CC BY
11
УДК 519.2: ОСИ/21.5:031.7
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ КОНЦЕВЫ X СТЕПЕНЕЙ ДУГ В РАСТУЩИХ ГРАФАХ
В. Н. Засорожнын Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
Аннотация - Рассматриваются случайные графы. выращиваемые по нелинейному правилу предпочтительного связывания со стохастическими приращениями. Такие графы используются в теории сотой в качестве математических моделей реальных больших сетей, содержащих миллионы элементов (например, сопилльных, телекоммуникационных. финансовых и т.д.). Рассматриваются кониевые степе-
пи связности случайно выбранной дуги, т.е. стснсии двух инцидентных ой вершил. Определяется дву мнрние рлгпррдклнннр киром I ноги»й к(1нцикы\ пиминей душ. Вммнмим \|ыкненнч н-шрнриин шни двумерного распределения в процессе выращивания графа. Найдено финальное распределение вероятностей кониевых степеней дуг. Исследованы распределения вероятностен степенен дуг в моделях двух реальных больших сетей. Полученные результаты расширяют возможности адекватного описания н исследования реальных больших сетей, в частности, позволяют точнее калибровать модели больших сетей по пх структурным характеристикам. Используя полученные результаты, можно исследовать и сравнивать различные сценарии воздействия на реальные большие сети
Ключевые слом: растущие сети, случайные графы, распределение степеней связности.
I ВНМЬНИЬ
Одно Иг главных достижений науки о сетях (ХеЬхогк За'енсг) состоит в том. что структурны? свойства широкого класса больших сетей удалось объяснить нх развитием по простому общему правилу - правилу* предпочтительного связывания II\ Согласно этому правилу-, большая ссть растет в результате добавления новых узлов. которые связываются с имеющимися узлами, предпочитая те, у которых степень связноста к выше [1—3]. В других вариантах провзтла предпо-пптелыюго связывания могут учитываться индии идуслыше степепи предпо ЧТГНИМ учлок [4], ХЛКИСИЛИХЧН ||}:«*ДМОН1ГНКЙ €11 Н|>ГМГНИ [5] ИЛИ ИНЫГ дополнительны:* углонии [6, 7]
Теория случайных графов с нелинейным правилом предпочтительного связывания (НППС) ГЗ, 9] особшает.
[ИПГМЙГИЧИруП И ]ШКНК1Г1 ряд (НИ СИЛЬНЫХ 1С*П|:иЙ ПИрСЖО ИГИОИКЧуГМЫХ Н За'ипси. кики ЧИГ.1Г —
теорюо графов с лхшейпыы правилом предпочтительного связьшашгя [1-3] и теоршо графов сс степенным пра видом предпочтительного связывания [10]
В теории случайных графов с НППС ирнрашения графа в общем случае являются стохастическими, т.е.
ГрГДГТЛ»иТ<ПОТ гобой КОКЧТС у*ПЫ ГО глучлйныу ЧИГ.ТТОМ V ИГХОЦЯЩИХ дуг- Р(* = Дг) = Г), о < "к < У-х (г¿} = 1 Здггь
£ > 1 - наименьшая степень приращения.
Каждая дуга прпрашения связывается со случайно выбранной вершиной графа. Вероятность р. связывания новой дуги с вершннон / в общем случае пропорциональна некоторой функции (весу) /от степени сеязносш этой вершины: Рг /(к^) :
ЯК)
1, ...,ЛГ, (1)
I ДГ f(k")— кг:- КС|)П1ИНМ, ИМГКИЦГМ ПГПГНК ГКШНОПИ Д, f(Ji)> 0. И'ЛИ v < К< \1 ННЯМГ У = 0 (эдпь
М< со); Л*- число вершил с графе. Функцию f(k) будем обозначать также через.ft.
