Упрощенная имитационная модель отапливаемого помещения как объекта управления Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 681.513

УПРОЩЕННАЯ ИМИТАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ОТАПЛИВАЕМОГО ПОМЕЩЕНИЯ КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

© 2016 А. М. Фрумкин1, Е. Н. Громова2, В. А. Яцевич3

1с.н.с. кафедры математического анализа и прикладной математики, канд. техн. наук,

e-mail: frumkinam@mail. ru 2,3 студенты факультета физики, математики, информатики e-mail: liza.g96@mail.ru e-mail: zwtdbx@yandex.ru

Курский государственный университет

Строится простая модель отапливаемого помещения как объекта управления. Теплоснабжение осуществляется из тепловой сети по зависимой схеме. Модель включает уравнение динамики изменения температуры, модель отопительного прибора, а также модели управления движением и температурой теплоносителя. Описываются особенности компьютерного представления модели, ориентированного на изучение методов управления.

Ключевые слова: отапливаемое помещение, тепловая сеть, отопительный прибор, насос, обратный клапан, регулирующий клапан, пространство состояний, эволюционная модель, время моделирования, время наблюдения.

При изучении законов управления техническими объектами и при построении описаний законов управления на формальном языке [Фрумкин 2015] используются компьютерные имитационные модели объектов управления, позволяющие проследить выполнение рассматриваемых законов управления.

Математическая модель, на основе которой строится имитационная модель, может быть не очень точной, но должна качественно описывать различные ситуации, возникающие в процессе управления. В данной статье строится по возможности простая математическая модель отапливаемого помещения и описывается соответствующая компьютерная модель, построенная согласно некоторым общим принципам, изложенным нами ранее [Фрумкин, Яцевич 2016].

Рассматривается схема зависимой системы отопления со смешением воды, с регулирующим клапаном и подающим насосом [Невский 2007; Соловьев и соавт. 2012]. Предлагается вариант модели отопительного прибора, отличный от вариантов, представленных в близких по теме публикациях [Соловьев и соавт. 2012; Панферов, Милов 2014; Панферов В.И., Панферов С.В. 2015]. Некоторые свойства рассматриваемой модели формулируются в форме математических утверждений, доказательства которых помещаются между значками 3 ► .

1. Моделируемая система и общий подход к моделированию Моделируемый объект изображен на рисунке 1. Для простоты рассматриваются однокомнатное отапливаемое помещение с отопительным прибором и расположенный в подвале тепловой пункт. Переменные, которые будут использованы для построения модели, и их обозначения в формулах описаны в таблицах 1 и 2. Их наименования также показаны на рисунке 1.

Примем стандартную для тепловых расчетов модель помещения с условно постоянной по пространству температурой воздуха и теплопередачей по закону Ньютона [Нащокин 1975]. Уравнение динамики изменения температуры строится на основе уравнения теплового баланса

С • X = р(у, I, х) + КвШв - Х) + ^пШп - *). (1)

В данном уравнении х - температура в помещении, у - температура теплоносителя на входе в отопительный прибор, I - расход теплоносителя, протекающего через отопительный прибор, 6В - температура внешнего воздуха, 6П - температура воздуха в подвальном помещении. Уравнение содержит параметры: С - теплоемкость воздуха при постоянном объеме, КВ - коэффициент теплопередачи между окружающим воздухом и помещением, КП - коэффициент теплопередачи между воздухом подвала и помещением.

Температура в подвале

Рис. 1. Схема отопления однокомнатного помещения. Устройства, измерительные приборы,

рассматриваемые переменные

Потерями в тепловом пункте подвала пренебрегаем. Условно считаем, что температура в подвале и температура внешнего воздуха - независимые переменные. В уравнении (1) слагаемое р(у,1,х) обозначает мощность отопительного прибора как функцию входной температуры теплоносителя, температуры в помещении и расхода теплоносителя.

Будем считать, что насос приводится в движение асинхронным двигателем, частота вращения которого не регулируется. Это значит, что управляющую переменную двигателя в можно считать булевой. Ее нулевое значение означает, что двигатель выключен, а единичное означает, что он включен. Подача воды из тепловой сети изменяется клапаном непрерывного действия. Переменной управления будем считать отношение площади проходного сечения к максимальному и обозначим его буквой о ( 0<о<1). Эта величина взаимно однозначно связана с положением штока клапана.

Расходы воды на каждом участке трубопровода являются функциями в, о, а также напора в магистрали Е. В силу процесса смешения температура воды на входе в отопительный прибор является функцией температуры воды в подающей трубе магистрали 6, а также х, Е, в, о.

