CC BY
79
14 декабря 2011 г. 11:21
ТЕХНОЛОГИИ
Ускорение фрактального сжатия изображений путем классификации блоков по полярному углу их центров МАСС
Ключевые слом: фрактальное сжатие изображений, ускорение, классификация, центр масс, инвариантное представление.
Илюшин С.В.,
М7УСИ
Фрактальный алгоритм обработки является высокоэффективным способом сжатия изображений с потеряли, превосходящим по качественным показателям ІРЕС. Если в формате ІРЕС компрессия достигается за счет отбрасывания информации о мелких деталях (к которым относятся и контуры), то во фрактальном алгоритме — за счет устранения избыточности, связанной с подобием между областями разного размера, ток называемым самоподобием, существующим на реальных изображениях. Изображение разбивается на блоки, которые принято называть рангами, для каждого из которых находится подобная (после некоторых преобразований) область того же изображения большего размера, называемая доменом. Для домена, уменьшенного до размеров ранга, преобразование имеет виц
Г(0) = 50+о/
Фрактальное сжатие — эффективный алгоритм компрессам изображений с потерями, позваляюи*Л достигать большое степеней оиэтия при со)уанеив< высокого качество. Сжотив достигается за счет удалении иэ-быгочности, связанной с самоподобием, существующим на реальных изображениях Однако, тайным недостатком алгоритма является большое время сжатия, обусловленное необход имостью проведения огромного количества сравнений между различными блоками, на которые разбивается изображение, для ошс-ксвв-ж самых похожих. Решенио этой проблемы посвящено значительное количество научных работ, в которых предлагаются различные способы ускорения фрактального алгоритма
Одним из наиболее эффективных путей сокращения времени компресо* является классификация блоков по одному или несхальким признакам, инвариантным относительно преобразований, применяемым к блокам при фрактальном сжатии. Таким образом, априори можно сказать, что блоки, принадлежащие к одному классу, схожи между собой. Г^и таком подходе мы можем проводить сравнение толыаэ между блоками, принадлежащими к одному клоосу, что позволит значительно ускорить процесс сжатия. В настош^вй статье предлагается новая схема классификации блоков с отбором доменных блоков по коорд шагам их центров масс в полярной системе координат.
Показано, что коардоюты центров масс хорошо коррелфоватых блоков образуют два сектора, симметричных относителыю начала координат. Полярный угол центра масс используется в качестве признака, по которому осуществляется разбие»«4е д оменного пула на классы и существенно сокращается количество блоков, участвующих в сравнении, что позволило ускорить процесс сжатия в 3-4 раза.
Несмотря на шфокое распространение стандарта ЛРВЗ, в некоторых отраслях, например, в меди***е, сжатие изображаете потерями практичесш не иаюпьзувтся. Фрактапы<ый алгоритм гуедоставлявт более высокое качество, чем JPEG при сопоставимом сжатии, но главным препятствием на пути его практжеского внедрения являются большое время каьсресст Поеггому работы по ускоренно фрактапыюго алгоритма гредставляют практически интерес для тех сгтрослей, где одновременно с/щвствует потребность в хранении и передачи больших объемов изображен^ с повышенным качеством, например в телемедицине.
(и
где О — домен, 5 < 1 — коэффициент контраста, о € [-255.255) — коэффициент яркости, налагаемые ограничения необходимы для того, чтобы гарантировать сходимость преобразо-
вании к неподвижной точке при восстановлении изображения, I — единичная матрица Сохроняются только коэффициенты преобразований домена в ранг и координаты блоков, объем которых значительно меньше объема исходного изображения. С математической точки зрения изображение представляется в качестве неподвижной точки (аттрактора) системы сжимающих преобразований. Восстановление происходит путем итеративного выполнения всего набора сохраненных коэффициентов, начиная с произвольного стартового изображения, которое разбивается на ранговые блоки аналогично оригиналу
Однако, несмотря на очевидные преимущества, фрактальное сжатие не лишено и недостатков, основной из которых заключается в необходимости провести большое количество сравнений между рангами и д оменами для отыскания "самых похожих". Это приводит к большим временным затратам на сжатие одного изображения. Более подробно алгоритм фрактального сжатия изображений описан в [ 1 ], [2\ обзор научных трудов по фрактальному ежо-тию опубликован в (3]. В (4] автором было предложено для ускорения фрактального кодирования использовать классификацию блоков по полярному углу их центров мосс. Рассмот-
рим ее более подробно.