1 раф выряшпзсстся. начиная с некоторой затравки графа нссолыпого размера, содержащего У<у вершин со
ГГГИГНЧИИ g ИЛИ fo.lhllir Будгм ГЧИ1И1Ь, 4111 НИЧИЛКИМЙ МОЧ1ГН1 КрГМГНИ /q — У( Hí1 lililí Г KJIfVlfHH / — /0+ 1 к
графу добавляется приращение новая вершина с х исходящими кз нес датами, свободные концы которых при-
согдшшик'л к ыгршннлм нм?киц«м исх графа но upaiui.ну (1). Далее лл операции ноиюрмпсм на каждом ыииом
шаге времени. Заметим, что па каждом шаге сразу после прнссед1шешхя очередной повои зерпппсы выполняет с > рячгнпно >V — Í
В статье решается задача нахождения совместного распределения вероятностен {q¡¿} степенен /. к пары узлов. связанных дугой. Возможность расчста распределения {q;¿} в графовых моделях растущих сетей позволяет решать задачи повышения адекватности этих моделей. Расчет этого распределения как функции времени [<!iДО] позволяет точнее решать задачи динамической нденткфнкащш структуры растущих сетсй и формирует основу для создания математической теории управляемых растущих сетей.
п. Постановка задачи
Для случайных грэоов. выращиваемых пс правилу (1). при произвольной весовой фупкиии/Гл) и прошволь ком parí|р-дг.1гнии {/>} числа дуг к стгохлпичгхтм причинении ipr-fv/eu:*
1) вывестп уравнения, позволяющие рассчитывать переходные процессы (ILl) |•?/jtCOг для совместного рос пределения вероятностей {q¡¿\ концевых степеней I. к случайно выбранной дуги:
2) наши финальное распределение = {^„¿(«О} и сопоставить его с известными решениями, наеденными для известных частных случаев (версий) правила предпочтительного связывания.
3) рассчитать и сопоставить распределения {#¿(05 и {Q¡j} для графовых моделей реальных больших сетей с различными весовыми функциями/Г&)
Приведенная формальна* постановка задачи подразумевает, что вопросы ннтерпрегапнн и опенки значимости получаемых результатов будут освещаться по мере их получения.
Ш. Теория
j. Вывод основного рекурречгтого сэоюношснж
Совместное распределение кониевых степенен связности случайно выбранной дуги (сх.д.) кратко будем называть РСС с.в.д. Метол вывода формул для ГС С с.в.д состоит в аналитическом асимптотически точном выражении ичмгнгний ф<»ИГХ<]д*Ч.ИХ к СЛПИХ A¡¡ и lyHHf.lHX B(J,K) ijih<[h ИЛ КИЖДОМ niai г дпбаккгния 1 нгму очередного стохастического приращения [8. S, 11]. При этом слой Ак определяется как множество вершин, степень которых равна к. Туннель B(j,k) определяется как множество дуг с начальной степенью (степенью вершины, из которой луга исходах) i п терминальной стеле пью (степенью вершины. в которую дуга заходит) к. Общее название начальной н терминальной степеней д>тн концсеыс стспсин.
Аналитичггкиг ккражгним для у<-|>гднгннмх м:)и]).'11и.гник чигла кгпинн к глнчх и числа ду1 кчуннглих позволяют записать рекуррентные соотношения, описывающие в терминах РСС динамику развития графа Эти соотношения легко реализуются э виде численных методов, ускоренных на порядки по сравпешпо с нмшгацн онным моделированием (ИМ) Финальные (стационарные) 1ЧХ' могут Ьыть получены как пределы lili при / -» ¡i:, либо непосредственным решением алгебраических уравнений. соответствующих стационарному режиму рассматриваемых процессов (см. [8, 11]).
Рассуждения, учитывающие изменение числа дуг в туннелях B(ik) при стохастическом приращении мало отличаются от рассуждении. приведенных в [8] для случая фиксированного приршцения. Поэтому сразу запишем учитываются сумму этих изменении асимптотически точнее аналитическое выражение числа дуг в . уы£стле BQJ¿) ии Liiu e / + 1 череч числи цуу в нем на mai - /.
m до m /со до
где r = N- номер шага и число верлшн в графе на этом шаге.
a¡ (/) - вероятность того, что случайно выбранная вершина принадлежит елок А, (имеет степень г) на шаге т.
q,j(i) вероятное^ того, что с.в.д принадлежит туннелю B(ij) за шаге t.
