CC BY
180
удк 514.ШЛ9 К. Л. ПАНЧУК
Омский государственный технический университет
УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА-САВАРИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ И ЕГО ИНТЕРПРЕТАЦИЯ В ЛИНЕЙЧАТОМ ПРОСТРАНСТВЕ____________________________
Рассматривается известное в теории зубчатых зацеплений уравнение Эйлера-Савари и соответствующее ему построение Бобилье в эллиптической плоскости. Сделан вывод о возможности геометрического моделирования пространственных линейчатых зубчатых зацеплений в эллиптической плоскости.
Известное построение Бобилье, представляющее собой, по сути, геометрическую интерпретацию теоремы Эйлера-Савари [1, 2], имеет сферическое представление, полученное отображением на сферу построения Бобилье в евклидовой плоскости, касательной к сфере в полюсе зацепления [3]. Как известно, это отображение, полученное проецированием связкой прямых и плоскостей с центром в центре сферы на касательную к сфере плоскость, не является конформным. Но поскольку все элементы построения Бобилье привязаны напрямую или косвенно к полюсу зацепления — точке касания сферы и евклидовой плоскости, то оказалось для этого частного случая возможным и правомерным получение сферического уравнения Эйлера-Савари. Была получена следующая цепь соответствий: построение Бобилье в евклидовой плоскости Я2 ^ построение Бобилье на сфере БЯЯ в евклидовом пространстве Я3 ^ построение Бобилье в линейчатом пространстве Я3(^), полученное на основе принципа перенесения Котельникова-Штуди [3]. Однако исходное, конструктивно-метрическое по своему характеру, построение Бобилье в плоскости Я2 в принципе не могло быть принято в качестве модели соответствующего построения в пространстве Я3(^). Причина одна — метрические структуры пространств Я2 и Я3(^) разнородные. Плоскость Я2 имеет евклидову метрику, пространство Я3(^) — неевклидову (эллиптическую) [4]. Поэтому логичным является нахождение однородной по метрике с построением Бобилье в пространстве Я3(^) плоскостной модели этого построения. Приведём вначале свойства сферической кривой линии. Пусть в пространстве Я3 задана сфера Б^ единичного радиуса и кривая линия X на ней (рис. 1). Для сферической кривой X, описываемой уравнением 7 = 7(1) , Т0 < X < Т , | г" |= 1, имеет место выражение для орта касательной Т:
гранник Френе (ТФ) определяется окружностями — большой а_ и соприкасающейся. Радиус кривизны p1 с центром кривизны М кривой X определяется: p1 = sin ф, где ф — угол между радиус-вектором Т и бинормалью р. Точка В есть сферический центр кривизны кривой X, принадлежащий ее эволюте e. При движении ТФ вдольлинии X происходит изменение векторов _, V и в, выражаемое формулами Френе [3, 5]:
dT = V. .1; dV = _^ + _e; dp = V, (2)
ds
p1 ds p1 p2 ds
P 2
где ds — элемент длины дуги линии X, p2 — радиус кручения линии X. Между ТД и ТФ существуют соотношения:
V = n. cos ф_ Т. sin ф ; р=П'Зтф + Т .cos ф, (3)
dф 1
из которых, на основании (1), (2) и — =--------------, следует
ds p2
dr _ d_ _ _ dn _
— = т ; — = —r +п^ф; — = _т-^ф. (4)
ds ds ds
Отобразим сферическую кривую X и связанные с ней ТД и ТФ на плоскость с эллиптической метрикой, касательную к сфере БЯЯ, при помощи связки прямых и плоскостей с центром в центре О сферы Б^. В результате получим изображение, гомеоморфное сферическому (рис. 2). При этом будет иметь место соответствие образов на плоскости и прообразов
на сфере S2 :
T — _ ; 2 — г ; H _n; B — в; N — V; Xs —X ,
(5)
dr _ dr ds _ _ ds dt ds dt dt
В точке АеХ существует два различных трёхгранника сферической кривой X: трёхгранник Дарбу (Т, П, г"), где П и Г — соответственно орты центральной нормали и радиус-вектора и трёхгранник Френе (Т, V, р ), где V и р — соответственно орты главной нормали и бинормали. Трёхгранник Дарбу (ТД) определяется ортогональными большими окружностями аТ и а^. Трёх-
(1) где еБ — эволюта кривой ХБ на плоскости . Ортого-
нальности векторов-прообразов соответствует в сферическом отображении ортогональность следующих точек-образов: Т ± Я , Я ± Н , Н ± Т , В ± N, В ± Т .
