Упрощение уравнений теплового баланса воздушных линий электропередачи в задачах расчета потерь энергии

Гиршин Станислав Сергеевич; Горюнов Владимир Николаевич; Кузнецов Евгений Александрович; Карпенко Алексей Валерьевич

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

УДК 621.316.3

С. С. ГИРШИН В. Н. ГОРЮНОВ Е. А. КУЗНЕЦОВ А. В. КАРПЕНКО

Омский государственный технический университет

УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА ВОЗДУШНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ

В статье изложены результаты применения метода наименьших квадратов для упрощения уравнений теплового баланса воздушных линий электропередачи в задачах расчета потерь энергии. Также предложены расчетные формулы и проанализированы их погрешности в сравнении с ранее существовавшими методами. Ключевые слова: уравнение теплового баланса, воздушные линии, потери энергии, вынужденная конвекция, аппроксимация уравнения.

Статья опубликована при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках выполнения соглашения № 14.В37.21.0332 от 27 июля 2012 г.

1. Введение и постановка задачи. В настоящее время при расчете потерь энергии в электрических сетях все чаще учитывается температурная зависимость активных сопротивлений. Данный подход связан с вычислением температур элементов сети на основе уравнений теплового баланса. Эти уравнения в большинстве случаев нелинейны и для их решения могут быть использованы численные методы. Применение численных методов имеет определенные недостатки. В частности, требуются специальные компьютерные программы, возникают затруднения при анализе результатов и отсутствует возможность решения обратных задач. Поэтому на практике получили распространение различные способы упрощения уравнений теплового баланса [1, 2].

Тепловой поток О от провода в окружающую среду обусловлен конвекцией (Ок) и тепловым излучением1 (Ол):

0 = 0к+0Л=Ак{гвнеш-ТокрУ +-Ал(ГвНеш-Г4р), (1)

где Т и Т — абсолютные температуры внеш-

^ внеш окр 1 •' 1

ней поверхности провода и окружающей среды; Ак и Ал — постоянные коэффициенты; к — показатель степени, зависящий от условий конвекции.

В большинстве случаев (охлаждение провода на открытом воздухе при наличии ветра) конвекция является вынужденной. Этому соответствует к=1, и нелинейность уравнений обусловлена только наличием лучистого теплообмена. Наиболее распространенным способом упрощения уравнений является приближенное представление величины Ол квадратичной функцией температуры провода [1, 2]. Однако существующие способы такого представления ориентированы прежде всего на расчет допустимых токовых нагрузок. Поэтому они дают удовлетворительные результаты только при максимальных рабочих температурах и, кроме того, допускают погрешности в сторону некоторого занижения теплового потока.

При расчете потерь энергии требуется высокая точность на всем диапазоне рабочих температур. Наиболее математически обоснованным способом достижения максимальной точности является метод наименьших квадратов. В своей классической форме он относится к численным методам. Однако в данном случае исходная функция задана аналитически. Это позволяет при минимизации отклонений перейти от суммирования по конечному числу точек к интегрированию на всем заданном диапазоне, что в конечном итоге приводит к аналитическим формулам для коэффициентов аппроксимации. В статье изложены результаты такого преобразования, предложены расчетные формулы и проанализированы их погрешности в сравнении с ранее существовавшими методами.

2. Приведение уравнения теплового баланса к квадратичному виду. Из формулы (1) видно, что для представления теплового потока квадратичной функцией температуры при вынужденной конвекции достаточно преобразовать только одну величину: ТдНеш . Распишем ее следующим образом:

Тпнеш = {т0Кр + А®)4 = А©4 +4ГОКРД03 +

+6Г0^Д©2 +4Г^Д0 + Г4р . (2)

где А© — превышение температуры поверхности провода над температурой окружающей среды.

Обозначим «неквадратичную» составляющую (2) как функцию

/•(Д©) = Д04 + 4ГОКрД©3. (3)

Ниже произведено преобразование F по методу наименьших квадратов к функции Н вида

Н(Д©) = М2Д02 + А^Д© + М0. (4)

В качестве нижней границы диапазона преобразования естественно принять Т =Т , т.е. А© = 0.

