Научная статья на тему 'Устойчивость движения относительно части переменных непрерывнодискретной системы'

Устойчивость движения относительно части переменных непрерывнодискретной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
76
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лизина Елена Александровна

Рассматривается вопрос о сведении задачи об устойчивости движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы к задаче об устойчивости движения по всем переменным для некоторой вспомогательной системы.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Устойчивость движения относительно части переменных непрерывнодискретной системы»

УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ

Е. А. Лизина

Рассматривается вопрос о сведении задачи об устойчивости движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы к задаче об устойчивости движения по всем переменным для некоторой вспомогательной системы.

Рассмотрим непрерывно-дискретную систему уравнений вида

йх

И

Ах -I- Ви(кН),

(1)

где х £ Яп^и Е Яг,г < п, А ^постоянная матрица размерности п х щ В - постоянная матрица размерности п х г. Управление и = (гц, ...,иг)т зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функцию, т. е. и(Ь) = и(кК), Ь е [Щ (к + 1)Л]. Здесь к > О -некоторая постоянная, к = 0,1,2,...; ж(0) -

начальные данные системы, верхний индекс означает транспонирование. Пусть управление задано в виде

и(кК) = Кх{кК),

(2)

где К есть постоянная матрица размерности г х г.

Представим вектор х в виде х = (х\, ...,

Хп)Т = (У1, -,Утп,21,~,2р)Т = (У, •>

тп > 0, р > 0, т + р = п. Тогда система (1) с учетом управления (2) примет вид

у = Ау + В г + Ру{Щ + О г(кН), ¿ = Су + В г + Ыу{кК) + Ьг{кН),

(3)

где А, В, С, Р, <2, АГ, Ь - постоянные матрицы соответствующих размерностей, или

¿Уг

йь

т

т

к= 1

¿=1

V

(4)

Г— 1

/1=1

т

к=1

(=1

т

4- пзгУг(кк) 4-

г=1

Н=1

г = 1 ,гп; з = 1,р.

Для исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия у{ = = 0 (г = 1,т\ з = 1,р)

системы (3) по отношению к у1,..,ут воспользуемся идеей В. И. Воротникова [1] построения некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений, называемой ^-системой. На основании анализа устойчивости /¿--системы делается вывод об устойчивости по отношению к части переменных положения равновесия исходной системы.

Приведем систему (1) к /¿-системе. Рассмотрим векторы Ь{ = (Ьга, ...,Ь{Р) (г = 1,т7ц), составленные из соответствующих коэффициентов системы (3). Новые переменные введем в виде [1, с. 27]

1=1

(г = 1,77ц),

(5)

т

где первые гп1 векторов Ъг,.., Ьт1 выбираются линейно независимыми, а векторы Ьт1,..,Ь линейно выражаются через них. При этом возможны два случая.

Первый случай. Система (4) приводит^ ся к виду

% <и

т

т\

т

^аисУк + ^2ащи +

к=1 т\

1=1

г=1

+ (г = 1

(6)

К= 1

т

т1

т

^2 а*экУк + + XI %гЫг(1Л)+

к=1 ГГЦ

1=1

г= 1

и = 1 ,..,шх),

/1=1

© Е. А. Лизина, 2010

66

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | X» 4

гп

т

У] СзкУк 4 ^ + ^ ПзгУг(кН) 4

*=1

¿=1

г= 1

/1=1

Здесь - постоянные.

Поведение переменных у г,..., у-щ системы (4), относительно которых рассматривается устойчивость положения равновесия, полностью определяется системой

<1уг

т

т1

т

У^ аг/ЬУА: + + Р*г|/г(&Л)4-

*=1

¿=1

V— 1

771!

(7)

/1=1

¿44 ¿1

т

77X1

т

&=1

¿=1

Г— 1

т-1

/1=1

называемой ^¿-системой по отношению к исходной системе (3).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Второй случай. Система (1) не приводится к (7) после введения переменных (5). Если считать, что только первые га2 (гп2 < тпг) переменных в,^ из (6) линейно независимы, то имеют место первые тп2 (тп.2 < ггы) равенств

р V V тг

Х^2* = = (8)

1=1 у=1 1=1 1=1

Тогда остальные гпг — гаг из равенств (7) невозможны, а система (1) будет состоять из уравнений

¿Уг <11

пг

т I

т

£ агкУк 4 £ аищ 4 X] Р*гУг(кН)4

к=1

1=1

V— 1

ТП\

т

тх

т

XI+X!+ £ ^гУт(щ+

к=1 7711

¿=1

Г=1

т

тх

т

Е 4- XI 4 У г (к!г)+

к=1

1=1

т=1

ТТЦ

53(з = га2 4 1,...,ГП1), (9)

/1=1

т

т

53 + 53 + 53 Л*г!/г(*Ж)4-

/е=1

¿=1

Г=1

/1=1

О!^* = 53 ^' (в = ГП2 4* 1, ...,7711).

и = 1

**

Пусть первые газ из векторов ..., ат1

(газ < гах — гаг) линейно независимы, а остальные линейно выражаются через них. Введем новые переменные

Мтщ+7 = 53а^2+7,*гь (7 = 1, газ).