Приведем соотношения, описывающие взаимосвязь указанных точек-образов, при изменении их положений в движении точки Я по линии X :
t = dti = zi — xi; = dzi = —
i ds p k i ds p
(6)
«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)
вающие перемещение ТФ по поверхности Л вдоль её стрикционной линии:
Рис. 1. Сферическая кривая
Рис. 2. Кривая в эллиптической плоскости
_ 8.8
X; = X; СОв + вШ — ;
1 1 к 1 к
- 8 .8. ....
Х; = Ъл СОв-X; вШ —. 1 = 1,2,3 ,
1 1 к 1 к
(7)
где приведенные декартовы однородные координаты соответствуют следующим точкам: В^^^); Я(Х1,Х2,Х3) ; Щг^^) ; ЩХ 1,Х2,Х3) ; Т(Х1,Х.2,Х3). При этом ds и р — элемент длины дуги и радиус кривизны линии Xя. Учитывая, что_ углу ф между радиус-вектором 7 и бинормалью в соответствует длина дуги большой окружности между точками А и В (см. рис. 1), которая в эллиптической плоскости Я2 представляет собой расстояние 8 между соответствующими точками Я и В (см. рис. 2), можно сделать на основе сравнения формул (4) и (6), (3) и (7) следующий вывод: линия Xя в эллиптической плоскости Я2 представляет собой гомеоморфную модель сферической линии X.
В соответствии с принципом перенесением Котельникова-Штуди сферической кривой линии X соответствует в пространстве Я3(£) линейчатая поверхность Л с винтовым уравнением Я = Я(1), где 1 — вещественный параметр, причём трехгранникам ТД и ТФ линии X отвечают соответствующие трёхгранники поверхности Л [3] (Рис. 3). Формулам Френе (2) сферической кривой X соответствуют формулы Френе линейчатой поверхности Л , описы-
ёТ = N , ^ __Т , ёВ = _к ёБ = Р ' ёБ = Р Р ' ёБ = Р,
(8)
где Т, N , В — единичные винты, образующие ТФ; Р1, Р2 — соответственно дуальные числа — значения первой и второй кривизн поверхности Л; dS — элемент дуальной дуги поверхности Л , равный ёБ = ёв0 + юё81, ю2 = 0; ёв0, ёв1 — соответственно вещественные угол и кратчайшее расстояние между бесконечно близкими образующими прямыми линиями поверхности Л . Формулам (3) сферической кривой соответствуют формулы линейчатой поверхности Л :
Х = Нсс*Ф-1ЫпФ: В=!ЫпФ-11со*Ф, (9)
где Ф = ф0 + Юф1, ю2 = 0 — дуальный угол между единичными винтами образующей Я и бинормали В. Формулам (4) линии X отвечают соответствующие формулы линейчатой поверхности Л :
<Ж = ёТ = ^ А _ ёН — = Т:— = -К-НетФ:— = -ТстеФ. (10)
Сферическую линию X можно рассматривать как результат конического изображения линейчатой поверхности Л или сферическую индикатрису этой поверхности [6]. Очевидно, возникающее при этом соответствие Л X одно — многозначное, то есть Л ——X однозначное, а X — Л — многозначное. Для однозначности последнего соответствия необходимо введение дополнительных условий, например, задание угла между образующей прямой линией поверхности Л и касательной к её стрикции в функции длины дуги линии X и задание параметра этой образующей также в функции длины дуги этой линии [6]. При разных свойствах соответствий Л — X и X — Л, возникающих при переходе к коническому изображению поверхности Л и от него, существует аналогия в основных геометрических закономерностях, на основе которых образуется линия X и линейчатая поверхность Л . Исходя из этой аналогии линию XБ
т> Б
в эллиптическои плоскости Я2 можно рассматривать как некоторую геометрическую модель линейчатой поверхности Л .
