CC BY
64
УДК 539.214
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ ТЕЛЕ В СЛУЧАЕ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
М.А. Артемов, И.А. Ларин
В рамках теории течения однородного изотропного упругопластического тела предложен алгоритм, позволяющий находить приближенное решение задач плоской деформации при учете сжимаемости материала
Ключевые слова: упругопластическое тело, малый параметр
Учет сжимаемости материала в рамках теории пластического течения приводит к тому, что в области пластического деформирования при решении задачи плоской деформации (за исключением некоторых случаев) нельзя выделить группу уравнений, замкнутую относительно компонент тензора напряжений, не содержащую компонент тензора деформаций.
Известен алгоритм, позволяющий находить приближенное решение задач плоской деформации для упруго сжимаемого материала [1]. Этот алгоритм предполагает малую упругую сжимаемость материала.
Ниже рассматривается подход, позволяющий снять предположение о малой упругой сжимаемости материала и учитывать пластическую сжимаемость.
Рассмотрим задачу плоской деформации для идеального упругопластического тела. Примем, что относительно декартовой системы координат *1, *2, хз координата, от которой не зависят искомые величины, — координата Х3.
Матрицы тензора деформаций и тензора напряжений имеют вид:
(
Л
(
(е) =
Основные уравнения, бранную модель:
- уравнения равновесия
Л
е11 е12 0 а11 а12 0
е21 е22 0 , (у) = а21 а22 0
0 0 0 0 0 азз
определяющие вы-
да
11
да
12
= 0,
да
12
да
22
дх 2
= 0;
(1)
дх-1 дх 2 3x1
условие пластичности
/ (011>0'12’0’22’а33) = уравнения, определяющие связь напряжений с деформациями
(2)
Артемов Михаил Анатольевич — ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 46-32-85 Ларин Игорь Александрович — ВГУ, аспирант, тел. (4732) 20-83-37
1 + V V
йе1} = — йа1} -Е*(с1у)8р + ,
ёХ = .
¿ерЛер
ёцё.
=
д/ .
да■■
(3)
соотношения кинематической связи перемещений с деформациями
1 ,ди,- ди
"у
= еР + ер =± (■
), і, Р = 1,2.
(4)
Здесь V — коэффициент Пуассона, Е - модуль Юнга, ар , е р, е е, ер, и і — компоненты
тензора напряжений, деформаций, упругих деформаций, пластических деформаций и вектора перемещений соответственно.
Система уравнений равновесия (1) и условие пластичности (2) не является замкнутой относительно компонент тензора напряжений аір. и, следовательно, не является статически определимой.
В теории пластичности выделяется класс задач, условно называемых статически определимыми [2]. К статически определимым задачам теории пластичности относят те задачи, для которых условия равновесия и условия пластичности и граничные условия в напряжениях позволяют определить напряженное состояние в области пластического деформирования [2-5]. В ряде работ при определении статически определимых задач теории пластичности особо подчеркивается, что напряжения в зоне текучести вполне определяются без рассмотрения деформаций [5], или без рассмотрения уравнений, содержащих компоненты скоростей [4]. К статически определимой задачи плоской деформации приходим, если выбирается условие пластичности вида
(а22 -а11)2 + 4а122 = ^ ^ (5) которое при этом постулируется, так как обоснование его выбора требует рассмотрения уравнений содержащих деформации, а компонента а33 не рассматривается.
В случае плоской деформации имеется класс задач теории пластического течения, не являющихся статически определимыми (локально статически
+
+
определимыми1), но, тем не менее, позволяющих получить замкнутую систему уравнений для определения некоторых компонент тензора напряжений в области пластического деформирования без определения деформаций. Например, для модели упруго и пластически несжимаемого изотропного идеального упругопластического тела для любой гладкой функции пластичности [6] из соотношений ассоциированного закона пластического течения следует равенство д/ / 3033 = 0, позволяющее получить дополнительное уравнение, которому должны удовлетворять компоненты тензора напряжений:
а33 = Ка11 + а22) •
В отличие от несжимаемого материала, для которого в области пластического деформирования
материала е3з = 0, для сжимаемого материала, в общем случае, в области пластического деформирования компоненты ер3 ^ 0 и ^ 0, поэтому не
удается получить дополнительное уравнение, устанавливающее зависимость между компонентами тензора напряжений. Для определения компонент тензора напряжений в пластической области без определения деформаций, кроме уравнений равновесия (1) и условия пластичности (2), необходимо еще одно дополнительное соотношение между компонентами тензора напряжений.
Определение деформаций в области пластического состояния материала связано с интегрированием соотношений ассоциированного закона пластического течения
¿е,р = 8„^л.
компонент е
р(п)
и
(6)
Интегрирование соотношений (6) можно выполнить,
2
если не изменяются в процессе нагружения .
