Трехзначные изоморфы классической логики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Л.Ю.Девяткин

ТРЕХЗНАЧНЫЕ ИЗОМОРФЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Abstract. Three-valued isomorph of the classic propositional logic C2 is a set of three-valued connectives that verifies all classic axioms based on corresponding binary connectives and modus ponens. This paper deals with the implicative-negative case of such sets. An essential theorem concerning properties of three-valued isomorphs of C2 is proven. In every isomorph, implication is only false (i.e. takes a non-designated value) iff an antecedent is true (i.e. takes a designated value) and a consequent is false. And the negation is only false iff a corresponding propositional variable takes a designated value. Once we have proved such a theorem we are able to show that every three-valued C2 isomorph is consistent, count the total amount of three-valued C2 isomorphs and devise a minimal condition for a three-valued logic to contain an isomorph of C2.

Введение

В 1938 году Д. А. Бочваром [1] был впервые обнаружен трехзначный изоморф классической пропозициональной логики C2, построенный средствами трехзначной логики B3 (определение изоморфа см. в следующем разделе). В 1997 году А.С. Карпенко [2] был обнаружен другой изоморф C2, построенный средствами B3. Г. Малиновский [6] приводит еще один изоморф C2 и с удивлением указывает, что существует также изоморф C2, в котором не верифицируется правило modus ponens. Заметим, что таким изо-морфом уже является трехзначная логика Клини с двумя выделенными значениями (доказательство в [5]).

Прорыв в этой области был совершен В.Е. Комендантским в дипломной работе [3], где посредством компьютерной программы было вычислено 65 нормальных трехзначных изоморфов (определение нормальности см. ниже). Однако лишь 18 из них верифицируют modus ponens.

1. Основные понятия

Под изоморфом классической пропозициональной логики, содержащимся в некоторой трехзначной логике, будем понимать такой ее фрагмент, что в нем верифицируются все тавтологии классической логики и modus ponens. В этой работе мы будем

использовать следующую аксиоматизацию классической логики [4]:

A1. p—(q—p) (K)

A2. (p—(q—r))—((p—q)—(p—r)) (S)

A3. (~p—~q)—(q—p) (contr.) Правила вывода: modus ponens, подстановка.

Таким образом, в данном случае под трехзначным изоморфом C2 мы подразумеваем такие трехзначные импликацию и отрицание, что для них аксиомы K, S и contr. сохраняют общезначимость. Изоморф называется нормальным, если ограничения операций импликации и отрицания на подмножестве {0,1} множества истинностных значений {0,'Л,1} суть обычные классические операции импликации и отрицания, т.е. эти операции являются C-расширяющими.

2. Теорема о свойствах трехзначных изоморфов C2 Теорема 1.

Связки, соответствующие определению изоморфа, обладают следующими свойствами:

1. Импликация принимает значение, отличное от выделенного, если и только если (е.т.е.) антецедент принимает выделенное значение, а консеквент - нет.

2. Отрицание сопоставляет выделенным значениям невыделенные, и наоборот.

Докажем теорему для логик с одним выделенным значением.

Будем обозначать буквой f элементы класса невыделенных значений (0 и Л).

Покажем, что все изоморфы C2 соответствуют условию теоремы, то есть p—q=f, е.т.е. p=1 и q=f, а —p=f при p=1 и —p=1 при p=f

Импликация.

1. При p=1 и q=1 p—q^ f, так как иначе для сохранения общезначимости аксиомы K было бы необходимо 1 —>f=1, что противоречит условию верификации modus ponens.

2. При p=1 и q=' p—q=f - условие верификации modus ponens.

3. При p=1 и q=0 p—q=f - условие верификации modus ponens.

4. При p=' и q=1 p—q^ f, так как иначе для сохранения общезначимости аксиомы K было бы необходимо 1—f=1, что противоречит условию верификации modus ponens.

5. При p=0 и q=1 p—q^ f, так как иначе для сохранения общезначимости аксиомы K было бы необходимо 1—f=1, что противоречит условию верификации modus ponens.

6. При р=0 и д=0 р^^ 0, т.к. иначе аксиома K принимала бы значение 0 при р=0 и д=0.

7. При р=0 и д=0 р—q: /. Допустим, что это не так. Как было показано в (3), 1 —>0=£.

a. Пусть 1—0=0. В этом случае S=1/ при р=1, q=1, г=0.

b. Пусть 1—0=/.

Для сохранения общезначимости K в этом случае необходимо 0—/=1. 0—1=1 (5), 1—/=Г (2). Для сохранения общезначимости S при р=0, q=1, г=0, необходимо, чтобы 0—/=/ или 0. Приходим к противоречию.

