CC BY
34
УДК 517.9
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ХОФФА НА ГРАФЕ
С. А. Загребина, П. О. Пивовароеа
THE STABILITY OF THE HOFF LINEAR EQUATIONS ON A GRAPH
S.A. Zagrebina, P.O. Pivovarova
Рассмотрена устойчивость стационарного решения линейных уравнений Хоффа на графе, являющегося моделью конструкции из двутавровых балок. Основной подход - второй метод Ляпунова, модифицированный сообразно нашей ситуации.
Ключевые слова: уравнение соболевского типа, граф, фазовое пространство, функция Ляпунова
The stability of stationary solution of the Hoff linear equations on a graph which is a model design of I-beams is considered. The main approach is the second Lyapunov method modifying respectively to our situation.
Keywords: Sobolev type equation, graph, phase spase, Lyapunov function
Введение
Пусть G = G(2J, (£) — конечный связный ориентированный граф, где Ю = {Vi} - множество вершин, а € = {Е{} - множество ребер, причем каждое ребро Ej имеет длину lj Е M_j_ и площадь поперечного сечения dj Е М+. На графе G рассмотрим линейные уравнения Хоффа
(А - Xo)ujt + Ujtxx = OLUj, Uj=Uj(x,t), X E (0,/j), t E Ж, (0.1)
моделирующие динамику выпучивания конструкции из двутавровых балок в линейном приближении. Параметры А, Ао Е М+ характеризуют нагрузку на конструкцию, параметр а Е Ш+ отвечает свойствам материала балок. Нас интересуют решения уравнений (0.1), удовлетворяющие ^условиям непрерывности»
Uj(0,t) =uk(0,t) =um(lmit) =un(lmt), Ej,Ek E Ea(Vi),EmiEn E (0.2)
и ^условиям баланса потоков»
djUjx(0,t) — dkukx(lkjt) = 0 (0.3)
EjeEa(Vi) EkEE"(Vi)
в вершинах графа. Здесь через обозначено множество ребер с началом (концом)
в вершине Vj, f Е К. (Обсуждение условий (0.2), (0.3) см. напр. в [1]). Основной целью статьи является доказательство асимптотической устойчивости по Ляпунову нулевых решений задачи (0.1) - (0.3) при параметрах А Е [0, Ао] и а Е R+.
Дифференциальные уравнения на графах — сравнительно новая область математического знания. Первая монография по данной проблематике вышла в 2004 г. [2]. В ней содержится обстоятельный исторический обзор всех достижений в этой области. За последующие годы количество публикаций, посвященных дифференциальным уравнениям на графах лавинообразно выросло, и авторы, стесненные рамками статьи, воздерживаются от какого-либо их обзора. Еще более стремительно растет число публикаций, посвященных уравнениям соболевского типа, к которым относятся уравнения (0.1). Здесь мы сошлемся на две монографии [3], [4], исторические обзоры в которых взаимно дополняют друг друга. Заметим еще, что первым уравнения соболевского типа на графах начал изучать Г.А. Свиридюк [5].
Вернемся к задаче (0.1) - (0.3). Пользуясь понятиями, методами и результатами монографии [6], мы редуцируем ее к линейному уравнению соболевского типа
Lu = Мщ (0.4)
где L и М — линейные непрерывные операторы, действующие в специально построенных банаховых пространствах. Отметим универсальность нашего подхода — сейчас все большее число исследователей его придерживается (см. например, [7 - 9]). Исследование устойчивости уравнений (0.4) (в терминах дихотомии решений) было начато в [10]. Затем данный подход был обобщен на полулинейные уравнения соболевского типа [11 - 13] (в терминах инвариантных многообразий). Однако эти методы применить к исследованию устойчивости в нашем случае не представляется возможным. Дело здесь в том, что ¿-спектр aL(M) оператора М является замыканием множества
{/1 € С : 1л = -а(А0 - А + А*)"1, к G N \ {I : Хк = А - А0}} ,
и значит,
аь(М) ПЖ/0. (0.5)
(Здесь {Хк} ~ последовательность собственных значений задачи Штурма - Лиувилля на графе, занумерованных по неубыванию с учетом кратности, {А&} Е {0} UM+. Пояснения об этом можно посмотреть в статье A.A. Баязитовой в данном Вестнике.) Именно нарушение условия (0.5) является главным требованием в работах [10] - [13].
