CC BY
84
алов / Е. Ф. Смыслов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. - 2006. - Т. 72. - № 5. - С. 33-35.
9. Растровая электронная микроскопия и рентгеновский микроанализ. В 2 кн. Кн. 1 / Дж. Гоулдстейн [и др.] ; пер. с англ. - М. : Мир, 1984. - 303 с.
10. Кировская, И. А. Поверхностные свойства алмазопо-добных полупроводников. Химический состав поверхности. Катализ / И. А. Кировская. - Иркутск : Изд-во ИГУ, 1988. -220 с.
11. Кировская, И. А. Поверхностные свойства бинарных алмазоподобных полупроводников / И. А. Кировская. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2012. - 416 с.
КИРОВСКАЯ Ираида Алексеевна, доктор химических наук, профессор (Россия), руководитель научно-образовательного центра «Химические исследования», заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации.
МИРОНОВА Елена Валерьевна, кандидат химических наук, доцент кафедры химии, научный сотруд-
ник научно-образовательного центра «Химические исследования».
ГРИГАН Анна Анатольевна, аспирантка кафедры «Химическая технология и биотехнология». ЗВЕРЕВ Михаил Алексеевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры физики, научный сотрудник научно-образовательного центра «Химические исследования».
БЛЕСМАН Александр Иосифович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры физики, директор Научно-образовательного ресурсного центра нанотехнологий.
ПОЛОНЯНКИН Денис Андреевич, кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры физики, инженер Научно-образовательного ресурсного центра нанотехнологий. Адрес для переписки: phiscem@omgtu.ru
Статья поступила в редакцию 13.01.2016 г. © И. А. Кировская, Е. В. Миронова, А. А. Григан, М. А. Зверев, А. И. Блесман, Д. А. Полонянкин
УДК 519.653 681.5158 А. В. МАЙСТРЕНКО
А. А. СВЕТЛАКОВ Н. В. СТАРОВОЙТОВ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
ЦИФРОВОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНА СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ СКОЛЬЗЯЩЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В СИНТЕЗЕ ПИД-РЕГУЛЯТОРОВ
Разработан метод цифрового дифференцирования сигналов, основанный на применении скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц. На его основе синтезирован новый ПИД-регулятор, обладающий существенными преимуществами, к которым можно отнести более высокую помехоустойчивость, точность и качество регулирования, а также достаточно простую программную и аппаратную реализацию.
Ключевые слова: аппроксимация, псевдообратная матрица, цифровое дифференцирование сигналов, ПИД-регулятор.
Введение. В настоящее время наиболее широкое распространение в системах автоматического и автоматизированного управления получили так называемые ПИД-регуляторы [1, 2]. Это произошло благодаря тому, что данные регуляторы, достаточно просто устроены, имеют низкую себестоимость изготовления и во многих случаях обеспечивают соблюдение заданных режимов реализации технологических процессов с необходимой точностью. Однако, как показывает практика применения данных регуляторов, они имеют и ряд известных недостатков [2], которые существенно ограничива-
ют область их применения. Ниже анализируются причины, обусловливающие данные недостатки, и предлагается метод, позволяющий синтезировать новый ПИД-регулятор, обеспечивающий более высокую эффективность регулирования управляемых процессов и объектов. Приводятся некоторые результаты экспериментальных исследований данного регулятора и его сравнения с классическим ПИД-регулятором.
Анализ недостатков ПИД-регуляторов и возможностей их устранения. Как известно [2], большинство современных ПИД-регуляторов, как
и выпускавшиеся ранее, в качестве алгоритмов дифференцирования используют простейшие алгоритмы, основанные на использовании конечных приращений дифференцируемого сигнала и времени. Как неоднократно отмечалось в работах различных авторов [3], такие алгоритмы обладают крайне низкой устойчивостью к ошибкам в измерениях дифференцируемого сигнала и именно эта чрезмерная чувствительность операции дифференцирования к ошибкам задания дифференцируемого сигнала является главной причиной низкой эффективности ПИД-регулирования. Результаты выполненных нами многочисленных экспериментов [4] наглядно иллюстрируют неустойчивость и неэффективность обсуждаемого алгоритма дифференцирования сигналов.
Отмеченное выше позволяет вполне однозначно заключить, что для повышения эффективности ПИД-регулирования различных процессов, переменные которых измеряются с ошибками, необходимо:
1) прежде всего отказаться от использования упомянутого выше простейшего метода дифференцирования сигналов;
2) заменить данный метод каким-либо другим методом подобного назначения, но обладающим более высокой устойчивостью к ошибкам задания дифференцируемого сигнала.