внеш окр

В качестве верхней границе примем максимально допустимую температуру поверхности провода в нормально режиме. Для изолированных проводов эта температура может быть рассчитана по формуле

•Гвиеш, доп Тдоп ^Рдоп^из

= Тдоп ~ Ідоп г0 (l+ а® доп из,

(5)

М0=^А®4д+^ТокрА®3д. (12)

Полностью уравнение теплового баланса провода в случае вынужденной конвекции может быть записано следующим образом [4]:

где Тдоп — допустимая абсолютная температура токоведущей жилы; © — то же в °C; АР — потери

1 ' доп ' доп 1

активной мощности в проводе на единицу длины при допустимом токе и допустимой температуре (технически допустимые потери); Sus — тепловое сопротивление изоляции на единицу длины; 1доп — допустимый ток провода; г0 — погонное активное сопротивление при 0 °C; а — температурный коэффициент сопротивления.

Второе слагаемое в (5) представляет собой перепад температуры в изоляции провода А©из. Очевидно, что для верхней границы диапазона преобразования вполне достаточно лишь приближенного соответствия максимально допустимой температуре. Поэтому в расчетах можно принять некоторое постоянное типичное значение перепада температуры в изоляции. Расчет для проводов SAX разных сечений по данным [3] дает А©из = 6,7...10,2 °C. В качестве типичного значения можно принять 8°C. Тогда верхняя граница диапазона преобразования для изолированных проводов в окончательном виде равна

= Тдоп ~ Токр ~ 8 . (6)

АРо(і+а0ВЛеш)

+ кгпС0(т4

dnp |7ia

вне ш ®охр J *

1-Гвнеш окр) -^зФсолн]'

(13)

где авын — коэффициент теплоотдачи вынужденной конвекцией; еп — коэффициент черноты поверхности провода для инфракрасного излучения; С0 = = 5,67-10"8 Вт/(м2К4) — постоянная излучения абсолютно черного тела; © и © — температуры по-

1 внеш окр 1 ■' 1

верхности провода и окружающей среды в °С; Аа — поглощательная способность поверхности провода для солнечного излучения; qсолн — плотность потока солнечной радиации на провод; ёпр — диаметр провода; АР0'— потери активной мощности в проводе на единицу длины при ©внеш = 0 °С, равные

ЛРп=-

1-а/ r0Su

(14)

где I — ток в проводе.

Расписав в (13) Т4внешпо формуле (2) и произведя замену F на Н, после преобразований получим уравнение

А2(©

внеш ®окр

У+Ф

внеш ®окр

)+Д,=0, (15)

Для неизолированных проводов

^®д ~ Тдоп ТОКр ,

Условие преобразования F к H имеет вид

(7)

Здесь введены следующие обозначения:

Ап =єпСп| —АвІ+6Тп«„А@„+6Тґ

окр1-

локр

(16)

Д0„

i(H-F)2d(A0)=

9 0

Д@

Д©9

-I

9 0

м2а&2+м1а®+м0-

-Д04 -4ГоіфД03

i, (8)

где 5ск — среднеквадратичная разность функций Н и F. Минимум 5 определяется системой уравнений

5fe)_ 2 Д0 Г

8М2 Д0? J 0

5fe)_ 2 Л0 Г

1 Д0? J 0

sfe)_ 2 Д0 Г

О Д0д J 0

J Д0;

m2asz+m1a®+

+ Мо-Д04-4ГО1фД03

V

М2Д0 +МіД0 +

+ МП -Д©4 -4ТЛ„ПД©3 2

М2Д0 +>1^0 +

+м0

Д04 -4ГОКрД03

£і(Д0) = О, d(A0) = O, d{A0) = O. (9)

Произведя интегрирование и решив систему (9) относительно М2, М1 и М0, получим следующие формулы для коэффициентов аппроксимации:

12

7

М2 = — Д©„+6Г,

32

------і

35

12.

Щ = -—Щ-—токрА&

(10)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(11)

х|Г3 __?^Д03 --Т д@2 ^_ аАР0

локр 35 9 51OKpLSKJg I

nd

пр

Aq ■

ЕпСол®| ( З

j A®gr + T0Kp

Asq cojm APq (l + a® окр)

7t d

np

(17)

(18)

Уравнение (15) представляет собой уравнение теплового баланса провода, приведенное к квадратичному виду. Его решение имеет вид

©внеш ®окр

А\ — 4Aq А2 - Aj

2А,

(19)

Второй корень уравнения является посторонним, поскольку может давать © <© , что проти-

внеш окр

воречит физическому смыслу решаемой задачи.