1=1

При этом система сведется либо к системе типа (6) или (9). В первом случае /¿-система построена, во втором случае необходимо продолжать введение новых переменных.

Переход к /¿-системе имеет смысл только тогда, когда ее размерность меньше размерности исходной системы. Вспомогательные переменные /¿-системы выбираются из переменных (в векторном виде)

¡1 = Вг, /х

(1)

Вг = ВОг,...,

М

(к) = Вг(к) = ввкг (\<к<р-1).

Таким образом, для определения размерности //-системы, так же как и в случае [1, с. 30], рассматривается матрица

Кр=(Вт,ОтВт,...,(Оту~1Вт),

где Вт - вектор-столбцы системы (3). А значит, для непрерывно-дискретной системы (1) верны леммы о размерности вспомогательной /¿-системы для линейных систем. Приведем их формулировки.

Лемма 1 [1, с. 29]. Для системы (1) введением К <г групп новых переменных типа всегда может быть построена вспомогательная /¿-система, размерность которой не превосходит размерности исходной системы.

Лемма 2 [1, с. 31]. Для того чтобы размерность /¿-системы была равна га 4 /г, необходимо и достаточно, чтобы тапкКр = /г.

Переход к системе /¿-вида эквивалентен введению вместо переменных х — (У17 • • 5 Угп, ¿1,..., гр )т новых переменных ы = (7/1, ..,2/т,Мь —91Лк,У1,...1)г) (га4р — п —

Серия «Физико-математические науки»

67

= т + И 4- г), причем исходная система (1) принимает такой вид, что первые т + ¡г не содержат (г = 1,г).

Установим связь между коэффициентами исходной системы (1) и вспомогательной д-системы (7). Пусть 5 - минимальное число такое, что гапкКз-г = гапкК3. Рассмотрим матрицы Ь{ (г = 1,5) вида [1, с. 32]:

а) строки матрицы Ь\ размера ¡г х р - линейно независимые вектора-столбцы матрицы К3-1;

б) столбцы матрицы Ь2 размера /г х И -линейно независимые вектора-столбцы матрицы Ь\\

в) строка с номером ^ (з — 1,/г) матрицы Ьз размера р х /г является строкой с номером з матрицы Ь^1 - обратной к ¿2, а остальные строки матрицы Ьз - нулевые;

т)Ьа и Ьъ ~ матрицы вида

и

Ет О

О ¿1

Ьъ

Ет о О Ьз

где Ет - единичная матрица размера га х т.

Лемма 3. Вспомогательную /¿-систему для (1) составят уравнения

£ = иЛЬъ£, 4- иВКЬь^кК).

(10)

Доказательство леммы 3 аналогично доказательству [1, с. 33]. Переход от исходной системы (1) к /х-системе эквивалентен замене переменных ги — Ьх\ ¿¿-систему составят первые т + Ь, уравнений системы

гЬ = ЬАЬ~ги> 4- ЬВКЬ~1и){кН).

Таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости непрерывно-дискретной системы (1) по части переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости вспомогательной системы (10) по всем переменным. Далее, используя теорему В. И. Зубова [2, с. 100] о возможности стабилизации системы вида (9) с помощью дискретного управления, убедимся, что система (3) ((4)) стабилизируется относительно части переменных.

Приведем формулировку данной теоремы для системы (10).

Теорема. Если векторы

..., (Бту~1 Вт) линейно независимы, то существуют коэффициенты усиления К (управление (2)) и величина Н такие, что нулевое решение системы (10) будет асимптотически устойчивым.

Здесь 5 - минимальное число такое, что гапк/С,_1 = гапк К3.

Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

хг

Х2 Хз

-Х\ 4- Х2 - 2хз + XI (кЪ) — 2х2(к/г)+

+4хз(кк),

4x1 + х2 4- хг (к/г) + 3х3(кк), (11)

2x1 4- Х2 — хз — 2x1 (кк) 4- Х2 (/с/г)—

—хз{кК),

или в переменных у, г

2/1

z\ ¿2

—У\ 4- - 2*2 4- У\{кН) - 2г\(кЬ)+

+4г2 (кН,)

4т/х 4- 4-2/1 (/с/г) 4- 3*2(кК), 2у\ 4- - 22 - 2у\(кН) 4- г^кк) -

22{кК)

Вспомогательная переменная в соответствии с (5) имеет вид ¿¿1 = г\ — 2^2, а //-систему составят уравнения

У1

2/1 4- //1 4- 2/1 (/с/г) -¡11 4- Ъу\(кК) — 2//1 (кК).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(12)

К этой же системе можно прийти с помощью преобразования (10), где

Ь

1 0 0 1

0

2

Ьъ

1 0 0 1 о о

Матрица Ь^АЬъ 4- Ь±ВКЬь системы (12) имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями, следовательно, нулевое решение /х-системы асимптотически устойчиво по Ляпунову [2, с. 100]. Это значит, что движение у\ = — г2 = 0 исходной системы (11) асимптотически устойчиво по г/1, хотя оно не устойчиво по Ляпунову по всем переменным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных / В. И. Воротников- - М. : Наука, 1991. - 288 с.

2. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. - М. : Наука, 1975. - 495 с.

Поступила 13.11.10.

68

ВЕСТНИК Мордовского университета I 2010 I № 4

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.