В большинстве "быстрых" алгоритмов фрактального сжатия стремятся ограничить различными способами количество доменов, используемых в переборе. С точки зрения качества сжатия, желательно оставить те домены, о которых априори можно сказать, что они похожи на ранг, с которым проводится сравнение. Для этого классификационные методы обычно используют те числовые характеристики рангов и доменов, которые можно считать приблизительно инвариантными относительно применяемых преобразований. Домены и ранги подразделяются на определенное количество клоссов в соответствии со своими характеристиками и поиск кандидата ведется в том же клоссе, к которому относится ранг, или ограничивается несколькими классами, характеристики которых близки к характеристикам ранга.
Яркостная конфигурация блока определяется распределением в пространстве значений (или масс) пикселей внутри блока, таким образов схожие распределения должны соответствовать похожим конфигурациям Поскольку координаты центров мосс схожих распределений располагаются близко друг к другу, то их можно использовать в качестве критерия для исключения непохожих блоков {5]. Координаты цент-
Т-Сотт #4-2011
43
При классификации по полярному углу центров масс блоков каждый класс предлагается формировать из доменов, чьи центры масс оказались в паре секторов, угол между биссектрисами центральных углов которых равен тс. В этом заключается главное отличие от способа классификации, описанного в [5], где эти секторы составляют два отдельных класса.
Процесс сжатия изображения реализуем следующим образом. Для удобства, при расчете полярных углов к отрицательным значениям можно сразу прибавлять 71. Поместим координаты д оменов в массив, упорядоченный по возрастанию полярных углов их центров масс, и зададим значение центрального угла сектора, ограничивающего един класс. Клоссы будем формировать адоптивно для каждого ранга. Полярный угол центра масс конкретной ранговой облости изображения будет являться биссектрисой центрального угла сектора, формирующего соответствующий данному рангу класс доменов. Таким образом, вычислив полярный угол ранговой облает, можно определить границы класса доменов, которые будут сравниваться с данным рангом. По упорядоченным значениям полярных углов центров мосс доменов и соответствующим им координатах можно извлечь доменные блоки донного класса из изображения и сравнить их с рангом На краях интервала [0, я] границы классов доменов могут выходить за его пределы. В этом случае класс формируется следующим образом Во-первых, в него входят все домены, лопавшие в часть сектора, совпадающую с интервалом [0, я] . Во-вторых, отрицательное значение граничного угла увеличивается на Я, и к классу добавля-
ются домены, центры масс которых попадают в сектор, лимитированный с одной стороны полученным углом, а с другой — ближайшей к этому углу границей интервала [0, я]. При таком подходе сформированные для всех рангов классы доменов будут иметь одинаковый центральный угол, соответствующий заданному, при этом центр масс ранга будет лежать на биссектрисе этого угла. Это наилучшим образом соответствует расположению центров масс доменов, хорошо коррелированных с данным рангом, по отношению к центру масс данного ранга (см. рис.4).
Скажем несколько слов о выборе значений центральных углов, ограничивающих классы. Эксперименты показали, что чем больше размер ранга, тем меньше хорошо коррелированных с ним доменов на изображении. Поэтому для адоптивных схем разбиения типа квадрсде-рева желательно увеличивать центральный угол секторов с ростом размеров рангов. В исследованиях, проведенных в рамках донной работы, для определения центральных углов секторов в зависимости от уровня разбиения и их количества использовалась формула:
О)
2'•♦4'-* ’
где — количество уровней разбиения, О — натуральное число, определяемое пользователем, к — номер текущего уровня разбиения, 1 соответствует рангам наименьшего размера. Таким образом, с увеличением длины стороны ранта в два раза, центральный угол сектора, ограничивающий класс доменов для данного ранга, тоже увелкнивается в два раза. Машинное моделирование (о нем подробнее будет Центры масс д оменов Центр масс ранга
Прямая прохадяцая через центр масс ранга и начало координат
330 210
120 150 , «0 . / 30
0 01 0^ 0.3 04
У
210 / ‘ 330
240 300
сказано ниже) подтвердило высокую эффективность такого способа классификации, но примененный адаптивный алгоритм относительно ресурсоемок. Возник вопрос, можно ли повысить скорость классификации, отказавшись от адаптивности, без заметного ущерба для качества.
