CC BY
76
Ударно-волновые процессы в металлических порошках
С.П. Киселев, А.Е. Бузюркин
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Представлены результаты исследования взаимодействия косых ударных волн в порошках, найдена граница, разделяющая регулярные и нерегулярные режимы взаимодействия, обсуждается явление гистерезиса. Дано объяснение явления образования “холодного” слоя при взрывном компактировании порошков.
1. Введение
В работе приведены результаты математического моделирования ударно-волновых процессов в металлических порошках. Предполагается, что перед нагружением порошка ударной волной порошок спрессован до состояния плотной упаковки. В этом случае за ударной волной не происходит проскальзывания частиц порошка
друг относительно друга, и порошок ведет себя как по-
„ о
ристое тело с некоторой начальной пористостью т1.
Величина т1 определяется характером плотной упаковки частиц после предварительного прессования. Пористые материалы и порошки представляют собой частный случай сред с микроструктурой, которая определяется характерным размером пор. Размер пор обычно много больше межатомных расстояний и существенно меньше характерных размеров изменения средних параметров. Поэтому поведение пористых материалов и порошков должно описываться в рамках физической мезомеха-ники [1]. Первые математические модели пористых материалов строились в равновесном приближении [2, 3], и пористость входила в них только в качестве дополнительного параметра в уравнение состояния Р = Р(р8, а), где Р — давление; р8 — плотность материала; а = 1/т2; т2 = 1-т1; т1 — объемная концентрация пор (пористость); т2 — объемная концентрация материала. Реальный учет микроструктуры был впервые выполнен в работе [4], где было построено решение для ячейки, содержащей пору, описывающее затекание поры
под действием давления Р, приложенного к внешней поверхности ячейки. В результате было получено дифференциальное уравнение для пористости f (а, а, а, Р, Ys, а0) = 0, где Ys — предел текучести сплошного материала; а0 — радиус поры. В работах [5-7] было проведено обобщение этого решения и учтено влияние как сдвиговых напряжений, приложенных к ячейке, так и пластической зоны, возникающей в окрестности поры. В данной работе поведение порошка при ударно-волновом нагружении описывается с помощью математической модели, предложенной в [5-7].
Исследованию распространения ударных волн в порошках посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ [8, 9]. Тем не менее, ряд вопросов в этой области не решен до сих пор. К ним относятся проблема взаимодействия косых ударных волн в порошках и связанный с этим вопрос о природе “холодного” слоя, возникающего при компактировании порошков.
2. Математическая модель
Математическое моделирование поведения порошка при ударно-волновом нагружении будет проводиться в рамках математической модели, предложенной в [5-7]. Уравнения неразрывности, движения и энергии имеют ви_д:
^Т+^-Р^ = ° Р = Рзт2> т1 + т2 = 1
дt
© Киселев С.П., Бузюркин А.Е., 2000
dvj „ d Э „ „ Э
Р—- = ^а,-,-, — =—+ v,■V,, V,- =--------,
dt dt Эt Эх,
dE 1 _ _ .
Р= а,г*, г* = 2( + V), (1)
ау = - Р8у + Б,у,
т1 = 4паЗи, ,, у = 1, 2, 3,
где а, п — радиус и концентрация пор; Р — средняя плотность; а у, е, — осредненные тензоры напряжений и скорости деформации; V, — г-ая компонента скорости; Е — удельная внутренняя энергия; Р — давление; Б у — девиатор тензора напряжений.
Для замыкания системы (1) использовалось уравнение состояния пористого тела:
р = Р&е + Рь, Р&е = -Ке», Рь = (ГрЕЛ )',
Е = Ес + Я*, Ес = ((1/2)^^)2 — цу)/р, (2)
е , р ё.. = ё.. + ^
У У у 5
где К1, ц — осредненные упругие модули объемного сжатия и сдвига пористого материала.
В области упругих деформаций (3/2)БуБу < Y2 де-
виатор напряжений определяется из закона Гука:
V
2цёу, &у (1/3)&кк^гу
'у ^у ^у \ч -V^кк4'у ’ (3)
а в пластической области — из уравнений Прандтля-Рейсса:
V / 3 2
ёу = Бу/(2ц) + Х5у, -БуБу = Y2, (4)
V
Бу = Бу - ЩкБШ - ® }кБк-, ®у = 0.5(^ у - vул).
В выражениях (1)-(4) Рс, Р4ь — холодное и тепловое давление; Ес, Е4ь — холодная и тепловая энергия; К— модуль объемного сжатия; ц — модуль сдвига; У — предел текучести; Г — коэффициент Грюнайзена; каждый из индексов г, j, k пробегает значения 1, 2, 3; по повторяющимся индексам производится суммирование; точка над символом соответствует производной по времени; индекс после запятой — производная по соответствующей координате; индексом е обозначены упругие деформации, индексом р — пластические. Поверхность текучести имеет следующий вид:
32
- БуБу = Y2,
Y2 =
^ - (9/4)Р2т1, Р < Р°
0,
Ys2m2me2,
|Р°| < \Р < |Р*|,
Р > 14
(5)
т2
_ т1 3Р
- 2------соэь--------, те + тр = 1,
т2
2К
где |Р*| = (2/3)81п(1/ т1); |Р°| = (2/3)1^ (1 - тг); те,
тр — доли объема ячейки, находящиеся в упругом и пластическом состояниях. Из формул (5) следует, что с увеличением давления |Р| предел текучести уменьшается и при Р = |Р*| обращается в нуль.