Поэтому для исследования устойчивости в случае (0.4) мы избрали второй метод Ляпунова, обобщение которого на полные метрические пространства дано в [14], гл. 4. Внимательный анализ приведенной там теоремы 4.1.4 показал, что ее можно распространить на необходимые нам нормированные пространства (т. е. без требования их полноты), правда, с потерей равномерности в устойчивости и асимптотической устойчивости (см. определение 4.1.2 [14]). Отметим еще, что в силу (0.5) первый метод Ляпунова здесь тоже не годится.
Статья кроме введения содержит две части и список литературы, который, как было отмечено выше, не претендует на полноту, а лишь отражает вкусы и пристрастия авторов. В первой части делается описание фазовых пространств задачи (0.1) - (0.3) в случаях А Е [0, Ао) и А = Ао. Во второй части модифицированный нами второй метод Ляпунова применяется к исследованию устойчивости задачи (0.1) - (0.3).
1. Фазовое пространство
Введем в рассмотрение множество Г^в) = {д = {91,92, • • -9ь * • •) : 9з £ ^2(0, (?)}, которое станет гильбертовым пространством, если ввести скалярное произведение < • > и норму ||-||0 следующим образом:
_^ гЦ _^ р1з
(д^) = ¿з 9ЗъЗАх и Ы\2 = X] 4? /
Т?. г-г£ '' 0 ТР.Г-& ¿0
Введем еще банахово пространство
Я = {и = (щ, • • •, и^,...) : и^ Е И^О, Ц), причем выполнено (0.2)}
с нормой
(Его естественная гильбертова структура нам не нужна). В силу теорем вложения Соболева пространства 1^) состоят из абсолютно непрерывных функций, поэтому пространство
Н корректно определено, а в силу теоремы Кондрашева - Реллиха оно компактно вложено в Ъ2(С). По теореме Ф. Рисса отождествим пространство 1*2(С) со своим сопряженным и через 5 обозначим сопряженное пространство к И относительно двойственности (•,•)• Пространство $ - банахово, причем имеют место непрерывные вложения 11 м- 1*2(С) ^ Пусть Ао Е К+, А Е [0, Ао] и а Е К+. Построим операторы
< Ьи, V >= ^ ^ / (и^хУ^х + (Ао — < Ми, V >= —а < и,у >,
0
где и, V Е 11. Заметим, что операторы Ь,М Е £(Д, $), то есть линейны и непрерывны. Лемма 1.
(г) если А Е [0, Ао) и а Е М+; шо существуют операторы Ь~1,М~1 Е £($,Н); ^ еслу А = Ао, шо кегЬ = ярап где
<Р = (е (1,..)•
\щее )
Доказательство. Заметим, что (\) вытекает из [14], а (и) справедливо в силу неравенства
< Ьи, и >= ^ ^ / и*х(1х > 0.
□
Лемма 2. При любых Ао, а Е и X Е [0, Ао) оператор М (Ь,0)~ограничен. Доказательство есть, например, в [1].
Итак, редукция задачи (0.1) - (0.3) к уравнению (0.4) закончена. Вектор-функцию и Е С°°(М;11) назовем решением уравнения (0.4), если она удовлетворяет этому уравнению. Решение и = и(Ь), < Е К, уравнения (0.4) назовем решением задачи Кошщ если при некотором щ Е Н
и(0) - щ. (1.1)
Определение 1. Множество ф С И называется фазовым пространством уравнения (0.4), если
(I) любое решение и = и{1) лежит в ф поточечно, т.е. и(Ь) Е ф, £ Е М; (и) при любом щ £ Ур существует единственное решение задачи (0.4), (1.1).