Таблица 1

Входные переменные, описывающие объект моделирования

Наименование переменной Обозначение Тип переменной

Внешняя температура 6В Внешнее воздействие

Управление насосом в Управление (булево)

Управление клапаном о Управление

Температура в подвале Эп Внешнее воздействие

Температура воды в тепловой сети 6 Внешнее воздействие

Напор в тепловой сети Е Внешнее воздействие

Таблица 2 Выходные переменные, описывающие объект моделирования

Наименование переменной Обозначение Тип

Температура в помещении х Состояние

Температура обратной воды 2 Вспомогательная

Температура теплоносителя на входе отопительного прибора у Вспомогательная

Расход воды через отопительный прибор I Вспомогательная

Расход воды из тепловой сети г Вспомогательная

Эволюционная модель системы в целом - неавтономное дифференциальное уравнение в пространстве состояний [Справочник... 1987] с кусочно-непрерывными функциями воздействий. Унифицированная технология программирования [Фрумкин, Яцевич 2016] предполагает разделение переменных модели на группы. Управляющие переменные и переменные внешних воздействий вместе образуют группу входных переменных. Переменные состояния и вспомогательные переменные (функции входных переменных и переменных состояния) образуют группу выходных переменных. Классификация переменных для рассматриваемой модели дана в таблицах 1 и 2.

В нашем случае состояние системы определяется температурой в помещении. В модель системы входят уравнение (1), выражение для функции р(у, /, х) и выражения для переменных I, г, у, 2 как функций Е, в, в, х. Определению выражения для р(у, /, х) посвящен п. 2 статьи, выражениям для I, г, у, г - п. 3.

2. Модель отопительного прибора

Предположим, что отопительный прибор - это изогнутая труба («змеевик») с протекающим по ней жидким теплоносителем (водой). Для упрощения рассуждений сделаем ряд допущений. Предположим, что теплоноситель движется относительно трубы достаточно быстро в том смысле, что за время прохода элемента теплоносителя через отопительный прибор изменение теплового состояния воздуха в помещении пренебрежимо. Толщину трубы считаем малой и теплоемкость трубы не учитываем. Теплообменом между элементами теплоносителя вдоль трубы пренебрегаем - все тепло от теплоносителя передается в помещение.

Движение элемента теплоносителя внутри тонкой трубы мы можем рассматривать как одномерное движение малого цилиндра длины А/ вдоль оси трубы (изгибающейся вместе с трубой). В силу наших допущений в каждый момент пребывания элемента в отопительном приборе количество тепла Ар(^, выделяемое элементом в единицу времени, не зависит от его положения:

□Р(0 = к • (и(гу х(0) • 2ПгП/.

Здесь х(^) - температура в помещении, и(^) - температура элемента, К - коэффициент теплопередачи (константа), г - радиус трубы. За малое время Ы элемент теплоносителя отдает тепло Ар(()Ы за счет изменения своей температуры на величину Ьи=и^+Ы)-и(^)<0. Если обозначить теплоемкость и плотность теплоносителя как ст и рт соответственно, то получим уравнение теплового баланса:

□рСО • т = - стптпг2 • ш • пи,

или К (м(0- *(О) • 2Пг • ш • □t = стПтПг2 • Ш • (- Пи),

или стПтг • Ци = 2К • (х(^-и(^) • ^ . Отсюда получаем дифференциальное уравнение изменения температуры элемента теплоносителя со временем при его движении вдоль трубы:

и' =к(х(Г)-и(Г)), (2)

, 2К

где к =-- константа.

Вычислим мощность, выделяемую в помещение, в предположении достаточно большой скорости движения теплоносителя. Рассмотрим небольшой промежуток времени, в течение которого расход теплоносителя I и температура х практически не меняются. Пусть температура втекающего теплоносителя есть у. Если за начальный момент времени принять момент входа элемента теплоносителя в отопительный прибор, то решение уравнения (2) примет вид и(()=(у-х)е'кк+х.