В случае Р < |Р°| происходит упругое нагружение (разгрузка) и справедливы формулы:
К = К1, ц = ^1,
(6)
К1 = К$т^| 1 + |, Ц = Ц$т^(1 + °.5т1),
2 1 - 2у
& кк р $1 р
где К$, ц$ — модули упругости сплошного материала;
V — коэффициент Пуассона.
В случае |Р°| < |Р < |Р*| в окрестности поры образуется пластическая зона, деформации становятся упругопластическими и справедливы формулы:
К = К 2, Ц = Ц2,
К 2 = К$ -
1+-
1 — V
3(1 - 2у) |Р|
Л
трт2
р2
+ — 2
(7)
4 = у ^ & кк = К & кк, & кк=-Р/р .
Уравнения (7) выполняются в случае нагрузки РР > 0. При разгрузке (РР < 0) до некоторого состояния материал описывается уравнениями (6), последующая нагрузка из этого состояния происходит упруго. Если |Р > |Р»|, поры теряют устойчивость и происходит их затекание. В этом случае уравнения имеют вид:
Рс = - К1& кк, & кк =
т2 -_Р
-2 Р
Изменение величины а(а0, Р, Ys, t) описывается уравнением [4]
Р = ^{а- «-13]+
+ ^^1 [а-1)-4/3 -а-4/*]1—^ + ЗГцп-О.,
6 1 -3а(а-1) 3 а-1
(8)
где п — вязкость материала.
При рассмотрении динамики затекания поры за фронтом ударной волны можно выделить два характерных случая — инерционное и вязкое затекание пор. Отношение инерционных и вязких сил определяется аналогом числа Рейнольдса Re = а0^У$р$1П Инерционные силы преобладают при Яе >> 1, а вязкие — при Яе << 1. В случае Яе << 1 уравнение (8) примет вид
Рис. 1. Схема регулярного режима отражения
„ 2 ^, а 4 а
Р = — Ys 1п----------------------л-.
3 а-13 а(а-1)
(9)
Оценка значения начального радиуса поры а0, при котором инерционными членами можно пренебречь, дает величину примерно 10 мкм. Таким образом, при а0 < 10 мкм изменение пористости со временем описывается уравнением (9), а в случае а0 > 10 мкм необходимо решать полное уравнение (8).
Следуя [10], удельную тепловую энергию Еь запишем в виде:
Е± = Е1 + Е2 + Е3,
Е1 = 3^ (а01п — - (а0 - 1)1п 11 +
3р5 { а а-1
+ (ао -а)1п
а
Е2 =
Ез =
4л
3Р8
■ а 2dt а(а -1) ’
а-1
(10)
2*2
а а
6(а0 -1)2/3
1
1
а
1з
(а-1)1/3
где Е1 и Е2 — средние величины диссипированной энергии при пластическом и вязком течении; Е3 — средняя кинетическая энергия движения, возникающего при схлопывании пор.
Поведение сплошного упругопластического материала описывается уравнениями (1) с т1 = 0. В качестве замыкающих соотношений используются уравнения (2)-(4), в которых пренебрегается тепловой энергией Еь = 0 и соответственно тепловым давлением Рь = 0.
В данной работе действие продуктов взрыва на порошок моделировалось внешним давлением на верхней границе порошка. Величина давления находилась из аналитического решения задачи о движении продуктов взрыва за фронтом одномерной плоской детонационной волны с изоэнтропой в виде Р = Лру. В этом случае все параметры за фронтом волны зависят только от координаты х и времени t. Зависимость скорости звука с(х, ^ имеет следующий вид [11]:
(х/2t + Б/4, Б/2 < хД < Б,
[б/2, хД < Б/2. (11)
С =
Рис. 2. Схема нерегулярного режима отражения
где Б — скорость распространения детонационной волны.
Соответственно давление, приложенное к верхней границе порошка при у = 3, находилось по формуле Р = Рн(с/сн)3 (Рн, сн — давление и скорость звука в точке Чепмена-Жуге).
Для решения использовалась конечно-разностная схема “крест”, подробно описанная в работе [12]. Для подавления нефизических осцилляций за фронтом ударной волны в численную схему вводится искусственная вязкость.
Расчет контактных границ осуществляется с помощью симметричного алгоритма, разработанного в [13].
3. Взаимодействие косых ударных волн в порошке
Известно, что свойства компакта, образующегося в результате компактирования порошка в ударной волне, зависят от характера взаимодействия ударных волн. В частности, при нерегулярном взаимодействии ударных волн механические свойства компакта являются существенно неоднородными. Это обстоятельство делает актуальной проблему выбора нужного режима взаимодействия ударных волн. Данная проблема изучалась экспериментально и теоретически в работах [14-16]. Дополнительный интерес к ней был стимулирован исследованиями взаимодействия косых ударных волн в газовой динамике, где обсуждается проблема гистерезиса [17-19].
Ниже будут приведены результаты исследования взаимодействия косых ударных волн в порошке на основе математической модели, изложенной в предыдущем пункте.
