Управление траекторным движением многоканальных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62.50

А. Б. Бушуев, Е. Г. Исаева, С. Н. Морозов, С. А. Чепинский

УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ МНОГОКАНАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Синтезирован алгоритм управления движением по заданным траекториям многоканальных объектов относительно гладких кривых пространства выходных переменных на основе метода преобразования координат и динамических свойств подвижного базиса поверхности. Приводятся примеры движения вдоль плоских типовых траекторий (прямой, окружности).

Ключевые слова: движение многоканальных объектов по траектории, метод преобразования координат, синтез алгоритма управления.

Введение. Развитие робототехники связано с реализацией нетривиальных движений автономного робота, находящегося в сложном окружении. Действия многозвенного манипулятора должны быть одновременно подчинены внешним требованиям, связанным с текущим состоянием окружающей среды и с имеющейся в распоряжении визуальной или контактной информацией о взаимодействии с объектами ближайшего окружения.

Движение динамической системы вдоль кривых, гиперповерхностей и других нетривиальных геометрических объектов (подмногообразий) обеспечивает достижение целого ряда полезных свойств проектируемой системы: оптимизацию процессов управления, компенсацию влияния внешних возмущений, робастные свойства системы, декомпозицию модели и согласование выходных переменных [1, 2].

Настоящая статья посвящена вопросам управления движением по траектории двузвен-ного маятника и трехзвенного манипулятора с вращательными парами в случаях, когда цель управления формулируется заданием аналитического описания кривой и желаемой динамики продольного движения в пространстве выходных переменных системы. Рассматриваемая проблема может быть отнесена к частным задачам стабилизации систем относительно нетривиальных пространственных объектов (аттракторов) или задачам согласования выходных переменных многоканальных динамических систем.

Модели механизмов и постановка задачи. Рассмотрим динамику трехзвенного манипулятора (рис. 1), описываемого в пространстве обобщенных координат уравнением типа Ла-гранжа:

Ч = ш, Л(ч)ш+Ъ(Ч, ш)+С(Ч) = и, (1)

где ч = (д1,Чз) — вектор обобщенных координат, и = («1,«2,щ) — вектор управляющих моментов, развиваемых приводами манипулятора. Допустим, что все звенья имеют одинаковую массу и длину: ^ = ^ = тз = т, Ь = Ь = Ьз = Ь [3, 4].

Динамика двузвенного маятника (рис. 2) описывается уравнением (1), где ч = 42), и = (и1,0), Ь1 = Ь2 = Ь .

2

В декартовом пространстве Я положение последнего звена характеризуется вектором У = (У1, У2) и определяется уравнением:

У = КЧ)- (2)

Уравнения (1), (2) описывают механизм как многосвязный нелинейный объект управления с выходными переменными у, переменными состояния ч, ш и управляющим воздействием и.

У2 1

У2

У1

У1

Рис. 1

Рис. 2

Рассмотрим движение конечного звена многозвенного механизма. Пусть желаемая

*

траектория $ (рис. 3, здесь е — ортогональное отклонение от траектории, У — текущая координата конечного звена механизма) определяется выражением

Ф(У) = 0, (3)

а длина пути (продольное перемещение) находится как

^ = У(У). (4)

Нужный режим изменения продольной переменной s(t) может быть задан с помощью воздействия Sd(t).

У1

Рис. 3

Предполагается, что функции ф и у — гладкие и выбраны таким образом, что при У е $ матрица Якоби

Т * =

тТ

Т1

т2

ду / су

дф / дУ

(5)

ортогональна. Матрица Т определяет связанный с траекторией подвижный базис, в котором Т1 является касательным вектором, а Т2 — ортогональным.

Основная задача управления движением механизма по заданной траектории формулируется с помощью голономных соотношений (условий координации) декартовых координат конечного звена У, которые должны выполняться в процессе его движения и вводятся уравнением (3).

Введем в рассмотрение задачно-ориентированные координаты, представленные продольной переменной ^ (4) и ортогональным отклонением конечной точки от кривой, заданной выражением (3):

е = Ф( У). (6)

Тогда задача управления сводится к стабилизации движения робота, при котором

^ = sd (О, е = 0, 5 = 0, (7)

где е — ортогональное отклонение конечной точки звена механизма от кривой; 5 — угловые отклонения конечного звена.

Тождество е(^) = 0 соответствует желаемому поведению системы, когда ее траектория У(^) целиком лежит на заданной желаемой траектории $*. Достижение асимптотической устойчивости такого движения является основной задачей управления. Другая задача касается управления продольной динамикой системы s(t). При этом в примере с двузвенным маятником возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности управления малоприводными механизмами [5, 6].

