Научная статья на тему 'Учет геометрической нелинейности в статических и динамически^ расчетах конструкций методом конечных элементов'

Учет геометрической нелинейности в статических и динамически^ расчетах конструкций методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
565
76
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Ученые записки ЦАГИ
ВАК
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Агапов В. П.

Рассматривается общая постановка задачи нелинейного статического и динамического расчета конструкций. Из уравнений Лагранжа второго рода с использованием соотношений нелинейной теории упругости выводятся уравнения движения и равновесия конечных элементов сплошной среды. Рассматриваются частные случаи применения полученных уравнений. Приводятся результаты расчета форм и частот собственных колебаний геометрически нелинейных пластинок и оболочек.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Учет геометрической нелинейности в статических и динамически^ расчетах конструкций методом конечных элементов»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XV 19 8 4

М 5

УДК 629.735.33.018.4 : 620.178.3

УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ В СТАТИЧЕСКИХ И ДИНАМИЧЕСКИ^ РАСЧЕТАХ КОНСТРУКЦИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В. П. Агапов

Рассматривается общая постановка задачи нелинейного статического и динамического расчета конструкций. Из уравнений Лагранжа второго рода с использованием соотношений нелинейной теории упругости выводятся уравнения движения и равновесия конечных элементов сплошной среды. Рассматриваются частные случаи применения полученных уравнений. Приводятся результаты расчета форм и частот собственных колебаний геометрически нелинейных пластинок и оболочек.

Широкое внедрение программ расчета упругих линейно-деформи-руемых конструкций методом конечных элементов (МКЭ) практически решило проблему исследования напряженно-деформированного состояния этих конструкций при действии статических и динамических нагрузок. Вместе с тем это усилило понимание необходимости внедрения нелинейного МКЭ в тех случаях, когда поведении конструкции под нагрузкой является существенно нелинейным. В качестве примера можно указать на деформацию гибких тел (пластинок, оболочек и т. п.) или на деформацию конструкций, выполненных из материалов с нелинейной зависимостью напряжение — деформация.

В данной статье рассматривается общая постановка задачи нелинейного статического и динамического расчета конструкций. Из уравнений Лагранжа второго рода с использованием соотношений нелинейной теории упругости выводятся уравнения движения и равновесия конечных элементов сплошной среды. Рассматриваются частные случаи применения полученных уравнений. Приводятся результаты расчета форм и частот собственных колебаний геометрически нелинейных пластинок и оболочек.

Уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах имеют вид [1]:

—-----^-------^- = <3/, (1)

М д<7;- дд] 1

где Ь— лагранжиан системы, ^ —/-я обобщенная координата, С}} — /-я обобщенная непотенциальная сила.

Лагранжиан системы определяется разностью между кинетической и потенциальной энергией, т. е.

Для вычисления лагранжиана воспользуемся основными соотношениями нелинейной теории упругости.

Пусть некоторое тело в момент времени to находится в состоянии равновесия, называемом в дальнейшем состоянием I. Обозначим щ(1 = = 1, 2, 3) перемещения, соответствующие этому состоянию. Предположим далее, что под воздействием каких-либо причин тело переходит в состояние II, описываемое перемещениями аи\ (*1, х2, Хз, ^), где а — некоторая не зависящая от координат точек тела хи х2 и х3 и времени t величина (смысл этой величины будет рассмотрен несколько позже).

Полные перемещения в состоянии II будут

Компоненты тензора деформаций связаны с перемещениями следующими формулами [2, 3]:

Запятая в формуле (4) означает частную производную по перемен-

ди:

нои х, индекс которой указывается после запятой, например, м,-,/==-^-£-

где {о} — вектор, составленный из компонентов напряжений, {у} — вектор, составленный из компонентов деформаций, причем Угз = е»з' ПРИ »=/ и = при й^/, и ([С] — матрица упругих постоянных, получаем:

Ь — Т — V.

(2)

и1 = + ли'..

(3)

(Ц1. / —Ь « 'г Мщ' I ит1 у).

(4)

И т. д.

Подставив соотношения (3) в формулу (4), получим:

(5)

где

(6)

(7)

(8)

В формуле (7)

= (иг,/ + и/, *);

Ч- = 4" (и«. I ит,, + < I и'т, г)-

(10)

О)

(П)

где о°., Оу, а], выражаются через т?., Ту соответственно с помощью соотношения (11).

Перейдем теперь к вычислению потенциальной и кинетической энергии для состояния II. Под потенциальной энергией будем понимать работу, совершаемую внутренними и внешними силами при переходе из состояния II в состояние / (т. е. после устранения причин, вызвавших дополнительные перемещения).

