CC BY
61
УДК 517:519.71; 62.50
УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ КАК СВОЙСТВО ИХ ТОЧЕЧНЫХ МОДЕЛЕЙ
В. В. Осипов
CONTROLLABILITY OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEMS AS PROPERTY OF THEIR POINT MODELS
V. V. Osipov
При анализе точечных моделей многомерных линейных динамических систем (стационарных и нестационарных) решена задача управляемости моделируемых объектов, которая непосредственно связана с положительной определенностью и невырожденностью системных матриц таких моделей.
In the analysis of point models of multidimensional linear dynamical systems (stationary and nonstationary) solved the problem of controllability of the modeled objects, which is directly connected with the positive definite and nondegeneracy system matrix of such models.
Ключевые слова: метод точечных представлений, точечное моделирование, многомерные нестационарные динамические системы.
Keywords: method of point representations, the point modeling, multidimensional nonstationary dynamical systems.
Пусть имеем линейную нестационарную динамическую систему:
йХ(т) + ТА(т)Х(т) = ТК(т) ■ и(т), (1)
й т
п фазовых переменных которой (п-вектор состояния
Х(т) = Со1оп[х-Дт),..х{^(т),..хп(т)]) оказываются ее
выходными переменными, а д-векгор
и (т) = Со1оп[и1(т), ..и (т),.. и (т)] является вектором
ее выходных сигналов (вектор-функции входа). Рассматриваются управляемые динамические системы, выходные процессы Х(т), в которых определяющие их динамику на отрезке [0, 1] безразмерного времени т (или [0, Т] времени t = Тт), возникают под воздействием входных сигналов и(т), т. е. управляются этими сигналами. Будем их называть управлением.
Возникает естественный вопрос: при каких условиях система будет обладать таким свойством, которое будем называть свойством управляемости или просто управляемостью [1].
Определение 1. Линейную систему (1) назовем управляемой на отрезке [0, т0] с [0, 1], если для всякого конечного состояния Х(т0) на этом отрезке существует управление и0(т), которое переводит систему из состояния покоя Х(0) = 0 в состояние Х(т0).
Выделим сразу множество линейных стационарных систем - частного случая нестационарных систем (1), когда матрицы А(т), (пхп) и К(т), (пхд) оказываются постоянными:
+ ТА ■ Х(т) = Т ■ К ■ и(т) ^
й т
т т
^ Х(т) + ТА^ Х(т)йт = Т ■ К^ и(т)йт.
0 0
Будем искать условия управляемости систем (1) на основе их точечных моделей, точнее, точечных моделей их эквивалентных интегральных уравнений вида (Х0 = 0):
т т
Х (т) + Т ^ А(т)Х (т)й т = Т ^ К (т)и (т)й т, (2)
о о
которые являются гомоморфными алгебраическими образами этих уравнений. Однако переход к точечным моделям требует несколько иного определения свойства управляемости уже на языке метода точечных представлений.
Для линейной динамической системы (2), точечная модель которой, ассоциированная с чебы-шевской Х-сеткой I рода, связывает блочные точечные вектора входа и выхода:
U(т) ——^—Un = Colon\u(x1w) )\-\U(tVn) )\-\U(tNN) )] a)
x(t) —^xn = Colon\х(t1n));•••;x(t(n));•••;x())] б)
в форме линейного преобразования
ХТI = Щ (А; КУ) ■ итI (4)
реализуемого блочной передаточной матрицей [2]:
щ А; ) = Т-1 [в ] ■ ^ [(Еп + х0 А )-1 ] ■ (5)
\ [(Еп + ^) ® Еп ] ■ DN [КV ]
может быть дано следующее определение свойства управляемости.
Определение 2. Линейную динамическую систему (2), имеющую точечную модель (4), назовем управляемой на отрезке [0, 1] безразмерного времени (или на отрезке [0, Т] для переменной ґ = 7т), если для всяких состояний Х(т^)) (V = 1, N), как
значений выходного п-мерного сигнала
Х(т), т є [0, 1] в узлах чебышевской Х-сетки I рода
2у___1 ----
Т^) = -------,(у = 1, N), т. е. для всякого выход-
V 2N
ного точечного вектора ХТ1 (3 б) существуют такие соответствующие д-мерные управления
и(т^)), (V = 1, N), образующие точечные вектора
входа ит 1 (3 а), которые переводят динамическую
систему из состояния покоя Х(0) = Х0 = 0 в любое из
заданных состояний Х(т^)) (и = 1, N), при любой
размерности чебышевской сетки.
