УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ
Е. А. Лизина
Рассматривается вопрос о сведении задачи об устойчивости движения относительно части переменных непрерывно-дискретной системы к задаче об устойчивости движения по всем переменным для некоторой вспомогательной системы.
Рассмотрим непрерывно-дискретную систему уравнений вида
йх
И
Ах -I- Ви(кН),
(1)
где х £ Яп^и Е Яг,г < п, А ^постоянная матрица размерности п х щ В - постоянная матрица размерности п х г. Управление и = (гц, ...,иг)т зависит от дискретных моментов времени и представляет собой кусочно-постоянную функцию, т. е. и(Ь) = и(кК), Ь е [Щ (к + 1)Л]. Здесь к > О -некоторая постоянная, к = 0,1,2,...; ж(0) -
начальные данные системы, верхний индекс означает транспонирование. Пусть управление задано в виде
и(кК) = Кх{кК),
(2)
где К есть постоянная матрица размерности г х г.
Представим вектор х в виде х = (х\, ...,
Хп)Т = (У1, -,Утп,21,~,2р)Т = (У, •>
тп > 0, р > 0, т + р = п. Тогда система (1) с учетом управления (2) примет вид
у = Ау + В г + Ру{Щ + О г(кН), ¿ = Су + В г + Ыу{кК) + Ьг{кН),
(3)
где А, В, С, Р, <2, АГ, Ь - постоянные матрицы соответствующих размерностей, или
¿Уг
йь
т
т
к= 1
¿=1
V
(4)
Г— 1
/1=1
т
к=1
(=1
т
4- пзгУг(кк) 4-
г=1
Н=1
г = 1 ,гп; з = 1,р.
Для исследования задачи об асимптотической устойчивости положения равновесия у{ = = 0 (г = 1,т\ з = 1,р)
системы (3) по отношению к у1,..,ут воспользуемся идеей В. И. Воротникова [1] построения некоторой вспомогательной системы дифференциальных уравнений, называемой ^-системой. На основании анализа устойчивости /¿--системы делается вывод об устойчивости по отношению к части переменных положения равновесия исходной системы.
Приведем систему (1) к /¿-системе. Рассмотрим векторы Ь{ = (Ьга, ...,Ь{Р) (г = 1,т7ц), составленные из соответствующих коэффициентов системы (3). Новые переменные введем в виде [1, с. 27]
1=1
(г = 1,77ц),
(5)
т
где первые гп1 векторов Ъг,.., Ьт1 выбираются линейно независимыми, а векторы Ьт1,..,Ь линейно выражаются через них. При этом возможны два случая.
Первый случай. Система (4) приводит^ ся к виду
% <и
т
т\
т
^аисУк + ^2ащи +
к=1 т\
1=1
г=1
+ (г = 1
(6)
<И
К= 1
т
т1
т
^2 а*экУк + + XI %гЫг(1Л)+
к=1 ГГЦ
1=1
г= 1
и = 1 ,..,шх),
/1=1
© Е. А. Лизина, 2010
66
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2010 | X» 4
гп
т
У] СзкУк 4 ^ + ^ ПзгУг(кН) 4
*=1
¿=1
г= 1
/1=1
Здесь - постоянные.
Поведение переменных у г,..., у-щ системы (4), относительно которых рассматривается устойчивость положения равновесия, полностью определяется системой
<1уг
<а
т
т1
т
У^ аг/ЬУА: + + Р*г|/г(&Л)4-
*=1
¿=1
V— 1
771!
(7)
/1=1
¿44 ¿1
т
77X1
т
&=1
¿=1
Г— 1
т-1
/1=1
называемой ^¿-системой по отношению к исходной системе (3).
Второй случай. Система (1) не приводится к (7) после введения переменных (5). Если считать, что только первые га2 (гп2 < тпг) переменных в,^ из (6) линейно независимы, то имеют место первые тп2 (тп.2 < ггы) равенств
р V V тг
Х^2* = = (8)
1=1 у=1 1=1 1=1
Тогда остальные гпг — гаг из равенств (7) невозможны, а система (1) будет состоять из уравнений
¿Уг <11
пг
т I
т
£ агкУк 4 £ аищ 4 X] Р*гУг(кН)4
к=1
1=1
V— 1
ТП\
т
тх
т
XI+X!+ £ ^гУт(щ+
к=1 7711
¿=1
Г=1
т
тх
т
Е 4- XI 4 У г (к!г)+
к=1
1=1
т=1
ТТЦ
53(з = га2 4 1,...,ГП1), (9)
/1=1
т
т
53 + 53 + 53 Л*г!/г(*Ж)4-
/е=1
¿=1
Г=1
/1=1
О!^* = 53 ^' (в = ГП2 4* 1, ...,7711).
и = 1
**
Пусть первые газ из векторов ..., ат1
(газ < гах — гаг) линейно независимы, а остальные линейно выражаются через них. Введем новые переменные
Мтщ+7 = 53а^2+7,*гь (7 = 1, газ).
1=1
При этом система сведется либо к системе типа (6) или (9). В первом случае /¿-система построена, во втором случае необходимо продолжать введение новых переменных.
