Усреднение уравнений Блоха Текст научной статьи по специальности «Математика»

О. А. СУЛТАНОВ, Л. А. КАЛЯКИН УСРЕДНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ БЛОХА*

Рассматривается система трех дифференциальных уравнений первого порядка с медленно меняющимися коэффициентами, которая в теории ядерной намагниченности носит название уравнения Блоха. Проводится усреднение этой системы на основе решений уравнений с «замороженными» коэффициентами при нулевой диссипации.

Ключевые слова: малый параметр, усреднение, нелинейные уравнения.

Введение

Основным объектом исследования является система трех уравнений, описывающая динамику вектора ядерной намагниченности [1]. В цилиндрических координатах эти уравнения имеют вид [2]

dp , / ч • , dz . . . , .

— = —п(єі) z sin гр — єр, — = п(єі) p sin гр — (z — 1)єЬ,

(1)

'й'Ф s 1 , / ч

р

dф

—-----Q(et) + z = -к(єі) z cos ф.

- dt

Коэффициенты диссипации e,eb > 0 имеют определенный физический смысл и считаются неотрицательными. В силу инвариантности уравнений относительно замен h ^ — h, ф ^ ф + п можно считать неотрицательным коэффициент h > 0. Знак коэффициента П не фиксирован.

Считается, что малый параметр е содержится множителем в коэффициентах диссипации, так что b = const > 0. Кроме того, он содержится в медленно меняющихся коэффициентах h(et), Q(et). Функции h(r), П(т) гладко зависят от медленного времени т = et, в частности, они ограничены на конечном промежутке и h(T) > ho > 0.

Целью работы является построение асимптотики решений при е ^ 0 на большом промежутке времени 0 < t < O(e-1). Подходы к такого типа задачам обычно связываются с терминами «усреднение» и «двухмасштабное разложение» [3].

1. Интегрирование «замороженной» системы

В качестве основы для асимптотических конструкций используется трехпараметрическое решение бездиссипативной системы уравнений (е = 0) с «замороженными» (постоянными) коэффициентами: h, П = const. Ввиду наличия у такой системы двух первых интегралов

M = p2(t) + z2(t) = const, E = ^z2(t) — Qz(t) — hp(t) cosф^) = const

*Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (проекты 10-01-00186, 11-02-97003).

ее интегрирование сводится к решению скалярного уравнения, например,

dt = ±^h2(M - z2) - (E + Hz - z2/2)2.

Это уравнение, очевидно, интегрируется

fz d(

—. = ±(t + t0), Z,t0 = const.

J-z Vh2(M - Z2) - (E + HZ - z2/2)2 ' '

Решение, зависящее от трех констант интегрирования t0, E, M и двух параметров h, H, выписывается через обратную функцию z = z0(t + t0; E, M; h, H).

Рис. 1. Фазовые траектории в проекции с верхней и нижней полусферы

Поскольку почти все фазовые траектории замкнуты, то общее решение представляет собой периодическую функцию с периодом Т = Т(Е, М; Л, П), зависящим от четырех параметров. Остальные компоненты вектора намагниченности

р = ро(* + ¿о; Е, М; Л, П), ф = ф0(£ + ¿о; Е, М; Л, П) вычисляются из первых интегралов.

2. Замена переменных

Полученные функции представляют главный член асимптотики по малому параметру е ^ 0 для решения полной (возмущенной) системы Блоха (1) на конечном промежутке времени 0 < £ < 0(1). Однако, чтобы асимптотика была пригодна на большом промежутке времени 0 < £ < 0(е-1), надо подходящим образом деформировать параметры Е = Е (е£), М = М (е£) и быструю фазу £ — ¿о. Такие деформации в масштабе медленного времени т =

определяются из усредненных уравнений. Процедура усреднения как реализация одного из вариантов метода двухмасштабных разложений наиболее просто выглядит в переменных типа «действие-угол». В простейшем случае такими переменными являются амплитуда-угол M, S в полярных координатах, и переход к ним от декартовых координат связан с решением линейного осциллятора x = л/M cos S, y = л/M sin S.

В рассматриваемой задаче переход основан на решениях бездиссипационной «замороженной» системы. При этом удобно использовать функции, приведенные к фиксированному периоду 2п:

R, Z, Ф^; E, M; h, П) = ро, zo, ^о(S/w; E, M; h, П). (2)

Здесь w(E, M; т) = 2п/Т — частота невозмущенного решения зависит как от

1.0

Рис. 2. График решения при малой диссипации представляет собой сжимающуюся спираль. Асимптотика описывается периодическими решениями с медленно меняющимися параметрами

параметров траектории Е, М, так и от параметра т посредством к(т), П(т). Введенные таким образом функции зависят от пяти переменных и удовлетворяют тождествам, которые вытекают из исходных уравнений и первых интегралов:

^5^Я = — к 2 sin Ф, ^5^2 = к Я sin Ф,

R

= — hZ cosФ,

R2 + Z2 = M, 1Z2 - HZ - hR cos Ф = E. ’ 2

Дифференцирование двух последних тождеств приводит к соотношениям 3e (R2 + Z2) = 0, дм (R2 + Z2) = 1,

дЕ^2Z2 — HZ — hRcos ф = l, дм^2Z2 — HZ — hRcos ф = 0.

Кроме того, эти тождества можно дифференцировать по параметрам h, H. В усредненных уравнениях фигурирует комбинация таких производных в виде оператора дт = Л/(т)д^ + Н(т)дп. Применение такого оператора к тождествам первых интегралов дает соотношения

дт (R2 + Z2) = 0, (Z — Н)дт Z — hдт (R cosФ) = h'(r )R cos Ф + H'(t )Z.

