Трещина нормального отрыва с небольшими, относительно широкими пластическими зонами. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла Текст научной статьи по специальности «Физика»

Трещина нормального отрыва с небольшими, относительно широкими пластическими зонами. Модель Леонова-Панасюка-Дагдейла

М.Е. Кожевникова

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса показано, что при чистом растяжении пластины из упругопластического материала, обладающего малой пластичностью, реальная трещина-разрез раскрывается, затупляется и превращается в вытянутый эллипс, но не растет; фиктивная трещина имеет закругленную по параболе вершину; пластическая зона перед вершиной вытянутого эллипса небольшая и относительно широкая. На основании этого предлагается адаптировать модель Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластический аналог задачи Гриффитса для эллипса и сравнить ключевые результаты с результатами, найденными в рамках классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса для трещины-разреза. Полученное хорошее согласование сравниваемых величин, с одной стороны, доказывает правомерность изменений в модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластическом аналоге задачи Гриффитса, а с другой стороны, показывает универсальность и гибкость модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса.

Opening-mode crack with small, relatively wide plastic zones. Leonov-Panasyuk-Dugdale model

M.E. Kozhevnikova M.A. Lavrentyev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

In the framework of a modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model and elastic-plastic analog of the Griffith problem it is shown that in pure tension of a plate of an elastic-plastic material with low ductility a real slit crack becomes blunted turning into an elongated ellipse, but does not propagate; a fictitious crack has a parabolic tip; the plastic zone in front of the vertex of the elongated ellipse is small and relatively wide. On this basis, it is proposed to adapt the Leonov-Panasyuk-Dugdale model and elastic-plastic analog of the Griffith problem for the ellipse and to compare the main results with the results obtained in the framework of the classic Leonov-Panasyuk-Dugdale model and elastic-plastic Grifith problem analog for the slit crack. On the one hand, the obtained good agreement of the compared quantities proves the validity of changes in the modified Leonov-Panasyuk-Dugdale model and elastic-plastic Grifith problem analog. On the other hand, it demonstrates the universality and flexibility of the model and analog.

1. Введение

Рассматривается тонкая широкая пластина с трещиной длины 210. Пластину на бесконечности растягивают напряжениями , действующими по нормали к плоскости трещины. Трещина располагается вдоль оси Оу. Под трещиной понимается двусторонний разрез.

Одновременно с процессом раскрытия и затупления трещины идет процесс формирования пластических зон в окрестности вершин трещины. Выбор модели развития пластических зон, позволяющей определить кри-

тические параметры разрушения, при которых реализуется предельное равновесное состояние пластины с деформированной трещиной, зависит от вида материала, из которого изготовлена пластина, формы пластических зон перед вершинами трещины. Экспериментально показано, что, например, для конструкционных материалов с разными диаграммами растяжения (сталь и дюралюминий) формы пластических зон значительно различаются, следовательно, и модели развития пластических зон этих материалов должны быть различными [1]. Для дюралюминиевого образца, материал которого

© Кожевникова М.Е., 2007

имеет деформационное упрочнение, экспериментальное очертание формы пластической зоны более всего соответствует модели 1 на рис. 1 [2, 3], для сталей Н8К18М14, Н12К12М10ТЮ небольшие размеры пластических зон соответствуют моделям 2, 3 [4,5], при развитых деформациях используется модель 4 [6]. Для углеродистых сталей 0.3% С и 0.5% С, алюминия ВМ 65-1 с относительно узкими и вытянутыми зонами пластичности перед вершинами трещины в условиях плоского напряженного состояния хорошо себя зарекомендовала модель Леонова-Панасюка-Дагдейла (модель 5) и упругопластический аналог задачи Гриффитса [7, 8]. Хотя модель Леонова-Панасюка-Дагдейла является моделью развития вытянутых узких пластических зон, покажем, что она применима и для пластических зон малых размеров, форма которых похожа на форму пластических зон модели 1.

Для начала кратко изложим суть модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса. В модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла реальная трещина длины 210 со свободными от напряжений поверхностями подменяется фиктивной трещиной длины 21 = 2(10 + А) (А — заранее неизвестная длина зоны предразрушения, которая может не совпадать с длиной зоны пластичности на продолжении реальной трещины [9, 10]), концевые области которой 10 < |у| < 1 заполнены пластически деформированным материалом. Его скрепляющее действие эквивалентно заменяется постоянным напряжением, равным пределу текучести материала ат. Для сведения упругопластической задачи, определенной в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла, к граничной задаче теории упругости используется упругопластический аналог задачи Гриффитса — задача о растяжении постоянными напряжениями пластины с трещиной-разрезом длины 21 [8-10]. Средняя часть разреза свободна от напряжений, а на его концевых участках 10 < |у| < 1 действуют стягивающие напряжения а т.