Определим распределение температуры вдоль трубы отопительного прибора. За начало выберем точку входа теплоносителя в отопительный прибор. Рассмотрим температуру в точке с координатой § (по оси трубы). Элемент теплоносителя двигался в эту точку в течение времени §/у, где V - скорость течения: Б^у=1, где Б - сечение трубы. Когда элемент достиг точки его температура была и^Ы^^-х^^+х. Эта формула задает распределение температуры вдоль трубы в заданный момент времени. Рассматриваемое распределение обозначим Т(§)=и(§^). Пусть длина трубы отопительного прибора равна Ь. Мощность, которая выделяется в помещение,

Ь Ь - ^ у Ь - ^ кё

р=^К2ж(Т(£) - х)ё£=К2лгJ(y - х)е ^ ¿ё= (у-х)К2пг^ f е ^а^-)

0 0 0 ¥

кЬ

V кЬ

у & у --

= (у-х)К2ПГ— Ге- ёёё =(у-х)К2пг -(1-е V ). к ^ к 0

2К 2КЬ8

гт , ст рт г т/с ^ ст рт га 2жКЬ 1о игкь

Так как к= тМт и v=I/S, то —= тмт ч =-= —, где /0 =—— - константа.

V стрт1 I ст'Лт

у 2лГК1

Далее, К2пг — =-=стрт/=у/, где у=стрт - константа. Таким образом,

к 2Кп2

С т Рт Г

р(у, I, х) = □/(у - -х) (1 - е_!т).

Это мгновенная мощность, выделяемая в помещение, как функция входной температуры теплоносителя, расхода теплоносителя и температуры в помещении. После движения через отопительный прибор теплоноситель снижает свою температуру до значения ^(у, I, х):

_ I>

n(y,/,x)=w(L/v)=(y-x)e-kL/v+x= (y-x) e 1 +x. Реальный отопительный прибор устроен сложнее, чем рассмотренный, и теплообмен происходит сложнее, поэтому рассмотренные формулы не претендуют на точность. Тем не менее они качественно верно отражают процессы. Формулы удобно преобразовать к виду

Р(I, x) = □ ± (y - x) (l - = U(y - x)□ (£) (3)

!

Здесь функция = П(1 — e не имеет размерности. Размерность мощности имеет константа a=2KnrL.

□(у, Л *) = (У - х)□ Q + х, (4)

!

Функция = е ^ также не имеет размерности.

Утверждение 1. Функция ^ на промежутке (0,<») обладает такими свойствами:

1) lim^ = 0 - при нулевом расходе и мощность нулевая;

2) ^ монотонно растет с Ю;

3) ^ - выпуклая (вверх) функция;

4) = 1 - увеличение расхода не является эффективным способом повышения теплоотдачи.

3 1) НтШ0 Ш = 0 • (1 - Итда Л) = 0.

2) Найдем первую производную ^: 00 = 1 — е ü — е ü' ^ Заметим, что

□□(0) = Нтда = 1 > 0. Далее, если обозначить z=1, то ^'(§)=1-(1+z)e"z.

£

Неравенство ^'(Ю)<0 эквивалентно такому: 1-(1+z)e-z<0 ^ 1<(1+z)e-z ^ ez<1+z. Последнее неравенство неверно при любом z>0, следовательно, при любом §>0 имеет место неравенство ^'(Ю)>0 и ^ монотонно возрастает.

3) Найдем вторую производную Для любой функции u имеет место равенство (e"uu)'=e"u(-u)'u+e"uu'=e"uu'(1-u). Следовательно,

$ 1 £ 1 1 $ 1 ^''(Ю) = -e -e £ ("V)(1-1) = -e $ "Г<0 при §>0, g2 g2 S

то есть ^ является выпуклой функцией.

1 .1 - e-z

4) Заменой z= — вычисляем: ^(<»)= lim -=1.

£ z^0+0 z

►

Утверждение 2. При x<y функция п обладает следующими свойствами:

1) х < Oiy, х) < у;

2) Л У, I,х) монотонно возрастает с каждой из переменных;

3) limiuuO(y, 1, х) = у - при бесконечном увеличении расхода теплоносителя он не теряет температуры. Теплообмен протекает так, как будто теплоноситель не движется вообще, но его температура поддерживается постоянной.

3 1) Изменим формулу для вычисления п:

□Су, I, х) = у • □(+ (1 - □( ) • х.

Имеют место неравенства 0 < D < 1 и 0 < 1 — D < 1. Если в последней

формуле заменить y на x, получим меньшую величину, то есть неравенство х<П- Если заменить х на у, получим большую величину, то есть неравенство п<у.

2) Из исходной формулы для величины Ц(у, /, х), в силу монотонности ф и условия у>х, следует монотонное возрастание по I. Из последней формулы следует монотонность по x и y-

3) Равенство lim¡¡jgUiy, I,х) = У следует из равенства limиидОЮ = 1 ►

Функции p(y, I, х), и ffy, I, х) определяют модель отопительного прибора.