J (f)— средний вес вершин на шаге í.
m - средняя степень приращения графа чг = Ykrk).
Перепишем >то соотношение, выражая число дуг в туннелях через вероятности принадлежности этим туннелям с.в.д. графа и среднее число дуг *п! в графе следующим образом:
+ w V.*<0/-. m«(Оft т'я *(0/
Отсюда
до до /со
<Zi¿ Сt lj = + {t ■ qu (0/(0 I lr¡qk : СОЛ i > ™
Пдг» h хикигимме tir кргмгни / игргмгнныг .чнниганм к*к функции kjk-мгни инно Сот ношгниг* (?) ик.ыпея основным асимптотически точным рекуррентным соотношением, описывающим динамику изменения РСС с в д. графа и позволяющим найти точное финальное 1'СС с.з.д Динамику входящих в (2) вероятностен ç,(fi слоев (т.е. динамику РСС вершин) можно рассчитать по формулам, выведенным аналогично:
щХ0+**, ~т -
-/к -
до
г+1
tqk(i) +1\ + СОЛ-i " 5*(0ЛJ Qk (í +1) ---.
Д0-У>(0Л (3)
k>S
Значения входящих в (2), (3} переменных в момент tç определяются непосредственно по затравке графа. Расчет по формулам (3) легко реализуется в Excel. Для расчета но формулам (2) лучше всего написать несложную лршрамму. ксиирая будет иялючахь и пересчет (3) вероятностей степеней ¿еуншн. 2. Финальное распределение коущееих степеней дуг
Раскрывая в левой част (2) скобку 41), учитывая. что в стационарном режиме 5/лС*4" 1) =Qi.k(f) = Qli = cons:, f(l) = (f) и приводя в (2) подобные члены, получаем для финальных вероятностен Oit алгебраическое уравнение
'"(?гл«/> + тЛ + '"/;> = + '"'Qu-iA-i + ■
из которого находим соответствующее рекуррентное решение:
Qu =
"«/> + r"fi + r"f¡)
Фпиалытые вероятности слоев Q¡. используемые d M), определяются рекурсией ([S]):
глП + тЬ.
Qt =
í=f.f i l. g i 2....
(4)
(5)
</>W,
а значение if) — а среднего всса вершины рассчитывается штсм численного решения системы уравнений (5) совместно с vpaB:ienneM
I-!
При этом средний вес (/} = а и вероятности определяются одновременно, а в качестве проверочного равенства используется формула для определения средней степени (.t>. которая по построению графа должна быть p<U5H:l 2т.
(k) = YkQt=2m
В [S] описала простая процедура решения системы уравнений (5), (ój па Hxcel.
Таким образом, зная </) и {Q¡)r мы по формуле ('1) можем построчно рассчитать Dee элементы матрицы фи натьного РСС с.в.д. Q = начиная с элемента QSiS = 0 (при расчете QS€ числитель формулы (4) обращается
r нуль) При stow в соответствии г (4) гтолГщы с номерами k<g в матрице Q заполняются нулями строки с номерами / < g (когда g > 1) - гоже.
Формулу (4) можно использовать и для расчета РСС с.в.д графа, вырашнвасмогс с помощью фиксированных прврашеннй. В этом случае х = и,? = шн формула (4) превращается в следующую формулу, ранее найденную в [S] для случая фиксированных приращений:
Qi.* =
о.
fi-iíQi-x+vQix-)
СЛ+шС/.+Л) Ji-iQi-ij 1 ji-\Qij-i
I > m, k - m, l = myk = и+1,
l-m,k>m+2,
l~>m + \yk'>m+\.
(7)
Таким оорязпм выше найдена точная рекуррентная формула финального гпямегтчпго распределения кенцевых степеней связности с.в.д. графов с 1ЕППС сс стохастическим приращением Найденная ранее в [9] для графов с бнкенрованным приращением формула (7) является частным случаем формулы (4). Следовательно, н найденная з [1 _] формула
о.