Идея замены реальной трещины на фиктивную для идеально упругопластического материала, когда коэффициент интенсивности напряжений в вершине фиктив-

ной трещины К® = 0 (гипотеза Христиановича [11]), очень удачна. Поскольку для идеально упругопластического материала берега фиктивной деформированной трещины плавно смыкаются, образуя «клюв птицы» [8].

Для стали Н8К18М14, нитевидных кристаллов нитрида алюминия [12] (упругопластический материал с ограниченным предельным удлинением при пластичности, К(Е) > 0) с небольшими (по сравнению с полу-длиной реальной трещины) и относительно широкими пластическими зонами кончик фиктивной трещины в модифицированной модели Леонова-Панасюка-Даг-дейла, как будет показано ниже, имеет закругленную по параболе вершину, а граница реальной деформированной трещины совпадает с границей эллипса. Поэтому разумно ввести в модифицированную модель Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла и упругопластический аналог задачи Гриффитса некоторые изменения. Изменения состоят в том, что вместо реальной и фиктивной трещин рассматриваются реальный эллипс со свободными от напряжений поверхностями и фиктивный эллипс. Концевые участки 10 < |у| < 1 фиктивного эллипса заполнены пластически деформированным материалом (рис. 2, а), скрепляющее действие которого эквивалентно заменяется стягивающими напряжениями ат, действующими по нормали к контуру эллипса (рис. 2, б). На рис. 2 А! =Д/10, Х1 = х/10, У1 = у/10. При у = 0 реальный и фиктивный эллипсы соприкасаются друг с другом.

Хотелось бы отметить, что мы рассмотрели два класса решений. Первый класс решений К® = 0 соответствует идеально упругопластическому материалу, хорошо изучен и рассматриваться далее не будет. Второй класс решений К(2) > 0, относящийся к упругопластическому материалу с ограниченным предельным удлинением при пластичности, представляет для нас особый интерес. Третий класс решений К(2) < 0 описывает ситуацию, физически неосуществимую, когда берега фиктивной трещины-разреза перекрываются.

Таким образом, для второго класса решений (К> 0), когда кончик фиктивной трещины имеет закругленную вершину, предлагается искать критические параметры разрушения (критическое растягивающее

1 к°° 2 я = д 3 г?г~ Я = Д 4 5

^ 4—' /о — ' /0 2Д* <щ ■ /о "гд’

Рис. 1. Модели развития пластических зон (А — длина пластической зоны перед вершиной трещины)

І II І І І II І І І І І І І I

Рис. 2. Схемы модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла (а) и упругопластического аналога задачи Гриффитса (б), адаптированные для эллипса

напряжение и критическую длину зоны предразру-

шения А* ) в рамках модифицированной модели Леоно-ва-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса, адаптированных для эллипса. Критические параметры разрушения получим из достаточного критерия прочности, представляющего собой систему двух уравнений [9, 10] — силового модифицированного критерия Нейбера-Новожилова:

1+ПГ

кгс

(1)

и деформационного критерия критического раскрытия трещины:

2£( х*, 1 о) = К. (2)

В силовом критерии (1) для материала со структурой пге — интервал осреднения; ге — характерный линейный размер структуры материала; п — число связей; к > 1 — число бездефектных связей (п > к). В деформационном критерии (2) 2^(х*, 10) — раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса; кт = = к(єт - є0) — критическое раскрытие в вершине реальной деформированной трещины — реального эллипса; є 0 =о т/ Е — предельное удлинение идеально упругого материала; є т — предельное удлинение материала; к = 2.71р_2'4510 — уточненная оценка поперечного размера зоны пластичности при у1 = 1; р = <Зт /Ст. [10].

2. Последовательность действий

Покажем, что при растяжении пластины из упругопластического материала с ограниченным предельным удлинением при пластичности реальная трещина-разрез раскрывается, затупляясь, превращаясь в вытянутый эллипс, но не растет. Причем фиктивная трещина имеет закругленную по параболе вершину.

Найдем напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с фиктивным эллипсом.

Найдем нормальное напряжение ахх (0, у) (у > 1) на линии продолжения фиктивного эллипса и сравним с нормальным напряжением ахх (0, у) на продолжении фиктивной трещины, вычисленным в рамках классического упругопластического аналога задачи Гриффитса [8, 10] (используется в критерии Нейбера-Новожилова).

Опираясь на точные выражения для перемещений, найдем раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса (используется в критерии критического раскрытия трещины).

Из достаточного критерия прочности (1), (2) для упругопластического материала с ограниченным предельным удлинением при пластичности определим критические параметры разрушения р* = СТт/СТІ, А* = = А*/10 при фиксированных значениях єт, е0, ге/10.