Рассмотрим взаимодействие ударных волн в плоском случае. Если ударные волны одинаковы, то в силу симметрии задачи достаточно рассмотреть взаимодействие одной ударной волны с жесткой стенкой. Последняя в данном случае соответствует оси симметрии. При этом может реализовываться регулярный (ЛК) (рис. 1), либо нерегулярный (1К) режим взаимодействия (рис. 2). На рис. 1 угол 0 определяет отклонение линии
Рис. 3. Ударные поляры в порошке алюминия с начальной пористостью —0 = 0.3
тока после пересечения ударной волны, а ф — угол наклона падающей ударной волны. Задача состоит в том, чтобы найти область существования регулярного и нерегулярного режима взаимодействия, то есть критические углы ф* перехода от регулярного взаимодействия к нерегулярному.
Прежде чем переходить к полному решению задачи, рассмотрим аналогично [14] стационарное взаимодействие ударных волн с помощью ударных поляр. Пренебрегая компонентами девиатора тензора напряжений Бу, запишем уравнения сохранения массы, импульса и энергии на фронте косой ударной волны:
р+и— =Р-<, Р ++ (и— )2 = Р - + (и- )2,
H ++ I(u+ )2 = H -+ i(u- )2
(12)
ut = u cos ф, un = u sin ф,
u + = u + COS^ - 0), u+ = u + sln(ф - 0),
где индексы “-” и “+” соответствуют параметрам потока перед и за ударной волной; ф — угол наклона ударной волны к вектору скорости набегающего потока; 0 — угол поворота потока за ударной волной; индекс n соответствует нормальной, а t — тангенциальной компоненте скорости по отношению к фронту ударной волны.
Полагая в четвертом уравнении (12) Н = Е + PV, V =
= VР, Е = Ес + Ей1, Р = Рс + Рй1, Рй1 = ГЕ1ь/ V, Ес =
= -| РсdV и исключая с помощью первых двух уравнений (12) скорость и2, найдем уравнение адиабаты Гюгонио [3]
(13)
h-1
+ (h-1)(Pc+ -P-) + — (EC -Ec+)
А - ^
V -
где А = 2/Г + 1.
Применим соотношения (12), (13) к схеме регулярного отражения, показанной на рис. 1. Параметры материала перед и за падающей ударной волной I будем обозначать индексами 0 и 1, а за отраженной ударной волной Я — индексом 2. Будем считать, что перед падающей ударной волной I порошок имеет пористость
-0 и находится в ненапряженном состоянии Р0 = 0, Е0 = 0, р0 = Р0—0, —2 = 1 -т1. Предполагая, что за падающей ударной волной происходит полное затекание пор т1 = 0, из (12), (13) и уравнения состояния (2) найдем
01 = ф- arctg( хц^ф),
u * = u
Рис. 4. Ударные поляры в сплошном алюминии Al (m° = 0)
(h -1)Pc(1) - 2р0Ec(1VXio
(14)
А - V *10
где х10 = р0/р1, Рс(1) = К8(—0/х10 -1). Для параметров за отраженной ударной волной из (2), (12), (13) получим:
02 =ф- аг^( Х2^ф),
1
P2 =
"(P1(h/X21 -1) +
h - VX21 ' ' ' " (15)
+ (h - 1)(Pc(2) - Pc(1)) + 2pi (Ec(1) - Ec(2) )/х21),
Pc(2) = Pc(1) + Ks(1/ х21 -1). Величина
где X21 =P^ P2
угла ^ определяется углом наклона отраженной ударной волны юг и углом 01, см. рис. 1. Из первых двух уравнений в (12), записанных для отраженной волны, и уравнения(14)получим
2 11/2
sin (аг^(х^ф))
1-х
21
p0х10D2 sin2 ф
(16)
Предполагая, что скорость набегающего потока и1 = D, определим давление за падающей ударной волной из (12) по формуле
P = Po (1 - ^o)D2 sin 2 ф.
(17)
Уравнения (14)-(17) определяют возможные состояния 0 = 0(Р, —10) за падающей и отраженной ударными волнами и называются ударными полярами.
На рис. 3 показаны ударные поляры в порошке алюминия с начальной пористостью —0 = 0.3, а на рис. 4 — в сплошном алюминии (—1 = 0), построенные по формулам (14)-(17). Буквой I обозначена поляра, соответствующая падающей ударной волне, а буквой Я — отраженной ударной волне. Каждая из поляр Я соответствует заданному давлению Р1 за падающей ударной волной. Приведенные картины взаимного расположения поляр
I и Я исчерпывают все возможные случаи. Из рис. 3, 4
0
следует, что вариация начальной пористости т1 не приводит к качественному изменению картины взаимного расположения поляр Iи Я. Кроме того, из рис. 3, в, г видно, что маховское отражение в порошке реализуется в узком диапазоне углов, что согласуется с экспериментом [14]. В сплошном материале (рис. 4, в, г) маховс-кое отражение не реализуется вообще. В порошке и сплошном материале (рис. 3, г, 4, г) вместо отраженной ударной волны будет возникать система волн сжатия, представляющих собой аналог неймановского отражения в газовой динамике [18]. Как следует из рис. 3, в, г, переход от регулярного к нерегулярному отражению должен определяться из условия касания поляры Я и оси давления Р. Из рис. 3, б, 4, б видно, что помимо точки пересечения поляр I и Я с осью Р имеется еще одна точка пересечения поляры R с осью давлений Р при меньшем значении давления. Известно [17, 18], что на практике реализуется состояние с меньшим давлением (слабое решение), поэтому в этом случае будет
вв ^ Р
порошок
Рис. 5. Постановка задачи о режимах отражения ударных волн в порошке от жесткой преграды
иметь место регулярное отражение. При меньших давлениях за падающей ударной волной также реализуется регулярное отражение, см. рис. 3, а, 4, а. Из проведенного анализа следует, что в сплошном твердом теле и порошке переход ЯЯ о 1Я должен осуществляться из условия касания поляры R с осью давления Р. В этом смысле ситуация с переходом от регулярного к нерегулярному взаимодействию в твердом теле отличается от аналогичного перехода в газе. В газе отраженная поляра R пересекается с полярой I и осью давлений в точке слабого решения. В данной точке будет происходить
переход от нерегулярного решения к регулярному. Он отличается от условия касания и известен в литературе как критерий Неймана [18].