Анализ имеющихся на сей счет возможностей, выполненный авторами [4] показал, во-первых, что в настоящее время существует целый ряд методов дифференцирования сигналов и реализующих их алгоритмов, каждый из которых является более устойчивым к ошибкам задания дифференцируемого сигнала. Во-вторых, наиболее доступным для реализации в рамках систем автоматического управления, функционирующих в режиме реального времени, является метод цифрового дифференцирования сигналов (МЦДС), основанный на локальной квадратичной аппроксимации дифференцируемых сигналов и использовании для ее получения псевдообратных матриц [5].
Перечисленное выше явилось для авторов стимулом для того, чтобы синтезировать более совершенный ПИД-регулятор и использовать при этом отмеченный выше МЦДС, который бы обладал существенными преимуществами перед массово выпускаемыми ПИД-регуляторами. Некоторые результаты, касающиеся синтеза названного выше МЦДС и основанного на его использовании ПИД-регулятора, а также результаты экспериментальных исследований предлагаемого ПИД-регулятора обсуждаются ниже.
Синтез МЦДС на основе скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц. Синтез предлагаемого МЦДС сводится к реализации следующих семи положений [4]:
1. В качестве аппроксимирующей сигнал s=s(t) функции Р = Р(5) используется алгебраический полином 2-го порядка вида
s(t) = c0 + cit + c2t2
(1)
где s¡=s(t¡) — измеренные значения дифференцируемого сигнала s=s(t) в моменты времени_
удовлетворяющие равенствам 51 = а + 05, I = 1, т ; Дt — шаг дискретизации времени t, выбираемый с учетом скорости изменения сигнала, возможностей датчика его значений, ошибок их задания и т.п.; РI — значения полинома (1), соответствующие моментам времени t¡; т — некоторое ограниченное натуральное число, меньшее М. Здесь М — верхняя граница допустимых значений т — натуральное число, выбираемое с учётом технических возможностей аппаратного устройства, и реализующего дифференцирование сигнала, а также желаемого быстродействия данного устройства, уровня ошибок в значениях дифференцируемого сигнала и т.п.
3. Задача аппроксимации сигнала s=s(t) полиномом (1) решается в режиме так называемого «скользящего окна». Это означает, что число т, которое, как это и принято в подобных случаях, будем называть шириной «скользящего окна» и выбирается так, чтобы выполнялись следующие неравенства:
а) m>3 и б) m<M.
(3)
4. Используя последние т пар имеющихся в момент времени tk значений и вектор вычисленных в предшествующий момент времени tk 1 оценок
ср-1 коэффициентов с поли н ом а (1), формируется и решается система условных линейных алгебраических уравнений вида
Ak A ck
т
'A sk,
(4)
где «a> — символ Ариближённого равенства векторов. При этом матрица коэффициентов Ak, неизвестный вектор попртвок Ack, уточняющих имеющиеся оценки ck-i и правая часть Ask оп ределяются
равА is ствами:
(
а) Ai =
Л
i
i t
i и
h
п
б) Acc =ci-ck-i',
+iJ
в) A sc = sc - Ak cc-i;
т
о) Sk =
(5)
5. В качестве решения А ск системы уравнений (4) испорьтуется её псевдорешение А ск+ , вычисляемое в соответствии с равенством
Acc + = A+A sc.
(6)
где с0, с1 и с2 — коэффициенты, численные значения которых подаиррютсд так, чтобы погрешность ап=роксимации имела минимальное значение.
2. Для количеств енной оценки погрешности аппроксимации ктпол+оуе+ся евклидова метрика р(р, р) , опредеретая равенством
Здесь Ар — (3хок) — маорица, псевдообратная к матрице Ак.
6. Используя найдеан ый в ектор поправок А ср,
вычисляется вектор ср = ср-1+Аср , данное равенство, как вытекает из (5=), (5в) и (5г), эквивалентно развернутому равенству в=да
P(s,S) = (X(si -Si)2)
2)/2
(2)
cc = cc-i + A+ (sc - Acc»-i)
k = 3, 4, 5,.,
(7)
c-i
k-i
2
k
s
k-i
\sk-m+i J
i=i
7. Полученный вектор ck подставляется в Полин ом (1) и вычисдаются первая ds /dt и вторая d2s / dt2 njsоозводные согласно °авeotcTBaM
а) dsldt = clk + 2c2ktk и б) d2s / dt2 = 2c2l
(8)
которые и принимаются в качестве оценок значений производных сигнала в момент времени t..