В системе уравнений Блоха (1) выполняется замена переменных (p,z,^) ^ (S, E, M), для которой используются введенные выше функции:

p(t) = R(S; E, M; h, H), z(t) = Z(S; E, M; h, H), ^(i) = Ф(Г; E, M; h, H).

Здесь h, H(ei) — заданные функции. Якобиан замены вычисляется с учетом полученных соотношений:

det IffMr^ ■R=R(S; E-M;h-“="(E-M; т)

Уравнения для вектора новых искомых функций (S, E, R)(t) выписываются через матрицу Якоби в виде

F = —(R, b(Z — l), 0) — дт(R, Z, Ф).

После приведения системы к нормальной форме уравнения приобретают вид, характерный для задач о возмущении нелинейных колебаний:

-Г -Г = w(E, M; т) + еФ(£, E, M; т), -t

-E ^ ч -M ^ ч

— = є/(S,E,M; т) — = eg(S,E,M; т).

Правые части выписываются в терминах решений невозмущенных уравнений R, Z, Ф(Г, E, M; h(T), H(t)) и являются 2п-периодическими по быстрой переменной S:

Ф = —^(дЕ ф дт Z — дЕ Zдт Ф)+

+2Rw

b(Z — 1)(дЕ Rдм Ф — дЕ Ф дм R) — R(дE Zдм Ф — дЕ Ф дм Z) / = h(T)Rcos Ф + b(Z — 1)(H — Z) — Л/(т) Rcos Ф — H(t) Z, g = —2[R2 + bZ (Z — 1)].

3. Усреднение

Таким образом, исходная задача о построении асимптотики по малому параметру для решений уравнений Блоха редуцируется к классической задаче с малым параметром [3], которая решается методом двухмасштабных разложений. В одном из вариантов этого метода задачи по определению быстрой Б (¿; е) и медленных переменных Е, М(¿; е) можно разделить, используя анзатц:

Главные члены этой асимптотики Е0 (т), Мо(г) находятся из системы усредненных уравнений

Здесь угольными скобками обозначается усреднение по переменной Б известных функций, которые выражаются через Я, ^, Ф(£, Е0, М0; к, П); например,

Функции Е0(е£), М0(е£) определяют медленную деформацию невозмущенной траектории. Эта деформация используется в качестве главного члена асимптотики для приближенного описания траектории полной (возмущенной) системы Блоха.

4. Разрешимость усредненной системы

Относительно разрешимости задачи Коши для усредненной системы имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если функции к(т), П(т) € С*(К) непрерывно дифференцирумые, то любое решение усредненных уравнений (3) продолжается вправо и влево на всю ось т € К.

Доказательство. Из тождества первого интеграла Я2 + Z2 = М вытекают оценки для квадратов Я2 < М, Z2 < М, из которых выводятся оценки и для первых

Данные неравенства сохраняются для средних значений. Поэтому правые части уравнений (3), которые выражаются через Я, Z, Ф($, E0, M0; h, П), мажорируются сверху и снизу линейной функцией N(1 + M0), N = const. В таком случае существование глобального решения следует из известных результатов [4, с. 16],

E(t; є) — Eo(t) + <sE]_(S, є) + ... , M(t; є) — Мо(т) + єМ^ (S, є) + ...; S (t; є) — є 1So(t ) + so + є^і(і(?,є) + ..., S — є 1S0(t ) + so; (т — єt).

dEo — h(T)(Я cos Ф) - b(Z - 1)(fi - Z) - к'(т)(Я cos Ф) + П'(т)(Z), ат

(3)

степеней:

(M + 1)/2 < Я < (M + 1)/2, -(М + 1)/2 < Z < (М + 1)/2.

[5, с. 20].

□

5. Заключение

Связь усредненных уравнений с исходной системой обеспечивается заменой (2) на уровне главных членов асимптотики. Пусть (р0, г0, '0°), р0 = 0 — начальная точка для системы (1). Ей соответствуют начальные данные (Е0,М0,50) усредненной системы, для которой задача Коши разрешима в силу теоремы 1 в классе непрерывно дифференцируемых функций Е0 (т), М0(т), 50(т), т € К.

Теорема 2. Для любой тройки (р0,г0,00); которая не является точкой покоя для «замороженной»» системы с к = к(0), П = П(0), существуют т0,е0 > 0 такие, что для любого е € (0,е0) существует точное решение системы (1) на промежутке £ € [0,т0е-1], асимптотика которого имеет вид

р = р0(50/^ Е0, М0; к, П) + О(е), г = ^0(50/^, Е0, М0; к, П) + О(е),

0 = 00(5'0/^, Е0, М0; к, П) + О(е), е ^ 0.

Построение формального асимптотического решения приведено выше. Обоснование асимптотики следует, например, из работы [6].

Список литературы

1. Боровик-Романов, А. С. Спиновое эхо в системах со связанной ядерноэлектронной прецессией / А. С. Боровик-Романов [и др.] // Успехи физ. наук. — 1984. —Т. 142, № 4. — С. 537-570.

2. Калякин, Л. А. Асимптотический анализ модели ядерного магнитного авторезонанса / Л. А. Калякин, О. А. Султанов, М. А. Шамсутдинов // Теорет. и мат.

физика. — 2011. — Т. 167, № 3. — С. 419-430.

3. Боголюбов, Н. Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний /

Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский. — М. : Наука, 1974.

4. Немыцкий, В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 552 с.

5. Хасьминский, Р. З. Устойчиовсть систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров / Р. З. Хасьминский. — М. : Наука, 1969. — 368 с.

6. Ажоткин, В. Д. О применении метода двухмасштабных разложений к одночастотной задаче теории нелинейных колебаний / В. Д. Ажоткин,

B. М. Бабич // Приклад. математика и механика. — 1985. — Т. 49, вып. 3. —

C. 377-383.