3. Геометрическая форма деформированной трещины для упругопластического материала с ограниченным предельным удлинением при пластичности

Перемещение берегов фиктивной трещины-разреза для упругопластического материала с ограниченным предельным удлинением при пластичности в рамках модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога задачи Гриффитса определяются формулой [8, 10]

£(0, У) = — ^{(У1 -1) Г(1 + А!, у, 1) - (у +1)х л Е

хГ(1 + Аі, уі, -1)} + 210-

1 2 1

--------arccos--------

р п 1+ А

х

где

д/(1 + А1)2

у1

у1 -1 + Дъ

(3)

Г(1 + А1; у 1, ^1) -

= 1п(1 + А1)2 -у^ -д/((1+ А1)2 -у2)((1 + А1)2-^)

(1+ А1)2 - у^ + л/((1+ А1)2 - у2)((1 + А1)2 -^2) '

Полагая в (3) у1 ^ 1 (у ^ 10) и у1 ^ 0, получаем раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины [8, 10]

2^(0,10) = 410 ^ х

1

12

-----arccos------

р л 1+ А1

7а2 + 2А1 + -1п(1 + А1)

(4)

и в центре реальной трещины

2^(0, 0) = 410-2-Е

/

(1+А1)

1

1 2

-------агссоз

р л 1 +А

1, (1+Д1)-V(1+А1)2-1 — 1п---------,

л (1 + Д1) + А/(1+ А1)2 -1

(5)

Исследуем геометрическую форму деформированной трещины. Заменим в формулах (3), (4) величины р, Д1 на критические значения р*, А*. Значения параметров р*, А* находятся из достаточного критерия прочности (1), (2). После необходимых преобразований достаточный критерий прочности (1), (2) переписывается в виде [10]:

, » 2 р*

1 - р Л-----------агсзш

1

1+ Д*

2^41+ Д*) + 11

10

2

Г

X агсзш

X агсзш

^1(^1 + 1) Ге/10

(Д* + 1)(Д* + Ге/10)

(А*1 + 1)(А* + 2) + 10 '

(Д*1 + 1)(А* + 2 + ^/10)

- +А*

2 + Д* +-^

0

(1')

1 2 1

-------arccos-------

р л 1 + Д

>/а 2 + 2А1 +

+ — 1п(1 + Д1) л

= 2.71р *-2-4510(е т-е 0).

Значения критических параметров р*, Д*1 при фиксированных значениях ет, е0, ге/10 получаем, решая систему уравнений (Г), (2') [10]. На рис. 3 построены безразмерные перемещения ^(0, у)/10 точек фиктивной трещины при фиксированных параметрах ет = = 0.0265 и е0 = 0.0165, коэффициент Пуассона V = 0.3. Значения ет, е0 приведены для стали Н8К18М14 (сплав на основе железа) [12]. На рис. 3, а отображен интервал 0 < |у1 < 1, на рис. 3, б — интервал 1 < |у^ < 1 + Д*. Кривая 1 на рис. 3 построена при р* = 4.49, Д* = = 0.0021, ге/10 = 0.1 (^(0, 0)/10 = 0.0074 определяется формулой (5), ^(0,1)/10 = 0.00043 определяется формулой (4)), кривая 2 — при р* = 2.95, Д*1 =0.0051, ге/10 = 0.25 (£(0,0)/10 = 0.011, £(0,1)/10 = 0.001). Согласно формуле (3), рис. 3, б, перемещение в вершине фиктивной трещины ^(0,1 +Д*) = 0; в вершине реальной трещины при у1 = 1 профиль модельной трещины имеет точку перегиба; фиктивная трещина имеет закругленную по параболе вершину. На рис. 3, а кривые, определяющие перемещения точек фиктивной деформированной трещины при |у^ < 1, совпадают с эллипсами у1 + 2 (0,0)/10) = 1. Таким образом, при нагру-

жении тонкой пластины трещина-разрез раскрывается, но не растет, превращаясь, в конечном счете, в эллипс с радиусом кривизны в вершине

р = ^2(0, 0)/10.

Заметим, что р = р(Д*1, р*, е0, ет, ге/10) вычисляется в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса.

Покажем теперь, что пластическая зона перед вершиной деформированной трещины для стали Н8К18М14 действительно небольшая и относительно не узкая. Для этого воспользуемся формулами, определяющими напряженное состояние в произвольной точке пластины с

Рис. 3. Безразмерные перемещения ^(0, у)/10 точек фиктивной трещины для стали Н8К18М14 (сплав на основе железа)

б X1 .■'0.030.020.01 - ‘ і ■ ■

0.99 1. 30 1.01 1.02 y1

Рис. 4. Геометрическая форма раскрывшейся реальной трещины (1) и границы пластической зоны перед вершиной этой трещины (2)

трещиной нормального отрыва, получєнньіми в работе [1G], и критерием пластичности Мизеса в главных осях [8, 1G]. На рис. 4, а показаны раскрывшаяся реальная трещина (кривая 1) и граница пластической зоны перед вершиной этой трещины (кривая 2) для согласованного набора параметров p* = 4.49, А* = G.GG21, re/10 = 0.1, Єт = 0.0265, е0 = 0.0165. На рис. 4, б зона пластичности перед вершиной раскрывшейся трещины отображена более детально.

