CC BY
103
Скрипов Александр Викторович,
доцент кафедры прикладной информатики, Уральский институт экономики, управления и права,
г. Екатеринбург, Российская Федерация. &mail: a-v-s@nm.ru
Skripov Alexander Victorovich,
Associate Professor, Department
of Applied Informatics, Institute of Economics,
Management and Law,
Ekaterinburg, Russia.
E-mail: a-v-s@nm.ru
ББК 51(07) УДК 74.262.21
В.И. Седакова, В.Л. Синебрюхова
умение обосновывать математические суждения как основа развития у школьников словесно-логического мышления
Реализуя Федеральный государственный образовательный стандарт по математике, необходимо уделять внимание формированию универсальных учебных действий школьников в ходе изучения математики. В статье рассматривается развитие словесно-логического мышления обучаемых при обосновании математических суждений.
Ключевые слова: математические суждения, мышление, словесно-логическое мышление, универсальные учебные действия.
V.I. Sedokova, V.L. Sinebriukhova
ability to assert mathematical judgments as the basis for development in schoolchildren
verbal-logical thinking
Implementing the Federal State Educational Standard in mathematics, it is necessary to pay attention to the formation of universal educational activities of students in the study of mathematics. The article discusses how to form logical thinking of students on the basis of the ability to assert mathematical judgments.
Key words: mathematical judgment, thinking, verbal and logical thinking, universal educational actions.
ro ca о
X 2 п.
ю ф
X
s О
od
(О
CÛ
о
ГО
ч ф
о
m
В Образовательном стандарте нового поколения выделена одна из первоочередных задач школьного обучения - научить учащихся приемам мыслительной деятельности: самостоятельно производить мыслительные операции - анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, классификацию, систематизацию. Продуктом мыслительной деятельности являются понятия, суждения, умозаключения.
Уже в начальной школе обучаемые должны знакомиться с принципом построения логических утверждений, что
позволит оперативно и самостоятельно осваивать учебную информацию [9; 10]. Из научной литературы известно, что детям младших классов характерно наглядно-образное мышление, которое по мере взросления перерастает в наглядно-действенное и словесно-логическое.
Согласно требованиям базовых документов начального общего образования, к окончанию начальных классов у обучаемых должны быть сформированы основы логического мышления.
К моменту перехода в среднее звено школы обучаемые должны освоить элементы познавательной активности, что, несомненно, сказывается на интеллекте обучаемых. При таком подходе к освоению учебных предметов, начиная с начальной школы, можно с уверенностью утверждать, что обучаемым в среднем и старшем звене школы удастся достичь значительных результатов в освоении математических дисциплин.
Математика относится к тем предметным областям, где в большей степени есть возможность развивать у обучаемых словесно-логическое мышление. В примерной программе по математике указано, что в процессе изучения данного предмета осуществляется формирование и общечеловеческой культуры.
Посредством умозаключений обучающиеся получают представление о математических моделях, об их использовании в реальной ситуации.
Подробная информация о структурах умозаключений, их видах, способах получения была освещена в работе [7].
Переход от некоторых высказываний (посылок) к новому высказыванию (заключению) в математике строится при помощи известных правил дедуктивных умозаключений. Вывод в таких рассуждениях всегда является истинным.
Построению логических цепочек в рассуждениях уделяется внимание в разделе «Логика».
Рассмотрим примеры логических задач, в которых учащиеся начальных классов должны установить логическую цепочку в своих рассуждениях.
Задача 2.Вг.Сургутеживетлюдейболь-ше, чем в г. Нижневартовске, а в Нижневартовске живет больше, чем в г. Ханты-Мансийске. В каком городе Югры самая большая численность населения?
Задача 2. Найдите 99 натуральных чисел (не обязательно различных), сумма которых равна их произведению.
Задача 3. Для того чтобы сварить яйцо всмятку, нужно 2 минуты, а чтобы сварить его вкрутую - 5 минут. За сколько минут яйцо сварится в мешочек?
Решение логических задач приводит к размышлению, удивлению, что и фор-
мирует у обучающихся познавательную активность. Еще Аристотель утверждал: «Познание начинается с удивления». Задачи такого вида необходимо усложнять, учитывая «зону ближайшего развития учащихся».
Задача 4. Варя разломила плитку шоколада на 2 части, потом разломила одну из получившихся частей. На сколько частей разломила плитку шоколада Варя?
Задача 5. Помогите мышонку Гайке переложить: а) одну спичку; б) две спички; в) три спички, чтобы получилось верное равенство:
X + X + X = IX.
Выявить уровень сформированности операции анализа и классификации помогут подобные задания:
Задача 6. Какое понятие в каждом из перечней является лишним? Подчеркните его. Утверждение обоснуйте.