Для проверки было решено разбить интервал [0, я] на предопределенное фиксированное количество классов. На этапе сжатия, рассчитав полярный угол центра масс ранга, мы сможем определить, к какому классу он относится, и поиск домена вести в том же классе. Поскольку при конечном количестве классов полярный угол центра мосс ранга не будет совпадать с биссектрисами центральных углов секторов, целесообразно проводить поиск домена не только в том клоссе, к которому принадлежит ранг, но еще и в соседних классах Если поиск ведется в д вух классах, то можно сделать предположение, что вторь** классом должен быть "ближайший сосед", то есть тот клосс, к границе которого ближе полярный угол рассматриваемого ранга.
Классификацию можно проводить двумя способами. Первый — с фиксированными центральными углами и различным количеством доменов в классах (см. рис. 5а). Второй — с фиксированным количеством доменов в классах и "плавающими" углами (см. рис. 56).
Первый способ прост в реализации. Для каждого уровня разбиения изображения на рант определяются значение центрального угла, которое будет ограничивать один класс (3). Рассчитываются центры масс доменов и соответствующие им полярные углы. Координаты, соответствующие расположению доменных блоков на изображении, сортируются по возрастанию полярного угла и разбиваются на клоссы. При сравнении с рангом домены извлекаются из соответствующего массива по сохраненным координатам. Но поскольку центры масс доменов имеют неоднородности в распределении по координатной плоскости (см. рис. 36), мы не сможем точно предсказать время кодирования, так как ранги будут сравниваться с разным количеством доменов в клоссах.
Во втором способе классификации необходимо определить не значения центральных углов, а количество классов для каждого уровня разбиения. Аналогично (3), количество классов будет
(4)
4. Координаты центров мосс доменов, модуль коэффи^ента корреляции которых с данным рангом не меньше 0,75 (а) и не меньше 0,99 (6)
Обозначения значения центральных углов в (3) и количества классов в (4) отличаются только штрихом. Это сделано специально.
Т-Сотт #4-2011
45
Центры масс доменов Грсницы классов
Рис. 5. Классификация с фиксированными центральными углами (а) и с "плавающими" центральными углами (6)
Формула (4) является знаменателем (3), поэтому количество классов доменов, получающееся при классификации этими двумя разными способами, одинаково.
Во-первых, зная количество классов, предопределенное формулой (4), необходимо рассчитать количество доменов в одном классе для каждого уровня разбиения изображения на ранги (если их несколько). Здесь возникает одна проблема, поскольку общее количество доменов может не делиться на число классов нацело, поэтому создать классы с абсолютно одинаковым ко/ычествам доменов ной все равно не удастся. Самый простой способ решения этой проблемы — окрутить количество доменов в одном классе до ближайшего целого числа, а невязку, максимум которой в этом случае будет равен половине количества классов, компенсировать за счет последнего класса Количество классов имеет поредок единиц и десятое, ‘«ело доменов в классе — сотен и тысяч, поэтому такой способ вполне допустим из-за своей простоты. Разница между последним и всеми остальными классами максимум на несколько десятков доменов значительно меньше разгьччий между классами в первом способе классификации, где они могут различаться на порвдок.
Во-вторых, чтобы сделать возможной саму процедуру сравнения доменов с рангами, необходимо сформировать массив граничных углов между классами. Здесь, если количество классов достаточно велико, мы можем столкнуться с классами "од ного значения*' - когда все домены в классе характеризуются одним и тем же полярным углом. Если же еще и в соседнем классе часть доменов характеризуется тем же углом, то в результате мы получим ситуацию, когда одному значению полярного угла соответствует два (или доже больше) соседних клас-
са. Ничего страшного в этом нет, но если мы ограничили поиск только од ним классом, то домены, находящиеся в классах "одного значения" окажутся ненужными, если специально не предусмотреть дополнительные проверки и обработку в программе таких классов, что усложнит алгоритм. Более простым способом избавиться от балласта можно, если использовать поиск в нескольких классах, или уменьшив количество самих классов.
Предлагаемые способы классификации по полярному углу центров масс блоков, позволяют нам провод ить сравнение с доменами, которые были отобраны по всему изображению и при этом хорошо коррелированны с рангом. Так же мы можем гибко регулировать объем доменного пула, тем самым, управляя качеством и скоростью сжатия. Для блоков разных размеров можно установить разное количество классов, что удобно для адаптивных схем разбиения.