Отметим, что проведенный выше анализ выполнен в предположении стационарного отражения ударной волны. Реально, чтобы происходил переход от регулярного (RR) отражения к нерегулярному (1Я) и наоборот, параметры падающей ударной волны должны изменяться и процесс отражения не будет стационарным. Конечно, параметры ударной волны должны меняться достаточно медленно, чтобы отражение было квазиста-ционарным. В этом случае можно предположить, что полученный выше критерий перехода не будет сильно отличаться от того, что получен на практике. Для проверки данного предположения была численно решена задача об отражении ударной волны от твердой поверхности в постановке, показанной на рис. 5.
Скорость детонационной волны D медленно изменялась в некотором малом диапазоне ЛО < D так, чтобы обеспечить условие квазистационарности отражения ударной волны. При уменьшении О угол падения ударной волны ф увеличивался и происходил переход от регулярного отражения к нерегулярному. При увели-
26 27 28 х, см
Рис. 6. Изолинии давления. ЯК ^ Ж-переход в пористом алюминии Рис. 7. Изолинии давления. 1Я ^ RR-переход в пористом алюминии
(—0 = 0.3) в замедляющейся ударной волне: О = 1.2-1.0 см/мкс, Р1 = (—0 = 0.3) в ускоряющейся ударной волне: О = 0.6-0.8 см/мкс, Р1 =
= 10 ГПа = 10 ГПа
Рис. 8. Зависимость значений критических углов ф* от давления за падающей ударной волной Р, при которых происходит ЯЯ о 1Я-переход для сплошного алюминия (—0 = 0). Сплошные линии — расчет в данной работе, штриховая линия и экспериментальная точка — данные [16]
Рис. 9. Зависимость значений критических углов ф* от давления за падающей ударной волной Р, при которых происходит ЯЯ о 1Я-переход для пористого алюминия (—0 = 0.1). Сплошные линии — расчет в данной работе, штриховая линия — данные [14]
чении О имел место обратный переход 1Я ^ ЯК. Поведение порошка при ударно-волновом нагружении описывалось уравнениями, приведенными в предыдущем пункте статьи. Расчеты проводились для порошка алюминия с параметрами: р8 = 2.71 г/см3, = 0.41 ГПа,
К 8 = 74.4 ГПа, =24.8 ГПа и различной пористостью.
На рис. 6, а-г показаны изолинии давления Р в порошке алюминия для четырех моментов времени. Начальная пористость порошка равнялась т1 = 0.3, а скорость детонационной волны уменьшалась от 1.2 см/мкс до 1.0 см/мкс. Видно, что в этом интервале скоростей происходит переход от регулярного к нерегулярному отражению ЯЯ ^ 1Я. В случае регулярного отражения
(рис. 6, а, б) видна отраженная ударная волна, которая при нерегулярном отражении переходит в серию волн сжатия (рис. 6, в, г). Момент перехода определялся из условия возникновения ножки Маха, рис. 6, в. Обратный переход нерегулярного отражения в регулярное 1Я ^ ЯЯ показан на рис. 7. Здесь скорость детонационной волны
О увеличивалась от 0.6 см/мкс до 0.8 см/мкс. Видно, что переходу 1Я ^ ЯЯ соответствует рис. 7, б. Была проведена большая серия расчетов для различных значений пористости т10, из которых определялись углы ф* и давление Р в падающей ударной волне, при которых происходит переход ЯЯ о 1Я. Результаты показаны на рис. 8-11. Сплошные линии аппроксимируют
Рис. 10. Зависимость значений критических углов ф* от давления за падающей ударной волной Р, при которых происходит ЯЯ о 1Я-переход для пористого алюминия (—0 = 0.3). Сплошные линии — расчет в данной работе, штриховая линия и экспериментальная точка — данные [14]
Рис. 11. Зависимость значений критических углов ф* от давления за падающей ударной волной Р, при которых происходит ЯЯ о 1Я-переход для пористого алюминия (—0 = 0.5). Сплошные линии — расчет в данной работе, штриховая линия и экспериментальные точки — данные [14]
значения ф*, Р, полученные в численных расчетах. Стрелками на сплошных линиях отмечены направления либо Ж ^ RR-перехода, либо RR ^ Ж-перехода. Ошибка в определении ф* в численных расчетах не превышала 2°. Штриховые линии на рис. 8-11 определяются из условия касания с осью давления поляры R, найденной по формулам (14)-(16). Точки с указанными ошибками соответствуют экспериментальным данным для сплошного А1 из работы [16], а для пористого А1 (см. рис. 10, 11) из работы [14]. Видно, что численные расчеты и расчеты по формулам (14)-(16) достаточно хорошо согласуются с данными экспериментов. Небольшой гистерезис, наблюдаемый в численных расчетах, по-видимому, может быть связан с влиянием нестационарности процесса отражения ударной волны на переход RR о Ж. В частности, ускорение детонационной волны приводит к появлению небольшой отрицательной кривизны фронта падающей ударной волны. Учет этих факторов может сблизить кривые, соответствующие Ж ^ RR и RR ^ Ж на рис. 8-11, на 2-3°, однако слияния не произойдет, что очевидно, например, из рис. 8. Не исключено, что здесь нужны какие-то другие гипотезы, которые авторам пока не известны. Интересно отметить, что экспериментальные точки на рис. 10 (т0 = 0.3) и рис. 11 т0 = 0.5 располагаются ближе к верхней кривой, что соответствует переходу RR ^ Ж.