1. Ворона, галка, стебель, воробей.
2. Треугольник, ластик, циркуль, линейка.
Задача 7. Вместо знака вопроса вставьте нужное число.
- 1 = + 3
7 - 1 = + 5
5 + 1
11
9 - 3
Логическим продолжением формирования у обучающихся умения делать выводы, классифицировать, сравнивать и т.п. является целенаправленная, хорошо продуманная и систематическая работа на уроках математики в основной и средней школе, в том числе при подготовке выпускников общеобразовательных школ к итоговой государственной аттестации.
Рассмотрим некоторые из них.
Задача 8. Назовите истинные утверждения:
1. Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
2. Через любые две точки плоскости проходит не более одной окружности.
3. Вписанные углы окружности равны.
4. Диагонали ромба равны.
5. Отношение площадей подобныхтре-угольников равно коэффициенту подобия.
к
I-
^
ш
со
го ^
го ей о
X
о
о ^
го
-1 ■ ф
.5
о О)
о ф
т ^
I-
го ф
I-
го
ГО ф ей ш
о
о ей о
X .0
о
_ 3
> >у
го m о х
2 ^
ю <и
X
О
od
<я
СО
о ^
го ч ф О
ш
Далее считаем целесообразным рассмотреть понятия «умение», «суждение», «умозаключение» и «умение обосновывать математические суждения».
Педагогическая энциклопедия расширяет это понятие: «Умение - возможность эффективно выполнять действие в соответствии с целями и условиями, в которых приходится действовать» [5].
По мнению Г.И. Щукиной, умение -это единица предметной деятельности, в которой отражены ее мотивацион-ные, содержательные и операционные стороны [11].
Исходя из всех вышерассмотренных понятий, мы можем дать определение понятия «умение обосновывать математические суждения» - это способность выполнить действие доказательства (обоснования) над мыслью, выражаемой повествовательным предложением и являющейся либо истинной, либо ложной.
В работах по методистов-математиков Г.И. Саранцева, О.Б. Епишевой, В.А. Да-лингера, А.А. Темербековой и др. сосредоточено внимание на развитии у обучающихся приемов умственных действий. Из практики известно, что умения доказательно рассуждать не приобретаются учащимися спонтанно, их нужно целенаправленно формировать и развивать посредством специально подобранных задач.
А.В. Белошистая, В.В. Левитес подчеркивают, что учитель нередко считает, что развитие всех логических приемов и операций происходит стихийно, т.к. это предусмотрено учебными заданиями, в структуре учебного пособия. Некоторые учителя думают, что учащиеся способны с возрастом сами формулировать способ рассуждений и выводы в таких предположениях [1; 2].
Но, как показывает анализ психолого-педагогической литературы и профессиональной деятельности учителей математики, часть педагогов выполняют свои обязанности, не имея четкой разработанной системы профессионального саморазвития, не определяя всего спектра конкретных, достижимых и диагностируемых педагогических задач, не используя для этого всех имеющихся ресурсов и условий, которые в целом обе-
спечат качество начального и основного общего образования.
В связи с этим возникает необходимость целенаправленного и систематического изучения современных подходов к планированию и реализации профессиональной деятельности учителя начальных классов, в дальнейшем - учителя математики с учетом новых требований системы образования.
Однако в авторских программах по математике четко не выделяется специального раздела, обеспечивающего развитие логики в обоснованиях учащихся математических предложений.
И только лишь в программе авторского коллектива под руководством В.Н. Рудницкой выделяется такой раздел, как «логико-математическая подготовка». Автор программы предпринимает попытку знакомить учащихся начальной школы с методикой построения обоснования суждений, т.е. с элементами теории вероятностей.
Таким образом, начиная с начальной школы, обучаемые знакомятся с высказываниями, образованными с помощью кванторов существования и общности, которые широко используются в разделе «Математическая логика».
При этом важно отметить, что анализ содержания заданий учебников по математике указанных выше авторов показал наличие текстов, ориентированных на формирование у обучающихся умения логически мыслить и рассуждать. Все это свидетельствует о том, что требования нового образовательного стандарта находят отражение в учебной литературе, разработанной в соответствии с данным документом.
В любом возрасте, как было отмечено, необходимо осваивать способы доказательства и оформления этих рассуждений - формировать универсальные учебные действия.
Задача 9. Павел, Андрей и Никита изучают различные иностранные языки: немецкий, японский и английский. При опросе оказалось, что Павел изучает немецкий, Андрей не изучает немецкий, а Никита не изучает английский. Как выяснилось, только одно утверждение было
верно, а два других ложные. Какой язык изучают мальчики?
Решение.
1. Имеется три утверждения:
2. Павел изучает немецкий.
3. Андрей не изучает немецкий.
