CC BY
194
УДК 371
Nurmagomedov D.M., Cand. of Sciences (Pedagogy), Professor, Department of Theoretical Bases and Technology Elementary Mathematical Education, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: dibir52@mail.ru Arslanalieva D.I., postgraduate, Department of Theoretical Bases and Technology Elementary Mathematical Education, Dagestan State Pedagogical University (Makhachkala, Russia), E-mail: dibir52@mail.ru
REASONINGS IN INITIAL COURSE OF MATHEMATICS. The article notes the necessity and the possibility of forming various types of inferences (induction, deduction, analogy) in the process of teaching the mathematics of junior schoolchildren. The positions, types of activity of the teacher and students, underlying the development of the system of exercises and tasks, focused on the formation of skills to draw conclusions, are determined. Examples of inferences in the process of studying various sections of the initial course of mathematics are given.
Key words: inference, induction, deduction, analogy, general premise, private premise, conclusion.
Д.М. Нурмагомедов, канд. пед. наук, проф. каф. теоретических основ и технологий начального математического образования, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: dibir52@mail.ru Д.И. Арсланалиева, соискатель каф. теоретических основ и технологий начального математического образования, Дагестанский государственный педагогический университет, г. Махачкала, Е-mail: dibir52@mail.ru
УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
В статье обосновывается необходимость и возможность формирования различных видов умозаключений (индукции, дедукции, аналогии) в процессе обучения математике младших школьников. Определены положения, виды деятельности учителя и учащихся, лежащих в основе разработки системы упражнений и заданий, ориентированной на формирование умений проводить умозаключения. Приведены примеры умозаключений в процессе изучения различных разделов начального курса математики.
Ключевые слова: умозаключение, индукция, дедукция, аналогия, общая посылка, частная посылка, вывод.
Усиление роли математики в современном мире, использование математических знаний в различных областях науки, техники и производства требует совершенствования содержания школьного математического образования, в котором главную роль отводят не только математическим методам познания окружающей действительности, но и формированию у учащихся умений выдвигать гипотезы, доказывать или опровергать их, обосновывая свои рассуждения. К числу основных методов рассуждений в процессе обучения математике в средней школе относятся: индукция, дедукция, аналогия. Эффективное усвоение этих методов требует проведения соответствующей пропедевтической работы при изучении начального курса математики.
В условиях реализации ФГОС НОО «...умение строить рассуждения, выбирать аргументацию, различать обоснованные и необоснованные суждения.» относится к числу важнейших целей математического развития младшего школьника [1, с. 226].
В работах А.К. Артемова [2], М.И. Моро [3], Н.Б Истоминой [4] и др. показаны возможность и целесообразность формирования у младших школьников умения рассуждения с учетом возрастных особенностей их развития. Такого же мнения придерживается Г.В. Дорофеева [5], который подчеркивает, что «... умение логически мыслить и строить правильные умозаключения необходимо развивать с первых «прикосновений» детей к математике [5].
Содержание основных разделов начального курса математики представляет широкие возможности для формирования у младших школьников умений строить индуктивные и дедуктивные умозаключения, а так же умозаключения по аналогии.
Практика показывает, что наиболее часто в начальном курсе математики используются индуктивные умозаключения. Многие правила, свойства, закономерности выводятся индуктивным путем (например: если к числу прибавить единицу, то получим следующее за ним число при счете; переместительные свойства сложения и умножения; для того, чтобы узнать, на сколько одно число больше другого нужно из большего числа вычесть меньшее.), а использование их при решении конкретных примеров, заданий осуществляется путём проведения дедуктивных умозаключений.