Замечание. Управляемость всякой линейной динамической системы вида (2) означает и существование управления П(Г) = ЩТт), способного переводить систему и из состояния покоя Х(0) = 0 в некоторое конечное состояние Х(Т) за конечный проме-
жуток времени [0, Т] и удерживать ее в таком состоянии в последующее время. Но такое свойство может реализовываться лишь в асимптотически устойчивых системах. Таким образом, устойчивость системы вида (2) является необходимым условием для ее управляемости.
Используя это определение, найдем условие управляемости прежде для стационарной динамической системы (1) - более простого частного случая системы (2).Точечная модель такой системы [2]:
Хт і = WN (А; К) ■ и ті (6)
имеет более простую передаточную матрицу, которую представим в виде произведения двух блочных теплицевых матриц, одна из которых определяется только системной матрицей А, (пхп), другая только матрицей К, (пхд):
(7)
WN (А; К) = Т__ [ - В ]■ DN [(Еп + Х0 А)-1] ■ Х0[(Е„ + Я) ® Еп ](Еп ® К) =
= WN(А) ■ (Еп ® К) = WN(А) ■ DN[К],
где матрицы ШЫ(Л), учитывая перестановочность блочных теплицевых матриц, будет иметь представление: WN (А) = DN [(Еп + ХоА)-1 ] ■ Т_1 [ (-В) ] ■ Хо [(Еп + Я) ® Еп ]. (8)
Для матриц в ее составе найдем развернутые представления. Так, обращение матрицы ТЛ^(-Я)] дает для
матрицы Т_1 [ (-В) ]:
N - 1
Т—1 [(-5)] = { [(-В)]} = {п + [ ® (-В)I}1 = £ (-1)" [ ® (-В)] =
у = 0
N - 1
= £[ ^ ® (-1Г (-вг ] =
V = 0
Ем
-(-В) ЇЇ ' N ;
(-вУ 1 т
(-1 п-ву ... ; {-ву -{-В) \ Ем
і і і і і і
(-1 )ЛГ-1(-5)ЛГ-1 - ; < им />’)' ... ( /,>>' ( В)]'-'
(9)
В компактной записи для нулевых степеней предполагается, что 20 = ЕЫ; (-В)0 = Еп ^ [7.0 ® (-В)0] = = (ЕЫ® Еп) = = ЕЫп. Символом (-В) обозначен дробно-рациональный матричный блок:
(-В) = 1п + А! = Е + ^0АГ1 (Еп - ^0А) =
Еп + ^0А = (Еп - ^0А )(Еп + ^0А )-1> (пхп)-
Обратную матрицу (Еп + Х0А) 1 часто удобно представлять в виде дробно-рациональной функции матрицы А (пхп) с положительным параметром Х0 = Т/2Ы > 0, полагая:
(Е + Х0А) 1 =----------п--- (пхп).
V п 0 ’ Е + Х0 А п0
Тогда квазидиагональная матрица _ОЫ[(Еп + Ж4)-1] в (7) и (8) запишется в виде:
Еп . . Еп . . Еп
DN [(Е„ + V) ] = Огад
Еп + ^0А Еп + ^0А
(10)
Для последней блочной матрицы в произведении (8) будем иметь:
[(Еп + *)® Еп ]=(Еп ® Еп ЫЕ ® Еп ) =
(11)
Подставим теперь в (8) найденные явные представления матриц (9), (10) и (11) и осуществим операции матричных умножений. При этом возникают следующие преобразования блочных матричных элементов:
[ (_1Г (_ВГ + (_1Г_ ■ (_ВГ_ ] = (_1)V_ ■ (_в)V_ [_(_в) + Еп ] =
= (-1Г-1 ■ (-в)
V-1
Еп Х0А
Еп + Х 0А
Еп
= (-1Г-1 ■ (-В)
V-1
которые и определят блочные элементы результирующей матрицы №Ы(А) (8):
Еп
WN (А) =
Е
Е
Х0 А
2Х0 А
Еп + Х0А
2Х 0(-1)п-1(-В)п-1 А
Еп
2Х 0 А
Е
Е
Х0 А
Е
2Х0 (--2(-В)N-2 А
2Х0(-1)П-1(-В)п-1 А
2Х0 А
Е
Х0 А
Е
Е
(12)
В связи с представлением (7) для передаточной матрицы в стационарном случае динамической системы ее точечная модель (6) может быть записана в виде:
ХтI = WN(А;К) ■ итI = WN(А) ■ DN(К) ■ итI, (13) где квазидиагональная матрица БЩК) (ЫдхЫд) имеет прямоугольную матрицу К (пхд) в качестве своих блочных элементов:
DN(К) = (Еп ® К) = Dгag[К1--1К1-1К]. (14)
Если матрица (Еп + Х0А) (пхп) при всяких положительных значениях параметра Х0 = Т/2Ы окажется невырожденной, то будут существовать все блочные элементы матрицы №N(4) (12), и она также окажется невырожденной и, следовательно, для всяких Х0 > 0 будет существовать обратная матрица:
^(А) = Х- [п + Я) Еп ] ■ (15)
■ТN [(_В) ] к [(п + Х0А )].