Исходя из этого общую задачу управления движением по заданной траектории, представленную (7), можно разбить на две самостоятельные задачи обеспечения:

— желаемой продольной динамики, т.е. поддержания заданного закона изменения переменной ^);

— локальной аттрактивности $, т.е. для траекторий, начинающихся вне желаемой кривой $, необходимо обеспечить приближение конечного звена механизма к $, т.е. е ^ 0 при I.

Анализ динамики и синтез управления. Общая процедура построения алгоритма управления движением по заданной траектории включает в себя следующие этапы:

— преобразование описания модели объекта управления с помощью вектора обобщенных координат к декартовым координатам;

— переход от декартовых координат к задачно-ориентированным: ^ (длина пути) и е ;

— введение в рассмотрение новых задачно-ориентированных входных переменных и5 ( — в случае с маятником) и ие ;

— синтез регулятора, решающего указанную выше задачу.

Продифференцировав по времени уравнение (2), можно отыскать связи декартовых и обобщенных скоростей в виде

У = Сч (ч)Ч , (8)

где Сц (ч) = Н (ч) = дИ / дц.

Преобразование к задачно-ориентированным координатам осуществим, продифференцировав (4), (6):

= Т * у. (9)

*

Свойство 1. Для у е £ матрица Якоби Т (5) удовлетворяет уравнению типа Френе [5]

Г* = И£ДТ *, (10)

где — кривизна траектории, заданной выражением (3), Е = Подставив уравнение (8) в (9), получим

= Т*С--.

0 1 -1 0

(11)

Продифференцировав (9) и используя свойство 1, можно доказать следующее положение. Свойство 2. В малой окрестности установившегося решения ' = (^), е = 0 система (1),

(2) принимает вид

-

= Т

С-Ч+счЛ(Ч) l(-Ъ(q, -)-с(ч)+и)

(12)

Введем в рассмотрение задачно-ориентированные управления и5 и ие и выберем закон управления в виде [7]

и = Ъ(ч, Ч)+с( ч)+ЛС- -СЧЧ+и

-

где и — вектор пространственного управления, оп

ределяемый как

и = Т

-1

и,

и.

ис

и

= Т

С--+С-Л(-) 1(-Ъ(q, -) - с(-)+и)

Получаем слабосвязанные модели продольного движения и траекторных ошибок

и'

- ^ = Л

е е ие

(13)

(14)

(15)

(16)

или раздельно

'=£(')' е+и, (17)

е-='2 £(')+ие. (18)

Для того чтобы стабилизировать решение (3), сигналы управления ие и и3 вырабатываются регуляторами [8]

р1 : ие = (')2 ке 1е-ке2е , Р2 : из = к' 1А'+к'2 А' , (19)

где А' = -' — продольная ошибка.

Выбор коэффициентов усиления ке1, ке2, к^ , к52 осуществляется из условия асимптотической устойчивости модели (17), (18), что обеспечивает точность и желаемые динамические показатели движения по заданной траектории.

Общий алгоритм управления роботом находится из уравнения (15) и принимает вид

и = Ъ(ч, -)+с(-)+Л(-)С,

-1

-С-Ч+Т

*Т

(20)

е

Результаты моделирования. Синтезирована система управления механизмом при его движении по заданной прямой S:

S: cos a y1 + sin а y2 0 = (21)

где а = -0,785, у0 = 4,5.

Синтезирована система управления механизмом при его движении по отрезку окружности S с радиусом R:

S: ¿(R2-Ayf -Ay2 ) = 0,

(22)

где Ду = У1 - У01, АУ2 = У2 - У02 , У01, У02 — координаты центра окружности, R = 2,4.

Трехзвенный манипулятор. Результаты моделирования движения трехзвенного робота-манипулятора по заданной прямой £ приведены на рис. 4.

На рис. 5 представлены результаты моделирования системы при ее движении из различных начальных положений.

Результаты моделирования движения трехзвенного робота-манипулятора по отрезку заданной окружности приведены на рис. 6.

На рис. 7 представлены результаты моделирования системы при ее движении из различных начальных положений.

У2

-1

-1 0

1 2

Рис. 4

3 У

У2 3

2 1

0 -1

-1

1 2

Рис. 5

3 y1

У2

0 -1

-3 -2

-1 0 Рис. 6

1 y1

y2 2 1 0 -1

-2

-3 -2 -1

0 1

Рис. 7

У1

Двузвенный маятник. Результаты моделирования движения двузвенного маятника по заданной прямой приведены на рис. 8 ( а — угловое отклонение от заданной прямой).