4. Никита не изучает английский.
Проверим версию I, т.е. пусть утверждение 1 истинно, тогда утверждение 2 и утверждение 3 - ложны. При этом получится, что Павел и Андрей изучают один язык - немецкий (что по условию задачи неверно). Первая ситуация неверна.
Проверим версию II, т.е. пусть утверждение 2 истинно, тогда утверж-
дение 1 и утверждение 3 ложны. При этом получится, что Павел не изучает немецкий язык, Андрей не изучает немецкий, Никита не изучает немецкий. Получается, что никто не изучает немецкий язык. Поэтому и вторая ситуация неверна.
Проверим версию III, т.е. пусть утверждение 3 истинно, тогда 1-е утверждение и 2-е утверждение ложны. Если утверждение 3 истинно, то Никита изучает японский, Андрей - немецкий, Павел - английский.
Все описанные ситуации можно представить в виде таблицы:
Табл. 1. Решение задачи перебором вариантов
Варианты ситуаций I II III
Ситуация 1 И Л Л
Ситуация 2 Л И Л
Ситуация 3 Л Л И
Проще подобрать задания, в которых необходимо выполнить обоснование той или иной точки зрения по геометрии. Тем не менее в алгебре встречаются задания с переменными, параметрами, в которых необходимо выполнить цепочку логических операций. В работах В.А. Да-лингера предлагается достаточное количество заданий, которые способствуют формированию продуктивного мышления учащихся [3].
Рассмотрим подобное задание.
Задача 10. Число а отрицательное. Какое из чисел больше: Ъ + а или Ъ? Ответ обосновать.
Решение.
Пусть Ъ > 0 и а < 0, естественно Ъ > а. Тогда Ъ + а > Ъ.
Пусть Ъ < 0 и а < 0, причем, Ъ > а. Тогда Ъ + а > Ъ.
Пусть Ъ < 0 и а < 0, причем, Ъ < а. Тогда Ъ + а > Ъ.
Таким образом, обобщая вышесказанное, можно прийти к выводу о том, что формирование у обучающихся умения обосновывать математические суждения не может осуществляться стихийно. Требуется четкая и продуманная программа конкретных действий по достижению
планируемых результатов, определенных Федеральным государственным образовательным стандартом всех уровней.
В работах И.В. Никишиной представлена характеристика методической деятельности современного педагога, которая основана, прежде всего, на программно-целевом подходе в обучении [4, с. 34].
Основываясь на вышерассмотрен-ных положених, можно заключить, что основным элементом содержания методической деятельности учителя математики в условиях реализации ФГОС начального и основного общего образования должны стать цель и программа профессиональной деятельности педагога.
На сегодняшний день в основу определения цели профессиональной деятельности учителя должны быть положены требования (содержание) профессионального стандарта педагога, Федерального государственного образовательного стандарта. Важно обратить внимание на то, что профессиональный стандарт педагога разработан с учетом содержания требований Федерального государственного образовательно-
I-
^
ш
со
го ^
го ей о
X
о
о ^
го
- X ■ ф
о с; £ о
.0 X
I- о ГО ф ей ей о
о ей о
X .0
о
_ 3
> >у
го стандарта начального и основного общего образования, наполнен новыми компетенциями:
• работа с одаренными детьми;
• работа в условиях реализации программы инклюзивного образования;
• работа с учащимися, имеющими проблемы в развитии, и т.д. [6, с. 4].
Все это служит основой для определения цели оптимальной программы профессионального развития педагога.
В педагогической литературе рассматриваются рекомендации к составлению комплексно-целевой программы профессиональной деятельности педа-
гога. Значимыми среди них являются:
• знание прогнозируемых конечных результатов;
• технологический профессиональный контроль за обнаружением отклонений и способы коррекции нововведений [8, с. 47].
Немаловажное значение при разработке комплексно-целевой программы профессионального развития педагога играют критерии ее оценивания, так как именно они обеспечивают грамотное и научно-обоснованное их содержание, что в целом обеспечит полноценное продвижение педагога.
го са о х 2 п.
ю ф
X S
О m
(О са о
ГО
ч ф
О
ш
Библиографический список
1. Белошистая, А.В. Развитие математических способностей школьника как методическая проблема [Текст] / А.В. Белошистая // Начальная школа. - 2003. - № 1. - C. 56-58.
2. Белошистая, А.В. Развитие логического мышления младших школьников на основе использования специальной систем занятий: монография [Текст] / А.В. Белошистая, В.В. Левитес. - Мурманск: МГПУ, 2009. - 104 с.
3. Далингер, В.А. Обучение учащихся доказательству теорем [Текст]: учеб. пособие / В.А. Далин-гер. - Омск: Изд-во ОмГПУ, 2002. - 419 с.