4. Образование “холодного” слоя при ударноволновом компактировании порошков
При компактировании порошковых материалов в условиях двумерного взрывного нагружения возможно возникновение зон структурных неоднородностей, расположенных вблизи границы раздела порошка и деформируемой преграды. В частности, в порошковых компактах плоской или цилиндрической формы, содержащих монолитный стержень (“центральное” тело), в плоском случае пластину, наблюдались низкотемпературные “холодные” зоны, где процесс компактирова-ния не сопровождался существенным повышением температуры [20]. Под “холодным” слоем понимается слой, в котором частицы не “свариваются” и испытывают существенно меньшую локальную деформацию, чем частицы во внешнем слое. Природа образования таких зон до конца не выяснена. Согласно [8] “холодный” слой появляется при выполнении неравенства Б < Б*, где D — скорость распространения детонационной волны; Б* ~ С0 — скорость распространения ударной волны в пластине, которая при данных нагрузках близка к объемной скорости звука С0. В этом случае на “центральном” теле возникает бугорок, который компакти-рует порошок в окрестности “центрального” тела, рис. 12. В работе [21] было показано, что если предположить, что бугорок компактирует порошок до состояния плотной упаковки, то в окрестности “центрального”
пластина
хX / ////// / / / / X
Рис. 12. Схема ударно-волнового компактирования пористого материала при наличии “центрального” тела
тела будет возникать “холодный” слой. Данная точка зрения была подвергнута критическому анализу в [9], где выражается сомнение в возможности значительного компактирования порошка бугорком, там же приведены некоторые другие точки зрения на возникновение “холодного” слоя.
Необходимо отметить, что в проведенных ранее [20] двумерных численных расчетах не зарегистрировано образование бугорка на поверхности “центрального” тела перед ударной волной в порошке в случае D < С0. Причина этого не ясна, поскольку в [20] не приведено уравнение состояния порошка, использованное в расчетах. В динамических экспериментах [8] отмечено лишь косвенное влияние бугорка на изменение плотности, а сам бугорок получен только в одной точке, соответствующей условиям D = С0. Все это делает актуальным исследование данной задачи.
Расчеты проводились для плоского случая (рис. 12). В качестве материала пластины рассматривался алюминий, в качестве порошка — медь с начальной пористостью т° = 0.38. Скорость детонации изменялась в пределах 0.2-0.8 см/мкс. Объемная скорость звука в алюминиевой преграде равна С0 = 0.535 см/мкс. В расчетах использовались следующие значения параметров: для алюминия р8 = 2.785 г/см3, Ys = 0.41 ГПа, К8 = = 74.4 ГПа, ц8 = 24.8 ГПа; для меди р8 = 8.9 г/см3, Ys = = 0.2 ГПа, К8 = 139 ГПа, ц8 = 46 ГПа.
На рис. 13,14 приведены результаты расчетов при скорости детонации D = 0.36 см/мкс (D < С0) в момент времени t = 50 мкс. На рис. 13 показана расчетная сетка в пластине (область I) и в порошке (область II). Для удобства масштаб по оси у увеличен в 7 раз. Из рис. 13 следует, что в этом случае на пластине возникает асимметричный бугорок с резким передним фронтом и плавно спадающим задним фронтом. Максимум бугорка совпадает с точкой прихода ударной волны из порошка на пластину. Вся ударно-волновая картина в порошке и бугорок на пластине движутся вправо без изменения своей формы со скоростью детонационной волны D. Таким образом, течение в порошке, в системе отсчета,
Рис. 13. Расчетная сетка в момент времени t = 50 мкс ^ < С0)
связанной с детонационной волной, можно считать стационарным. В то же время, скорость распространения пластической волны сжатия в пластине С0 больше скорости детонации П, поэтому она обгоняет точку прихода ударной волны на пластину (вершину бугорка). Волна сжатия выталкивает материал пластины из области высокого давления в область перед ударной волной, где давление мало. В результате такого расширения материала в порошок возникает передний фронт бугорка, а пластическая волна в пластине теряет свою энергию и затухает.