Работу внутренних сил на соответствующих им перемещениях при условии малости деформаций можно записать в виде [2]:

л=-

(13)

Учитывая, что компоненты напряжений а0^ при переходе из состояния / в состояние II не изменяются, получаем:

А = аЛ(1) + «2 (Л(2) + Л<2>) + а8 Л(3) + а4 Л(4),

(14)

где

Л(1) = | {Оо}т{т}^г>;

V

‘4(2) = -И{°/}т{т,}Л';

V

Л<2)=| ИТ{Т"}^;

V

л<3) ~ -И (а'}т М ^+41 (а"}т (т'}

V V

л(4, = т1^т(лл.

(15)

)

Выражение для Л(2>, используя формулу (7) и обозначения (9) и (10), запишем так:

Л(2)

где

:Л(2) + Л(2>,

(16)

Л(2)=-1-/{аТ{Т'}^, (17)

V

1(2)=4/ ^ а,°+-И^1 {1"'} ^+4 / (?}т 1“'} <18>

Отметим, что Л(2) не зависит от начальных перемещений, в то

время как Л(2) зависит от них.

В случае, когда перемещения аи'. бесконечно малы, а можно считать бесконечно малой величиной, а и\ — конечными функциями. Слагаемые, стоящие в правой части формулы (14), представляют в этом случае величины первого, второго, третьего и четвертого порядков малости соответственно. Выяснив это обстоятельство, которое впоследствии будет использовано при упрощении общих нелинейных уравнений при малых перемещениях, положим в*,дальнейших вычислениях а=1. Работу внешних потенциальны^ сил представим в виде:

/? = ^1+/?а + /?8. (19)

где /?1 — работа объемных сил — работа поверхностных нагру-

зок /°, соответствующих исходному состоянию равновесия, и 7?3 — работа поверхностных нагрузок вызывающих дополнительные перемещения.

Очевидно, что при а= 1

* /?1 = / ^ И/#2 = §/?3 =//) (20)

V $ 5

Полагая, что конечные элементы обладают распределенной массой с плотностью р, кинетическую энергию найдем по формуле:

5" | ри] (IV. (21)

2

V

Перейдем теперь к дискретной формулировке задачи. Предположим, что перемещения «г заданы в виде:

«1 = <71 «1 + <7г ■ + Яп и*;

м2 = <7л-И и2 + Яп + 2 Иг + • • • + Яъп >

И3 == ^Л-И Мз 4- (}2п + 1 Из + • . . + ЯЗ/г Из ,

(22)

где <7/(У — 1» 2, . . . , Зя) — перемещения узлов конечного элемента, зависящие от времени, а и*, и£, (& = /,//, . . . , ./V) — некоторые

функции, зависящие только от координат точек тела.

Неконсервативные силы представим в виде:

<2, = <# + <& (23)

где — узловые диссипативные силы, 0^—узловые силы, обусловленные следящими за перемещениями нагрузками.

Узловые диссипативные силы могут быть определены с помощью матрицы демпфирования следующим образом (см., например, [4]):

{<2*} =-[£]{?}• (24)

На основании (1), (14) и (16) получаем:

й дт + -2- (Л(1) + л<2) + л‘2) + л <2) + л(3) + л(4) -

сИ дqj дqj

-Ях —Я2-/?,) = $,. " (25)

Если рассматривать вариации и', как возможные перемещения для состояния I, то согласно принципу возможных перемещений

(Л(1) - /?! - я2) = 0. (26)

дя}-

Тогда на основании (25) и (26)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

дТ

I— + — (Л(2) + Л(2) + Л 12) + Л(3) + Л(4) — /?,) = <3,. (27)

<Н дqj дqj

эа

Запишем выражения для потенциальной энергии внутренних сил и для кинетической энергии в виде:

Потенциальную энергию поверхностных сил Яз представим в виде векторного произведения

В формуле (31) учтено, что матрицы [/С], [/Си] и [К.] не зависят ОТ перемещений <73-.

Обозначим

Назовем [Кш,\ и [/(#£,] прямыми матрицами, [А^] и [АТл?£3] — дифференциальными матрицами, а и [/(«£,] — полными матри-

цами жесткости соответственно третьего и четвертого порядка. Уравнение (31) при принятых обозначениях принимает вид:

[М] {д} + \Щ {<?} + [К + Ка + Кя + Кыц + Кыи\ (?) - (Л - 13е} = 0-<36)

Уравнение (36) и дает возможность исследовать движение геометрически нелинейных конструкций. При этом матрицы [М], [/)], [К], [Ки], [К.], [Клт.а], [/Сдгл,], векторы {Я} и {<3°} Для всей конструкции находятся путем суммирования соответствующих матриц и векторов, найденных для отдельных конечных элементов.