к
Изложенные выше положения с точностью до алгоритма вычисления псевдообратной матрицы А+ отражают сущность предлагаемого нами метода, а также состав и последовательность операций, которые необходимо выполнить для вычисления производных сигнала в момент времени tk.
В соответствии с этой же последовательностью операций вычисляются оценки данных производных и для момента времени tk ¡. Отличие данного этапа от предыдущего заключается лишь в том, что вместо системы уравнений (4) формируется и решается новая система условных линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов Ак+1 и правая
часть А sk+l которой получается из матрицы Ак (вектора А эк) путём сдвига её строк (его компонент) на одну позицию вниз и замены её первой строки (его первой компоненты) новой строкой (1 гк+1 г¿+1) (новой компонентой Аок+1).
В завершение синтеза предлагаемого МЦДС отметим следующие положения и факты, раскрывающие его сущность и являющиеся обоснованием целесообразности использования в данном случае псевдообратных матриц и скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала полиномами вида (1).
1. Алгоритм вычисления псевдообратной к Ак матрицы А+ здесь не приводится, так как, во-первых, в настоящее время известен целый ряд алгоритмов псевдообращения прямоугольных матриц [5] и любой из них можно использовать для вычисления матрицы А+ , а во-вторых, описание любого из них занимает непомерно много места.
2. Как известно [5], одним из замечательных свойств псевдорешения всякой системы линейных алгебраических уравнений является то, что оно доставляет минимум евклидовой метрике (2). Отсюда и из (6) и (7) вытекает, что полином вида (1), коэффициенты С0, с, с2 которого вычисляются в соответствии с данными равенствами, аппроксимирует сигнал s(t) на скользящем интервале tk], к=т+1, т+2,... с наименьшей среднеквадратиче-ской погрешностью.
3. При каждом сдвиге интервала I на шаг Д вправо, т.е. по мере поступления новых измеренных значений s(tk1), s(tk+2), ... , в моменты времени tk+1, tk+2, ... , коэффициенты с0, с,, с2 данного полинома изменяются на минимально возможную величину, т.е. ровно на столько, на сколько это необходимо для получения минимального значения метрики (2), заданной на значениях сигнала s=s(t) и аппроксимирующего его полинома, соответствующих моментам времени tk+1, tk, t , ... , t . Такое изменение коэффициентов с0, с , ск поАинома (1) является необходимым условием для обеспечения наиболее устойчивого функционирсвонся ПИД-регулятора.
4. Как видно из (8), реализация лредччгаемого МЦДС позволяет в каждый момент ореАени tk получать не только оценку сЮо/Юг его первой производной ds/dt, но и оценку Ю2о/Юг2 его второй произ-
водной d2s/dt2, для получения которой необходимо выполнить умножение коэффициента c2k полинома (1) на 2. Для синтеза любого ПИД-регулятора данная оценка, очевидно, совершенно не нужна. Однако не менее очевидно и то, что ее наличие открывает широкие возможности синтеза нового класса автоматических регуляторов, основанных на использовании не только первой, но и второй производных дифференцируемого сигнала. Кроме того, как показано в работе [4], использование второй производной позволяет синтезировать достаточно эффективные методы и алгоритмы выделения интервалов стационарности контролируемого сигнала, что оказывается совершенно необходимым при решении целого ряда прикладных задач.
5. Как показывают результаты наших исследований [4], погрешность оценивания производной предлагаемым МЦДС оказывается в разы меньше, чем методами, основанными на стандартных процедурах дифференцирования. Так, среднеквадрати-ческое отклонение (СКО) вычисленных значений первой производной от ее истинного значения при 5 %-ом уровне ошибок в дифференцируемом сигнале, в 10 раз ниже при использовании предлагаемого МЦДС, а для второй производной данный показатель равен уже 50.
Синтез и некоторые результаты исследований предлагаемого ПИД-регулятора. Как вытекает из представленных выше результатов, синтез предлагаемого ПИД-регулятора оказывается предельно простой задачей и сводится к замене в традиционном ПИД-регуляторе алгоритма вычисления оценки производной дифференцируемого сигнала с применением конечных приращений сигнала и времени изложенным выше МЦДС и организации хранения в памяти вычислительного устройства m измеренных значений дифференцируемого сигнала. Поэтому останавливаться на нем более детально мы не будем, а остановимся более подробно на результатах выполненных нами экспериментальных исследований предлагаемого ПИД-регулятора.