Передний фронт бугорка создает слабую косую ударную волну в порошке (рис. 14), которая взаимодействует с приходящей ударной волной. Как следует из рис. 14, имеет место нерегулярное неймановское отражение ударной волны в порошке от преграды. Отмеченное выше взаимодействие приходящего скачка с косой ударной волной приводит к его искривлению. По аналогии с маховским отражением приходящий на пластину скачок, при нерегулярном отражении, называется ниже маховским.
16.5 17 17.5 х, см
Рис. 14. Изолинии давления Рв момент времени t = 50 мкс (Б < С0)
Давление непосредственно за маховским скачком немонотонно изменяется с увеличением расстояния до пластины у. Оно достигает максимума в некоторой точке, лежащей на линии тока, перпендикулярной маховс-кому скачку и показанной на рис. 14 штриховой линией. Уменьшение давления при приближении к пластине ниже штриховой линии связано с влиянием волны разрежения, возникающей на заднем фронте бугорка и показанной на рис. 12 штриховыми линиями. Уменьшение давления при удалении от пластины выше штриховой линии (рис. 14) обусловлено волной разрежения, возникающей на верхней границе порошка за счет расширения продуктов детонации.
Отмеченные выше особенности взаимодействия ударной волны с пластиной (наличие слабой косой ударной волны и немонотонность давления Р(у) за маховским скачком) приводят к особенностям в распределении пористости (рис. 15) и температуры (рис. 16). Из рис. 15 следует, что затекание пор начинается за слабой ударной волной еще до прихода маховского скачка и заканчивается за маховским скачком. Распределение температуры Т(у) в скомпактированном материале является немонотонным, и максимум температуры совпадает с максимумом давления за скачком. На рис. 17 сплошной линией показана зависимость температуры Т(у) в сечении х = 15 см в скомпактированном порошке. Видно, что на расстоянии Ду ~ 0.05 см от пластины возникает “горячая” область, ограниченная с обеих сторон “холодными” слоями. Эта картина хорошо согласуется с тем, что наблюдается в экспериментах [9, 22].
Рис. 15. Изолинии пористости т в момент времени t = 50 мкс
(р < Са)
Рис. 16. Изолинии температуры Т в момент времени t = 50 мкс (^ < С0)
2323915353534823235348020202534823235302532353010053
Рис. 17. Распределение температуры Т в скомпактированном порошке
в сечении х = 15 см: і мируемая преграда
^ < С0; б —
в — D < С0, недефор-
Рис. 18. Распределение давления Р и пористости т1: сплошные линии — вдоль поверхности пластины; штриховые линии — вдоль линии тока
Приращение температуры при компактировании порошка можно оценить по формуле
Т = -
/ Мщ/(Р з с8 т°),
где сз — теплоемкость материала порошка. На рис. 18
сплошными линиями приведены зависимости давления
Р и пористости т1 от координаты х вдоль поверхности
пластины, а штриховыми линиями показаны Р(х) и
т1 (х) вдоль линии тока, проходящей через максимум
давления за маховским скачком на расстоянии Ду ~
~ 0.1см и показанной на рис. 14 штриховой линией.
Видно, что понижение температуры вблизи пластины
0
связано, в первую очередь, с затеканием пор от т1 = = 0.4 до т° = 0.1 в слабой косой ударной волне, создаваемой передним фронтом бугорка. Оставшаяся пористость уменьшается от т° ~ 0.1 до нуля в маховском скачке, однако поскольку давление и пористость вблизи пластины существенно меньше, чем на расстоянии Ду ~ = 0.1 см, то и приращение температуры там будет также меньше.
Понижение температуры с увеличением ординаты у выше штриховой линии связано с соответствующим уменьшением давления и с затеканием пор в падающей косой ударной волне, расположенной выше маховского скачка (рис. 14).
“Холодный” слой вблизи пластины исчезает, если при тех же параметрах нагружения пластина является недеформируемой. В расчетах недеформируемая пластина моделировалась с помощью граничного условия в виде равенства нулю вертикальной компоненты скорости на нижней границе области, занятой порошком. Полученные в расчетах распределения давления Р(х, у) приведены на рис. 19. Видно, что имеет место нерегу-
лярное отражение, причем маховский скачок является прямым. С увеличением у давление за ударной волной понижается, что связано с влиянием волны разгрузки, приходящей от верхней границы. Соответствующая зависимость Т(у) в сечении х = 15 см показана на рис. 17 штрихпунктирной линией. На нижней границе достигается максимум температуры, которая убывает с увеличением у вследствие уменьшения Р.