Переход к /¿-системе имеет смысл только тогда, когда ее размерность меньше размерности исходной системы. Вспомогательные переменные /¿-системы выбираются из переменных (в векторном виде)
¡1 = Вг, /х
(1)
Вг = ВОг,...,
М
(к) = Вг(к) = ввкг (\<к<р-1).
Таким образом, для определения размерности //-системы, так же как и в случае [1, с. 30], рассматривается матрица
Кр=(Вт,ОтВт,...,(Оту~1Вт),
где Вт - вектор-столбцы системы (3). А значит, для непрерывно-дискретной системы (1) верны леммы о размерности вспомогательной /¿-системы для линейных систем. Приведем их формулировки.
Лемма 1 [1, с. 29]. Для системы (1) введением К <г групп новых переменных типа всегда может быть построена вспомогательная /¿-система, размерность которой не превосходит размерности исходной системы.
Лемма 2 [1, с. 31]. Для того чтобы размерность /¿-системы была равна га 4 /г, необходимо и достаточно, чтобы тапкКр = /г.
Переход к системе /¿-вида эквивалентен введению вместо переменных х — (У17 • • 5 Угп, ¿1,..., гр )т новых переменных ы = (7/1, ..,2/т,Мь —91Лк,У1,...1)г) (га4р — п —
Серия «Физико-математические науки»
67
= т + И 4- г), причем исходная система (1) принимает такой вид, что первые т + ¡г не содержат (г = 1,г).
Установим связь между коэффициентами исходной системы (1) и вспомогательной д-системы (7). Пусть 5 - минимальное число такое, что гапкКз-г = гапкК3. Рассмотрим матрицы Ь{ (г = 1,5) вида [1, с. 32]:
а) строки матрицы Ь\ размера ¡г х р - линейно независимые вектора-столбцы матрицы К3-1;
б) столбцы матрицы Ь2 размера /г х И -линейно независимые вектора-столбцы матрицы Ь\\
в) строка с номером ^ (з — 1,/г) матрицы Ьз размера р х /г является строкой с номером з матрицы Ь^1 - обратной к ¿2, а остальные строки матрицы Ьз - нулевые;
т)Ьа и Ьъ ~ матрицы вида
и
Ет О
О ¿1
Ьъ
Ет о О Ьз
где Ет - единичная матрица размера га х т.
Лемма 3. Вспомогательную /¿-систему для (1) составят уравнения
£ = иЛЬъ£, 4- иВКЬь^кК).
(10)
Доказательство леммы 3 аналогично доказательству [1, с. 33]. Переход от исходной системы (1) к /х-системе эквивалентен замене переменных ги — Ьх\ ¿¿-систему составят первые т + Ь, уравнений системы
гЬ = ЬАЬ~ги> 4- ЬВКЬ~1и){кН).
Таким образом, вопрос об асимптотической устойчивости непрерывно-дискретной системы (1) по части переменных сводится к исследованию асимптотической устойчивости вспомогательной системы (10) по всем переменным. Далее, используя теорему В. И. Зубова [2, с. 100] о возможности стабилизации системы вида (9) с помощью дискретного управления, убедимся, что система (3) ((4)) стабилизируется относительно части переменных.
Приведем формулировку данной теоремы для системы (10).
Теорема. Если векторы
..., (Бту~1 Вт) линейно независимы, то существуют коэффициенты усиления К (управление (2)) и величина Н такие, что нулевое решение системы (10) будет асимптотически устойчивым.
Здесь 5 - минимальное число такое, что гапк/С,_1 = гапк К3.
Пример. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид
хг
Х2 Хз
-Х\ 4- Х2 - 2хз + XI (кЪ) — 2х2(к/г)+
+4хз(кк),
4x1 + х2 4- хг (к/г) + 3х3(кк), (11)
2x1 4- Х2 — хз — 2x1 (кк) 4- Х2 (/с/г)—
—хз{кК),
или в переменных у, г
2/1
z\ ¿2
—У\ 4- - 2*2 4- У\{кН) - 2г\(кЬ)+
+4г2 (кН,)
4т/х 4- 4-2/1 (/с/г) 4- 3*2(кК), 2у\ 4- - 22 - 2у\(кН) 4- г^кк) -
22{кК)
Вспомогательная переменная в соответствии с (5) имеет вид ¿¿1 = г\ — 2^2, а //-систему составят уравнения
У1
2/1 4- //1 4- 2/1 (/с/г) -¡11 4- Ъу\(кК) — 2//1 (кК).
(12)
К этой же системе можно прийти с помощью преобразования (10), где
Ь
1 0 0 1
0
2
Ьъ
1 0 0 1 о о
Матрица Ь^АЬъ 4- Ь±ВКЬь системы (12) имеет собственные числа с отрицательными вещественными частями, следовательно, нулевое решение /х-системы асимптотически устойчиво по Ляпунову [2, с. 100]. Это значит, что движение у\ = — г2 = 0 исходной системы (11) асимптотически устойчиво по г/1, хотя оно не устойчиво по Ляпунову по всем переменным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных / В. И. Воротников- - М. : Наука, 1991. - 288 с.
2. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. - М. : Наука, 1975. - 495 с.
Поступила 13.11.10.
68
ВЕСТНИК Мордовского университета I 2010 I № 4