Поэтому точечная модель (13) может быть представлена в форме следующего векторно-матричного равенства:
А) ■ ХтI = DN (К) ■ итI. (16)
Теперь, на основе известных положений обычной линейной алгебры, может быть доказана следующая теорема об управляемости линейных стационарных динамических систем.
Теорема 1. Если матрица А (пхп) стационарной динамической системы (1) положительно определена [3], а матрица К (пхд) (д > п) имеет ранг п, то такая система с точечной моделью (13) окажется управляемой на [0, Т]. При этом ее передаточная матрица №Ы(А; К) (7) при любых N будет иметь ранг Ып, равный размерности точечного вектора выхода
ХТI.
Доказательство. Положительная определенность матрицы А означает отрицательность вещественных частей собственных значений матрицы (-А), т. е. устойчивость динамической системы (1) - необходимого условия ее управляемости [3]. Это также означает положительную определенность матрицы (Еп + Х0А) (пхп) при любых Х0 = Т/2Ы > 0 (т. е. любых N при фиксированных Т), т. е. означает выполнение условия теоремы о существовании передаточной матрицы №Ы(А; К) в точечной модели (6) динамической системы в рассматриваемом случае. Что означает также невырожденность матрицы
WN(A) (12) и существование обратной матрицы WN-1(A) (15).
Введем блочный вектор
YT! = W/(A) ■ хгJ, (17)
который будет однозначно определен для всякого заданного вектора ХТj и запишем точечную модель (16) в виде линейного уравнения для блочного вектора управления UTj с системной матрицей X0DN(K) (NnxNq) и правой частью (17), т. е. в виде Dn (K) ■ Ut! = Yt! = WNX(А) ■ Хтj. (18)
Это уравнение окажется совместным, т. е. будет иметь решение UTj, если его системная матрица
DN(K) (NnxNq) (14) будет иметь ранг Nn. Последнее будет наблюдаться лишь тогда, когда все блочные элементы этой квазидиагональной матрицы, т. е. матрица K (nxq) будет иметь ранг п, что возможно,
если q > п, т. к. Rang (K) < min(n, q). Решение ока-
жется единственным, если матрица K ранга п окажется квадратной (q = n), т. е. невырожденной.
Таким образом, если выполняется и второе условие теоремы 1 относительно ранга матрицы K (nxq), то для всякого однозначного заданного вектора Хт j существует вектор управления UT j и, значит, по определению 2 стационарная динамическая система с точечной моделью (13) окажется управляемой на временном отрезке [0, T].
Точечную модель (6) (или (13)) запишем в виде уравнения для вектора UTj с системной матрицей
WN(A; K) (7) и правой частью Хт I:
WN (A; K) ■ Ut j = Хт j.
Это уравнение эквивалентно уравнению (18), поэтому оно также совместно и, следовательно, его системная матрица, а это передаточная матрица WN(A; K) (NnxNq) рассматриваемой динамической системы, будет иметь ранг Nn, равный размерности вектора Хтj. Теорема доказана.
Логика доказательства теоремы об управляемости динамической системы частного вида, основанного на известных положениях линейной алгебры и само определение понятия управляемости линейной динамической системы общего вида со всей очевидностью показывает, что свойство управляемости линейной динамической системы, описываемой функциональным уравнением (2), есть, в сущности, свойство ее точечной модели (4), как линейного уравнения для точечного вектора управления UTj при любых N иметь решение (в общем случае - множество решений) для любого заданного вектора Хтj с конечной нормой.
Имеет место следующий общий факт, который сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема 2. Если ранг передаточной матрицы WN(Av; Kv) (q > п) (5) линейной динамической системы (2) при любых N будет равен Nn, то такая система окажется управляемой на отрезке [0, T].
