CC BY
52
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVII 1986
№ 2
УДК 533.6.071.08.632.57
ТРЕХМЕРНОЕ ТРАНСЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ИСПАРЯЮЩИМИСЯ ЧАСТИЦАМИ
М. М. Гилинский, А. Л. Стасенко, А. В. Шуинов
Приведены результаты численного исследования парокапельного потока в трехмерном сопле (с двумя плоскостями симметрии) с учетом фазовых переходов на поверхностях диспергированных частиц. Показано, что испарение капель в газе со сложно изменяющимися в пространстве параметрами приводит к существенно немонотонному изменению по радиусу и азимуту размеров капель (первоначально монодисперсных и равномерно распределенных по сечению потока) — возникновению кольцевых зон и азимутальной анизотропии двухфазного течения, а деформация стенок сопла позволяет эффективно управлять формой сечения потока частиц в двухфазной струе.
Трехмерные течения газа с макроскопическими частицами могут реализоваться в каналах перспективных аэродинамических труб больших чисел Рейнольдса или их моделей [1] и в «обычных» аэродинамических трубах при визуализации потока каплями, например, диспергированного жидкого азота или воды [2]; в самолетных струях с добавкой мелкодисперсных частиц для управления их радиофизическими и оптическими свойствами [3]; при взаимодействии струй управляющих двигателей с элементами конструкции летательных аппаратов [4] и других практически важных случаях. При этом как на историю отдельной макрочастицы, так и свойства потока в целом существенное влияние могут оказывать поверхностные межфазные переходы (испарение, сублимация или конденсационный рост частиц и капель). Настоящая статья является развитием работы [5] с учетом указанных неравновесных процессов.
Использована физико-математическая модель парокапельного течения [6], согласно которой система уравнений газотермодинамики неоднофазной смеси записана (в цилиндрических координатах х, г, ф) в виде двух подсистем: уравнений динамики невязкого нетеплопроводного совершенного газа в частных производных с правыми частями — распределенными источниками массы, импульса и энергии, описывающими воздействие частиц на несущий газ, и обыкновенных дифференциальных уравнений динамики и тепломассообмена шаровых частиц:
дяг . даг , дЬг дс
д( дх дг ду
f-g—s ,
где и, а, Ь, с, /, g, « — вспомогательные векторы-столбцы:
Р
ри
сг = | рг;
рда е
/=
а ■
р и \ рг>
р + ри2 \ ри^
риъ , 6 = Р + Р^2
ричм рг>да
{е+р)и {е-тР)'Ч>
с —
рда р ичю р и да р + рда2 (6 4-/?)®) I
1 0 \ / 0 \
О я'г 1
р 4- рда2 < ^ II Ьл Рг
— рх>да
\ 0 / \ Л Л Л / у ф + Рх и+Р^+Р,? да 1
л
<И
5 = /,
Л Л Л
р = «/я, I-
л и
л V
л да
~г-£ + ^/
*-1 2 /
Л л л л
= \/2==Ц2 + ^2
Л
а
3 Сдр| К-К| (и-и),
л мв а
л л
(И
л
да3,
И чо) Й ДА
^ = С0р|К- VI (да — да),
Л л
л л й (со Г//?)
й(
Л
ЗЛ
л
йа
<и
^ 51т г; А^О.