Таким образом, рассмотрение различных теоретических вопросов в начальном математическом образовании непосредственно связано с использованием различных умозаключений. Однако мы полагаем, что использование их только при рассмотрении теоретического материала явно недостаточно для формирования соответствующих умений. Необходимо использовать и специальные упражнения, задания, направленные на построение нового, ранее неизвестного умозаключения. С целью использования индуктивных умозаключений учитель может самостоятельно, в дополнение содержащихся в учебниках, составлять соответствующие задания при изучении различных вопросов на-
чального курса математики. При их составлении целесообразно руководствоваться следующими положениями:
1. Рассмотрение необходимого и достаточного количества примеров, в которых повторяется наблюдаемая закономерность, позволит учащимся самостоятельно сформулировать вывод в результате индуктивного умозаключения.
2. Для самостоятельного «открытия» учащимися нового правила, свойства, закономерности и т. д. полезно использовать действия с предметами (рисунки, схемы, таблицы.)
3. Необходимо мотивировать детей к поискам новых примеров, фактов подтверждающих правильность вывода сделанного по индукции, а также научить их сопоставлять полученный вывод с теми условиями, на основе которых он сформулирован.
4. Рассуждение по индукции должно происходить с тесной связи с развитием речи учащихся, при этом необходимо следить за правильностью выражения наблюдаемых фактов, закономерностей, связей, зависимостей, точностью сформулированного вывода.
5. Если у учащихся вызывает затруднение в обосновании обобщающего вывода, учитель путем наводящих вопросов ориентирует их на его формирование и в случае необходимости уточняет сделанный обучающимися вывод.
6. Предусматривать выполнение работы связанной с воспитанием критического отношения к выводам сделанным в ходе индуктивного умозаключения.
Например: сравните примеры, найдите общее и сформулируйте новое правило (вывод):
1) 1+2, 2+3, 3+4, 4+5, 5+6,6+7.
Вывод: «Сумма двух последовательных чисел есть число нечетное»;
2) 1-0, 2-1, 3-2, 4-3, 5-4, 6-5;
Вывод: «Если из последующего числа вычесть предыдущее, то получится 1».
3) 9+4-4, 15+7-7, 27+5-5, 38+6-6, 42+12-12, 58+24-24.
Вывод: «Если к любому числу прибавить и затем вычесть
из него одно и то же число, то получите первоначальное число.
4) 18:2x2, 14:7x7, 15:3x3, 49:7x7, 54:6x6.
Вывод: «Если любое число разделить и умножить на одно и то же, то получится первоначальное число».
Рассматривая эти примеры, мы получили правильные умозаключения.
Немаловажное значение имеет рассмотрение случаев, когда в результате индуктивных рассуждений учащиеся приходят к неправильному выводу.
Например:
1. Проверь, делится ли каждое слагаемое на 2, если их сумма делится на 2:
(2+4):2 (4+4):2 (6+2):2 (6+8):2
Учащиеся путем анализа предложенных частных случаев могут прийти к выводу: «Если сумма делится на 2, то каждое слагаемое делится на 2». Этот вывод также является ошибочным, его можно опровергнуть, рассматривая следующий пример: (3+5):2. В этом случае сумма делится на 2, но слагаемые 3 и 5 не делятся на 2 и т. д.
Выполняя такие задания, учащиеся приходят к выводу, что заключение по индукции является всего лишь предположением, (гипотезой) которое должно быть либо доказано, либо опровергнуто.
Как известно, индукция тесно связана с дедукцией, они являются взаимодополняющими сторонами мыслительного процесса. Поэтому дедуктивные умозаключения с большей или меньшей степенью необходимо использовать при изучении начального курса математики, так как именно они способствуют воспитанию строгости, лаконичности, четкости мышления.
На практике учителя часто встречаются с трудностями, возникающими у учащихся при построении дедуктивных умозаключений по сравнению с индуктивным. Во многих случаях они связаны качеством знаний учащихся, неумением их применять, устанавливать связи между логическими шагами, неосознанностью умственных операций.
Для устранения таких недостатков целесообразно проведение следующих видов работ:
- мотивирование учащихся в проведении дедуктивных умозаключений;
- формирование общей идеи дедуктивного умозаключения;
- показ образца того или иного вида умозаключения;
- проведение умозаключений с опорой на различные виды наглядности;
- периодическое использование развернутых умозаключений;
- неявное ознакомление учащихся с некоторыми правилами вывода;
- обучение построению цепочки умозаключений при проведении простейших доказательств.