(т +- ?)(?.т + 3) ' 2ÍW+1)
(к-1)
+ + + (¿4- m 4- 2) (/ i А I 2)
1>т,к = т, I = т, А. = m 4-1,
g, , / = ж, г ¿ w +- 2,
для РСС cje.il. 1 радов БараСанш-А.1ьбгл Графой БА) с линсйльш правилом ирсциочитмьнш о связывания /к — к (при .т = *п =2). являющаяся частным случаем формулы (7), также является частным случаем формулы (4). И, наконец, самым узким из этих частных случаев является найденная в работе [10] для дерева БА (при х = т — 1) □ замкнутом виде формула:
_____. (/,*>!).
** Щ+1)(/ + аг)(» + * +1)0 + к+2) ¡(1 + к- IX/ - к)(1 + ДО-Ач-2)
Непосредстоешюй проверкой нетрудно уъедигься, что все прноедеппые для частных случаев формулы вы тскают из формулы (4). Согласованность финального РСС (4) с ранее найденными результатами, вытекающими из (4) как соответствующие частные случаи, косвенно подтверждает правильность как самого РСС (4). так и уравнений динамики (2). из которых выведена формула (4).
Формулы (2)—(4) проверялись также н были подтверждены путем расчета РСС с.в.д. по эткм формулам для конкретных графов с НППС и их сравнения с результатами, полученными путем имитационного моделирования этих графов.
IV. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
I. Расчет распределении степеней дуг в тестовом графе
Б качестве примера рассчитаем ГШ для РСС с.вд. тестового графа, определяемого следующим образом. Весовая функция имеет вид ^ = (к2 4-10)/(£ + I), где £ = £-3+ 1, £ + 2, ... . = I). Числох дуг стохастического приращения графа (1 < х < 4) имеет распределение вероятностен (л, г-, г5, г4) = (ОД, 0,4,0,2 0,3).
В качестве затравки возьмем кольцо па 5 верппшах Поэтому положим ?0 - ~ 5.
При 5 (в соответствии с формой затравки) имеем РСС верил лг в котором ~ 1 (осе с ер шипы
принадлежат слою остальные ?,{/) равны нулю. При этом, ток как все степени к, = 2. то
/(/) = Л =С22 + 10)/(2 + 1) = 1,6666.... В распределении {$«(0) вероятность = 1 (все дуги исходят из слоя Аг и заходят в слой Аг), все прочие вероятности равны нулю Таково начальное состояние грэфа при г = 1
Используя формулы (2), (3) нетрудно реализовать на каком-либо языке программирования расчет РСС е.в.д. для любого г > Г0.
Расчет с помощью такой процедуры РСС с.з д. рассматриваемого графа дал для шага * = 10 распределение {фЖд) • фрагмент которого показан на рнс. 1. Для шага Г= 1000 соответствующий фрагменг распределения {а¡Ж)} показан на рис. 2 слева. Финальное распределение {Ом-}, рассчитанное по формулам (4УЧ6). представлено на рис. 2 справа.
Рис 1 РСС ( ид {оцЦ/)} -гсгшипт цжфи г НППС ни шшг - 10
Рис. 2. РСС с.в.д. {quit)} тссгоеого графа на шаге t = 1000 (слеза) и финальное РСС с.вд. (справа)
Грикникяч ]М[ЧХИ171ННЬГ [ИСИрГДГЛГНИИ НГфуДНО КИДПК Ч Ш РСС W/)) A(,K(UlhHI> fihlCIJHI i-ходи ich к финальному РСС
2. Анализ распределений степеней дуг и ребер в графовых моделях реатоных сетей
По формулам (4)-(б) нетрудно рассчитать РСС с.в.д двух опубликованных в [9] графовых моделей реальных сетей.
Первая модель - это модель сети автономных систем Интернет, представляющая собой случайный граф с H1L1C. калиброванный по РСС узлов моделируемой сстн Этот граф определяется следующими параметрами: Z= 1. h = 5. = 0.3414. ;> = 0.4224. п = 0 0966. г., = 0.0545. п = 0.075. ,Р - п + + Зг3 + 4rt + 5rs - ? 1093
f\, ./> = 0,0, 0, 0 6379. 3 Я769 ггответгтпеннп, и/к = О Я49* при к > if}- 2.007349.
