1к |, У2 =2 2 Щу . Тогда тривиальное ре-

к=1 г=2 у=0

шение уравнения (1)-(3) экспоненциально 2р -устойчиво по начальной функции.

Справедливость следствия вытекает из следствия 1 при I = {0}.

Следствие 3. Пусть Н^ = 0,к = 0,...т1 и существуют положительные числа Л,р,а,а такие, что

x

+

+

<

x

<

x

0

s

m

m

+

m

0

<

<

x

+

m m

+

x

m

+

m

m m

<

m

+

2

\Aj\ < A, P<Hj+\ при j = 1,2,..., a = -Z alk ,

k=0

A exp(-ap) < 1; выполнено неравенство (4), где

m1 I I m mt

mi

Yi = 2 Ы

k=0

2 h jhik + Cp II |aj I

j =0 1' i=2 j =0 11

у 2 = S Z . Тогда тривиальное решение уравне-

i=2j=0

ния (1)-(3) экспоненциально 2p -устойчиво по начальной функции.

Справедливость следствия 3 вытекает из следствия 1 при I = {0,...m0}.

Замечание 2. Если в (3) |Aj| < 1, ¡Uj+1 - ¡Uj = d

при j = 1,2,3,..., где d - некоторое положительное число, то из теоремы и следствий видно, что присутствие импульсов не ухудшает экспоненциальную 2p -устойчивость тривиального решения однородного уравнения (1)-(3).

Литература

1. Кольмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и перио-

дические режимы регулируемых систем с последействием. М., 1981. 448 с.

2. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциаль-

но-функциональных уравнений. Рига, 1989. 421 с.

3. Mao X.R. Stochastic Differential Equations and Applica-

tions. Chichester, 1997. 360 p.

4. Mohammed S.-E.A. Stochastic Differential Systems with

Memory. Theory, Examples and Applications // Procced-ings of The Sixth Workshop on Stochastic Analysis. Geilo, Norway. 1996. P. 1-91.

5. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость стохастических

функционально-дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 2. С. 198-207.

6. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости стохас-

тических систем с последействием // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30, № 4. С. 555-564.

7. Кадиев Р.И. Устойчивость решений стохастических

функционально-дифференциальных уравнений: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Махачкала, 2000. 232 с.

8. Kadiev R., Ponosov A. Stability of stochaastic functional

differential equations and the W-transform // Electron J. Differential. Equations. 2004. № 92. P. 1- 36.

9. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Устойчивость решений ли-

нейных импульсных систем дифференциальных уравнений Ито с последействием // Дифференциальные уравнения. 2007. Т. 43, № 7. С. 879-885.

10. Ватанабэ C., Икеда Н. Стохастические дифференциаль-

ные уравнения и диффузионные процессы. М., 1981. 445 с.

11. Кадиев Р.И. Существование и единственность решения

задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу // Изв. вузов. Математика. 1995. № 10. С. 35-40.

12. Lakshmikantham V., Bainov D.D., Simeonov P.S. Theory of

Impulsive Differential Equations. Singapore, 1989. 321 p.

13. Berezanski L., Idels L. Exponential stability of some scalar

impulsive deley differential equation // Communications of Appl. Math. Analysis. 1998. Vol. 2. P. 301-309.

m

m

m

Поступила в редакцию

12 января 20010 г.