Прежде всего отметим, что все эксперименты выполнены с использованием компьютера типа IBM PC в среде программирования Matlab. При этом их цель заключалась в исследовании характеристик предлагаемого ПИД-регулятора и их сравнении с аналогичными характеристиками традиционного ПИД-регулятора.
В качестве регулируемых величин были использованы две величины, наиболее часто используемые при проведении экспериментальных исследований в подобных случаях [1, 2]:
Г0,t < 0
1) единичный скачок y(t) = 1(t) = <
1,t > 0
2) гармоника y(t)=sin(t).
Исследование помехоустойчивости сравниваемых ПИД-регуляторов проводились в условиях, когда с ошибками задавались только значения y(t). Ошибки получали с помощью стандартной компьютерной программы, генерирующей случайные числа равномерно распределенные в заданном интервале.
Сравнение предлагаемого ПИД-регулятора осуществлялось с традиционным ПИД-регулятором, реализованным в виде блока БшиЦпк в пакете МаИаЪ. Для объективного сравнения данных регуляторов их коэффициенты вычислялись с помощью одной и той же, стандартной процедуры, входящей в пакет МаИаЪ. Вычисленные указанным способом
y(t)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
О 0.2 0.4 0.6 0.8
1.2 1.4 1.6 1.8 t
Рис. 1. Выходная величина у^) = 1(<) = объект 2-го порядка
0, t < 0 1, t > 0,
Рис. 2. Выходная величина у^)=атШ, объект 2-го порядка
Таблица 1
Погрешность регулирования у(Ь) объекта 1-го порядка
Регулируемая величина СКО значений y(t) при регулировании предложенным ПИД-регулятором СКО значений y(t) при регулировании ПИД-регулятором Matlab
Г0, г < 0 у(г) = 1(г) = \ |1, г > 0 0,0395 0,0663
0,0393 0,0662
Таблица 2
Погрешность регулирования у(Ь) объекта 2-го порядка
Регулируемая величина СКО значений y(t) при регулировании предложенным ПИД-регулятором СКО значений y(t) при регулировании ПИД-регулятором Matlab
Г0, t < 0 y(t) = 1(t) = \ [l,t > 0 0,0213 0,136
y(t)=sin(t) 0,0171 0,139
коэффициенты настроек сравниваемых регуляторов во всех случаях оказываются, очевидно, равными и, тем самым, обеспечивается возможность оценивания влияния погрешности дифференцирования регулируемой величины на точность ее регулирования.
Результаты проведенных экспериментальных исследований изображены на рис. 1 и 2 и сведены в табл. 1 и 2. При этом на рис. 1 и 2 изображены графические зависимости выходной величины y(t) объекта управления. Изменения выходной величины объекта управления y(t), регулируемой предложенным регулятором и регулятором, реализованным в МаНаЪ, изображены соответственно черным и серым цветами. Из них видно, что синтезированный регулятор существенно превосходит регулятор МаНаЪ по точности регулирования. Это видно и из табл. 1 и 2, где приведены СКО вычисленных значений выходной величины y(t) от их идеальных значений для объектов управления первого и второго порядка соответственно. Как видно из табл. 1, при прочих равных условиях СКО для объекта управления первого порядка практически в два раза ниже при использовании предлагаемого ПИД-регулятора, чем в случае использования ПИД-регулятора, реализованного в пакете МаНаЪ. Для объекта управления второго порядка СКО вычисленных значений величины y(t) от их идеальных значений в 6 — 8 раз меньше при ее регулировании предлагаемым регулятором, чем при ее регулировании регулятором из пакета МаНаЪ.
Таким образом, приведенные результаты наглядно показывают, что предлагаемый регулятор является более помехоустойчивым и позволяет, по срав-
нению с регулятором из МаНаЪ, заметно повысить точность регулирования. Необходимо отметить, что все приведенные результаты исследований выполнены в условиях, когда дифференцируемый сигнал содержал ошибки измерения, равные 2,5 %, а закон их распределения был равномерным.
Заключение. Применение МЦДС, основанного на использовании скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц, позволило синтезировать новый ПИД-регулятор, обладающий существенными преимуществами по сравнению со стандартным регулятором, реализованным в пакете МаНаЪ. К таким преимуществам можно отнести прежде всего более высокую помехоустойчивость и точность регулирования, а также достаточно простую программную и аппаратную реализацию. Рекомендуется для применения при создании автоматических и автоматизированных систем управления технологическими процессами и объектами.