/ л а
л
1 -
л
?з (Т) Р г
V- у|и[(И — и)2 + (? —^)2 + (да - да)2]1/2, е =
7 . 72\
~1 + -2- Р’
24
Ие
2/3
1+-^Ие2
й V 6
1 + ехр (
0,427
л
та = т+-т (Т-Т), тг=т[ \ М2), р, = р(1 +1_1м2).-11
V м' 2
0,88
л
= Ке
т \°>
ю
N11 = (2+0,1 Ие)/Г,
/г
А [ Л \ / Л
1-тАу-Г1')ы{х + Чг
4-г
/. к. — I
л
Тг х
, Р,(?>
л
л , />Лзг)=/>2ехр1Дв —
т \ т
N11 Л х-
Л
«.Г
л л л л
Здесь V (и, V, ®) и К (и, V, т) — скорости (компоненты) несу-
Л Л 4 А л
щего газы и частиц; а, пг — — тгр°а3 — радиус и масса шаровых
л л
частиц; п — их числовая плотность; с0 — удельная теплоемкость материала частиц; Св, Ыи, БЬ — коэффициент сопротивления, числа
Нуссельта и Шервуда; индексы г, 5 — условия торможения отно-
л
сительного потока и насыщения; I — теплота испарения; М = л л л л
= | V—V 1/а, Ке^Ие^ар! V — У\/Тш — числа Маха и Рейнольдса потока, обтекающего частицу. Остальные обозначения общеизвестны. Напомним, что, хотя в принятой модели двухфазного течения несущий газ считается идеальным, в окрестности вокруг микровключений проявляются его вязкость и теплопроводность, так как числа Рейнольдса, построенные по диаметру частиц, невелики.
Для описания скорости испарения и конденсационного роста капли принята традиционная диффузионная модель. Влияние газодинамического потока пара у поверхности капли учтено множителем л
fт{TjTr, 1Т), полученным аналитически для капли, неподвижной относительно пара при линейной температурной зависимости коэффициентов переноса, а влияние обдува — множителем, зависящим от числа Рейнольдса, построенного по модулю разности скоростей (первые скобки в выражении для числа Нуссельта). Приемлемость такой модели экспериментально подтверждена в [7]; в работе [8] на основе численных исследований показана адекватность диффузионной и гомобариче-ской модели фазовых переходов при условии выбора числа Шервуда в приведенном выше виде.
Влияние существенной разности температур на сопротивление частицы в приведенной выше модели учтено при помощи эмпирического «правила 1/3» [9], теоретически обоснованного (для малых чисел Рейнольдса, построенного по диаметру частицы) в [10]. Более подробное описание используемой здесь модели газотермодинамики неоднофазной смеси можно найти в [6].
Выписанные выше уравнения приведены к безразмерному виду следующим образом: все линейные размеры отнесены к радиусу равновеликого круглого критического сечения; компоненты скоростей газа и частиц — к а*, плотности-—к р*, температуры — к а2,7?, давление — к р* а\, удельная теплота испарения — к а1, радиус частиц — к их ра-
А
диусу а0 в начальном сечении х = 0.
Принята степенная зависимость вязкости газа от температуры р.г=[хПх (Т/ТПх)ш. Множитель /г соответствует линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры, Х~Т, со == 1. В результате обезразмеривания в уравнениях динамики и тепломассообмена частиц сформировались безразмерные комплексы
о __ 3 р* г* _ 3 г* 9х —5 ( аІІ Я
^ о Л Л ’ Т о Л Л, , _ і ^іх \ т1
Р° «о 8 а*0°а20 * 1 V Ъ'Х
4 3 М-Ях ~ 2а0р*а*/ ТН*
°} 3 Рг "^нх) ’ ^ ' М1х \а1\*
Приведенные ниже примеры численного исследования относятся к смеси газообразного азота с азотными каплями. Свойства вещества
А Л
заимствовались из справочников: р° = 800 кг/м3, с° = 2-103 Дж/кг-К, £ = 2-105 Дж/кг. Условия торможения: Г° = 300 К, р° = 0,5 МПа. При этом характерные масштабы: /-*=0,1 м, а* = 322 м/с, = 3,55 кг/м3, Р* а? = 0,37 МПа, а?/Я = 350 К.
Расчет течения идеального газа в сопле проводился методом установления С. К. Годунова. Для ускорения процесса установления в начальный момент времени задавался однородный по радиусу и азимутальному углу поток, рассчитанный по одномерной теории. В процессе установления на левой границе — на входе в сопло выполнялось условие сохранения инварианта Римана, полученного при расчете по одномерной теории, а на правой границе — на выходе из сопла поддерживалось слабое противодавление (10_2р°). Вследствие того, что сопло обладает двумя плоскостями симметрии, расчет велся внутри квадранта 0<ф<л/2. Этот интервал был разбит на шесть частей. Радиус гг (л;) разбивался на 10 частей, интервал по оси х от 0 до среза сопла — на 40 частей. Все разбиения равномерны.