Уже в начальный период обучения математике учащимся можно предлагать задания тесно связанные с изученным материалом. Эти задания могут быть предположены после того, как школьники познакомятся со смыслом слов, обозначающих не строгий порядок (не старше, не выше, не моложе):
1) Дима ниже Ивана, а Иван ниже Олега. Кто ниже всех? Кто выше всех? Сделай рисунок.
2) Коля старше Серёжи, Боря моложе Серёжи. Кто моложе всех? Кто старше всех?
3) Сосна той же высоты, что и дом, а ель той же высоты, что и сосна. Что выше ель иди дом?
4) Если баскетбольных мяч больше гандбольного, а гандбольный мяч меньше футбольного, то какой мяч меньше всех? Сделайте рисунок.
5) Иван не моложе Саши. Саша не моложе Коли. Кто из них старше? В дальнейшем можно предполагать задания типа:
6) Вставьте в предложение нужное слово: Если Иван ниже Коли, а Коля ниже Толи, то:
a) Иван...Толи
b) Толя.Коли.
Со второго класса можно начинать работу по формированию у учащихся умений проводить умозаключения по правилам заключения, отрицания и силлогизма.
Например, дополни умозаключения:
1) Все Митины друзья-футболисты. Олег - Митин друг. Значит Олег.
2) Все мальчики нашего класса пошли играть футбол. Коля не пошел играть в футбол. Значит.
3) Иван ровесник Пети, а Петя ровесник Коли. Значит.
4) Если число делится на 10, то его запись оканчивается нулем. Число Х делится на 10, значит.
Весьма полезными являются упражнения на формирование умения рассуждать, доказывая свою точку зрения с помощью примера или контрпримера.
Например:
1) Докажите на примере следующие утверждения:
- Существуют четырехугольники, у которых все стороны равны.
- Некоторые однозначные числа не делятся на 2
- Некоторые прямоугольники не являются квадратами.
2) Опровергните с помощью примера следующие утверждения:
- Все четырехугольники - квадраты
- Все двузначные числа делятся на
- Всякий многоугольник, у которого все стороны равны- квадрат.
Рассмотрим задания, ориентированные на формирование дедуктивных умозаключений в процессе изучения арифметических действий:
1. Уже при составлении таблицы сложения и вычитания учащиеся проводят дедуктивные рассуждения. Например, в ходе составления таблиц учащиеся пользуются правилами: «Если к данному числу прибавить 1, то получим следующее за ним число при счёте», «Если из данного числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число при счете». Эти правилами служат общей посылкой. В качестве частных посылок выступают приме-ры:7±1,15±1,99±1 и другие.
2. Восстановите правило, «Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала .одно слагаемое, а потом.» Используя его найдите удобный способ нахождения значения выражений:
128-(28+4)=
949-(5+49)=
Таким образом, с помощью дедуктивных умозаключений младшие школьники могут обосновать истинность различных суждений в процессе изучения арифметического материала.
Большие возможности для формулирования у младших школьников умения строить дедуктивные умозаключение имеет процесс обучения решению текстовых задач. С этой целью можно предлагать задание следующего характера:
1. Используя правило «Чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, надо из большего числа вычесть меньшее», обоснуйте решение следующих задач:
а) У Оли 4 карандаша и 8 ручек. На сколько ручек больше, чем карандашей? На сколько карандашей меньше, чем ручек?
б) Коле 8 лет, а сестре 4 года. На сколько лет Коля старше сестры?
2. Используя правило «Чтобы найти большее число, надо к меньшему прибавить разность» обоснуйте решение следующих задач:
а) У Оли 5 карандаша, а у Тани на 4 карандаша больше. Сколько карандашей у Тани?