Вернемся снова к случаю с деформированной пластиной и увеличим скорость детонации до значения Б = = 0.6 см/мкс, оставляя все остальные параметры пластины, порошка и давление продуктов детонации неизменными. В этом случае скорость движения по пластине точки, в которую приходит ударная волна из порошка, будет превышать скорость распространения пластической волны сжатия в пластине Б > С0. Следовательно, возмущения давления в пластине не будут опережать фронт ударной волны, поэтому бугорок и “холодный”
Рис. 19. Изолинии давления Р в момент времени t = 50 мкс (В < С0),
недеформируемая пластина
D > С„;
Рис. 20. Расчетная сетка в момент времени t = 33 мкс (Р > С0)
слой будут отсутствовать. Численные расчеты подтверждают это предположение. На рис. 20 показана расчетная сетка в пластине (область I) и в порошке (область II), причем для удобства наблюдения масштаб по оси у увеличен в 10 раз. Вместо бугорка здесь на пластине наблюдается вмятина. На рис. 21, 22 приведены распределения давления Р и температуры Т для этого случая. Соответствующая зависимость Т(у) в сечении х = 15 см показана на штриховой линией на рис. 17. Видно, что имеет место регулярное отражение ударной волны от пластины, а вблизи пластины в скомпактиро-ванном порошке вместо “холодного” образуется “горячий” слой. Его возникновение связано с тем, что вблизи пластины затекание пор при компактировании происходит не только в падающей, но и в отраженной ударной волне, давление за которой существенно боль-
16 17 18 х, см
Рис. 21. Изолинии давления Р в момент времени t = 33 мкс (Р > С0)
Рис. 23. Расчетная сетка для случая, когда упругие модули К, и увеличены в 2 раза (Б < С0)
ше давления за падающей ударной волной. По мере удаления от пластины расстояние между падающей и отраженной ударными волнами вдоль линии тока увеличивается. Поэтому на достаточном удалении от пластины затекание пор происходит уже за падающей ударной волной.
Для выяснения влияния характера отражения ударной волны от пластины на образование “холодного” слоя был проведен расчет, в котором упругие модули пластины Кз и ц, были увеличены в 2 раза, так что выполнялось условие Б < С0 (С0 = 0.7566 см/мкс). Расчеты показали, что в этом случае на пластине возникал бугорок, однако имело место регулярное отражение и “холодный” слой не возникал, рис. 23, 24. Следовательно, другим необходимым условием появления “холодного” слоя является нерегулярное отражение ударной волны от пластины.
5. Обсуждение результатов
Из приведенных выше результатов численных расчетов механизм формирования “холодного” слоя можно описать следующим образом. Необходимыми условиями возникновения “холодного” слоя являются наличие
Рис. 22. Изолинии температуры Т в момент времени t = 33 мкс (Р > Са)
Рис. 24. Изолинии температуры Т для случая, когда упругие модули Кз и увеличены в 2 раза (Б < С0)
0200010904010003000010040000070202
нерегулярного отражения косой ударной волны и образование бугорка на “центральном” теле. Ударно-волновая картина, возникающая в этом случае, показана на рис. 25. Видно, что вблизи передней кромки бугорка образуется слабая косая ударная волна, в которой происходит частичное затекание пор на величину Дда1 при давлении Р. При этом происходит диссипация энергии и выделение тепла Q = -(1/2^^ V. Используя соотношения ДV = Дт1/р8, Q = срАТ, найдем повышение температуры АТ' ~ Р/Дш^(2р8ср), где ср — удельная теплоемкость материала. После прихода прямого скачка от продуктов детонации на бугорок, происходит его вдавливание в “центральное” тело. Это приводит к возникновению волны разрежения, распространяющейся от задней поверхности бугорка в порошок, рис. 25. В результате давление за прямым скачком понижается и затекание пор вблизи “центрального” тела происходит при давлении Р. Нагрев частиц в этой области можно оценить по формуле АТ" ~ Р'Дш2/(2р1,ср), полное повышение температуры частиц вблизи “центрального” тела равно ДТСЬ = АТ' + АТ" , где Дт1 + Дт2 = т°.
Важно подчеркнуть, что затекание пор происходит в узкой полосе за фронтом ударной волны. Эта область заштрихована на рис. 25 и является зоной релаксации, в которой изменяются все параметры ударной волны. Толщина зоны релаксации I = тБ определяется характерным временем затекания пор т, для которого в случае вязкого затекания пор имеется оценка [7] т = (4/3) х х("л/Р). Фактически толщина зоны релаксации определяет ширину фронта ударной волны в порошке
I = (4/3)(пБ/Р).
На некотором расстоянии от “центрального” тела затекание пор произойдет за прямым скачком в зоне релаксации раньше, чем волна разрежения от бугорка достигнет этой области. Следовательно, затекание пор здесь будет происходить при давлении за прямым скачком РМ. Соответствующее повышение температуры порошка равно ДТМ ~ Рмт1/(2р8ср). Поскольку для давлений имеем неравенства Рм > Р >> Р , то повышение температуры вдали от “центрального” тела ДТМ будет выше, чем вблизи от него ДТСЬ. Из неравенства ДТМ > ДТСЬ следует возникновение “холодного” слоя вблизи “центрального” тела. Толщина “холодного” слоя 8 определяется интенсивностью волны разрежения, уходящей от бугорка и шириной зоны релаксации I. Из рис. 25 следует, что 8 < I, и в случае I ^ 0 толщина “холодного” слоя также стремится к нулю.
В нашем случае (медный порошок и “центральное” тело — алюминий) толщина “холодного” слоя, определенная по формуле I ~ (4/3)(г|Б/Р), согласуется с приведенными выше результатами расчетов и с данными экспериментов [8]. Отметим, что 8 не зависит от размера
Рис. 25. Ударно-волновая картина, возникающая при компактирова-нии порошка в схеме с “центральным” телом. Заштрихована область, где происходит затекание пор
частиц порошка, что также согласуется с экспериментальными данными [8]. Из приведенных выше оценок следует, что третьим необходимым условием возникновения “холодного” слоя является наличие макроскопической ширины ударной волны.