Отметим, что в связи с большим объемом оперативной памяти ЭВМ, необходимым для решения рассматриваемой трехмерной задачи, методические исследования сходимости численных результатов сильно затруднены. Тем не менее были проведены специальные расчеты с изменением числа ячеек в полтора раза по х и ф (порознь), что приводило к несущественным (для двухфазных потоков) изменениям результатов, во всяком случае лежащим в пределах ошибки входной информации о коэффициентах межфазного взаимодействия.
Кроме того, для проверки работоспособности сложной программы было использовано сравнение с аналитическим решением для случая медленного гомобарического течения в цилиндрической трубе в одно-
Л
скоростном приближении: и = и, р(х) =р°[1 + 0(М2)]»р°. В этом случае законы сохранения потоков массы и энергии смеси в размерном
виде записываются следующим образом:
Л Л Л
(р + р) И = (ро + Ро) «О * (р° + Ро) «О = Р° (1 + г°) «0. и[рТ — рТ (I — 1)] = «0 [р0 Т0 — р0 Т0 (I— 1)],
где
Л Л Л
_Ро________/ _ 1 (
Р° Р* Р° * р<> ’ А.
12
Напомним, что нижний индекс «нуль» относится к начальным условиям, верхний нуль — к условиям торможения. Учтем, что Т = Т$(р)ъ Ts(p°) = const.
Уравнение состояния газа дает
Для случая малого содержания частиц (когда можно пренебречь их влиянием на несущий газ и параметры последнего постоянны по длине трубы) уравнение изменения радиуса частицы интегрируется (закон Срезневского):
Так, при е°=10~4<с1 получено согласование результатов численного расчета по предлагаемому методу параметров потока в цилиндрической трубе 0<л;<4 с вычислениями по этой формуле (светлый кружок на рис. 1). На этом же рисунке приведены результаты численного
Л
расчета для е°=0,633 (г* =1) и ао=30 мкм (штрихпунктир), когда обратным влиянием частиц на газ пренебрегать нельзя. (Время установления— 12 часов на БЭСМ-6). Заметное отличие и и х от аналитического решения, полученного в односкоростном приближении (сплошные линии), объясняется тем, что характерное время релаксации час-
2 Л Л,
тиц т по скорости (например, при стоксовом обтекании т = — р°Яо/уо)
9
р = pRT ~р0 ^р° = p°RT°, -^л~1.
р° / 0
Из уравнения сохранения потока числа частиц получим
Л Л
пи = п0и0,
Ро \ ао /
Отсюда имеем следующие безразмерные соотношения:
Л
Л
/Л Л \2
1—[а/а0) —2D;ShTw 1
Р* (Т)
Р . и
р/р
х/т
О
0,5 а/а0
Рис. 1
О
нельзя считать много меньшим газодинамического времени течения, так что скорость частиц не успевает «следить» за скоростью газа, падающей из-за испарения капель.
На рис. 2 показаны форма сопла Г, линии равных чисел М в двух взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии (ф = 0 и л/2), а также сепаратрисы 5 для случаев испаряющихся (штриховые линии) и
Л
неизменяющихся (штрихпунктирные линии) частиц (а0=30 мкм). Входное сечение сопла л: = 0 представляет собой прямоугольник 1,1X2, критическое сечение х=х%— круг единичного радиуса, а выходное х = ха — эллипс с полуосями 1,63 и 1,3, большая ось которого перпендикулярна большей стороне прямоугольного входного сечения. Суммар-
ное время счета до установления газодинамических параметров на БЭСМ-6 составило 4,5 часа.
Видно, что газ вдоль образующей сопла ф = 0 разгоняется до больших значений числа М (чем ф = я/2) вследствие большего угла раствора сопла в этой плоскости.
Сепаратриса для случая неизменяющихся частиц расположена ближе к оси сопла вследствие их большей инертности. Частицы, летящие вне сепаратрисы в дозвуковой части сопла, выпадают на стенку и выбывают из рассмотрения.