Теперь перейдем к сравнению фрактального сжатия изображений с использованием предлагаемых алгоритмов классификации блоков и полного перебора доменов. Машинное моделирование проводилось на персональном компьютере (ПК) с процессором AMD Albion 1900+ и объемом оперативной памяти 1,5 Гб в интегрированном пакете MathCAD 13. Параметры квантования: коэффициент контраста — 5 бит, коэффициент яркости — 7 бит.
Вначале рассмотрим способ ограничения доменного пула, в котором классы формируются адаптивно для каждого ранга. Центральные углы секторов, ограничивающих классы, рассчитывались по формуле (3) при О = 3, что дало значения углов к/64, тг/32, л/1 битс/8 для блоков со стороной 2, 4, 8 и 16 пикселей соответственно.
Результаты этого эксперимента будут срав-
ниватъея ниже с д вумя способами классификации по полярному углу центра масс блоков с предопределенными клоссами.
Напомним, что первый способ соответствует классам с разным количеством доменов, но фиксированным значением граничных углов, второй способ — наоборот — одинаковое количество доменов в классах и "плавающие" углы. Поиск доменов осуществлялся в одном, двух и трех классах. При поиске в одном классе перебор доменов осуществлялся только в том классе, в граничные углы которого попал полярный угол центра масс ранга. При поиске в двух классах помимо класса ранга, выбирался соседний класс, граничный угол которого был ближе к полярному у ту центра масс ранга. При поиске в трех классах выбирался сегмент из трех соседних клоссое так, чтобы класс, к которому принадлежит сам ранг, располагался в середине этой тройки. Центральные углы секторов, формирующие классы в первом способе классификации, рассчитывались по формуле (3) с параметром О" 3 аналогично предыдущему эксперименту. Количество классов во втором способе классификации рассчитывалось по формуле (4) при 0=3, что дало 64, 32, 16 и 8 классов для блоков со стороной 2, 4, 8 и 16 пикселей соответственно.
В таблице 1 приведены качественные и временные показатели алгоритмов фрактального сжатия, полученные в результате машинного моделирования фрактального сжатия тестового изображения "вгсГ различными способами.
Результаты показывают, что время, затрачиваемое на проведение дополнительных вычислений, связанных с классификацией блоков, с лихвой окупается экономией времени на этапе фрактального сжатия.
Второй способ классификации (с постоянным количеством доменов в классах) в целом показал чуть лучшее качество, чем первый. Качественные характеристики изображения, сжатого с использованием трех классов практически вплотную приближаются к теоретическому пределу — глобальному доменному пулу, поэтому использование большего количества классов можно считать нецелесообразным с точки зрения времени сжатия. При увеличении количества классов, в которых ведется поиск, РБЫ!? возрастает неравномерно. Желательно, чтобы полярный угол центра масс ранга являлся биссектрисой центрального угла сектора, формирующего класс доменов. Поскольку при неадаптивной классификации полярный угол центра масс ранга может оказаться у края сектора, качество сжатого изображения при поиске в одном классе будет зависеть от того, насколько полярные углы центров мосс рангов близки к биссектрисам центральных углов секторов, ограничивающих классы. Использование 2-х классов вместо одного доет больший
46
T-Comm #4-2011
Таблица 1
Сравнение различных вариантов классификации по полярному углу центра масс блоков с полным перебором доменов на примере изображения "Bird”
С пособ - X. 1 І 2 8 я 7 і ~ (в е£ Z S а. 0* = ■!■ і = г- я ■1 * -е и я '± S {, І і а 8 _ £ — «с я о» ■ S ь £ ’I -Я Я — — к В * X 3 г* и 0 г 1 « Я J 5 z г. _ — 2 Є і Сжатие всею, с
Без классификации (полный перебор доменов) 38,526 9.504 14 1 - 149 164
Алаитивиая классификация 38.238 9.504 16 2 10 29 57
Фиксированные границы, поиск в олиом классе 37.786 9.504 16 2 10 13 41
Фиксированные границы, поиск в двух классах 38.249 9.504 16 2 10 24 52
Фиксированные границы, поиск в трех классах 38.327 9.504 16 2 10 35 63
"Плавающие" границы, поиск в олиом классе 37.944 9.504 16 2 10 11 40
"Плавающие" границы, поиск в двух классах 38,325 9,504 16 2 10 23 50
"Плавающие" фаницы. поиск в трех классах 38,326 9.504 16 2 10 33 62
прирост качества, чем увеличение доменного шии сосед, поскольку в этом случае полярный
пула с 2-х классов до трех. Эю достигается эа угол центра масс ранга приближается к биссе-
счет использования предложенного способа ктрисе доменного пула, составленного из двух
выбора второго класса по принципу "ближай- соседних классов.