Потери активной мощности на единицу длины провода равны

ДР = ДР,5(1+а©В1{еш). (20)

3. Анализ результатов. С практической точки зрения критерием эффективности проведенной аппроксимации является точность вычисления температуры провода и потерь активной мощности. Од-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013

Таблица 1

Результаты сравнительных расчетов потока теплового излучения провода

и < 10 20 30 40 50 60 70 80

О’л, 108К4 8,784 18,54 29,35 41,26 54,38 68,75 8 8 101,6

Qannр, 108К4 8,763 18,4 29,24 41,26 54,48 68,9 84,5 101,3

О!, 108К4 8,823 18,63 29,43 41,22 53,99 67,75 82,5 98,24

О2, 108К4 8,773 18,45 29,04 40,54 52,94 66,25 80,47 95,59

5аппр, % -0,24 -0,76 -0,37 0 0,18 0,22 0,024 -0,3

51, % 0,44 0,49 0,27 -0,097 -0,72 -1,45 -2,34 -3,31

32, % -0,13 -0,49 -1,39 -1,75 -2,65 -3,64 -4,75 -5,92

Таблица 2

Исходные данные для решения уравнений теплового баланса

Наименование и обозначение параметра Численное значение

Погонное активное сопротивление при 0 °С г0 0,000663 Ом/м

Тепловое сопротивление изоляции на единицу длины S|a 0,193566 мК/Вт

Температурный коэффициент сопротивления а 0,0043 °С-1

Диаметр провода 0,0127 м

Коэффициент теплоотдачи вынужденной конвекцией авьт 13,3764 Вт/(м2К)

Степень черноты поверхности провода еп 0,8

Поглощательная способность поверхности провода для солнечного излучения А5 0,9

Температура окружающей среды ©окр 0 °С

Плотность потока солнечной радиации ц 526,291 Вт/м2

Допустимая температура токоведущей жилы ©?оп 9 о С

нако эти величины зависят от многих факторов. Поэтому путем численного анализа трудно установить, насколько «типичны» получающиеся результаты. Чтобы исключить эти факторы, сначала проанализируем точность аппроксимации результирующего потока теплового излучения О , а точнее, величины

0>0л1К=Твпеш-Тскр.

(21)

Аппроксимированный аналог этой функции получается путем подстановки (2) в (21) и замены F на Н:

Оштр = (м2 + 6Т^У&2 + (м! + 47^0 + М0 . (22)

Имеет смысл дополнить анализ другими методами аппроксимации потока теплового излучения, приводимыми в [1] и [2]. Согласно [2], величина О'л заменяется функцией

02=тс

окр

4Д0 + 6

Л0

окр

(23)

В [1] приведена следующая формула для коэффициента теплопередачи излучением:

кл = 2,8[і00+0,б(Г-273)]і(Г2 ,

(24)

где Т — абсолютная температура провода; в [1] рассматриваются неизолированные провода, поэтому Т =Т.

внеш

По смыслу коэффициент теплопередачи излучением представляет собой отношение потока теплового излучения к площади поверхности провода и разности температур провода и окружающей среды:

кл =

Ол

яс/прД©

(25)

Из сравнения (1) и (13) следует, что Ал = жёп епС0 Тогда

. ЕпСоО'л

к, =-

Д0

(26)

Обозначим приближенный аналог величины 0'л, полученный согласно [1], как 01. Тогда из (26) и с учетом (24) получается

Уі_------------7г-------------

еп^0

(27)

Ниже приведены исходные данные для численного анализа.

Допустимая температура жилы Тдоп =363 К, что соответствует проводам с изоляцией из сшитого полиэтилена.

' ’ окр

Данное соотношение температур, строго говоря, справедливо только для изолированных проводов. У неизолированных проводов величина А©д должна быть несколько меньше. Тем не менее в дальнейшем для лучшей сравнимости результатов используется только А©9 = 80 °С. Это эквивалентно некоторому расширению диапазона аппроксимации для неизолированных проводов, что вполне допустимо при сравнительных расчетах.

В формулу (27) входит коэффициент черноты неизолированных проводов. Согласно [5, 6], для этих проводов 8п=0,6.

При этих условиях формулы (10) — (12) дают следующие значения коэффициентов аппроксимации:

М2 = 142971 К2,

М1 = -4692114 К3, М0 = 31670857 К4.

Результаты сравнительных расчетов потока теплового излучения представлены в табл. 1. Погреш-

Результаты решения уравнений теплового баланса

I, А 40 80 120 160 200 240

АР, кВт/км 1,109 4,537 10,6 19,91 33,41 52,58

АР, кВт/км 1,109 4,537 10,61 19,91 33,4 52,58

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5 (АР), % 0 0 0,094 0 -0,03 0

ности определения величин Оаппр, и О2 относительно О' обозначены соответственно 8 , 8, и 8.