Рис. 3 характеризует качество калибровки опнеаппого графа с Hl 111С.
1 1« 1<К1
Рис 3. РСС узлов сети автономных систем Интернет (маркеры) н вершин калиброванного гр афа с Hi И 1С (сплошная .линия)
Моделируемая сеть автономных систем содержит 22 96J узла н -18 Ait ребер. Для такой большой сего РСС с.в.д. практически не отличается от финального. Используя формулы (4) (6), можно легко рассчитать в Excel матрицу- финального РСС с.в.д Q = \Qij\ . начальный фрагмент которой представлен на рис. 4.
Обращает на себя внимание «странная» особенность рассчитанного РСС с.з д.. состоящая в отсутствии дут. ВХОДЯЩИХ К кгршиьм 145 ПКПКНХМИ к <- ') ТмШГГ обшИрНИЖ CKUIMCI k ]И('1?1ИГ<1НМ111> РСГ I кд нрглпиклгьи ни рис 5 слева. Справа на рис. 5 показан график РСС случайного выбранного ребра (с.в.р.). Если все ориентированные дутп заменить в графе неориентированными ребрами, то матрицу 0 - ||6^|| РСС концевых степеней с.в.р. можно рассчитать по формуле О = 0.5(Q I QT).
К:
1С
О
ишш ншьи ншш шиш* 0.0с025 ППГ01П 11111.(114 0.0 С 00 2 0.СС001 (1ОГГГ11
о
пси: (ними II иски НШВС 0. ОС 081 погал?
11111(114
о.осооз
О.ОС004 пост?
о
(1(И)1КЗ (I (К 4(13
шип:« (КИ кь О.ОСС95 (10 ГГ44 (МИ(73 О.ОСС13
о.оссое (1 оггпя
о
(НИИНО (!
(I отм
(ПИИ13 С.00095 соооля
I! (ИИ1УН С.00017
с.ооою
Г 000(17
о
(11Ю1Ж (I шкм
(11Ю1*-Н (111(1114 0.00051 О 0005(1 (11ЮШ1 0.00019 0.00012 о ооогя
о
II Ш1'№ (I 1Ю4М (11Ю1М-. (И ИГ IV 0.00065
О 0004? (1НОЮ? 0.00021 0.00014 О ооог«
Рис. 4. Начальный фрагмент матрицы РСС с.в.д графа, моделирующего сеть автономных систем
Риг "5 Графики РСС г в д (слева) и г в р графа моделирующего сеть автономных систем Мехки РА соохзегсхвукп ¿начснимм А. мелки вхирой хори юнх&хьнол шкалы - значениям /
Бгороя модель - это модель сети сотрудничества актеров Дза узла этой ссгк соединены ребром. если два соответствующих актера снимались в одном фильме. Моделирующий ее случайный граф с НППС. калиброванный по РСС узлов сети, определяется следующими параметрами:
ё - 1, И - 8, г, -0.М59, г. - 0.0881, -0.0579, - 0.Ш73, гь = 0.0421. г» = 0.0625, г, = 0 0965, = 0.С693, ?п~ 2.8613.
/:-. ...,/ю " 0.1000,0.2306, Э.5162,0.5162, 0.9915, 2.3607, 5.3965, 7.9726, 8.5113, 8.5106 соответственно. и/К = 4.4291п(*) при к "> 10, <,0 = 2.861331.
Рис 5 характеризует качество калибровки описанного графа с НППС.