Доказательство. Утверждение теоремы становится очевидным, т. к. оно, в сущности, устанавливает хорошо известный факт о том, что линейное алгебраическое уравнение (4)
WN (Аv; КV) ■ иТI = Хт I относительно вектора итI с системной матрицей №Ы(Ау; Ку) (ЫпхЫд) (д > п), окажется совместным, т. е. будет иметь решение итI при любой заданной
правой части ХтI и любых Ы, если его системная матрица будет иметь ранг Ып, совпадающий с размерностью блочного вектора ХТI .
Отметим, что в доказательстве теоремы 1 об управляемости динамических систем частного вида фактически строго доказан именно этот факт. На этом доказательство можно закончить.
Утверждение теоремы 2 может рассматриваться как факт, характеризующий полностью и само понятие управляемости линейной динамической системы общего вида (2). Очевидно, свойства системных матриц А(т) (пхп) и К(т) (пхд) нестационарной динамической системы (2), как и в стационарном случае, будут определять свойства ее точечной модели (4), т. е. свойства ее передаточной матрицы №Ы(Ау; Ку) (5). В частности, для этих матриц могут быть указаны условия управляемости динамическими системами типа (2).
Может быть доказана следующая теорема, обобщающая теорему 1 на этот более общий тип динамических систем.
Теорема 3. Если матрица А(т), (пхп), т е [0, 1] нестационарной динамической системы (2) будет положительно определенной, а ее матрица Ку(т), (пхд), (д > п), т е [0, 1] будет иметь ранг п, то передаточная матрица №Ы(Ау; Ку) (ЫпхЫд) (5) такой системы при любом Ы будет ранга Ып, совпадающего с размерностью блочного вектора ХтI, и система
окажется управляемой на отрезке [0, Т] (по времени г = Тт).
Доказательство. Сводится к установлению того факта, что при выполнении указанных условий передаточная матрица №Ы(Ау; Ку) (5) динамической системы (2) будет иметь ранг Ып. Приведем соответствующие рассуждения, повторяя, по существу, логику доказательства теоремы 1. Представим прежде передаточную матрицу №Ы(Ау; Ку) в виде:
WN А;КV) = WN А) ■ DN(КV), (19)
как это было сделано в стационарном случае (см. (7)). Теперь, однако, будем иметь:
^ (А) = ^ [(Еп + Х- А Г1 ]■ (20)
■Т_ [ В И (Еп + Я® Еп ] Х0
и
DN(КV) = Dгaд[Кх ] (21)
Невырожденность блочных матриц Т_1 [ Вv ]
и БЫ[(Еп + Х0Ау)-1] гарантируется при выполнении условия положительной определенности матрицы
А(т), т е [0, 1] и матриц (Еп + Х0Ау) (V = 1, N) при всех Х0 = Т/2Ы > 0 [2]. Это означает, очевидно, и невырожденность матрицы №Ы(Ау) (20) и существование обратной ей матрицы WN1 (Аv), а также, что
точечная модель (4) нестационарной динамической системы (2), согласно (19), может быть представлена в следующем эквивалентном виде, подобном виду (16) для стационарного случая:
ХтI = WN (Аv_Kv) ■ йтI ^ _ (22)
^ W-1(Аv) ■ ХтI = DN(КV) ■ итI.
Или в виде линейного уравнения для блочного вектора управления итI с системной матрицей БЫ(Ку) (21) и вектором правой части
WN¡1 (А ) ХтI, который однозначно определен заданным вектором состояния Хт I, т. е. представлена в виде:
DN (КV) ■ иТI = W-1(Аv) ■ ХтI. (23)
Это уравнение окажется совместным, т. е. будет иметь решение итI, если его системная матрица
БЫ(Ку) (21) будет иметь ранг Ып, совпадающий с размерностью блочного вектора правой части. Последнее будет иметь место лишь тогда, когда все Ы матричных блок-элементов Ку (пхд), (д > п),
(V = 1, N) системной квазидиагональной матрицы
БЫ(Ку) (21) будет иметь ранг п. Заметим, что решение окажется единственным, если матрицы
К = К(^)) (V = 1,N) ранга п окажутся квадратными (д = п) и, следовательно, невырожденными. Уравнение (22), как уже отмечалось, эквивалентно уравнению (23). Оно также совместно при всяких Ы и, следовательно, его системная матрица №Ы(Ау; Ку) (ЫпхЫд), а это - передаточная матрица линейной нестационарной системы (2), будет иметь ранг Ып, совпадающий с размерностью блочного вектора ХтI правой части, что и доказывает управляемость системы на временном отрезке [0, Т].