4. Определение напряжений и перемещений в произвольной точке пластины с фиктивным эллипсом

^инимая во внимание факт, что границы деформированной трещины нормального отрыва совпадают с границами эллипса, для облегчения вычислений вос-пользуємся эллиптическими координатами [1З]

x1 = shu cos v, y1 = chu sin v (б)

Тогда имеем

shu

2

+

Уі

chu

= !•

Следовательно, линии и = и0 являются эллипсами. Заметим, что

shu =

а+yi2 _ 1+V(Xi2+yi2 _ 1)2+4 xi2

chu

= Vsh

2 xi

u +1, cos v =■

sin v=

Уі

х-

shм' сЬм

При chм0 = 1, shм0 = 0 имеем недеформированную трещину-разрез длины 10, берега которой свободны от напряжений.

Ищем решение следующей задачи: граница контура фиктивного эллипса

Уі

(І + Ді)2 -1 (1 + Ді)2

= 1 (chu0 = І +А1)

при yi < 1 свободна от внешних нагрузок, на yчaсткax контypa 1 < lyl < 1 + Д1 действуют сжимающие напря-

жения -ат (см. рис. 2, б). Требуется найти напряжения и перемещения в произвольной точке пластины с фиктивным эллипсом.

Для плоского напряженного состояния имеем формулы [13]:

Э 2F Э2 F д2F

Sr. =

ЭУ12

Tx^yi dxidyi

(7)

y1 dx1

Здесь F — функция напряжений Эри. Согласно [14], в случае замены переменных х1? на новые u, v связанные с Xi, yi формулами (6), частные производные первого порядка записываются в следующем виде:

* = 4 Bi —, — = Bi d-F + A V, (8)

1л 1л ' 1л 1 л ' \ У

сЦ au dv oyi au dv

где

A| = -^chu cos v, B = -^shu sin v.

1 h2 1 h2 Величина коэффициента искажения h2 = sh2u + cos2 v [13].

Тогда, подставляя (8) в (7), получаем выражения для

напряжений:

rdB1 dF

= B

„ Э 2F дЛ1 dF А d2F

+ B —т- + —1--------------+A

2 du dv 1 dudv

+ A

du du du

dB1 dF n d 2F dA dF , d 2F

1 + R-----------+ —1---------+ A

\

О yi = Ai

dv du 1 dudv dv dv

ЭЛ dF d2 F dB1 dF „

1 + A—^------------B,

dv2 d 2 F

du du

du

2 du dv 1 dudv

/ЭЛ1 dF , d2 F dB1 dF „ d2 F ^

—1— + A-------------1-------B, —-

3v du dudv dv dv dv^

v J

fdB1 dF „Э2 F dAdF d2 F Л

1 + B1 —^---T-1-—+ A

(9)

B

о, = 0, т.

du du dB1 dF

du2 du dv 1 dud

v

у

dv du 1 dudv dv dv 1 dv2

= 0 *УЛ = 0 (z1 =

Здесь

дЛ1 cos vshu

h2 sin vchu

du

дЛ1

~з7

dB1 sin vchu

du h2

3B1 cos vshu

dv h2

1

2ch2u

2 cos v

1 -

1 +

2sh2u

2 sin v

Выражения для перемещений имеют вид [1З]:

2G\

2Gr|

9F 4

------+-------------Ф1

dx1 4 - a

_3_

9уі

F + -

4-a

ФІ

(1G)

2GC 2 -a ЭФ1

" Z1

10 4 -a 3x1

Здесь

F = фо + xA; ф o=ф o(xi ’ уі); фі=фl(xl, уі);

ЛФ 0 = 0; ДФ1 = 0;

ЗФ)

= Фі; а = 2(1 -V);

G = Е/ (2(1 + V)) — модуль сдвига; Е — модуль Юнга. Учитывая (8), перепишем первое соотношение (10) в виде:

1 = ^-—(1 + ^ X

Е

Л1 3F B1 3F 4 Ф

- +

+ -

du dv 4-a

(11)

Определим составляющие функции ¥. При нахождении ¥ будем исходить из элементарного напряженного состояния, возникающего в пластине без эллиптического отверстия. Этому элементарному напряженному состоянию соответствует функция напряжений F0. К функции напряжений F0 добавим другие функции, дающие искажение напряженного состояния при наличии эллиптического отверстия. Эти добавочные функции отвечают за распределение напряжений, при котором часть контура эллипса свободна от внешних напряжений (функция напряжений F00 ), а часть нагружена сжимающим напряжением -от (функция напряжений F **). В точках, лежащих на участках контура, свободных от внешних напряжений, напряжения в пластине без эллиптического отверстия и добавочные напряжения взаимно уничтожаются (такие граничные условия имеют место применительно к функции напряжений F * = F0 + F 00 ). Считаем, что при удалении от эллиптического отверстия добавочные напряжения (функции F00 и F**) быстро убывают (что соответствует закону