2

1

0

0

2

1

2

Результаты моделирования движения двузвенного маятника по заданной окружности приведены на рис. 9.

Рис. 8 Рис. 9

При этом в случае двузвенного маятника возможность управления продольным движением отсутствует, что и определяет основные особенности данной задачи.

Результаты моделирования рассмотренных систем для различных начальных положений звеньев показывают хорошую сходимость траекторий к заданным траекториям и асимптотическую устойчивость систем.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № МК-3486.2009.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Miroshnik I. V. and Nikiforov V. O. Trajectory motion control and coordination of multilink robots // 13 th IF AC World Congress. San-Francisco, 1996. Vol. A. P.361—366.

2. Miroshnik I. V. Attractors and partial stability of nonlinear dynamical systems // 5th IF AC Symp. on Nonlinear Control Systems (NOLCOS'01). St. Petersburg, 2001. Vol. 3. P. 848—853.

3. Miroshnik I. V., Chepinsky S. A. Trajectory control of underactuated mechanisms // 2nd IFAC Conf. on Mechatronic Systems. Berkley, 2002. P. 46—51.

4. Chepinsky S. A. Trajectory control system for two-link underactuated mechanisms // 9th Int. Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad). St. Petersburg, 2002. P. 15—19.

5. Miroshnik I. V., Chepinsky S. A. Trajectory motion control of underactuated manipulators // 7th IFAC Symp. on Robot Control. Wroclaw, Poland, 2003. P. 78—82.

6. Зенкевич С. Л., Ющенко А. С. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

7. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Управление многозвенными кинематическими механизмами // Науч.-технич. вестн. СПбГИТМО (ТУ). Вып. 3. Физические процессы, системы и технологии точной механики. 2002. С. 144—149.

8. Мирошник И. В., Чепинский С. А. Траекторное управление кинематическими механизмами нетривиальной конструкции // Науч.-технич. вестн. СПбГУИТМО. Вып. 14. Информационные технологии, вычислительные и управляюшие системы. 2004. С. 5—10.

Сведения об авторах

Александр Борисович Бушуев — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный уни-

верситет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: bushuev@inbox.ru

56

Р. А. Алексеев, Ю. П. Котельников

Елена Геннадьевна Исаева — аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет ин-

формационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: isaeva_elena@inbox.ru Сергей Николаевич Морозов — студент; Санкт-Петербургский государственный университет инфор-

мационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: sirozha_86@mail.ru Сергей Алексеевич Чепинский — канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: chepinsky_s@hotmail.com

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

систем управления и информатики 01.07.09 г.

УДК 681.5(045)

Р. А. Алексеев, Ю. П. Котельников

ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ДВИЖЕНИЕ ДВУНОГОГО ШАГАЮЩЕГО РОБОТА

В САГИТТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассматривается задача синтеза комфортного движения корпуса двуногого робота путем задания в декартовых координатах программных траекторий таза и стоп и предлагается аналитический подход к получению задающих воздействий на приводы исполнительного механизма.

Ключевые слова: кинематическая цепь, комфортное движение, программные траектории, прямая и обратная задачи кинематики, центр инерции.

Введение. Для программирования движений двуногого шагающего робота (ДШР) необходимо задать либо согласованные (в смысле физической реализуемости кинематической схемой) траектории всех звеньев механизма в обобщенных координатах [1], либо программные траектории некоторых звеньев механизма в декартовых координатах [2—5]. Вычисление на их основе задающих воздействий (ЗВ) на приводы исполнительного механизма (ИМ) составляет обратную задачу кинематики (ОЗК), решение которой неоднозначно для механизмов с числом звеньев более одного [4, 6—9].

В настоящей работе предложено аналитическое решение ОЗК методом разделения ее на составляющие частные ОЗК двузвенных механизмов (двузвенников), для которых известен закон движения в декартовых координатах, с последующим нахождением ЗВ по теореме косинуса для треугольников, образованных этими двузвенниками.

Постановка задачи. Для заданного ДШР, кинематическая схема которого приведена на рис. 1, необходимо обеспечить движение таза в сагиттальной плоскости. Рассмотрим решение поставленной задачи для случая, когда в декартовых координатах заданы программные движения корпуса и маховой стопы, по которым следует определить программные задающие воздействия на приводы ИМ, обеспечивающие движение таза на высоте Ъ0{() над опорной поверхностью со скоростью У(1), в частности, комфортное движение таза, если значения И0 и V постоянны.

Фазы и параметры движения ДШР. Пусть движение ДШР [3, 10, 11] включает следующие четыре фазы (см. рис. 1, здесь и далее на рисунках правая нога обозначена сплошной линией, левая — штриховой):