Рассмотрим некоторые частные •случаи применения уравнения

Ат = ^{яУ{К\{яУ, Л(2) = -1-{<71т[/У{<7};

Л(4) = у {?}т

(28)

Т = ±{д\[М]{д\.

(29)

(30)

После подстановки (28) и (29) в уравнение (27) получаем:

[М] {д} + [АГ+ Ка Ка -{- KNL3 + [д] -|-

+ ~[{?}т^-[^з+ *«.]] {д) - {Р} = — [£»] {д} + {<2'}. (31)

(32)

(33)

(34)

(35)

[К^] = [К^3) + [Ка^,];

[/ад = [&«.]+[*&.]•

1. Нелинейный статический расчет.

Для получения алгоритма решения нелинейной статической задачи в уравнении (36) примем обычные для статического расчета предпосылки, а именно: пренебрежем инерционными и демпфирующими силами и будем считать перемещения и усилия не зависящими от времени. При этих предпосылках уравнение (36) приводится к виду:

[^ + Кв + ^+Кл’1,4-/Сж1]^}-{Я}-{дс}-0. (37)

Для целей дальнейшего анализа представим уравнение (37) в виде:

{«■(?>} =[*■(?)] {?} - (Р} ~ {0е} =0, (38)

где \К + Ки Ка + Кот.3

Точных методов решения уравнения (38) не существует. Одним из наиболее распространенных приближенных методов решения систем нелинейных уравнений является метод Ньютона [5]. Согласно этому методу корни уравнения (38) находятся с помощью итерационного процесса

{?}*+1 = {?}*-[П“1{1'((7а)}. (39)

где [1Н] — матрица, определяемая следующим образом:

д Щд*)}

[У*] = а,

Переходя к дифференциалам, можем записать:

(40)

Р{т*(?)} =

*{д,1 (41)

Заменяя дифференциалы приращениями, находим, что [/] есть матрица, связывающая бесконечно малые приращения нагрузок и перемещений. Отметим, что если компоненты векторов {Р} и {#} принять бесконечно малыми величинами, то входящими в уравнение (37) матрицами [/0ул3] и [АГл/л,] можно будет пренебречь. Дифференцируя при этой предпосылке левую и правую части уравнения (38), получаем:

[У] = [*£(?)]

где

(42)

\KLi4 )} = {К + Ка + К'] (43)

есть линеаризованная матрица жесткости.

2. Собственные колебания с малыми амплитудами.

При исследовании малых колебаний в выражении для работы внутренних сил (14) пренебрежем слагаемыми третьего и четвертого порядка малости. Предположим также, что конструкция совершает гармонические колебания, причем узловые перемещения изменяются по закону {<7} = {<7о}соз1СоЛ При таких предпосылках уравнение (36)

приводится к виду:

[К + Ка + К,] ы - “>2 [М] {<70} = о. (44)

Из уравнения (44) при отсутствии начальных перемещений и напряжений получаем обычные уравнения малых колебаний ненагружен-ных конструкций:

[К]{д^-^[М]{д0} = 0. (45)

3. Собственные колебания с большими амплитудами.

Уравнение собственных колебаний с большими амплитудами получим на основании (36) в виде:

[М] [q] + [К + Ка + К, + Кыи + Кыц] [q] = 0. (46)

Точного решения уравнения (46) не существует. Рассмотрим приближенный способ определения частот собственных колебаний в зависимости от амплитуд применительно к расчету пластинок и оболочек при сравнительно небольших прогибах (сопоставимых с толщинами).

Пусть /-я форма собственных колебаний геометрически нелинейной конструкции имеет вид:

{?} = {?o}cos«*, (47}

где Ы не зависит от времени, причем перемещение некоторой точки в {<7о} имеет заданное значение.

В формуле (47) содержатся два допущения: 1) формы собственных колебаний представляются как произведения не зависящих друг от друга функций координат и времени и 2) колебания считаются гармоническими. Эти допущения обычно принимают в расчетах на собственные колебания при умеренных амплитудах [6—8].

Подставляя (47) в (46) и умножая полученное выражение на

{<70}Tcosu)£ слева, а затем интегрируя его по четверти периода

(имея в виду, что матрицы [/Сж3] и [KjviJ зависят от перемещений в первой и во второй степени соответственно), находим:

Г/4 Г/4

— W2 {<70}Т[Ж] Ы f cos^vtdt + {q0}T[K + ка + Ко] {<7о} j cos2vtdt + о о

774 Г/4

+ ЫЧ^Мз] ы / cos3 vatdt -f- {<70}т [KmJ {^о} J cos4 (0^=0. (48)

о о

Матрицы [/Сjvx31 и [/Сл^лЛ в формуле (48) зависят от амплитудных значений перемещений.