затухания), а на боковых гранях пластины практически равны нулю. Следовательно, граничные условия выполняются только на контуре и0 эллиптического отверстия. Определив суммарную функцию напряжений Эри

F = F + F ** = Ф0 + x-^^

где

F* =Ф0 + x-®*; F** = Ф]* + xi®-*;

Фо =Ф0 +ф0*; Ф- =Ф* +Ф**,

найдем напряжения и перемещение в произвольной точке пластины с эллипсом.

Hpи определении функции напряжений F * будем исходить из функции напряжений F = Ф0 + Ф]. Функции Ф] и Ф-, записанные в эллиптических координатах, имеют вид:

Ф 0 =~”- [1_ ch2u cos2v],

ф 0 = shu cos v

12

(12)

Включим в состав функции напряжений F * добавочную функцию F так, чтобы ей соответствующие напряжения стремились к нулю при увеличении и, т.е. при удалении от эллиптического отверстия. Тогда выражения (12) переходят в следующие [13]:

Ф0 = [1 + A*u + (-ch2u + B*e~2u ) cos 2 v],

a (13)

Ф* = _2“ (shu + C*e “ ) cos v, а функция напряжений F* принимает вид [13]:

F» _ [i + ch2u + 2A*u + 2C*e~ushu +

8

+ (-ch2u -1 + 2B*e~lu + 2C * e ~u shu)cos2v] (14)

и удовлетворяет следующим граничным условиям на контуре отверстия u = u0 при отсутствии внешних нагрузок [13]:

3F * 3F * 3F * BF *

—— = 0, —— = 0 или —— = 0, ------------= 0. (15)

сЦ су du dv

Запишем частные производные функции F *:

— = — [2sh2u + 2 A* + 2C *e~2u +

du 8

3F

+ (-2sh2u - 4 B*e~2u + 2C V2u ) cos 2 v],

= [-ch2u -1 + 2B*e ~2u +

dv 4

+ 2C *e ~u shu ] sin 2 v,

IZ- = [4ch2u - 4C V2u +

du2 8

[-ch2u -1 + 2B*e~lu + dv2 2 L

+ 2C *e~u shu] cos 2 v,

(1б)

+ (-4ch2u + 8B*e~2u - 4CV2u ) cos 2 v],

Э_¥_ = _а^ [_2^и - 4В*е~1и + 2С *е~2и ^ш2т; ЭиЭV 4

Граничные условия (15) (учитываются первое и второе соотношения (16)) при и = и0 приводят к системе уравнений [13]

2sh2u0 + 2 Л* + 2С*е~2и° = 0,

- 2sh2u0 - 4В V2"0 + 2С*е~2и<> = 0, (17)

- ch2u0 -1 + 2В*е~2и° + 2С*е~и0 shu0 = 0.

Решая систему уравнений (17), находим константы

[13]

A* = -1 - ch2u0,

B* = 1 e2u0 + - - 1 e4u0 2 4 4

2u

(18)

С* = 1 + е

Теперь определим функцию напряжений F**. Заметим, что функция напряжений F ** не содержит в себе функцию напряжений F0, а следовательно, функции Ф0*, Ф_* не включают в себя функции Ф0, Ф1. Когда отдельные участки контура (1 < |у, | < 1 + Д1) стягиваются напряжениями -а т, функции Ф0* и Ф_* при Л_ = = 0 определяются следующими равенствами:

ф»» _ в**е 2u cos2v,

ф»» _ с**е u cos v 1 2

(19)

Тогда функция напряжений F ** принимает вид:

F ** = [С**e_ushu +

4

+ (В**е~2и + С**е-из\ш)соъ2ч]. (20)

Соотношения (16) переходят в следующие:

д£_ [С»»е_2и + (-2В**е~1и + С**е~2и )со82у],

ди 4

(B**e 2u + C**e ushu)sin2v,

dF ** dv

= _^ (-2B**e~lu + C'**e~2u ) sin 2 v, (21)

dudv 2

Э_Р =a^[_c**e~2u + (2B**e~2u -C**e~2u)cos2v], du2 2 L V J

^ 2 F **

----— = -o^ (B**e ~2u + C**e~u shu)cos2v

Получим граничные условия для функции F ** на участках контура и0 при 1 < 1у1 < 1 + А1. Согласно [13]

X 1,2 = I dX = -

vi

^1,2 = | dY =

dF **

9yi

Jv=v2

dF **

9yi

Jv=vi

dF *

dx1

rdF

(22)

