CC BY
249
7. Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. М: -Л: ОШЗ, 1948. Т.2.
8. Картвелишвили Н. А. Динамика напорных трубопроводов. М.; Энергия, 1979.
9. Чарный И.А. Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Недра, 1975.
10. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1988.
11. Кириллов П. Л., Юрьев Ю.С., Бобков В.П. Справочник по термогидравлическим расчетам. М.: Энергоатомиздат, 1990.
12. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.: Атомиздат, 1979.
13. Tarasevich V. V. Filing the worm pipe by the cold liquid // Free-boundaiy problems in continuum mechanics / Ин-т гидродинамики СО АН СССР. Новосибирск, 1991. С.113.
14. Рождественский Б.И., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.
15. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1987.
16. Альтшуль А.Д. Гидравлические сопротивления. М.: Недра, 1982.
УРАВНЕНИЕ БАРОТЕРМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА А.И. Филиппов, Ю.Э. Мосдорф, A.A. Потапов
Физические процессы в многокомпонентных средах отличаются высокой сложностью [1]. Поэтому анализ различного рода процессов осуществляется с учетом конкретных особенностей применительно к изучаемым явлениям. В последнее время повысился интерес к различного рода термодинамическим эффектам в пористых средах. Это связано с их многообразными практическими приложениями в химической технологии в связи с проблемой твердотельных катализаторов и в физике Земли.
В данной статье рассматривается отличный от традиционного подход к выводу уравнений баротермического эффекта в пористой среде при многокомпонентной фильтрации. Он основан на общих уравнениях баланса материи, импульса и энергии [1;2]. Вместе с тем он представляется более полным, последовательным и обоснованным, нежели использованные ранее [3]. Следует отметить, что работа [3] является основополагающей по уравнениям термодинамики, приведшим к обнаружению нового физического эффекта, названного баротермическим.
В данной работе реальная пористая среда представлена многокомпонентной системой (одна из них твердая) достаточно большого числа
хаотически распределенных малых частиц. Размеры частиц, малые сравнительно с физическими объёмами, считаемыми элементарными, предполагаются настолько боль пиши, что внутри каждой частицы выполняются условия "локального
равновесия" [4] и все законы сохранения.
Обозначим через ш;, Б; объёмную концентрацию ьй компоненты,
связанную с пористостью т и насыщенностью б, соотношениями
Ш1=1-т; ш; = т(1 >2); в! = 1; э2 = 1 — э; 83=з. (1)
Наряду с истинной скоростью движения жидкости V вводится скорость фильтрации
о = это*. (2)
Скорость стационарной фильтрации в поле сил тяжести подчиняется
закону Дарси, который для двухфазной фильтрации записывается в виде [5]
К
и; =-— -fi(s)[grad Р;-Pig].
(3)
Соотношение (3) эквивалентно наличию фиктивных объёмных сил
трения
R;
_ M-i
(4)
К; рД(в)
В этих предположениях рассмотрим краткий вывод основных уравнений термодинамики.
Уравнение неразрывности ьй компоненты:
а
St
(Pisimi) + div(pjUj) = 0.
Уравнение Эйлера - Жуковского для г-н компоненты:
PimiS;
dt
VmiSj;
H-nijSigrad Pj ~р;т^(р; + Ri») = 0.
Умножая уравнение движения Эйлера-Жуковского на
ITliSj
(5)
(6)
и интегрируя
по области V, получим
ш-
mjSjPi d
dt
\ 2
VnijS
I'
grad Pi-pi^+R^JJoj
dV = 0.
(7)
Первое слагаемое представляет собой скорость изменения кинетической энергии частиц.
Из (7) находим
■ ^=ЯЬ^ ■ ЯЬ8гай Р;(1у+ЯЬ5«*^- (8)
V V V
Согласно равенству (8) изменение кинетической энергии происходит за счет действия массовых сил, градиента давления и фиктивных сил сопротивления. Допустим, что массовые силы консервативны, т.е. потенциальны:
Р=-£га<1иь —1 = 0.
(9)
Равенство (9) позволяет преобразовать (8) к виду й_
/ 1 / ^ \
+и{ )
и
т+ (10)
V V V
Откуда следует, что изменение полной механической энергии происходит за счет градиента давления и расходуется на преодоление фиктивных сил сопротивления.
Согласно первому началу термодинамики
= - Щ<Цр;5,) + Г,|(тд)_
(IV + дс^
(11)
или
(12)
Учитывая, что передача тепла осуществляется за счет теплопроводности по ьй компоненте и теплообмена с другой компонентой, количество тепла q можно представить в виде
Я1 =
+ q.
(13)
Далее представим внутреннюю энергию через энтальпию ьой компоненты
11=Е;+Р;/^.
Отсюда
(14)
(15)
(16)
(1Е, (И; ' (1 ГР;"
СН (К
Преобразуем второе слагаемое в (15), воспользовавшись (5): d р, 3 Р- Р* д Р*
Р;Ш;8; — — = Р^Б; — — + р^^ГЭС!-*- = рЦП^ — — +
СК р! Йр, Р1 & р|
р, £ р.