л аппр1 1 2

Из таблицы видно, что погрешности аппроксимации теплового потока излучения предложенным методом не превышают долей процента. Методы [1] и [2] дают хорошие результаты при небольших температурах, однако при приближении температуры к допустимой их погрешности возрастают. Метод [2] дает максимальную погрешность, превышающую 5 %. Метод [1] приводит к меньшей погрешности, однако он не в достаточной мере учитывает температуру окружающей среды, и при других ее значениях погрешность метода [1] может быть существенно больше (например, при Токр = 255 К и А© = 80° С получается 81 =8 %).

Таким образом, разработанный метод аппроксимации дает высокую точность на всем диапазоне температур и может быть использован при расчете потерь энергии и выборе мероприятий по их снижению.

Методы [1] и [2] в целом также дают удовлетворительную с инженерной точки зрения точность. Тем не менее в определенных ситуациях, в частности при технико-экономическом обосновании ввода мероприятий по снижению потерь, их погрешности могут заметно сказаться на результатах расчета.

В заключение приведем результаты сравнительных расчетов температуры и потерь активной мощности по аппроксимированному уравнению (15) и исходному (13). Расчет температуры внешней поверхности провода и потерь мощности по аппроксимированному уравнению производился по формулам (19), (20). Температура токоведущей жилы определялась по очевидному выражению

®пр = ®внеш + АР ■ 5из . (28)

Расчет по уравнению (13) производился на основе решения этого уравнения методом последовательных приближений.

В качестве объекта вычислений выбран провод марки SAX-50. Исходные данные (за исключением тока) приведены в табл. 2, а результаты расчетов — в табл. 3. При этом введены обозначения 80пр и 8(АР) — абсолютная погрешность расчета температуры провода и относительная погрешность расчета потерь мощности по аппроксимированному уравнению (15) по сравнению с исходным уравнением (13).

Из таблицы видно, что погрешности практически отсутствуют. Следовательно, аппроксимированное

уравнение в рабочем диапазоне температур фактически эквивалентно исходному.

Примечание

1 Здесь подразумевается не тепловое излучение собственно провода, а результирующий поток энергии с учетом излучения окружающих тел.

Библиографический список

1. Поспелов, Г. Е. Влияние температуры проводов на потери электроэнергии в активных сопротивлениях проводов воздушных линий электропередачи / Г. Е. Поспелов, В. В. Ершевич // Электричество. — 1973. — № 10. — С. 81 — 83.

2. Основы кабельной техники / Под ред. И. Б. Пешкова. — М. : Академия, 2006. — 432 с.

3. Макаров, Е. Ф. Справочник по электрическим сетям 0,4 — 35 кВ и 110—1150 кВ. В 5 т. Т. 2 / Е. Ф. Макаров. — М. : Папирус Про, 2003. — 640 с.

4. Особенности моделирования электрических и тепловых режимов распределительных сетей в задачах расчета потерь электроэнергии / С. С. Гиршин [и др.] // Энергетика и энергосбережение : межвуз. тематический сб. науч. трудов / Омский государственный технический университет. — Омск, 2011. - С. 154-162.

5. Левченко, И. И. Нагрузочная способность и мониторинг воздушных линий электропередачи в экстремальных погодных условиях / И. И. Левченко, Е. И. Сацук // Электричество. — 2008. — № 4. — С. 2 — 8.

6. Зарудский, Г. К. Уточнение выражений для расчета температуры проводов воздушных линий электропередачи сверхвысокого напряжения / Г. К. Зарудский, С. Ю. Сыромятников // Вестник МЭИ. — 2008. — № 2. — С. 37 — 42.

ГИРШИН Станислав Сергеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

ГОРЮНОВ Владимир Николаевич, доктор технических наук, заведующий кафедрой «Электроснабжение промышленных предприятий», декан энергетического института.

КУЗНЕЦОВ Евгений Александрович, студент группы Э-419.

КАРПЕНКО Алексей Валерьевич, аспирант кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

Адрес для переписки: dima598@mail.ru

Статья поступила в редакцию 07.11.2012 г.

А. В. Карпенко

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 1 (117) 2013 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

Simplification of the heat balance of overhead power lines in the problems of calculation of the energy loss

Текст научной работы на тему «Упрощение уравнений теплового баланса воздушных линий электропередачи в задачах расчета потерь энергии»