Jv=v2

dx1

где Xi2, Y1 2 — проекции сил, возбуждаемые действием части тела, лежащей левее и выше кривой P,P2, на часть, расположенную с правой стороны этой кривой (и ниже) (см. рис. 2, б). Точки P1, P2 соответствуют значениям

sinv1 = 1/chu0 = 1/(1 + А1), sinv2 = (1 + A1)/chu0 = 1. Равенства (22) получены из условия равновесия, устраняющего движение в направлении осей x1, у1 [13]. Обозначив угол между направлением x1 и u0 как (x1, u0), а между у1 и u0 как (у1, u0), запишем силы, действующие на грань d 1 — дифференциал дуги (1 — длина дуги от точки P1 до точки Р2 на рис. 2, б): dX = -стт cos( х,, u0)d 1, dY = -стт cos( у,, u0)d 1.

Согласно [13, 14]

. .1 Эх, chu cos v

cos(X, u) = —-— =--------------,

h du h

1 Эу, shu sin v

cos(у, , u) = - —L =----- ----,

h ou h

(23)

d1 = 10^ Xj (v)2 + у, (v)2dv = h10dv (h2 = sh2u + cos2 v).

Проинтегрировав уравнения (23) вдоль кривой, со единяющей точки контура эллипса р, P2, получаем: X12 =-от 10chu0(1 - sin v,),

Y, 2 = от 10shu0cos vj.

dF *

Частные производные

формулами [13] dF ** 1

dF *

Эх, ’ dyl

(24)

определяются

Эх,

dF **

Эу,

chu cos v-

dF *

du

- shu sin v-

dF *

1

shu sin v-

dF *

- + chu cos v-

dv dF **

(25)

du dv

Граничные условия (22) (учитываются первые два соотношения (21) и формулы (24), (25)) при u = u0 приводят к системе уравнений:

B**Ti + с “Til = 4 X 1,2/ о.,

BnT2 + с*%2 = 47^/ ,

где

T, = -2e_2u0 x ^ shu0 sin v, cos 2 v, + chu0 cos v, sin 2 v, + 1 ^

(26)

sh2u0 + cos2 v,

sh2u0 + cos2 v, shu0

^ shu0sin2v1e u ( _

Tii =~H. 2 (e

sh u0 + cos v,

-2chu0 cos v,);

T2 =

2e

-2u„

sh2u0 + cos2 v,

x (-chu0 cos v, cos 2 v, + shu0 sin v, sin 2 v,);

v

где

T22 _

sh2u0 + cos2 v,

X (e u°chu0 cos v, cos 2 v, + 2shu0 sin v, sin 2 v,). Решая систему уравнений (26), находим константы A** = 0,

B** = 4 Yi, 2/C *%2

(27)

С ** = 4

T1Y1,2/ T2 X1,2/

T22T1 _ T11T2

Подставляя в соотношения (14), (20) формулы (18), (27), определяющие константы Л*, Б_ С * и Л**, Б**, С** соответственно, найдем суммарную функцию напряжений F = F* + F**, а следовательно, и напряженное состояние в пластине с фиктивным эллипсом (см. формулу (9)). При этом выражения (13) и (19) определяют функции Ф0 = Ф0 +Ф0*, Ф1 =Ф_ +Ф_*. Зная

ЭГ дF ЭФ. ЭФ1

частные производные ------, ——, -----1, ——, можно

ди оу Эи оу

определить перемещение точек пластины с фиктивным эллипсом (см. формулы (10), (11)).

5. Нормальное напряжение на продолжении фиктивного эллипса при х1 = 0

Нормальное напряжение стх (0, у1) = о*Х (0, у1) + + аХ_ (0, у1) на линии продолжения фиктивного эллипса при х1 = 0, |у1 > 1 + А1 получим с помощью формул (9), (14), (18), (20), (27). Составляющие нормального напряжения аХ1(0, у1) и стХ_(0, у1) определяются формулой (9), когда Г = Г * и Г = Г ** соответственно. Сравним его с нормальным напряжением ст^ (у1, 0) на линии продолжения фиктивной трещины, вычисленным в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса [8, 10]:

(0, ух) = ат*(0, у1) + стт**(0, у1), 1у1 > 1 + Al, (28)

у1

л/ух2 - (1+ А,)2

_T**

(0, у,)

От

у1

+ 2

ат у, arcsin(1 +А,) 1

а“ Wу? - (1 + Ai)2

arcsin

л/у12 _ (1 +д1)

(1 + А,)2 - у,

2

(1 + A,)(у, -1)

-arcsin

(1 +А,)2 + у, (1 +А,)( у, + х)

Напряжения СТх*(0, у1) включают в себя элементарное напряженное состояние, возникающее в пластине без трещины, равное см, и напряженное состояние, при котором берега фиктивной трещины свободны от напряжений. Напряжения ат_*(0, у1) получены при условии, что концевые участки фиктивной трещины при 1 < |у1 < 1+ А1 стягиваются напряжениями -ат. На рис. 5 при р* = 4.49, А* = 0.0021, ет = 0.0265, е0 = 0.0165 построены кривые 0^(0, у)/ , ст^* (0, у^/ ,