б) В саду 6 грушевых деревьев. Это на 2 меньше, чем вишневых деревьев. Сколько вишневых деревьев в саду?
Дедуктивные умозаключения можно использовать при изучении алгебраического и геометрического материала. Например:
1. Требуется решить уравнение: х-5=12. Для нахождения неизвестного уменьшаемого учащиеся используют правило: «Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое» (общая посылка). В данном уравнении разность 12, вычитаемое 5 (частная посылка). Заключение: «Нужно к 12 прибавить 5. Получим 17».
Рассмотрим теперь возможности использования аналогии в процессе обучения математике младших школьников.
Под аналогией понимается такой вид рассуждений (умозаключений), когда при наличии сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них делается вывод о наличии такого же признака. Схематически:
Объект А обладает признаками а,Ь,с,х.
Объект В обладает признаками а,Ь,с.
Вывод: объект В обладает признаком X.
Следует иметь в виду, что вывод по аналогии, в общем случае, как и по индукции, является лишь предположением, который в последующем необходимо доказывать или опровергать. Эта особенность аналогии не является препятствием для его использования в процессе обучения математике, так как учитель всегда имеет возможность поправить неверный вывод учащегося.
С целью ориентации учащихся на использование аналогии необходимо в доступной для них форме разъяснить её сущность, обращая внимание на то, что в математике часто открытие нового способа вычислений, правила, закономерностей и т. п. осуществляется по догадке.
Начальный курс математики имеет возможность использования аналогии при изучении свойств объектов, отношений между ними и действий с ними.
Например:
1) Тема урока: «Умножение суммы на число»
На доске записаны выражения: (6+7)*3; 5*(7+8).
Учащимся знакомо правило нахождения суммы на число, поэтому они могут найти значение числового выраженного написанного слева. После его нахождения учитель может поставить вопрос: «Кто догадается, как можно найти значение второго выражения?»
В основе догадки лежит аналогия. Учащиеся сравнивая выражения устанавливают, что в левом-сумма умножается на число, а в правом - число на сумму. Делая перенос известного им способа вычислений на новый случай, ученики находят результат, сформулируют соответствующее правило. Высказанную догадку они могут проверить путем использования перемести-тельного свойства умножения: 5*(7+8)=(7+8)*5.
В этом случае учащиеся сначала должны заменить сходство между объектами в некоторых отношениях, а затем самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, то есть осуществлять умозаключение по аналогии.
2) Для использования аналогии в процессе обучение решению задач необходимо вначале восстановить способ решение аналогичной задачи. Затем предлагать решить новую задачу.
Учащиеся путем сравнения выявляют сходство отношений новой задачи с отношениями в ранее решенной задачи. На основе установление сходства, они делают вывод, что план решение новой задачи похожим на план ранее решенной задачи.
Рассмотрим пример использования аналогии при решении задач отличающихся друг от друга содержанием, но имеющих сходство в отношениях между данными.
Задача 1. Из двух городов, находящихся на расстоянии 420 км друг от друга, выехали одновременно навстречу друг другу мотоциклист со скоростью 60 км/ч и автомобилист со скоростью 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Библиографический список
Задача 2. Мастер за час изготавливает 80 деталей, а ученик - 60 деталей. За сколько часов, работая вместе, они изготовят 420 деталей?
Осуществляя сравнение задачи № 2 с ранее решенной задачей № 1 учитель обращает внимание учащихся на сходство отношений данных в этих задачах:
- Количество деталей - расстояние;
- Время совместной работы - время совместного движения;
- Производительность труда каждого мастера - скорость каждого предмета.
Задачу 1 решали путем нахождения общей скорости движения мотоциклиста и автомобилиста и деления на нее данной длины пути. У учащихся возникает догадка, что данную задачу нужно решать аналогично, но только сначала нужно найти производительность в час мастера и ученика (то есть отвечают на вопрос: сколько деталей изготавливает мастер и ученик за 1 час?).
Получим: 1) 80+60=140 (дет) - изготовят мастер и ученик за 1 час.