В сферической кинематике известны теорема Эйлера-Савари и соответствующее ей построение Бобилье, составляющие основу решения задач синтеза конических зубчатых зацеплений [3, 7]. Геометрическая интерпретация сферического построения Бобилье представлена на рис. 4.
Введём необходимые для последующего изложения обозначения и соответствия элементов геометрической схемы:
ОЯ = 7; ОБ = р; ОО1 = 7; ОО2 = 12; ООа =р1;
ООь =р2; ОБ = ¥; ^БОЯ = а ;
ZFOOa = в1; ZFOOb = в2; ZЯOO1 = ^ ;
zяoo2 = ^ 2; ® = zo1яo2.
Линии с1 и с2 представляют собой сферические центроиды двух конических колёс с общей вершиной конусов О в центре сферы БЯ; а и Ь — взаимоогибае-мые кривые — профили зубьев колёс, связанные соответственно с центроидами с1 и с2 , Я — сферический
полюс зацепления, F — точка касания профилей a и b, O1 и O2 — сферические центры кривизны центроид c1 и с2, они же определяют направления бинормалей этих центроид, проведённых из центра сферы; Оа и Оь — сферические центры кривизны взаимоогиба-емых профилей a и b, принадлежащие сферическим эволютам e1 и е2 соответственно и определяющие направления бинормалей этих профилей.
Уравнение Эйлера-Савари для сферического изображения имеет следующий вид [3]:
[ctg(P1 + а) ± ctg(P2 — а)] • cos 0 = ctgy 1 ± ctgy 2, UU
где знаки ± соответствуют внешнему и внутреннему касанию центроид и профилей, функции ctg углов отвечают соответствующим кривизнам сферических линий c1, c2, a и b. Выполним отображение сферического изображения построения Бобилье на эллиптическую плоскость 22, касательную к сфере SR в точке R, проецированием связкой (О) прямых и плоскостей. Такое отображение, как было отмечено выше, является конформным. В результате отображения получим на плоскости R2 изображение, представленное на рисунке 5, на котором для удобства понимания сохранены обозначения сферического изображения. На основании формулы взаимосвязи геометрии кривой и ее эволюты в эллиптической плоскости
1 б
- = ctg-r pk
(12)
следует, что кривизна 1/ р кривой линии в эллиптической плоскости определяется функцией сід от расстояния 8 между точкой Я кривой и её центром кривизны В на эволюте. Это же расстояние при отображении единичной сферы на эллиптическую плоскость есть угол между двумя векторами, выходящими из центра сферы и соответствующими указанным точкам. Таким образом, на основании (11) и (12) получаем уравнение Эйлера-Савари для эллиптической плоскости:
[ctg( FOaj——) і ctg(-FOb-——)] ■ cos 0 = k k
- RO1 і , —
= ctg - 1 і ctg .