°_1(0, у\)/и ат_*(0, у^/а.. Значения ет, Е0 приведены для стали Н8К18М14. Критические параметры Vт/О*,, А*1 определены из достаточного критерия прочности (Г), (2') для упругопластического материала с ограниченным предельным удлинением при пластичности. Заметим, что при у1 = 1 + А* напряжения

стх_(0, у1) и ах_*(0, у1) имеют особенность (см. (28)). Напряжения а_ (0, у1) и а**(0, у1) особенности при у1 = 1 + А1 не имеют, что подтверждают расчеты (о_1 (0,1+ Д*)/о. = 21, о_*(0,1 + А*)/о. =-2.1, рис. 5) и здравый смысл. Глядя на рис. 5, можно сказать, что нормальные напряжения ст^ (0, у1) и аХ1 (0, у1), за исключением малой окрестности вершины фиктивной трещины, совпадают.

Ох,(0, У1 )1оа <(0. У1)/Ст=с И

20 -

15 -

10 -

5 -

0 1 I 0 I 1.1 1.2 I — 1.3 у«

Рис. 5. Составляющие нормальных напряжений а (0, у,) и (0, у,)

продолжения фиктивного эллипса (7) и фиктивной трещины (2)

f 0.0008 - 0

0.0004 -

0.0000 1 4.40 1 4.45 1 4.50 1 ► Р

-0.0004 -

Рис. 6. Графическое представление достаточного критерия прочности для стали Н8К18М14. Критические растягивающие напряжения р* определяются условием f (р*, Д*, Ет, е0, ге/10) = 0 для ге/1ц = 0.1 (а) и 0.25 (б)

6. Раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса

Величина раскрытия фиктивного эллипса в вершине реального эллипса 2^(х*, 1)10 (х* = (1 - (1 + A х)_2 )l2 X X (А2 + 2\ )12) определяется соотношением (11). Для нахождения 2^(х*, 1)10 следует при у, = 1, х, = х* вычислить shu, chu, cos v, sin v, h2, A,, Bx, 3A,/du, ЪA1|dv, ЭВ,/du, ЭВ,/dv. Функции напряжений F*, F ** определяются формулами (14), (20) соответственно, а функции Ф*, Ф** — формулами (13) и (19). Функции F*, Ф* удовлетворяют граничным условиям (15), а функции F**, Ф** — граничным условиям (22). Определив функцию Ф[, функцию напряжений F и частные производные 9F/du, 9F/dv, находим раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса 2^(х*,1)10. Так, например, для стали H8K18M14 при ет =0.0265 и е0 = 0.0165, ге/10 = 0.1 (re/l0 = 0.25), р* = 4.49 (р* = 2.95), А* = 0.0021 (А* = 0.0051) раскрытие фиктивного эллипса в вершине реального эллипса— 2^(Э) (х*, 1) = 0.0009 (2^(Э) (х*, 1) = 0.001), а раскрытие фиктивной трещины в вершине реальной трещины — 2^(T) (0,1) = 0.00086 (2^(T)(0,1) = 0.002). Критические параметры р*, А*, определены из достаточ-

ного критерия прочности (Г), (2'). Заметим, что несмотря на разные методы вычисления величины раскрытия в вершине реальной трещины наблюдается очень хорошее совпадение сравниваемых величин.

7. Критические параметры разрушения

Как уже ранее отмечалось, нормальное напряжение на продолжении фиктивной трещины, вычисленное в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса, за исключением малой окрестности вершины фиктивной трещины, практически совпадает с нормальным напряжением на продолжении фиктивного эллипса при х1 = 0, определенного в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса, адаптированного для эллипса. Поэтому при вычислении критических параметров разрушения в силовом критерии (1) вместо нормального напряжения на линии продолжения фиктивного эллипса оХ1 (0, у1) для простоты расчетов будем иметь в виду нормальное напряжение на продолжении фиктивной

трещины (0, уД

Подставив соотношение (28) в модифицированный критерий Нейбера-Новожилова (1), после интегрирования при п = k = 1 и некоторых преобразований [10], а также из силового критерия (Г) получаем:

Рис. 7. Перемещения ^(0, у)/10 точек фиктивного эллипса (1) и фиктивной трещины (2) для стали Н8К18М14

Таблица 1

Материал £ т Е0 rel10 p*3 Af p*T д*т

Сталь H8K18M14 0.0265 0.0165 0.10 4.53 0.0012 4.49 0.0021

0.25 2.96 0.0040 2.95 0.0051

Нитевидные кристаллы 0.0570 0.0400 0.10 4.56 0.0006 4.53 0.0011

нитрида алюминия 0.25 2.98 0.0019 2.97 0.0021

p = -

D

1-----arcsin

л

1+ Д,

N

(29)