3. Модель управления движением и температурой теплоносителя

Гидравлическая цепь, обеспечивающая движение теплоносителя, включает трубопроводы, отопительный прибор, насос, обратный клапан и регулирующий клапан.

Обратный клапан будем считать идеальным. Либо он открыт и падение давления на нем нулевое при любом положительном расходе, либо закрыт и давление отрицательно при нулевом расходе.

Движение жидкости в трубопроводах будем считать ламинарным, а связь между напором и расходом на участках цепи - линейной. Гидравлическое сопротивление линии отопления обозначим R.

Будем считать, что напор центробежного насоса линейно зависит от частоты вращения, и его внутреннее гидравлическое сопротивление обозначим r. Пусть насос вращается асинхронным двигателем. Его момент на начальном участке механической характеристики в двигательном режиме [Брускин 1981] выразим приближенной формулой:

м = СдШс - □).

Здесь M - момент электромагнитных сил на валу, ш - частота вращения вала двигателя, □с - синхронная частота вращения, сд>0 - параметр. Обозначим напор насоса как функцию частоты вращения через Ен: Ен=сНш, где сН>0 - параметр.

Построим модель процессов в цепи в основной ситуации, когда насос включен и регулирующий клапан открыт.

В зависимости от положения штока регулирующего клапана обратный клапан может быть открыт или закрыт. Обозначим через I расход теплоносителя, протекающего через отопительный прибор, и через i расход теплоносителя, потребляемого из тепловой сети. Если обратный клапан открыт, то i<I, если закрыт, то i=I. Случай i>I невозможен, потому что в этом случае теплоноситель должен идти через обратный клапан в обратном направлении.

Основным режимом работы является режим отрытого обратного клапана. В этом режиме расход I связан с напором насоса уравнением Ен=[^+г). Если пренебречь потерями энергии, то E^I=Mm Отсюда следует, что

Снш^= М-ш ^ Сн!= М ^ Сн1 = СдЩс - □). С другой стороны □ = / — ^ СН1 = сд(П - / —).

Отсюда (сн + = сдUc ^ (сн + Сд ^)/ = СдПс ^ / = /нПс .

сн с сн с £н+к+г

!Д

Если обратный клапан открыт, расход теплоносителя через отопительный прибор не зависит от значения переменной а управления регулирующим клапаном. Но при открытом регулирующем клапане теплоноситель на входе отопительного прибора является смесью возвращающегося через обратный клапан теплоносителя и теплоносителя из сети. Поэтому от значения управляющей переменной зависит температура теплоносителя на входе в отопительный прибор.

Так как гидравлическим сопротивлением обратного клапана в прямом направлении мы пренебрегаем, то расход 1 теплоносителя из магистрали определится напором в сети Е и значением управляющей переменной регулирующего клапана а. Гидравлическое сопротивление клапана считаем линейным, но зависящим от а. Сопротивление меняется от бесконечности при полностью закрытом клапане (а=0) до минимального значения гк при полностью открытом клапане (а=1). Таким образом,

* = о!.

Определим температуру у воды на входе отопительного прибора как функцию а, Е, температуры воды в сети 6 и температуры в помещении х. При г<1 за малое время Ы объем воды гЫ из сети с температурой 6 смешивается с объемом обратной воды (1-гуЫ с температурой г=г\(у,/,х). При этом образуется объем воды ЪЫ с температурой у. Из условий теплового баланса следует уравнение

СтПт(¿50 • (□ - У) = СтПт(/ - о8г • (у - z). После сокращения величины стД,^ и подстановки г=п(у,1,х) получаем уравнение смешивания:

I • □ + 0 - О К У, I. *) = I • у.

Подставим в данное уравнение выражение для ^(у, I, х) :

I • □ + о - о к у - *) а + х] = / • у.

Выражение П здесь и далее для компактности обозначено как ф. Разрешив данное

¿•□+г- ~

уравнение относительно у, получим у =-^ —, или, после преобразований,

СП * У = Х (5)

где / = 2Сн^с , / = 0~. Соответственно, температура обратной воды

' 2 = X . (6)

Формулы для г, I, у, г верны в случае, если /</, то есть если < 2Сн^с . Если

СД

Д— > 2Сн^с , то /=/, обратный клапан закрыт, и расход I уже не постоянен, а меняется

!к ^н+д!!

!Д

вместе с а согласно уравнению

Е + Ен = + г + й)/.