(13)
С учётом (12) последнее уравнение на основе геометрического смысла углов можно преобразовать к виду:
, 1 1,^1 1 (--і-)cos 0 =-і —
pROa pROb pC1 pC2
(14)
где рЯОа и рЯОь — радиусы кривизны траекторий, описываемых центрами кривизн Оа и Оь взаимооги-баемых профилей a и Ь, рС1 и рС2 — радиусы кривизн центроид с1 и с2. Очевидно, для уравнения (13) имеют место соотношения:
1 1 - рБОа ' рЯБ ; 1 1 + рРОк ' ряр ,
pROa
pFOa + pRF pROb pFOb pRF
где рГОа, рБОь и рЯБ — соответственно радиусы кривизн профилей a, Ь и траектории, описываемой контактной точкой F. По принципу перенесения Котельникова-Штуди сферической конструкции на рисунке 4 будет соответствовать линейчатая конструкция (Рис. 6) в пространстве Я3(^). Формула (11)
Рис. З. Линейчатая поверхность
Рис. 4. Сферическое построение Бобилье
Рис. 5. Построение Бобилье в эллиптической плоскости
«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64) МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 1 (64)
Рис. б. Построение Бобилье в линейчатом пространстве
для линейчатого пространства на основании принципа перенесения принимает следующий вид [3]:
[С^^ + А) ± С^(В2 - А)] • сов 0 = ± 2, (15)
при этом тригонометрические функции углов и сами углы представляют собой дуальные тригонометрические функции и дуальные углы. Уравнение (15) после разделения его на главную и моментную составляющие преобразуется в два вещественных уравнения [3], соответствующих пространственной интерпретации теоремы Эйлера-Савари для случая взаимоогибаемых линейчатых центроид у1 и у2 и связанных с ними взаимоогибаемых линейчатых поверхностей а и р (см. рисунок 6). Принятые обозначения для линейчатой конструкции, являющейся обобщением сферической конструкции на рисунке 4 и конструкции в эллиптической плоскости на рисунке 5, соответствуют следующим образом:
г -Я ; р-Р; ^Я\ -Я2; р -р; р -р; в -Б; а-А; р! - В!; р2 - В2;
¥1 - %; ¥2 - %2; С - Ур С2 - у2; а-а; Ь- р; е1 - 8!;
е2 - 82; ю - ю1; и - и1; ц - ц1; f - f1; а - а1,
где верхний индекс »1» соответствует обозначению щетки первого порядка. При этом правые части векторных соответствий представляют собой единичные винты.
Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы:
1. Существует изоморфизм между геометрическими интерпретациями построения Бобилье в эллиптической плоскости и в линейчатом пространстве.
Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие уравнений Эйлера-Савари в обеих интерпретаций.
2. Поскольку построение Бобилье представляет собой геометрическую модель зубчатого зацепления, то решения задач синтеза пространственных зубчатых зацеплений, имеющих место в линейчатом пространстве, на основании п. 1 могут быть выполнены в эллиптической плоскости.
Библиографический список
1. Геронимус, Я.Л. Геометрический аппарат теории синтеза плоских механизмов / Я.Л. Геронимус. — М.: Гос. изд-во физ.-мат. литер., 1962. — 400 с.
2. Литвин, Ф.Л. Теория зубчатых зацеплений / Ф.Л. Литвин.- 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1968. — 584с.
3. Диментберг, Ф.М. Теория винтов и её приложения / Ф.М. Диментберг. — М.: Наука, 1978. — 328 с.
4. Панчук, К.Л. Конструктивно-метрическое моделирование линейчатого пространства / К.Л. Панчук, В.Я. Волков // Вестник КузГТУ. — Кузбасс, 2007. - №6. — С. 55-58.
5. Рашевский, П.К. Курс дифференциальной геометрии / П.К. Рашевский. — М.: Гос. изд-во техн.-теор. литер., 1956. — 420 с.
6. Зейлигер, Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия / Д.Н. Зейлигер. — М.; Л.: Гос. техн.-теорет. изд-во, 1934. — 196с.
7. Muller, H. Spharische Kinematik / H. Muller. — Berlin: VEB Deutscher Verlag. der Wissensch., 1962. - 121s.
ПАНЧУК Константин Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.
Дата поступления статьи в редакцию: 20.02.2008 г.
© Панчук К.Л.