В заключение сделаем несколько следующих замечаний.
Замечание 1. Если нестационарная динамическая система (2) с точечной моделью (22) (или в эквивалентном виде (23)) управляема, то существуют такие управления П(т) т е [0, 1] и их точечные представления ит I, которые способны на отрезке [0, 1] (т. е. за время [0, Т]) перевести систему из некоторого начального состояния Х(т^)) (это первая блочная компонента точечного вектора состояния Хт I) в состояние покоя Х(0), точнее, в конечное состояние Х(т^)), близкое к Х(0) = 0 (это последняя блочная компонента вектора ХтI), причем при наличии множества различных других промежуточных со-
стояний
Х(т^)), (V = 2,(N _ 1)). Такие
точечные
управления итI могут быть найдены как решения совместного уравнения (23) при заданном векторе состояния ХтI.
Замечание 2. Выделим случай, когда д = п, т. е. когда совпадает число входов и выходов, совпадающих с числом фазовых переменных, у линейной динамической системы (управляемого объекта, описываемого дифференциальным уравнением (1) или интегральным (2)). В этом случае будем иметь п-вектор функции Х(т) и П(т) и квадратные матрицы А(т) и К(т) одинаковой размерности (пхп). Блоки точечных представлений входа итI и выхода ХТI окажутся одинаковыми, как п-векторные значения и (т^)) и Х (т^)) ,(v = 1, N), полученные в узлах
чебышевской Ы-сетки I рода. Одинаковыми окажутся и размерности (пхп) матричных блоков
А (т^)) = А^, и К (т^)) = Кv для всех V = 1, N, а
передаточная матрица в точечной модели (4), определяемая формулой:
WN (Аv ; Kv ) = т_ [ Вv ] ■ ^ [ (Х0 Аv + Еп )_ ] ■
■Х0 [(Еп + Я) ® Еп \ DN [КV ]
окажется квадратной размерности (ЫпхЫп) и если динамическая система управляема, то, согласно теореме 2, эта матрица будет иметь полный ранг Ып, т. е. окажется невырожденной. Она окажется и блочной нижнетреугольной матрицей и тёплицевой - в стационарном случае.
Замечание 3. Отметим следующую особенность матричных произведений в точечных моделях линейных динамических систем. Так, рассмотрим произведение матриц в представлении передаточной матрицы (ПМ) точечной модели (22) линейной нестационарной динамической системы:
Х0Т\т1 [В ] ■ DN [ (Х0А + Еп) 1 ] ■
■[ (Еп + Я® Е„ ]DN [ Kv ] = ^ (А;КV).
Если отдельные блочные матрицы - сомножители в произведении (24) рассматривать в роли ПМ точечных моделей отдельных динамических звеньев, то при схемном (графическом) представлении всей точечной модели системы будем иметь последовательную цепочку этих динамических звеньев, причем порядок их следования окажется обратным порядку следования их ПМ в произведении (24). Покажем это.
Прежде отметим, что все блочные матрицы в произведении (24) оказываются квадратными размерности (ЫпхЫп), за исключением последней матрицы БЫ[Ку] (ЫпхЫд). Такую же размерность будет иметь и ПМ №Ы(Ау; Ку) (24).
Введем динамические звенья с передаточными матрицами - сомножителями из произведения в (24):
(24)
Вестник КемГУ
№ 4 (48) 2011
^ [ Ку ]■ ип = Щ ■ ит і = ^;
[ + *) ® Еп ]1 = Ж* ■ Х1 = Х2;
^ [ (Еп + ХА)-1 ]Х2 = Щ3 ■ Х2 = Хз;
V- [Вv ]Х з = Ж4 ■ Хз = Хт і;
б)
в)
г)
(25)
Очевидно, теперь точечная модель (24) может быть записана в виде:
WN (А К) ип =W4 ■ W3 ■ ^2 ■И! и-п = Хп, (26)
т. е. ее ПМ получит представление WN А; Kv) = W4 ■ Ж? ■ W2 ■ W1, (27)
которое будем иметь, если последовательно будем исключать промежуточные сигналы «вход - выход» введенных динамических звеньев (9). Возникает следующая процедура с соответствующими схемными иллюстрациями.