Так как Ен = сН • [], то ш =—- ^ сН/ = сДЩг--и-). Отсюда

I = (7)

В силу отсутствия смешивания в данном случае у=6. Соответственно, г = (Д — х) О + х Кроме рассмотренной основной ситуации включенного насоса и открытого клапана, возможны еще три.

Насос отключен, клапан закрыт. В этом случае /=г=0. Трубопроводы в подвальном помещении считаем теплоизолированными, поэтому у=2=х.

Насос включен, клапан закрыт. В этом случае г=0, / = 2Сн^с , у=г=х.

—+К+г

!Д

Насос отключен, клапан открыт. В реальной системе данная ситуация является нештатной и запрещается устройствами управления, поэтому требования к

точности модели в данном случае минимальны. Будем считать, что гидравлическое сопротивление насоса сохраняется, а напор равен нулю. Теплоноситель движется благодаря напору, создаваемому в сети, обратный клапан закрыт. Расход /=/

определяется из уравнения Е = ^ + г + й) /, у=6, г = (Д — х)О + х.

4. Модель системы в относительных единицах

Для представления модели в компьютере необходимо выбрать ее параметры и представить переменные в относительных единицах [Важнов 1980; Фрумкин 2013]. Представление переменных в относительных единицах, в частности, позволяет уменьшить число используемых параметров модели. Для представления в относительных единицах выбраны базисные значения переменных, описанные в таблице 3.

Таблица 3

Базисные значения переменных__

Описание переменной Определение базисного значения Обозначение

Температура (все переменные) Номинальная требуемая температура в помещении Xb

Расход (все переменные) Расход, обеспечивающий в основном режиме при минимальной температуре воды в сети, минимальных температурах в подвале и вне помещения и при закрытом обратном клапане номинальную температуру внутри помещения Ib

Напор в сети Минимальный напор, обеспечивающий в основном режиме базисное значение расхода при полностью открытом регулирующем клапане и закрытом обратном Eb = Ib • гк

Время Постоянная времени уравнения (1) без учета зависимости передаваемой мощности от температуры в помещении D = ! !В+!П

Припишем каждой переменной, рассматриваемой ранее, индекс «А», означающий абсолютные (физические) единицы измерения. Уравнение (1) примет вид

С • ±А = П(Уа - *а)[|ф + ВДВа - Х!) + КпШпа - хл). Переход к относительным единицам означает следующие преобразования:

х(0 = , уС0 = , □ г0 = ШаЁШ, п г0 = Ппа^, = кСШ . !! !! !! !! !! Здесь ^ = t • [] - время в абсолютных единицах, I - время в относительных единицах.

Вычислим производную х(Ь): = Выразим переменные в абсолютных

единицах через переменные в относительных единицах и подставим результаты в исходное уравнение:

С •!! • X = П(.УЧ - ххъ)+ Кв(ПВхь - ххъ) + Кп(ППХЬ - ххъ). С учетом выражения для т имеем:

х (У - х) □(□/) + ЩВ - х) + (□„ - х),

где О = Параметр а исходного уравнения определяется по остальным параметрам из !0

уравнения установившегося процесса, определяющего номинальный расход:

и №Ат1п-хь)ию .

!

Если ввести параметр Ц = —В, то уравнение примет вид

!П

*=&- им+Б!Т -+^ ^ - (8)

Равенства (5), (6) в относительных единицах выглядят так:

V = х +__ г = х +___ПГП/1

У '( 1-ПШО) + !•□(□/)' /(1-ПШО) + !•□(□/) иШ У

Формула /А = □ — при переходе к относительным единицам преобразуется:

!к

Нь = П. Но — = 1Ь, поэтому / = □£".

гк гк

Таблица 4

Значения управлений в и о Формулы для вычисления I, i, y, z

в=0, о=0 I=i=0, y=z=x

в=0, о>0 i = i = y=e, z = ш- *)пшо + x

в=1, о=0 i=0, I = 1, y=z=x

в=1, о>0, оЕ<1 ■ ПГ T 1 i '•(□-!) i = ПЕ, I=1, y = x +—-г-,

в=1, о>0, оЕ>1 . = j = Q^, y=0, z = x)Dm + x

Пусть б - скольжение асинхронного двигателя, при котором насос в режиме открытого обратного клапана обеспечивает базисный расход. Тогда имеют место равенства

СнШс( 1 - 0 = 1ь • (R + г) и Сн 1Ь = СдП^. Из них следуют равенства сНЦс = 1ь ^г), ^ = ^ = ^ + г) ^^^ . Равенство (7)

1 + ^(1-!)