Вычисляя интегралы в формуле (48) и обозначая

{ЯоУ[ЩШ^то< Шг\К+Ки + Ко\Ш ■=*„; [ЧоУ [**ij Ы= ^з0; \ЧоУ \KnL^ Ы =^40>

(49)

приходим к уравнению

— (о* т0 -f k0 + 0,8488 k30 + 0,75 ki0 = 0, (50)

из которого находим

О) =

(*„ + 0,8488 k30 + 0,75 ki0). (51)

Таким образом, если форма собственных колебаний с заданной в некоторой точке амплитудой представлена в виде (47), то соответствующая ей частота находится из соотношения (51).

Задача состоит в определении формы {^}. Следуя установившейся методике [6—8], будем считать, что при увеличении амплитуд формы поперечных движений, возникающие при собственных нелинейных колебаниях пластинок и оболочек, изменяются незначительно по сравнению с нелинейными колебаниями. Тогда форму собственных нелинейных колебаний можно найти как статические перемещения от инерционных сил, соответствующих линейным колебаниям с заданной амплитудой в точке нормирования. Статический расчет следует вести, естественно, с учетом геометрической нелинейности.

Описанный выше способ определения собственных колебаний в зависимости от амплитуд реализован в программе ПУСК с использованием комбинированного плоского треугольного несогласованного элемента *. При этом для элемента приняты линейный закон изменения мембранных перемещений и кубический закон изменения прогибов.

Ниже приведены результаты расчетов по программе ПУСК. Результаты представлены в виде зависимости отношения от

шт = дат//г, где Ткь и Ть— периоды нелинейных и линейных колебаний соответственно, Шт — максимальный прогиб, к — толщина пластинки (оболочки). _

На рис. 1 показана зависимость (Т^ь/Ть)—^т, полученная М. Ямаки ** [6] теоретически для основного тона собственных колебаний квадратной шарнирно-опертой по контуру пластинки с несме-щающимися краями. Точками на этом графике отмечены результаты, полученные МКЭ по программе ПУСК. Как видно из рис. 1, результаты, полученные по программе ПУСК, практически совпадают с теоретическим решением М. Ямаки.

Исследовалась также зависимость частоты основного тона собственных колебаний от максимальной амплитуды прогиба для сферической оболочки, защемленной по контуру. Параметры оболочки приведены на рис. 2. Расчетная схема для 1/4 части оболочки показана на рис. 3. Результаты расчета МКЭ представлены в таблице, где для сопоставления приведены также и теоретические результаты***, полученные

1,0 0,8

О,В

0,4

Э. И. Григолюком [8].

ь/Ъ

У

{ ъ ъ" /777!,

Рис.

Е=2Ю кгс/см2", \1=0,3,Ъ=20см,Я =201 см р =7,95-10 екгс с г/смч; $=0,3 см \/=1см

Рис. 2

Программа для статического расчета геометрически нелинейных конструкций составлена автором совместно с А. В. Стрелиным. Для статических расчетов используются согласованные и несогласованные плоские треугольным элементы комбинированного типа, а также элементы стержней и ба&ок (см. [10]).

*1* £лизкие результаты получены, Чу 'и Геррманном [9] и Ва [7].

• Теоретические результаты подсчитаны по формулам, приведенным в пабо-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

те [8|. г

7—«Ученые записки» № 5

z

Рис. 3

Отношение для основного тона собственных колебаний за-

щемленной сферической оболочки

wjf 0 0,126 0,231 0,452

МКЭ 1,000 1,06 1,200 1,241

Метод Бубнова — Галеркина [8] 1,000 1,083 1,162 1,376

Сравнение результатов, полученных МКЭ, с известными теоретическими решениями свидетельствует о том, что предложенный метод расчета форм и частот собственных колебаний обеспечивает точность того же порядка, что и существующие аналитические методы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики, т. II. — М.: Наука, 1977.

2. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. — Л.—

М.: ГИТТЛ, 1948.

3. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976.

4. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир,

1975.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1975.

6. Y a m a k i М. Influence of large amplitudes on flexural vibrations of elastic plates. —■ ZAMM, 1961, 41, N 12.

7. W a h T. Large amplitude flexural vibration of rectangular plates.—

Int. J. Mech. Sci., 1963, 5, N 6.

8. Г риголюк Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих оболочек и стержней. — Изв. АН СССР, ОТН, 1955, № 3.

9. С h u Н. 'N., Gerzmann G. Influence of large amplitudes on free flexural vibrations of rectangular elastic plates. — J. of Appl. Mechanics,

1956, vol. 23, N 4.

10. Агапов В. П., Ильичев В. Д., Коротков В. А., Стре-л и н А. В. Учет начальных усилий в статических и динамических расчетах конструкций методом конечных элементов. (См. настоящий выпуск Ученых записок ЦАГИ).

Рукопись поступила 18/Х 1982 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.