Предположим, что искомые величины зависят от некоторого параметра 8. Рассматривая 8 как малый параметр, представим все искомые величины в виде степенных рядов по параметру 8 :
то
Ц, ер, X,...} =^8" {а(п), е^\ Х(п),...}. (7)
п=0
Подставляя выражения (7) в (6) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра
8, получаем
¿е^ = X 8 (П + Х8 (0) + 2 X8 (-). (8)
г=1
Два первых слагаемых в правой части равенства (8) позволяют выполнить интегрирование (8) и, следовательно, получить формулы для вычисления
1 К локально статически определимым задачам теории пластичности относят те задачи, для которых условия равновесия и условия пластичности представляют замкнутую систему уравнений для определения компонент тензора напряжений [5].
2 Нагружение пластического тела определяется как процесс, при котором происходит изменение пластических деформаций [9].
только в том случае, если на
(")
п - ом шаге решения задачи величины gij ' являются известными функциями параметра Х(0) (ниже предложен соответствующий алгоритм), а величины
g г(,0) не изменяются в процессе нагружения. Данные
ограничения существенно сужают круг задач теории пластического течения, при решении которых метод малого параметра мог бы быть достаточно эффективным. Если указанные ограничения выполнены, то, полагая, что до нагружения в теле пластических деформаций нет, получим
П-1 Х(0)
ер(п) = gfin) +2 $^). (9)
1=0 0
Как отмечалось выше, при использовании условия пластичности общего вида (2), в области пластического состояния материала задача по определению напряжений не является статически определимой.
Рассмотрим пластически несжимаемое тело. Функцию пластичности, выраженную через главные напряжения, заменим (аппроксимируем) кусочнолинейной функцией.
В случае плоской деформации в пространстве главных напряжений уравнение плоскости, параллельной гидростатической оси, содержащей грань поверхности пластичности, при переходе от главных напряжений к компонентам тензора напряжений, определяемых в выбранной декартовой системе координат, можно записать в виде
^ (а22 -°11)2 + 4о122 = — - в(а11 + а22 - 2а33) (10) Возведем обе части равенства (10) в квадрат и положим в = 8в . Тогда
(а22 -°"11)2 + 4ц12 = (-8в(а11 + а22 - 2ц33))2. (11)
а
При значении малого параметра 8 = 0 уравнение (11) переходит в уравнение грани поверхности пластичности Треска
СТ1 -ст2 = —, а = ^"(а 1 -Ст2).
а
Используя представление (7), из уравнения
(11) можно получить следующие соотношения:
при п = 0
(а20) -а^)2 + 4Ц0)2 = —2; (12)
при п = 1
(а2?-а,(?))(а^12)-а«1)) + ЦЦ = -вк-(а{») +02 -Ч01)
и при п > 2
(i) _aQ))(a(n_i) _a(n_0
S[(a22 _а11)(а
22
"11
) +
i=0
+4а12>а<;-)]= _2в— (<_‘>+а22-‘>
n_2
_2а33 1)) + P2 S (<Tff +
i=0
(14)
+ a(i) _ 2a(i) )(_(n_0 + a(n_0 _ 2a(n_i)) + а22 33 )(а11 + а22 2а33 )-
::
Из рассмотрения равенств (12) - (14) следует, что при каждой степени параметра 8 в пластической зоне система уравнения равновесия и условие пластичности будут представлять замкнутую систему уравнений относительно компонент а(п) а(п) а(п) ст11 ,22 , 12 .
Рассмотрим формулы для определения компоненты тензора напряжений а33 . Из соотношений
(8) при использовании в качестве пластического потенциала функции пластичности (11), при значении индексов 1 = р = 3 следует, что при п = 0
е3р3(0) = 0; (15)
при п = 1
ep(1) = 4в-Л(0)
а
при n > 2
ep3(n) = 4 в a Л(п_1) _ 4в2 S j (°т' +
n_2
'-i:>
i=0 0
(16)
(17)
+ а-22 _ 2ст^3) ))dl(n_2), n > 2.
зз
Следствием определения плоской деформации и выражений (7) являются равенства
Поскольку
e3:=0, n > 0.
e (n) = eP(n) + ee(n) K33 _K33 -^33
и согласно закону Гука
e(n) =1 (_(n) _ v(a(n) + _(n))) e33 = E (a33 V(a11 + а22)),
то из (15) - (17) получаем формулы для вычисления
величин а
(n). 33 • при n = 0
а:(3) = ^(а1(0) +а|^0)); (18)
при n = 1
= Кст® + а®) _ 4вЕ — Л(0); (19)
33
[X
при n > 2
аъъ = v(a1(n) +а^2)) _ 4PE — Л(п_1) +
n_2i0) (20)
+ 4в'2ES j (ст1(') + ст^ _ 2а.(г3) ))dA(n_2). i=0 0
Из формул (18) — (19) следует, что компонен-
ты a3n не зависят от величин Л(п), а при значении
n > 1 компоненты а3>3 явно зависят от деформаций
в пластической области.
Таким образом, алгоритм решения задачи плоской деформации будет следующим. в пластической
зоне определяем компоненты ац,СТ22 и СТ12 , определяем компоненты тензора деформаций и функцию Л ; определяем напряжения и деформации в упругой зоне; константы интегрирования, возникающие при решении дифференциальных уравнений, определяем из граничных условий и условий сопряжения решений на упругопластической границе.
Рассмотрим частный случай условия пластичности (11), когда параметр в = 0 .