Таким образом, 0—0: f (6, 7).

8. При р=0 и q=/ р—q: 0, так как иначе аксиома S принимала бы значение f при р=0, q=0, 8=/ (0—>0=1 (6,7)).

9. При р=0 и q=/ р—/. Пусть это не так. Тогда при р=/, q=0 q—р=/. Для сохранения общезначимости contr. необходимо, чтобы ~р—и /—/=1, так как 1—/=f (2) и 0—/=/ (по условию). Существуют четыре варианта, при которых ~р—~^ может быть равно / при р=/, q=0:

a. ~/=0, ~0=/. Для contr.=1 при р=/, q=1 требуется ~1=/ (0—0=1(6,7)). Однако в этом случае при р=0, q=1 (/—/=1 (по условию)).

b. ~/=1, ~0=/, 1—/=/. Для р=0, q=1 получаем (/—~1)—£ но /—/=1, а 1—^ 1. Следовательно, ~1=0. Это значит, что для ^Пг.=1 при р=/, q=1 требуется 1—0=/. Однако в этом случае ^/г при р=0, q=1, так как 0—/=/ (по условию).

c. ~/=1, ~1=0, 1—0=/. Аналогично предыдущему случаю, K=/ при р=0, q=1.

а. ~/=/, ~1=0, /—0=/. K=/ при р=0, q=/.

Таким образом, 0—/: f (8, 9).

10. При р=/ и q=/ р—q: /, так как в этом случае ^/г, что противоречит определению изоморфа.

11. При р=/ и q=/ р—q: 0. Допустим, что это не так. В этом случае для сохранения общезначимости S было бы необходимо /—0=0 (иначе S=f при р=/, q=0, г=/, 0—/=1(8,9), /—1=1(4), 0—0=1(6,7)). Однако при /—/=0, /—0=0 ^0 для р=/, q=/.

Таким образом, /—/: f (10, 11).

12. При р=/ и q=0 р—q: /. В противном случае, S=f при р=/, q=/, г=0 (/—/=1 (10,11)).

13. При р=/ и q=0 р—q: 0. Допустим, что это не так. Тогда при р=0, q=/ q—р=0. Для сохранения общезначимости contr. необходимо, чтобы ~р—^=0, так как 1—0=f (3), /—0=0 (условие). Существует три варианта, когда ~р—~^ может быть равно 0 при р=0, q=/:

a. ~0=1, -/=/2, 1—/=0. Однако при 1—/=0 и /—0=0 К=0 для р=/, я=1.

b. ~0=1, ~/=0, 1—>0=0. Для соМг.=1 при р=0, д=1 необходимо, чтобы ~1=0 (как было показано выше, 1—/^ 0). Но тогда при р=/, я=1 соМг= (0—0=1(6,7)).

c. ~0=/, ~/=0. Однако в этом случае соШг= для р=/, д=1 (0—р=1(5,6,7,8,9)).

Таким образом, /—0^ f (12, 13).

Итак, для любой импликации, отвечающей критерию изо-морфа, р—q=f, е.т.е. р=1 и

Теперь покажем, что любая импликация, отвечающая условию теоремы, соответствует критерию изоморфа. Для любой такой —, что

1. при р=1 и q=f р—q=f.

2. р—f ни для какого иного приписывания значений.

К и сохраняют общезначимость при выделенном значении 1. Покажем, что это так. Пусть K=f

1. Если К=£, то р=1, а q—p=f

2. Однако импликация не может принимать значение f при значении консеквента 1.

Пусть 5=£

1. Если 5=£, то р—г)=1, а (р—q)—(р—r)=f

2. Если (р—q)—(р—г)=f, то (р—q)=1, а

(р—гН

3. (р—г)=£, е.т.е. р=1, а ^

4. (р—q)=1 при р=1, е.т.е. q=1

5. При р=1, q=1 и г=f р—(q—г)=f -противоречие с (1).

Теперь покажем, что для любой импликации, соответствующей условию теоремы, может быть построено такое отрицание, что соМг. сохраняет общезначимость при любых приписываниях значений переменным.

1. (~q—~р)—(р—q) может принимать значение f только когда

(~Я—~р)^ £ а (р—q)=f.

2. (р—q)=f, е.т.е. р=1, а q=f.

по условию теоремы по условию теоремы

по условию теоремы по условию теоремы по условию теоремы по условию теоремы

3. Для того, чтобы при р=1 и q=f формула (~q—~р)—(р—q) принимала значение 1, необходимо такое отрицание, что ■~р)=! при р=1 и q=f.