+ л

где

r f re )

D = ! 2-41 + Ai) + ' e

\ l o 1 10 0

f \ f \

N

r

+ Д,

arcsin

Al(1 + Al) - r J l o (1 + Ai)(Ai + r J l o)

+ A, + 2

arcsin (2 + Al)(1 + Al) + re/lo . (1 + Ai)(Ai + r e/1 o + 2)

Подставляя в соотношение (29) определенные значения А^, г = 0, ..., т (начальное значение = 0.0000001), при фиксированных параметрах ге/10, ет, е0 находим значение р(г). Затем для согласованного набора параметров ет, е0, ге/10, А(1г), р(г) вычисляем значение функции

f (р(г), А^ ет, еo, Ге/1 о) =

= 2^(х*,1)1 о -2.71[р(г)]-2'451 о(^т - ео).

Если

f (р(0, А^ ет, еo, Ге/1 о) = 0, то критерий критического раскрытия трещины (2) выполнен и критические параметры р(г) = р* А^ = А* найдены. Если

f (Р(0, А®

Л1 5 °т 5 °0 ’ e

/l 0) ^ 0,

присваиваем А(1+1) = А^ + А1 (А1 = 0.0001 — шаг, с которым меняется А1) и начинаем все сначала. На рис. 6 построены зависимости f(p) при ет = 0.0265, е0 = = 0.0165, \ = 0.3, ге/10 = 0.1, ге/10 = 0.25. На рис. 7 отображены безразмерные перемещения ^(0, у)/10 точек фиктивного эллипса и фиктивной трещины при фиксированных параметрах е т =0.0265 и е0 = 0.0165, ге/10 = 0.1, V = 0.3 и критических параметрах р

*Э А*Э

и р*т, Д*т для эллипса и трещины (табл. 1). Таблица 1 позволяет сравнить критические параметры разруше-

А *Т А *Т

ния р , А] , р , А] , вычисленные для разных материалов в рамках упругопластического аналога задачи Гриффитса для фиктивного эллипса и фиктивной трещины. Наблюдается очень хорошее совпадение сравниваемых величин, что говорит в пользу модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластического аналога за-

дачи Гриффитса. Получается, что они одинаково хорошо работают для материалов с относительно узкими, длинными и с небольшими, относительно широкими пластическими зонами. Все приведенные рассуждения относительно изменений в модифицированной модели Леонова-Панасюка-Дагдейла и упругопластическом аналоге задачи Гриффитса доказали свою состоятельность и расширили диапазон применимости классической модели Леонова-Панасюка-Дагдейла. Кроме того, эти рассуждения будут полезны при решении задачи о растяжении тонкой пластины с отверстием в виде эллипса произвольных размеров.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 07-01-00163), программа РАН (проект 4.11.3), грант НШ-6481.2006.1.

Литература

1. Ахметзянов М.Х., Албаут Г.Н. Определение больших пластических

деформаций в металлических элементах методом фотоупругих покрытий // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 3. - C. 35-42.

2. Irvin J.R. Fracture mode transition for a crack traversing a plate // Trans. ASME. Ser. D. - 1960. - V. 82. - No. 2. - P. 417^25.

3. Orowan E.O. Fundamentals of Brittle Behavior of Metals // Fatigue and Fracture of Metals / Ed. by W.M. Murray. - New York: Willey, 1950. - P. 139-167.

4. Hult J.H., McClintockF.A. Elastic-Plastic Stress and Strain Distribution

around Sharp Notches under Repeated Shear // Proc. of the 9-th Int. Cong. on Applied Mechanics. - Brussels: University of Brussels, 1956.- V. 8. - P. 51-58.

5. Шемякин Е.И. Напряженно-деформированное состояние в верши-

не разреза при антиплоской деформации упругопластического тела // ПМТФ. - 1974. - № 2. - C. 110-116.

6. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разру-

шения. - М.: Наука, 1985. - 504 с.

7. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.

Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. - C. 100-108.

8. КерштейнИ.М., КлюшниковВ.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А.

Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.

9. Корнев В.М. Обобщенный достаточный критерий прочности. Опи-

сание зоны предразрушения // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 5. -C. 153-161.

10. Кожевникова М.Е., Корнев В.М. Достаточные критерии прочности для трещины и узкого выреза с закруглением в вершине при квазихрупком разрушении// Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 5. -C. 47-62.

11. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР, ОТН. - 1955. - № 5. -С. 3^1.

12. Корнев В.М. Взаимосвязь параметров о-е-диаграммы материалов с процессом разрушения // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 4. -С. 71-78.

13. Нейбер Г. Концентрация напряжений. - М.-Л.: Гостехиздат, 1947.- 204 с.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. Физматлит, 1958. - 608 c.

Постyпила в редакцию 14.08.2006 г.