Теорема 1. (г) При всех Ао, а Е Ж+ и А Е [0, Ао) фазовым пространством ф задачи (0.1) - (0.3) служит пространство Д.
(гг) При всех Ао, ос Е М+ и А = Ао фазовым пространством ф задачи (0.1) - (0.3) служит подпространство Я1 = {и Е И :< и, (р >= 0}.
Доказательство. Следуя [6], гл. 4, построим проектор
7
где замкнутый контур 7 Е С ограничивает область, содержащую Ь-спектр аь(М) оператора М. Очевидно,
р __ Г I, если Л Е [0, Ао);
[ I— >, если А = Ао-
□
2. Устойчивость
Введем в рассмотрение нормированное пространство Ю с нормой |||*|||. Говорят, что на Щ задан поток, если существует отображение такое, что
для любого V Е Ш и всех I Е Ж+ выполняются соотношения (1) 5 = V) Е Ш, при всех ¿ЕЖ; 5 (0, у) = у; (и) 8(1 + 5, у) = 5(5, у)) при всех з, £ Е Ж. Точка V ЕЮ такая, что
(Ш) ЕМ,
называется стационарной точкой потока 5.
Определение 2. Стационарная точка V ЕЮ потока 5 называется
(1) устойчивой (по Ляпуновуесли для любой окрестности Оу С Ю точки V существует (возможно, другая) окрестность 0'у той же точки, что ш) Е 0'у при всех т Е Оу и г Е Ш+;
(и) асимптотически устойчивой (по Ляпунову), если она устойчива и для любой точки ио из некоторой окрестности Оу выполняется ги) —> V при t —> +оо.
Определение 3. Функционал У Е С (И; Ж) называется функцией Ляпунова потока 5, если
для всех V Е Ш.
В дальнейшем стационарной точкой потока 5 на Ю будем считать точку нуль. Введем
в рассмотрение строго возрастающие функции и непрерывные функции щ : {0} и Ж+ —>► {0} и Ж+ такие, что (рк(0) =0, к = 1,2.
Теорема 2. Если для потока 5 существует функция Ляпунова V такая, что У(0) = 0 и У(у) > </?1(||М||) при всех у Е Ю, то точка нуль устойчива. Если вдобавок У(у) < —^(НМП) при всех у Е Ю, то точка нуль асимптотически устойчива.
Доказательство. Итак, для всякого г Е Ж+ положим Ог = {у Е Ю : У(у) < г}. Каждое из множеств Ог является окрестностью точки у, причем V Е Ог => г?)) < У(у) < г при
всех £ Е Ж+. Если У(у) > </?(||М||), то для любого е Е Ж+ существует такое г = ср(е) > 0, что У(у) < г ||Н|| < е. В силу непрерывности У существует 8 Е М+ такое, что при |||г>||| < 8 будет у Е £)г, а значит, и у) Е 0г, так что ||5(^,г^)|| < £ для всех t Е Ж+.
Пусть точка у Е тогда у)) - невозрастающая неотрицательная функция I Е
Ж+. Пусть I = Нт и I > 0, тогда т£ Ш<,г;)|| > 0, значит, вир У(3(1,у)) < -т
для некоторого т Е Ж+, что противоречит неотрицательности и)). Таким образом,
и г;)|| стремятся к нулю при t -» +оо. □
Теперь применим теорему 2 к исследованию устойчивости задачи (0.1) - (0.3). Фазовым пространством ф задачи (0.1) - (0.3) в обоих случаях (А Е [0, Ао) и А = Ао) является банахово пространство с нормой Ц-Цд, индуцированной из 11. Введя в ф норму ||-|| из 1^(0), превратим его в нормированное пространство (которое, очевидно, совпадет с 1*2(б) в случае А Е [0, Ао) при его естественном понимании). В силу результатов [6], гл. 4 на ф существует поток 5, определяемый формулой
и) = [(цЬ- М)~1Ьиё1Ч^ £ Е Ж, 2т и
где замкнутый контур 7 ограничивает Ь-спектр аь(М) оператора М. Очевидно, точка нуль является стационарной точкой этого потока.