СнРс+5 1Ь( Я+г)+Е-Еь(1-б) „

преобразуется так: I = —с-=-ц-. Отсюда в относительных единицах

!Д □ и

= ЩЕ

' = тЖ^=ПЙЛ • где а=да- г), а=

ук+г

В основном режиме в относительных единицах / = 1. В случае, когда насос

отключен и клапан открыт, расход I в относительных единицах определяется по

гк II ! --

формуле I

г+! '

Переход к относительным единицам позволяет строить компьютерные вычисления на основе разумного выбора следующих параметров: хь, 6тт, 6Вт;п, 6Пт;п, е, ц, X, б. Модель системы в относительных единицах включает уравнение (8), а также вспомогательные функции I, г, у, 2, вычисляемые согласно таблице 4.

5. Особенности компьютерного представления модели Компьютерное представление модели обладает двумя основными особенностями [Фрумкин, Яцевич 2016]:

1) масштаб времени перед моделированием задается пользователем программы так, что имеется возможность в процессе наблюдения «вручную» осуществлять изменение внешних воздействий и выполнять приближенно различные алгоритмы управления объектом;

2) на экране строится изображение объекта, которое показывает изменение рассматриваемых переменных с помощью изменения цвета, яркости или положения элементов изображения.

Пользователь перед моделированием задает два параметра: время моделирования в относительных единицах и время наблюдения в естественных единицах. Компьютер устанавливает взаимно однозначное соответствие между

моментами промежутка моделирования и промежутка наблюдения. Модель объекта представляется разностной схемой. Изменение состояния объекта вычисляется рекуррентно методом Эйлера [Бабенко 1986]. Все вычисления осуществляются в масштабе времени наблюдения в относительных единицах. С использованием хранимого набора базисных значений возможен вывод значений в абсолютных единицах.

Изображение объекта приближенно повторяет рисунок 1. Движение теплоносителя демонстрируется «бегущими» по трубопроводам и отопительному прибору пунктирными линиями. Работа насоса показывается вращением его условно изображенных лопастей. Положение штока регулирующего клапана показывается движением присутствующей на его изображении стрелки. Изменения внешней температуры, температуры в помещении и подвале показываются изменением насыщенности цвета, заполняющего соответствующее пространство на рисунке.

Перед моделированием пользователь может задать начальные значения входных переменных и переменной состояния в допустимых промежутках. Управление, приводящее к выходу переменной состояния за допустимые пределы, интерпретируется как аварийное. При этом процесс моделирования прекращается.

Библиографический список

Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

Брускин Д.Э., Зорохович А.Е., Хвостов В.Д. Электрические машины и микромашины. М.: Высшая школа, 1981. 432 с.

Важнов А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока. Л.: Энергия, 1980. 256 с.

Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. М.: Высшая школа, 1975. 496с.

Невский В.В. Применение средств автоматизации Danfoss в тепловых пунктах систем централизованного теплоснабжения зданий. М.: Данфосс, 2007. 82с.

Панферов В.И., Милов А.Е. К вопросу о выборе структуры математической модели отопительного прибора // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Строительство и архитектура. Вып. № 2. 2014. Т. 14. С. 52-54.

Панферов В.И., Панферов С.В.. Динамическая модель отопительных приборов и систем // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление и радиоэлектроника, Вып. № 2. 2015. Т. 15. С. 72-82.

Соловьев В. В., Степанова В. Ю., Шадрина В. В. Математическая модель системы отопления многоэтажного здания // Известия Южного федерального университета. Технические науки. Вып. № 2. 2012. Т. 127. С. 226-231.

Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

Фрумкин А.М. Сборник заданий для исследования систем автоматического регулирования температуры с непрерывным изменением управляющей переменной. -Курск: Курск. гос. ун-т, 2013. 103 с.

Фрумкин А.М. Об объектах языка описания законов управления // AUDITORIUM. Электронный научный журнал Курского государственного университета. 2015. №3. URL: http://auditorium.kursksu.ru/pdf/007-001.pdf (дата обращения: 10.06.2016).

Фрумкин А.М., Яцевич В.А. К технологии разработки имитационных моделей объектов управления // Вопросы кибербезопасности, моделирования и обработки

информации в современных социотехнических системах: сб. тр. 2 междунар. науч.-техн. конф.. Курск: Курск. гос. ун-т, 2016. С. 174-176