Библиографический список
1. Юревич, Е. И. Теория автоматического управления : учеб. для втузов / Е. И. Юревич. — 2-е изд., перераб. и доп. — Л. : Энергия, 1975. - 714 с.
2. Ротач, В. Я. Расчет настройки реальных ПИД-регуляторов / В. Я. Ротач // Теплоэнергетика. — 1993. — № 10. — С. 31—35.
3. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — Изд. 2-е. — М. : Наука, 1979. — 285 с.
4. Майстренко, А. В. Цифровое дифференцирование сигналов в реальном масштабе времени с применением скользящей квадратичной аппроксимации / А. В. Майстренко,
А. А. Светлаков, Н. В. Старовойтов // Омский научный вестник. - 2006. - № 7 (43). - С. 106-108.
5. Светлаков, А. А. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами / А. А. Светлаков. - Томск : Изд-во НТЛ, 2003. - 388 с.
6. Ильин, В. А. Основы математического анализа : учеб. для вузов. В 2 ч. Ч. 1 / В. А. Ильин. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 648 с.
МАЙСТРЕНКО Андрей Васильевич, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры
электронных средств автоматизации и управления. СВЕТЛАКОВ Анатолий Антонович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры электронных средств автоматизации и управления. СТАРОВОЙТОВ Николай Владимирович, кандидат технических наук, младший научный сотрудник кафедры электронных средств автоматизации и управления.
Адрес для переписки: maestro67@mai1.ru
Статья поступила в редакцию 05.11.2015 г. © А. В. Майстренко, А. А. Светлаков, Н. В. Старовойтов
УДК 620.179.118.7
К. С. ГРЕКОВ Ю. Г. ДОЛГАНЕВ А. В. КОСЫХ
Омский государственный технический университет
ИССЛЕДОВАНИЕ
ЕМКОСТНОГО АВТОГЕНЕРАТОРНОГО ПРИНЦИПА ОЦЕНКИ ШЕРОХОВАТОСТИ ПОВЕРХНОСТИ
В статье анализируются уже имеющиеся принципы оценки качества поверхности, а также предложен новый принцип на основе автогенератора с дополнительной емкостью, позволяющий оценивать шероховатость поверхности в соответствии с современным состоянием научных исследований. Проведен анализ вариантов применения предлагаемого принципа, а также исследованы результаты компьютерного моделирования, по которым сделаны выводы о применимости принципа.
Ключевые слова: автогенератор, шероховатость, дополнительная емкость, качество поверхности, емкостный датчик.
Введение. Долговечность работы деталей машин и приборов напрямую связана с качеством поверхностного слоя деталей, которое формируется в основном на финишных операциях механической обработки. Традиционные методы финишной обработки (шлифование, полирование и притирка) не всегда обеспечивают оптимальное качество поверхности обрабатываемой детали. При использовании абразивного материала его частицы внедряются в обрабатываемую поверхность, происходит шаржирование поверхности. После операции шлифования на поверхности изделия остаются следы от воздействия абразивной части обрабатывающего инструмента, микротрещины и т.д., которые не устраняются последующим полированием [1]. Подобные дефекты поверхности являются концентраторами напряжений и с них начинается разрушение поверхностного слоя деталей при эксплуатации, что снижает надежность деталей машин и приборов.
Состояние обработанной поверхности зависит от нескольких факторов: от свойств обрабатываемого материала; способа обработки (точение, фрезерование и т. д.); режимов обработки (скорость
резания, подача, глубина резания); жёсткости технологической системы; геометрических параметров инструмента; вида и способа подачи смазочно-ох-лаждающей жидкости и др. [2].
Методы оценки состояния поверхности. Оценка состояния поверхности изделий сопряжена со сложностями, диктуемыми разнообразной формой изделия: плоскость, цилиндр, шар, сложноли-нейная поверхность. Рассмотрим, какие существуют методы для оценки состояния поверхности.
Сравнительный бесконтактный метод. Способ основан на сравнении измеряемой поверхности с образцами шероховатости, регламентированными ГОСТ 9378-93 [3]. Стандарт распространяется на образцы шероховатости поверхности, предназначенные для сравнения визуально и на ощупь с поверхностями изделий, полученными после обработки.
Достоинством этого метода является простота и доступность. К недостаткам можно отнести: большое время для оценки состояния поверхности; качественный, а не количественный характер оценки; отсутствие информации о параметрах и дефектах неровности; необходимость применения дополнительного оборудования для более точной оценки