-кПу(Рм)-------1сИу(рм) = р;1ПД-—-L + dІv(Piйi) +
p¡ 01 р;
+^- ^(р^О = -^(Р1т!р0+£ЦРМ).
С учетом (15), (16) уравнение (12) преобразуется к виду
(17)
ЯМ
Представим левую часть (17) в’форме
Для дальнейшего преобразования уравнения учтем, что ,ск
^ *3.+ ГсН^ йт5.
^¡/Т. ^ Р. «11 ’ 1сПу
ГЙ10 _ 1 -Т,- '_!±'
Т: Р1 .ОТ; ри
= —(1-оЛ-) = с^ = с;
\PjCj
-Л«
(19)
После подстановки (18) и (19) в (17) получим
р^с^ + РЛ^ас! Т- +р^е;о^гас1 Р; - т^рдтц = от от
= (Ц^т^ас! Т;) + ]£(1^Т. -Т^+д.
(20)
Уравнение (20) называется уравнением притока тепла или уравнением термодинамики соответствующей компоненты пористой среды. Уравнение (20) позволяет записать соответствующие уравнения баротермического эффекта. Однако оно не учитывает изменений механической энергии.
Для учета изменений механической энергии воспользуемся законом сохранения полной энергии, включающей внутреннюю и механическую, для контрольного объёма V:
Ш'
сН
Е; +
С - N
и;
+ 0:
ау = дА+дд.
(21)
Подставив (10) в (21), получим закон сохранения энергии в дифференциальной форме
т
= «¡^а<1 Р, -аЦР^о!) + Р1^-(ш^) + я.
Вьфажение для производной от энтальпии в этом случае имеет вид
А11 - л п -5 / \5р1
т15|Р1 ~Т7* == 1^га<1 Р;-р;0|К;*+(ш;5;)—!'-+^.
си 'от
Откуда, как и в предыдущем случае,
— + Рфи^гас! Т{ + р^е;0£гас1 Р; - =
ОТ От
- £ СЦ
/ -чПг;8
+ч-
Отметим, что в уравнении (20) давление Р; включает гидростатическую составляющую. Преобразуем соответствующие уравнения, представив давление Р;
в виде суммы некоторого равновесного значения Р; и отклонения от равновесного Р; , причем
grad Р; = (^-Рі-І си
/ ~ \ О;
восходящих потоках жидкости и газа. Слагаемое р?01С;Г|;(о;У) описывает
др.
В частном случае установившегося течения, когда —- = 0, после
а
несложных преобразований получим окончательное уравнение термодинамики ьй компоненты:
ЗТ: „ _ ар.
Р1т181С!"^- + Р;С;°;ёГаЙ Т; +р1с;8^;§гас! Р; -т;8;Р;С^;-^--
Р2«^11; +р?о^тц(о1У)-^- = а1у(х.1т181§гаа Т;) + (22)
.РЧ1^
+^Е|аи(Т]-Т1)+Ч-
В полученном уравнении содержатся два дополнительных слагаемых.
Слагаемое р о^с^, представляет адиабатический эффект при движении среды в
поле сил тяжести. Этот член описывает, например, вертикальный градиент температуры в атмосфере Земного шара [6], его вклад необходимо учитывать в
адиабатический эффект при изменении скорости в установившемся потоке, вклад которого пропорционален квадрату скорости.
Полученное уравнение описывает широкий класс термодинамических явлений в пористой среде. Оно используется для изучения баротермического эффекта.
Для случаев фильтрации жидкости или газа в пористой среде в условиях эксплуатации пластов часто можно считать, что пористость т, теплоемкость с, теплопроводность X, коэффициент теплоотдачи к\ являются постоянными. Для случая фильтрации однофазного флюида в=1 система уравнений баротермического эффекта включает уравнение неразрывности
т-^-+Шу(р2'3) = 0, (23)
уравнение движения Дарси
5 = ——ягас! Р, (24)
Ц
уравнение состояния для флюида
Р2=Ро[1-а(Т2-То)^(Р2-Ро)], , (25)
уравнение термодинамики твердого скелета
(1-га)с-—-к1(Т2 -Т^^-т^ДТ!; с = Р1сь (26)
уравнение термодинамики фильтрующейся жидкости
, „ і сг Т2 + єБгасі Р - р^] - шсж — +
+ к1(Т2 -Т^ = пЛ2ДТ2; сж = с2р2.
При малых изменениях температур и давления
о(Т2-Т0)«1; Э(Р2 -Р0)«1
в соответствующих случаях можно считать р2 = р0 ■ После исключения р2 из уравнения неразрывности получается соответствующее линеаризованное уравнение неразрывности
К соответствующей системе- уравнений добавляются граничные и начальные условия.