Сравнение адоптивной классификации со способами с предопределенными классами показало, что по качеству получаемого изображения адоптивный вариант практически соответствует второму способу классификации (с постоянным количеством доменов в классах) при поиске в двух клоссах. Однако по скорости адоптивная классификация проигрывает предопределенной, несмотря на увеличение доменного пула для каждого ранга в д ва раза Исходи из вышеизложенного, использование адаптивной классификации на практике не целесообразно, поиск доменов в двух классах с "плавающими" центральными углами можно считал» разумным компромиссом между временем сжатия и качеством восстановленного изображен.
Литература
1 Уэлстт С Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений! в действж. Учеб. пособ. - М.: Триумф, 2003.-320с
2. Fractal imoge compression: foeory and application, ed. Fisher Y., — New York: Springer-Verlag 1995. -341 p.
3 Wohlberg B., Do Jager G. A review of the froctal image coding literature // IEEE Transactions on Image Processing I 999. — V.8. — № 12. — R1716-1729.
4 Илк*ии*СД, Свет СД Фрсктальное сжатие телемедидокких изображений // Электросвязь 2009. - №4. - С.36-40. URL hlp//www.ebv.ru/ fSes/adual/130.pdf.
5 Rotate M, Napp M. Speed-up in fractal image codng: с cm pan son of methods // IEEE Transactions on Image Processing, 2000. - V9. - №6. - P1002-1009.
Speed-UP in fractal image coding by means of classification Sergey Ilyushin
Abstract
Fractal compression is effective lossy image compression algorithm the* ochieves high compression ratios while preserving high quality Elimination of redundancy related to sef-similority of image that exists on natural pictures nxakes strong compression possible. But the main drawbock of the algorithm is long computing time because a lot of imoge blocks have to be compared with each other in order to find out the most similar ones. Much atention has been paid to this problem by research community and efferent ways to speed-up the fractal algorthm have been proposed. One of the most effective approaches to the reduction of encoding Ime ts an approach based on dassAccion of blocks by one or several features that can be considered invaria nt negating transformations applied to the blocks. Consequently, a priori one can say thatthe blocks which belong to one dass are similar. This approach makes possible compcwison of the blocks only wihin one dass which ccntr&utes to significant speed-up of the compression process. In this paper a novd variant of classification by polar angle of mass centre of tie block is suggested. It is shown that coordnates of mass centres of the blocks with high correk*on form two sectors symmetrical wilh respect to the origin of coordinates. Therefore polar angle cf the mass centre is used as a feature that helps to split the global domain pool into classes and cfrasficaly reduces the number of the blocks taken for comparison. Tbs classification scheme yielded wercJ speed-up of fractal image compression in 3 — 4 times.
In spite of the wide application of JPEG standard in some fields lossy image compression is not appfced, for instance in medfcine. Fractal image compression delivers higher quality JPEG at a comparable compression ratio. But the main obstode preventing fractal compression from practical usage is long compression time. Therefore speed-up of fractal algorithm is of interest in such fields where excts necessity in transmission and storage of large amounts of imoge data while presetving high quality, for example in teiemediane
Keywords: fractal image compression, speed-up, classification, mass centre, invariant representation.
References
1. Welsteod 5. Fractal and wavelet image compression techniques — Bebngham: 5PIE Press, 1999. — 243 p.
2. Fradd image compression: theory and appliaJion, ed. Fisher Y, — New Yack: Springer-Verlag, 1995. — 341 p.
3 Wohlbetg B.. De Joger G. A review of the froctal inxjge coding literature // IEEE Transactions on Imoge Processing, 1999, — V8. — № 12. — R1716-1729.
4. Ilyushin S.V, Svet S.D. Frockinoe szhatie telemedHsinskikh izobrazheni // Elektrosvyaz, №4. pp. 3640,2009. URL N^//www.elsv.ru/files/actual/l 30.pdf.
5. Polvere М., Nappi M. Speed-up in fractal image codhg: comparison of methods // IEEE Transactions on Image Processing, 2000.— V.9. — №6. — R1002-1009.
T-Comm #4-2011
47