4. Никишина, И.В. Мастер-класс для руководителей школы: управление методической работой образования [Текст] / И.В. Никишина. - М.: Глобус, 2010. - 368 с.
5. Педагогическая энциклопедия: в 4 т. Т.4 / гл. ред. А.И. Каиров, Ф.Н. Петров. - М.: «Советская энциклопедия», 1968. - 912 с.
6. Профессиональный стандарт «Педагог (педагогическая деятельность в дошкольном, начальном общем, основном общем, среднем общем образовании) (воспитатель, учитель)». Приказ Минтруда России от 18.10.2013 N 544н (с изм. от 25.12.2014).
7. Седакова, В.И. Формирование у школьников умения обосновывать математические суждения [Текст] / В.И. Седакова, В.Л. Синебрюхова / / Вестник Челябинского гос. пед. ун-та, 2015. -№ 10. - С. 67-72.
8. Третьяков, П.И. Практика управления современной школой (Опыт педагогического менеджмента) [Текст] / П.И. Третьяков. - М.: Просвещение, 1995. - 204 с.
9. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования [Текст] / М-во образования и науки Рос. Федерации. - М.: Просвещение, 2011. - 48 с. - (Стандарты второго поколения).
10. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Текст] / М-во образования и науки Рос. Федерации. - М.: Просвещение, 2010. - 31 с. - (Стандарты второго поколения).
11. Щукина, Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе [Текст]: учеб. пособие для пед. ин-тов / Г.И. Щукина. - М.: Просвещение, 1979. - 160 с.
References
1. Beloshistaya A.V. The development of mathematical abilities of the student as a methodological problem. Nachalnaia shkola, 2003. № 1. P. 56-58. [in Russian].
2. Beloshistaya, A.V., Levites, V.V. The development of logical thinking of younger schoolboys on the basis of the use of special classes of systems. Murmansk: Murmansk State Pedagogical University, 2009. P. 104. [in Russian].
3. Dalinger V.A. Teaching students the theorems proving: Textbook. Omsk: Izd-vo OGPU, 2002. P. 419. [in Russian].
4. Nikishin I.V. Workshop for school leaders: the methodical work of educational management. M .: Globus, 2010. P. 368. [in Russian].
5. Educational Encyclopedia in 4 volumes. Volume 4. Ch. Ed. A.I. Kairov, F.N. Petrov. M .: Sovieskaia Encyclopedia, 1968. P. 912. [in Russian].
6. The professional standard of teacher (teaching activities in preschool, primary general, basic general, secondary general education) (tutor, teacher). Order of the Ministry of Labor of Russia from 18.10.2013 N 544n (rev. On 12.25.2014). [in Russian].
7. Sedakova V.I., Sinebriukhova V.L. Formation of students' ability to justify mathematical judgments. Herald of Chelyabinsk State Pedagogical University. 2015. № 10. P. 67-72. [in Russian].
8. Tretyakov P.I. The practice of modern, school management (pedagogical management experience). - M.: Pros-veshchenie, 1995. P. 204. [in Russian].
9. The Federal state educational standard of general education. M.: Education, 2011. P. 48. (Second-generation standards). [in Russian].
10. The Federal state educational standard primary education. - M.: Prosveshchenie, 2010. P. 31. (Second-generation standards). [in Russian].
11. Shchukin G.I. Activation of cognitive activity of students in the learning process. Proc. allowance for ped.in-ing. M.: Prosveshchenie, 1979. P. 160. [in Russian].
Сведения об авторах: Седакова Валентина Ивановна,
кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и информатики, Сургутский государственный педагогический университет, г. Сургут, Российская Федерация. E-mail: valya-200909@rambler.ru
Синебрюхова Вера Леонидовна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики дошкольного и начального образования, Сургутский государственный педагогический университет, г. Сургут, Российская Федерация. E-mail: sinver13@mail.ru
s X ф к s X
S ф
> о э
ф .0
s s
О о
ф т о ^
s о
1-го s ф т s
ф
1- о
го
s ¿
.0 X
1- о
го ф
CÛ CÛ
.0 о
CÛ
о о
X о о m о ^
ю s
о X
ф .0
s X ф s о 3
>
Information about authors: Sedakova Valentina Ivanovna,
Candidate of Sciences (Education), Academic Title of Associate Professor, Associate Professor, Department of Mathematics and Computer Science, Surgut State Pedagogical University, Surgut, Russia.
E-mail: valya-200909@rambler.ru
Sinebriukhova Vera Leonidovna,
Candidate of Sciences (Education), Associate Professor, Department of Mathematics and Computer Science,
к s Is ca rn (0
Surgut State Pedagogical University, Surgut, Russia.
E-mail: sinver13@mail.ru