Умножим обе стороны равенства (25 а) - точечные модели 1-го динамического звена, на №2 - передаточную матрицу 2-го звена (25 б) и, учитывая равенство (25 б), получим:
Х1 =
- (28) = Х2; ^ ——-^|Щ ——— Щ ——— •
Следующий шаг: умножим возникшее равенство в (28) на Ш3 - ПМ динамического звена (25 в). В результате будем иметь:
Щ3 -Ж ■Ж ■иТ1 = ЩзХ = (7Ч)
(29)
X,
—.
X,
= X, ^———
Наконец, умножая (29) на матрицу Ш4 и учитывая (25 г), найдем:
щ ■и, ж ■Щ= Хт, ^
—.
Хз
йт
■ + Т ■ А(т) Х(т) = Т ■ К(т) ■ и(т); а)
у(т) = Х(т) • 6)
(30)
переменных), который линейным преобразованием, осуществляемым матрицей С(т)(т х п), определяет
г-вектор выхода 7(т), причем г < п. Соответствующая точечная модель такой динамической системы, как ее гомоморфный алгебраический образ, представляется равенствами [2]:
WN (Ау ; Kv )иТ1 = ХТ1; а) 1
DN (Су ) ХТ1 = УТ1, б) [
(31)
т. е. получим точечную модель (26) рассматриваемой динамической системы с ПМ (27), которая схемно представляется в виде последовательной цепочки динамических звеньев, соединенных в обратном порядке по сравнению с порядком следования их ПМ в произведении (27), образующей ПМ динамической системы. Отметим, что для управляемой динамической системы с точечной моделью (26) и с ПМ (27) ранга Ып, введенные динамические звенья (25) также окажутся управляемыми, и ранги их ПМ также будут равны Ып.
Замечание 4. Отметим более общий и практически важный случай, когда число выходных переменных линейной динамической системы не равно числу ее переменных состояния. В этом случае система описывается уравнениями: йХ(т)
где WN (Ау; Ку) ^п х Щ) есть прежняя ПМ (27)
для Ып - вектора состояний ХТ1, а квазидиагональ-ная матрица
^(Су) = ^ [СтГ))] =
= Diag[С ■ ■ ■■ Су : ■ ^ ](Ш х Ш) с блоками-элементами С (г х п) (у = 1, N) связывает точечный вектор состояний ХТ1 с Ыг - вектором выхода УТ1.
Умножим обе стороны равенства (31 а) на матрицу DN (С ) (31 б) и, учитывая (31 б), получим точечную модель связи «вход-выход» для динамической системы (30):
DN (Су) ■ WN (Ау; Ку) ■ = Ут! (32)
с ПМ
DN(Су) ■ WN(А; Ку)(№ х Щ). (33)
Ее схемное представление изображено на рис 1.
ии
ЩАК
Хи
ЩЦ,
Уи
Пусть по-прежнему, д - размерность векторного сигнала входа и(т) (вектора управления), а п - размерность вектора состояний Х(т) (число фазовых
Рис. 1.
Обращает на себя внимание отмеченный ранее факт взаимно-обратного порядка следования отдельных динамических звеньев в схемном представлении и в следовании их ПМ в произведении (33), образующем ПМ модели (32). И еще одно: для динамической системы (31), управляемой по выходу, ранг ее ПМ (33) должен быть равен Ыг - размерности вектора выхода УТ1, а это означает, что ПМ, образующие ПМ (33), должны иметь соответствующие ранги.
Замечание 5. Утверждения всех ранее доказанных теорем относительно управляемости различных линейных динамических систем как свойства их точечных моделей ассоциированных с чебышевской
Ы-сеткой I рода, непосредственно распространяются и на их точечные модели, ассоциированные с чебы-шевской 2Ы-сеткой II рода, с передаточными матрицам W2N (Л; Kk) .
Необходимо лишь в соответствующих утверждениях и выкладках Ы заменить на 2Ы, а вместо ранга Ып передаточных матриц WN (Aу; Ку) указывать ранг 2Ып передаточной матрицы W2N (Ак; Кк), равный размерности точечного вектора выхода хТ^ ). Для этого варианта точечной модели динамической системы окажутся справедливыми и все предыдущие замечания.
Литература
1. Директор, С. Введение в теорию систем /
С. Директор, Р. Рорер; пер. с англ.; под ред. Н. П. Бусленко. - М.: Мир, 1974. - 464 с.
2. Осипов, В. М. Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений / В. М. Осипов, В. В. Осипов. - М.: МАКС-Пресс, 2005. - 296 с.
3. Осипов, В. М. Положительная определённость и положительность функций. Элементы теории и некоторые приложения / В. М. Осипов, В. В. Осипов. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2008. - 415 с.