(а22 _а11)2 + 4ai2 = k2. (21)
Это уравнение пластичности в главных напряжениях имеет вид
1а2 _а1 1= k .
(22)
В пространстве главных напряжений уравнение (22) определяет две плоскости, содержащие определенные грани поверхности пластичности Треска
1а2 -а1 1= к,
| а2 -а3 |< к,
|а1 -а3 |<
Из закона пластического течения, ассоциированного с условием пластичности (21), закона Гука и равенства е33 = 0 следует, что для всех значений
величины п компоненты а3(п3) будет определяться
по формуле а33) = КаЦ +а^^)).
Заметим, что замена условия пластичности Треска соотношением М. Леви [7], предложенная в [1], не является корректной, поскольку условие пластичности Треска и соотношение М.Леви не эквивалентны [8].
Система уравнений (1), (21) замкнута относительно компонент а11,а22,а12. Таким образом, математическая модель идеального упругопластического тела, включающая в качестве условия пластичности уравнение (21), если заданы граничные условия в напряжениях, отражает зависимость от коэффициента Пуассона только компоненты тензора напряжений а33.
Аппроксимация «истинного» условия пластичности кусочно-линейным условием пластичности позволяет в ряде случаев учесть не только упругую, но и пластическую сжимаемость материала.
Рассмотрим в качестве примера условие пластичности вида
2 2 к
(а11 -а22) + 4а12 = ( +8(в(а11 + а22 ) +
а (23)
+ 7а33))2 = к2 -28У—а33 + 82 к2/2а33 . а
В пространстве главных напряжений это уравнение определяет плоскость, пересекающую гидростатическую ось в точке --------к----. Случай, когда
8а(2р + у)
у = -2в соответствует пластически несжимаемому материалу.
Используя формулы (7), из (21) будут следовать соотношения:
при п = 0
! (0) (0)ч2 , л (0)^,2.
(а11 а22 ) + 4а12 =к ;
при п =1
(а?-аМ-а22)) + а« = = ^ (в(а{0) +а22)) + Щ));
а
при п > 2
2 [(а22 - а1(1))(а^2-1) - а1(п-1)) + 4а1(2)ст1п-г)] = 0 .
1=0
Алгоритм определения деформаций в пластической области для рассматриваемого варианта условия пластичности здесь не приводим, так как он практически не отличается от алгоритма определения деформаций в пластической области для пластически несжимаемого материала.
В случае, когда при 8 = 0 задача является осесимметричной и материал пластически несжимаемый, метод малого параметра позволяет получить аналитическое решение задачи плоской деформации.
Предложенный подход, в отличие от варианта, рассмотренного в работе [1], позволяет учитывать конечную упругую и малую пластическую сжимаемость материала при решении задач плоской деформации в рамках теории пластического течения.
Из полученных выше формул следует, что влияние упругой сжимаемости проявляется уже при определении величин на первом шаге решения задачи (п = 0) (в [1] для условия пластичности Мизеса упругой сжимаемости проявляется во втором приближении). Пластическая сжимаемость проявляется уже при определении компонент тензора напряжений на втором шаге решения задачи ( п = 1 ).
Литература
1. Ивлев Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела / Д. Д. Ивлев, Л.В. Ершов. — М.: Наука, 1978. — 208 с.
2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н.Н. Малинин. — М.: Машиностроение, 1975. — 400 с.
3. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Г. Генки.
— Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948. — 452 с.
4. Соколовский В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. — М.: Высшая школа, 1969. — 608 с.
5. Качанов Л. М. Основы теории пластичности / Л. М. Качанов. — М.: Наука, 1969. — 420 с.
6. Артемов М.А. Об общих соотношениях математической теории пластичности / М.А. Артемов, А.П. Якубенко // Информатика: проблемы, методология, технологии: Материалы девятой международной научнометодической конференции (г. Воронеж, 12-13 февраля 2009 г.). — Воронеж: ВГУ, 2009. — С. 49-51.
7. Леви М. К вопросу об общих уравнениях внутренних движений, возникающих в твердых пластических телах за пределом упругости / М. Леви. — Теория пластичности. — М.: ИЛ, 1948. — С. 20-23.
8. Артемов М.А. О записи кусочно-линейных условий пластичности / М.А. Артемов, А.П. Якубенко // Кибернетика и высокие технологии XXI века: Материалы X международной научно-технической конференции (г. Воронеж, 13-14 мая 2009 г.). — Воронеж: ВгУ, 2009. — Т.2. — С. 823-833.
9. Быковцев Г.И. Теория пластичности / Г.И. Быковцев, Д.Д. Ивлев. — Владивосток.: Дальнаука, 1998.
— 528 с.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
TAKING MATERIAL COMPRESSIBILITY IN ACCOUNT AT THE DEFINITION OF STRESSEDLY-DEFORMED STATE IN STIFF-PLASTIC BODY IN CASE OF FLAT DEFORMATION
M.A. Artemov, I.A. Larin
Algorithm, witch allows to find solution of flat deformation problem with taking material compressibility in account, was offered within the theory of homogeneous isotropic stiff-plastic body
Key words: stiff-plastic body, small parameter