4. ~р)=£, е.т.е. ~q=1 и ~p=f.

5. Итак, необходимо такое отрицание, что ~0=1, ~/=1, ~1=f. Существует два таких отрицания:

р гР р г2р

1 0 1 /

/ 1 / 1

0 1 0 1

Таким образом, любая импликация, отвечающая условию теоремы, соответствует критерию изоморфа. Первая часть теоремы доказана для логик с одним выделенным значением.

Переходим к доказательству второй части относительно отрицания.

Покажем, что любое отрицание, отвечающее критерию изо-морфа, соответствует условию теоремы.

1. р=1, —р=1. В этом случае при р=£, q=1 вся формула будет принимать значение поскольку если —q=1, то (—р—q)=1. В то же время q—р=1—f=f.

2. р=1, —р=/. Если —1=1, соМг.=1 для любых приписываний значений переменным.

3. р=1, —р=0. Аналогично (2).

4. р=/, —р=1. Если —1=£, соп&.=1 для любых приписываний значений переменным.

5. р=/, —р=/. Тогда (—р——q)= /——q=1, но q—р=1—f=f, а значит соМг. =£

6. р=/, —р=0. Аналогично (5).

7. р=0, —р=1. Если —1=£, соМг.=1 для любых приписываний значений переменным.

8. р=0, —р=/. Аналогично (5).

9. р=0, —р=0. Аналогично (5).

Таким образом, критерию изоморфа соответствуют лишь такие отрицания, что —!=1, а —1=£, т.е. выполняют условие теоремы. То, что для любого отрицания, выполняющего условие теоремы, существует такая импликация, что соШг=1 для любого приписывания значений переменным, следует из предыдущей части доказательства.

Итак, мы доказали, что все изоморфы обладают свойствами, описанными в Теореме 1, а также, что все связки, соответствующие условиям теоремы, отвечают критерию изоморфа. Теорема 1 доказана для логик с одним выделенным значением.

Доказательство для логик с двумя выделенными значениями проводится аналогичным образом.

Следствие 1.

Не существует такого трехзначного изоморфа С2, что в нем одновременно общезначима некоторая формула А и ее отрицание. Докажем это.

1. Пусть в некотором изоморфе одновременно общезначимы А

2. По теореме 1, —А принимает выделенное значение, е.т.е. А принимает невыделенное. Таким образом, —А тождественно-истинно, е.т.е. А тождественно-ложно. Получаем противоречие с

Следствие 2.

Количество трехзначных изоморфов С2 с k выделенных значе-

Формула соответствует числу возможных комбинаций импликаций и отрицаний, отвечающих условию теоремы 1.

Всего существует 16 изоморфов С2 с одним выделенным значением (из них 2 нормальных) и 256 с двумя выделенными значениями (из них 16 нормальных).

Следствие 3.

Необходимым и достаточным условием существования в трехзначной логике нормального изоморфа С2 является выразимость в этой логике любой С-расширяющей импликации и С-расширяю-щего отрицания такого, что промежуточному значению сопоставляется значение 1 или 0. Докажем это.

По теореме 1 отрицание, входящее в изоморф, сопоставляет выделенным значениям невыделенные, и наоборот. Для нормальных логик такие отрицания имеют вид:

для одного и двух выделенных значений соответственно. Следовательно, сформулированное условие является необходимым. Покажем, что оно является достаточным.

и —А.

(1).

р__ср___е__—р

10 10

/ 1 / 0

0 1 0 1

Пусть —0 - исходная С-расширяющая импликация, а —0 имеет вид — илир Тогда импликация —, отвечающая критериям изо-

морфа, будет строиться так:

0 0 0 0 0 р—q=— — р— — — q

Когда — =— - получится изоморф с двумя выделенными значениями:

1 '/2 0 Е —

1 1 1 0 1 0

'/2 1 1 0 / 0

0 1 1 1 0 1

Когда — = г - получится изоморф с одним выделенным значением:

Е

1 '/2 0 Е ГЕ

1 1 0 0 1 0

'/2 1 1 1 / 1

0 1 1 1 0 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Бочвар Д. А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. Т. 4, № 2.

2. Карпенко А. С. Многозначные логики. М., 1997.

3. Комендантский В. Е. n-значные изоморфы классической логики. Дипломная работа выполнена на кафедре логики философского факультета МГУ, 2000.

4. Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960.

5. Epstein R. L. The Semantic foundations of Logic. Vol. 1: Prepositional Logics. Dondrecht;Boston;London, 1990.

6. Malinowski G. On Many-Valuedness, Sentential Identity, Interference and Lukasiewicz Modalities // Logica Trianguli. Vol. 1, 1997.