При сравнительно медленных движениях жидкости различие температур скелета и жидкости также невелико. Поэтому формально в задачах о температурных полях баротермического эффекта в песчаных пластах различием температур скелета и флюида пренебрегают, это позволяет перейти к однотемпературной модели, имеющей важное прикладное значение. Переход осуществляется формальным сложением уравнений (26) и (27). Полагая Т1 = Т2 = Т , получим: ■ •”
Если скорость конвективного переноса тепла и перпендикулярна к ускорению силы тяжести р2§, то уравнение преобразуется к виду
Эго уравнение описывает термодинамические процессы при фильтрации жидкости в горизонтальных пластах. Оно было получено впервые Э.Б.Чекалюком в 1965 году [3]. В уравнении (30) обозначено
_сжг л _Я,п _«1Я,2+(1-т)Х1
и— и, ап-----------------------г—.
с„ сп тсж+(1-т)с
Переход к однотемпературной модели позволяет обеспечить получение аналитических решений соответствующих задач.
На практике распространены случаи одновременной фильтрации нефти и воды, нефти и газа и т.д. Запишем уравнения баротермического эффекта для этого случая. Используя (22), получим для скелета пористой среды
тВ—-тр-^Ъ-+с1тЗ = 0
а а
(28)
и линеаризованное уравнение термодинамики жидкой фазы
(29)
+ кі(Т2-Т1)-т^2ДТ2; сж - р0с2.
(30)
(31)
<9Т ^
Pi(i - m^j — = div[A.j(l- m)grad Тг] + Vd^Tj - tJ, (32)
j=Z3
для нефти
p2(l - s)mc2 + P2C2Ü2|grad T2 + S2grad P2 — "n2p2g^ =
У, d2j(Tj - T2) + div[x2m(l - s)grad T2],
(33)
P3msC3 + P3C3Ü3 (grad T3 +e3grad P3 --n3p3g) =
(34)
М3
для воды (или газа)
Щ &.
= 2]Йз-'^"’Тз) + а^(А'зт£;^аЙ Тз)'
Н2 ‘
К этой системе добавляются уравнения неразрывности для двухфазного
течения
(3 5
^[тР2(1-8)]+йЦр2и2) = 0; — [трз8]+(Цу(рзи3) = а (35)
уравнение состояния и соответствующие начальные и граничные условия.
Эквивалентная однотемпературная модель получается из (32) - (34), в предположении равенства температур Т1= Т2= Т3= Т и отсутствия капиллярного скачка давления, путем сложения уравнений:
сп “+(Р2С252 + Рзсз»з}йгай Т + (р2с252е2 + р3с3озЕз^Ы Р -
8Р (3б)
-[тзрасать + т(1-8)р3с311з]—+ (сг^11202 +Сзр|тьо3)| = т);
сп “ Р1С1 (1 ~ т)+р2с2т(1 - э) +Р3С3 те; =^1(1-т)+Я,2т(1-8)+Я.3т5.
Отметим, что коэффициенты уравнения (36) зависят от насыщенности 8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
2. Рубинштейн Л.И. Температурные поля в нефтяных пластах. М.: Недра, 1971. 276 с.
3. Чекаток Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. М.: Недра, 1965. 238 с.
4. Гуров К.П. Феноменологическая термодинамика необратимых процессов. М.. Наука, 1978. 128 с.
5. Баренблат Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.
6. Ферми Э. Термодинамика / Под ред. М.И.Каганова. Харьков: Харьков, гос. ун-т, 1969. 139 с.
7. Золотарев П.П., Николаевский В.Н. Термодинамический анализ нестационарных процессов в насыщенных жидкостью и газом деформируемых пористых средах // Теория и практика добычи нефти: Сб. науч. тр. / ВНИИ. М., 1966. С.49-61.
ПРИСТЕНОЧНОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СВОЙСТВА ВИХРЯ СКОРОСТИ В ДВУХМЕРНОМ ПОТОКЕ
О. Н. Шабловский
1. Уравнения динамики жидкости и граничные условия.
Плоское двухмерное неустановившееся течение несжимаемой сплошной среды определяется уравнениями [1]:
dvj до дх-.ь Svk . ...
Р-^Г=_^Г + Х^’ Х^ = 0’ 1*к = 1*2 (1)
dt ÖX; GXk
pCp~j- = -~- + <f>+qv. ^ = Я.(Т,р), ц = ц(т,р).
Классическая модель вязкой ньютоновской несжимаемой жидкости имеет вид
*¡¡=2 щ. (2)
Реологическое уравнение состояния вязкоупругой жидкости Максвелла возьмем в форме записи [2]
dtjj dv-,
,ЙП —= 2e,j = — +—, (3)
используя оператор субстанциональной производной d/dt = d/dt + v^S/öx^.
Исследование возникновения и распространения завихренности на основе модели (3) имеет большое значение не только с точки зрения приложений в реологии, но и принципиально важно с методологической позиции. А именно: учет релаксации вязких напряжений позволяет рассмотреть эволюцию гидродинамических параметров под влиянием конечной скорости распространения возмущений [3]. ,
При постановке граничных задач применяем наряду с традиционным условием прилипания жидкости условия скольжения [2;4]. Явление проскальзывания жидкости на стенке наблюдается при течении неньютоновских жидкостей типа (3) - растворы и расплавы полимеров, а также при движении ньютоновской жидкости вдоль пористой границы. Условия скольжения и