1 10 100 1000
Ркс. 6. РСС узлов сети сотрудничества актеров (маркеры) к вершин калиброванного графа с НППС (сплошная линия)
Моделируемая сеть сотрудничества актеров содержит N = 511 416 узлов и 1 463 331 ребер. Начальный фрагмент матрины РСС с.в.д. Q — ||£rjr|| нредставлел на рнс. 7
ю
0
С.002^0 с (ШИШ t.000/1 С.00071 С.00073 С.00082 С.00090 С.00009 С.00073 0.00063
0
000I53 II (KKISK 0UUU4B
О 0001в О 0001э 0 00054 0.00050 0.00057 0.00047 0.00042
Э
С.Э0160 ( NN№4
t.UOObi
с.00051
С.00051 С.ООО 58 С.000С
с.ооосо
С.00050 С.00<К5
О
ЭОС 124 • 1111(44 'J 1ХЛ.Л5 Э00037 Э00037 Э00041 300040 Э00044 Э ОССЗб Э00031
О
0.Э00ЭЭ II IIIIKU 0.J0030 0.Э0029 0.D0032 0.Э0030 0.D0047 0.D004C 0.D0034 0.30027
О
О.ОСЮ5 шшсъ и.ОССХ!
о.оссэо
О.ОССЭ8 O.OCCSO O.OCCOG O.OCCOi О.ОСС40 О.ОСС27
О
0.00154 IllllbS 0.1ДХЫ О.ООЭ16 О.ООЭ57 0.00334 0.00110 0.00113 О.ЭОЭ34 О.ЭЭОЗЭ
о
0.00264
иоооы 0.00075
о.оооез
0.00136 0.00107 О.ООЮ1
о.оо юе о.осоее
о
0.00343 1Н1П1К OTJUIJf ОООЭЭ9 000120 0.00171 000220 0.00221 0.00149 0.001ЭЗ
Рис. 7. Начальный фрагмент матрицы РСС с вд. графа. моделирующего сеть сотрудничества aicrepoB
Па рис. 8. представлены графики рассчитанных РСС с.в.д. и с.в.р. Сравнивая рнс. 5 с рис 8. нетрудно заметить существенное различие соответсшу.-оших распределений н нл-тичие характерных нряшахов. котсрые мо-iyr Пыгк положены Н 1К НОКу НМ.ГН I ификимии Т1ГЛ.1 KHKIX С'ГГГЙ
Отмеченная Rbrme .<гтрянная>. особенность РСС тд графа аятпкомньтх систем выявтяает подозрение что несмотря на хорошую калибровку по РСС узлов, граф имеет определенные недостатки в части соответствия реальней сети но РСС с.в.р. Тем самым полученная в данной статье возможность расчета РСС с.в.д. и с.в.р. подсказывает направление исследований, позволяющее решить проблем-/ тожественности решений у задачи калибровки графов с НППС по ?СС узлов [9]. Из бесконечного множества вариантов качественной калибровки но РСС узлов следует выбирать одни, дающий панослее точное соответствие реальней сети по РСС с. в д. или
Оа 0.004
0.0015 С.00'
П Of 5 0.0016 о
03314
осооз
C.0CC2
1®ис. 8 1 рафики РСС с.в.д. [слева) и с в.р. графа, моделирующего сеть сотрудничества актеров. Метки Р& соответствуют значениям h метки второй горизонтальной шкалы значениям !
При :и«м Н КИЧГСТК- мгры Гши ик-ш С{»1КНИ№1ШНК ]ИИ1}Н*урт№ННИ МОЖНО hrilojhvulkhtl» риг.гпшнигг ТСолмою-
рова между ними.
V. ОЬСУЖДЕНИЬ МЗУЛЫ АЮК Основным результатом исследования являются уравнения (2), (3). позволяющие рассчитывал, динамику двумерного РСС концевых степеней дуг одповремешю с дтшамикей РСС вершин графа. Поскольку эти уровне ння выведены для граоов с НППС со стохастическими приращениями, их можно использовать н для таких частных случаев, как графы с НППС с фиксированными прирашениями (у которых х = т = const) н графы БА (у которых./* = к).
Полезными для моделирования больших сетей являются также точные формулы (4)—(б) финального распределения концевых степенен дуг
Найденное в статье двумерное РСС дуг можно использовать в ходе калибровки графа по РСС узлов моделируемой сети, чтобы углубить ее калибровкой по РСС: дуг (связей) между узлами сети. Эта возможность обеспечивается многовариантностью решения задачи калибровки по РСС узлов сети [8, 9]. Выполненный в статье расчет РСС дуг для моделей двучреальных больших сетей показал, что эти РСС достаточно информативны для их использования в качестве одной из основ калибровки моделей.