Теперь рассмотрим оба случая по отдельности. Пусть сначала А Е [0; Ао), Ао Е Ж+. В этом случае функцию Ляпунова определим следующим образом:
У(и) = £ ['' (4т + (Л - Ао
Т? о
Очевидно, У(и) > (А — Ао) ||гл||2 и У(0) = 0, поэтому в силу теоремы 2 точка нуль устойчива по Ляпунову. Далее, умножив (0.1) скалярно в Ьг(С) на и, получим
Щи) = -2а\\и\\2 , (2.1)
что в силу теоремы 2 означает асимптотическую устойчивость точки нуль.
Рассмотрим теперь случай А = Ао- В этом случае фазовым пространством задачи (0.1) - (0.3) служит подпространство К1, в котором, согласно принципу Куранта, можно ввести норму
М1? = Е /
эквивалентную индуцированной из 11 норме ||-||д. Причем в силу теорем вложения Соболева
1М11 > с II
и||, где с Е — константа вложения. Задав функцию Ляпунова У{и) = в
силу теоремы 2 получаем устойчивость точки нуль. Далее, уравнения (0.1) в силу линейности на II1 выглядят точно таким же образом. Поэтому поступая аналогично предыдущему, получаем справедливость (2.1). Итак, и в этом случае точка нуль является асимптотически устойчивой. Таким образом, доказана
Теорема 3. При всех а, Ао Е Ж+ и А Е [0, Ао] стационарная точка нуль задачи (0.1) - (0.3) является асимптотически устойчивой.
Замечание 1. В реальной ситуации число Ао Е Ж+ можно трактовать как критическую нагрузку на конструкцию из двутавровых балок. Теорема 3 показывает, что при всех нагрузках А Е Ж+, не превышающих критическую, стационарная точка нуль не теряет асимптотической устойчивости. В дальнейшем авторы в численном эксперименте собираются показать потерю устойчивости при А > Ао-
Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить профессора Г.А. Свиридюка за ценные советы в процессе подготовки статьи.
Литература
1. Свиридюк, Г.А. Уравнения Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Дифферент уравнения. - 2006. - Т. 42, №1. - С. 126 - 131.
2. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный, О. М. Пен-кин, В. JI. Прядиев и др. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
3. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest - order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. - N. Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003.
4. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А.Г. Свешников, A.B. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007.
5. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики: сб. науч. работ. Новосибирск, 2002. -С. 221 - 225.
6. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov - Utrecht; Boston: VSP, 2003.
7. Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / A.A. Замышляева // Вычислит, технологии. - 2003. - Т. 8,
№4. - С. 45 - 54.
8. Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / H.A. Манакова // Дифференц. уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. -С. 1185 - 1192.
9. Келлер, A.B. Численное решение задачи стартового управления для системы уравнений леонтьевского типа / A.B. Келлер // Обозрение приклад, и пром. математики. - М., 2009. - Т. 16, вып. 2. - С. 345 - 346.
10. Свиридюк, Г. А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, A.B. Келлер // Изв. ВУЗ. Математика. 1997. №5. С. 60-68.
11. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск, 2005. С. 160 - 166.
12. Загребина, С.А. О существовании и устойчивости решений уравнений Навье - Стокса / С.А. Загребина // Вестн. МаГУ. Сер. Математика. - Магнитогорск, 2005. - Вып. 8. -С. 74 - 86.
13. Загребина, С.А. Существование и устойчивость решений одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / С.А. Загребина, М.М. Якупов // Вестн. ЮУрГУ. Сер. ^Математическое моделирование и программирование». - Челябинск, 2008. - № 27(127), вып. 2. - С. 10 - 18.
14. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985.
Кафедра <Уравнения математической физики»,
Южно-Уральский государственный университет
zsophya@mail.ru
Поступила в редакцию 25 февраля 2010 г.