Около 10 лет назад имела место дискуссия между авторами работ [8, 9]. Один из которых [8] утверждал, что “холодный” слой возникает из-за бугорка на “центральном” теле, а другой [9] полагал, что существенной является конечная ширина ударной волны. В результате проведенного выше анализа оказалось, что для возникновения “холодного” слоя необходимы оба эти условия, а также условие нерегулярного отражения ударной волны от “центрального” тела [23]. Граница, разделяющая режимы регулярного и нерегулярного отражения, может быть найдена с помощью ударных поляр. Однако при нестационарном (квазистационарном) режиме взаимодействия возможно возникновение гистерезиса.
6. Заключение
В работе приведены результаты численного моделирования взаимодействия ударных волн в порошках. Найдена граница, разделяющая режимы регулярного и нерегулярного взаимодействия. В случае нестационарного (квазистационарного) взаимодействия обнаружен гистерезис. Дано объяснение эффекту образования “холодного” слоя при взрывном компактировании порошков в схеме с “центральным” телом. Показано, что необходимыми условиями образования “холодного” слоя являются наличие бугорка на “центральном” теле, нерегулярного взаимодействия ударной волны с “центральным” телом и конечной ширины ударной волны в порошке.
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов/Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.
2. Herrman W. Constitutive equation for the dynamics compaction of ductile porous materials // J. Appl. Phys. - 1969. - V. 40. - P. 24902499.
3. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1966. - 688 с.
4. Carroll M.M., Holt A.C. Static and dynamic pore-collapse relations for ductile porous materials//J. Appl. Phys. - 1972. - V. 43. - P. 16261635.
5. Киселев С.П. Упругопластическая модель деформирования порис-
того материала / Фильтрация многофазных систем. - Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 1991. - С. 151-166.
6. Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П., Фомин В.М., Шавалиев М.Ш. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. - Новосибирск: Наука, 1992. - 260 с.
7. Киселев С.П., Фомин В.М. О модели пористого материала с учетом
пластической зоны, возникающей в окрестности поры // ПМТФ. -1993. - №6. - С. 125-133.
8. Костюков НА. Двухмерные ударно-волновые течения и структура
порошковых компактов вблизи границы раздела с деформируемой преградой // Моделирование в механике. - 1990. - № 6. - С. 76102.
9. Нестеренко В.Ф. Импульсное нагружение гетерогенных материалов. - Новосибирск: Наука, 1992. - 284 с.
10. Дунин С.З., Сурков В.В. Эффекты диссипации энергии и влияние плавления на ударное сжатие пористых тел // ПМТФ. - 1982. -№ 1. - С. 131-142.
11. Физика взрыва / Под ред. К.П. Станюковича. - М.: Наука. - 1975. -704 с.
12. Уилкинс М.Л. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, - 1967. - С. 212264.
13. Гулидов А.Н., Шабалин Н.Н. Численная реализация граничных условий в динамических контактных задачах. - Новосибирск,
1987. - 37 с. / Препринт ИТПМ СО АН СССР № 12.
14. Костюков Н.А. Влияние начальной плотности вещества на режим косого столкновения ударных волн // ПМТФ. - 1977. - № 3. -С.124-130.
15. Костюков Н.А. Приближенный расчет критических параметров отражения ударных волн в конденсированных средах//ФГВ. -
1988. - №1. - С. 124—130.
16. Альтшулер Л.В., Кормер С.Б. и др. Нерегулярные режимы косого столкновения ударных волн в твердых телах // ЖЭТФ. - 1961. -Т. 41. - Вып. 511. - С. 1382-1393.
17. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. - М.: Наука, 1977. - 274 с.
18. Ben-Dor G. Shock Wave Reflection Phenomena. - New York-Berlin-Heidelberg-London-Paris-Tokyo-Hong-Kong-Barcelona-Budapest: Springer-Verlag, 1992. - 408 p.
19. Иванов М.С., Клеменков Г.П., Кудрявцев А.Н., Фомин В.М., Харитонов А.М. Экспериментальное исследование перехода к маховс-кому отражению стационарных ударных волн // Докл. РАН. -1997. - Т. 357. - № 5. - С. 623-627.
20. Kusubov A.S., Nesterenko VF., Wilkins M.L. et al. Dynamic deformation of powdered materials as a function of particle size // Materials of the Intern. Seminar on High Energy Working of Rapidly Solidified Materials. - Novosibirsk, 1989. - P. 139-156.
21. Киселев С.П., Фомин В.М. К вопросу об образовании холодного слоя частиц при взрывном компактировании порошков // Моделирование в механике. - 1990. - № 6. - С. 49-53.
22. Костюков Н.А. Физические причины и механизмы образования пограничных зон при двумерном взрывном компактировании порошковых материалов // ПМТФ. - 1991. - №6. - С. 154-161.
23. Buzjurkin A.E., KiselevS.P On appearance of “cold” layer in explosive consolidation of powders // Shock Waves. - 2000. - V. 10. - No. 3. -P. 159-165.