2) 420: 140=3(ч) - число дней совместной работы.
Проверка позволяет установить правильность решения задачи:
80x3+60x3=420 (деталей).
На основе результатов нашего исследования мы пришли к выводу о том, что дидактически обоснованное, оптимальное сочетание различных умозаключений (индуктивных, дедуктивных и по аналогии) способствуют повышению эффективности обучения математике, целенаправленному развитию логического мышления и речи учащихся.
1. Примерные программы по учебным предметам. Начальная школа: В 2 ч. Ч.1. Москва, 2011.
2. Артемов А.К. Приемы организации развивающего обучения. Начальная школа. 1995; 3: 35 - 39.
3. Моро М.И. Индукция, дедукция и аналогия при обучении математике. Начальная школа. 1975; 8: 21.
4. Истомина Н.Б., Лаврова Н.Н. Формирование логических умений в курсе математики Начальная школа. 1991; 1: 72 - 77.
5. Дорофеев Г.В. Содержание школьного математического образования. Основные принципы и механизмы обучения. Концепция содержания школьного математического образования. Москва, 1991: 5 - 6.
References
1. Primernye programmy po uchebnym predmetam. Nachal'naya shkola: V 2 ch. Ch.1. Moskva, 2011.
2. Artemov A.K. Priemy organizacii razvivayuschego obucheniya. Nachal'naya shkola. 1995; 3: 35 - 39.
3. Moro M.I. Indukciya, dedukciya i analogiya pri obuchenii matematike. Nachal'naya shkola. 1975; 8: 21.
4. Istomina N.B., Lavrova N.N. Formirovanie logicheskih umenij v kurse matematiki Nachal'naya shkola. 1991; 1: 72 - 77.
5. Dorofeev G.V. Soderzhanie shkol'nogo matematicheskogo obrazovaniya. Osnovnye principy i mehanizmy obucheniya. Koncepciya soderzhaniya shkol'nogo matematicheskogo obrazovaniya. Moskva, 1991: 5 - 6.
Статья поступила в редакцию 05.12.17
УДК 37.013.73:[379.852:316.346.32-053.6]
Olenina G.V., Doctor of Sciences (Pedagogy), Professor, Altai State Institute of Culture (Barnaul, Russia),
E-mail: ustlama@mail.ru
PEDAGOGICAL PROBLEMS OF TEACHING OF THE YOUTH TO THE PROJECT ACTIVITY IN CULTURE AND LEISURE SPHERE: PSYCHOLOGICAL AND ANTHROPOLOGICAL APPROACH. The article argues a correlation between the key features of project activity and a complex of a person's projection skills with a mental basis that reflects a psychological and anthropological face of today's Russia culture. The paper gives some proofs of the next thesis: specifics of a Russian's mentality determine some pedagogical risks in project activity that coexists with economical risks. So, teaching of youth (and its leaders) to project activity (touched with civil initiatives in culture and leisure sphere) aimed at overcoming the mental risks of projection and conversion the 1st type innovative activity, where the youth persons are target audience of civil innovative projects, into the 2nd type innovative activity, where the youth is a subject of its own projects. The most popular civil initiative is volunteering.
Key words: the youth, culture and leisure sphere, project activity, civil initiatives, volunteering, mental difficulties of project activity teaching, psychological and anthropological approach.
Г.В. Оленина, д-р пед. наук, проф. Алтайского государственного института культуры, г. Барнаул,
E-mail: ustlama@mail.ru
ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ОБУЧЕНИЯ МОЛОДЁЖИ ПРОЕКТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В СФЕРЕ КУЛЬТУРЫ И ДОСУГА: ПСИХОАНТРОПОЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД
В статье обосновано соотношение сущностных черт проектной деятельности и комплекса проектных умений личности с ментальными основами, отражающими психоантропологический срез российской культуры. В данном исследовании доказывается, что специфика российского менталитета обусловливает педагогические «риски» проектной деятельности, суще-