На основе полученных уравнений динамики и формул финального РСС дуг можно определять ГШ и финальные значения ряда других числовых характеристик случайных графов с НППС К ним относятся, например, коэффициент кластеризации графа [11]. маргинальные распределения начальных и терминальных степеней дуг, коэффициент корреляции степеней смежных (связанных дугой) вершин графа.
Формулы (2). (3) позволяют рассчитывать РСС с.в.д. одновременно с РСС вершин графа с НППС со стохастическими приращениями не только для фиксированной весовой функции ft. но н для весовой функции ^г). изменяющейся во времени. Это открывает новое направление развития теории случайных графов с НППС — направление, связанное с разработкой теории управляемых сетей.
Полученные результаты расширяют возможности практического применения теории случайных графов с НППС и открывают новые перспективы ее развития.
VI. ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выведенные в статье уравнения динамики двумерных РСС дут позволяют рассчитывать переходные процессы формирования этих РСС. Найденные на основе уравнений динамики точные формулы финальных РСС дут можно использовать дтя расчета РСС при относительно небольших размерах графов. Эти результаты получены для случайных графов с HILL 1С со стохастическими приращениями н могут: применяться для таких частных случаев этих графов, как графы с НППС с фиксированными приращениями и графы Барабашн — Альберт
Полученные результаты позволяют рассчитывать соответствующие характеристики графов на несколько порядков быстрее и точнее, чем это выполняется посредством используемых в настоящее время методов имитационного моделирования.
Эксперименты с расчетом РСС дут в графовых моделях двух реальных больших сетей показали, что у различных моделей РСС дут заметно различаются. Это свидетельствует об информативности РСС дуг как структурной характеристики графов, что позволяет использовать РСС дуг для углубленной калибровки графовых моделей.
Уравнения динамики, полученные в статье, позволяют рассчитывать процессы формирования структурных характеристик растущих случайных графов не только при фиксированных весовых функциях./*, но и при функциях^/). меняющихся во времени. Это позволяет исследовать различные сценарии воздействия на растущие реальные сети и открывает перспективы создания теории управляемых растущих сетей - социальных, экономических, финансовых и т.д.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Barabasi A. L., Albert R. Emergence of scaling m random networks. Science 286. 1999, P. 509—512.
2. Barabasi A. L.. Albert R. Statistical mechanics of complex networks // Rev. Mod. Phys. 2002. 74. P. 47—97.
3. Arnaral L. A. N., Scala. A., Barrhelemy, M.. Stanley. H. E. Classes of small-world networks // Proc. Natl. Acad. ScL U.S.A. 2000. 97. P 11149.
4. Bianconi G. Baiabasi A. L. Competition and multiscaling in evolving networks Si Eunophys. Lett. 2001. 54. P. 436.
5. Dorogovtsev S. N.. Mendes J. F. F. Effect of the accelerated growth of communications networks on their structure// Phys. Rev. E. 2001. 63. 025101.
6. Boccaletri S.. Latora, V. Moreno Y. [et al.]. Complex networks: Structure and dynamics II Physics Reports.
2006. 425. P 175-308
7. Cohen R_. Havlin S. Complex networks: structure, stability and function, Cambridge University Press, 2010.
8. Задорожный В Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания // Проблемы управления. 2011. № 6. С. 2—11.
9. Zadorozhnyi V N.. Yudrn Е. В Growing network: models following nonlinear preferential attachment rule SI Pliysica A: Statistical Mechanics audits Applications. 2015. V. 42E. P. 111-132. DOI: 10 101ó/j.physa.2015.01.052.
10. Krapivsky P L.. Redner S. Organization of growing random networks // Phys. Rev. E. 2001. 63. 066123.
11. Zadorozhnyi V N.. Yndin, E. B. Structural properties of the scale-free В araba si-Albert graph // Automation and Remote Control. 2012. Vol. 73, no 4 P. 702-716. DOI: 10.1134/ S0005117912040091