На рис. 3 приведены кинематические параметры газа и частиц в виде зависимостей от осевой координаты компонент их скоростей вдоль осевой линии тока (штрихпунктирные линии), а также вдоль сепаратрис (индекс 5) в двух плоскостях симметрии. Видно, например, что
Л
радиальная компонента скорости частиц меняет знак ниже по течению, чем скорости газа (инертность частиц), причем в сечении Ф = я/2 это запаздывание наибольшее. Чтобы не перегружать рисунок, азимутальные компоненты скоростей газа и частиц на сепаратрисе приведены на рис. 4 в функции от ф в одном из х-сечений в дозвуковой части сопла. Здесь же иллюстрируется тот факт, что разность скоростей газа и частиц в этой плоскости проходит через нуль при некотором значении ф; следовательно, по обе стороны от этой точки частицы «обдуваются» несущим газом и испаряются сильнее, что приводит ниже по течению к немонотонному изменению размера частиц по ази-
Л А
муту [кривая ав(ф) при х = 3,8; а0 = 30 мкм].
Аналогичные кривые для температур газа и частиц (здесь не приведены) показывают, что температура испаряющихся капель близка к температуре насыщения при локальном давлении торможения пара, обтекающего частицу, и мало изменяется в осевом направлении и по сечению сопла вследствие слабой (логарифмической) зависимости Та(р).
Л
Условие Т^Тв(р) характерно для гомобарической модели тепломассообмена и его осуществление в данных расчетах свидетельствует о приемлемости использованной формальной модели диффузионного испарения капли. Температура же неизменяющихся частиц не следит за
условиями на кривой термодинамического равновесия, а релаксирует к температуре несущего газа.
Особенно наглядно отмеченную выше азимутальную анизотропию иллюстрирует рис. 5, на котором показаны линии равных отеоситель-
л л
ных радиусов капель а/а0 в выходном сечении сопла. (Верхняя поло-
А
вина этого рисунка относится к случаю а0=30, нижняя — 40 мкм). Такую неоднородность двухфазного течения следует учитывать, например, при визуализации лазерным ножом потока с каплями летучего вещества, так как рассеяние излучения зависит не только от плотности, но и от размера частиц. Отметим также, что резкое пространственное изменение размера мелких капель (вследствие сильно нелинейной зависимости скорости массообмена от температуры) может служить чувствительным индикатором погрешностей вычислений, что полезно в методическом отношении.
Из полученных результатов видно, что вытянутость входного сечения конфузорной части сопла в некоторой плоскости и связанное с нею увеличение угла наклона стенки српла приводят к кумуляции частиц в той же плоскости за критическим сечением потока; сплющенность диффузорной части- сопла в этой плоскости способствует дальнейшему уменьшению разлета частиц. Таким образом, используя эффекты трехмерности, т. е. деформируя нужным образом сопло, можно управлять формой граничной поверхности, разделяющей области одно-и двухфазного потока, и препятствовать, например, нежелательному попаданию частиц на элементы конструкции летательного аппарата.
1. Smelt R. Power economy in high-speed wind tunnels by choice of working fluid and temperature. — Rep. No. Aero. 2081, Royal Aircraft Establishment, Farnborough, England, Aug. 1945.
2. Карпова Г. А., С т а с e н к о А. Л. Влияние реальных свойств несущего пара на время испарения капли. ■—Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 6.
3. Gauffre G. Modelisation du rayonnement infrarouge des avions. La Recherche Aerospatiale, 1981, VII—VIII, N 4.
4. А н ф и м о в H. А. Международная конференция по воздействию космической среды на материалы. — Вопросы ракетн. техн., 1974, № 11.
5. Гилинский М. М., С т а с е н к о A. JI., Ш у и н о в А. В. Трехмерное двухфазное течение монодисперсной смеси в сопле Лаваля. — В кн.: Струйные и отрывные течения. II. — М.: Изд-во МГУ, 1981.
6. Стасенко А. Л. Газодисперсные течения в аэродинамике и летательной технике.— Труды ЦАГИ, вып. 2138, 1982.
7. С т а с е н к о А. Л., Шапшал И. Б. Испарение капли в сильно перегретом паре. — Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1983, № 5.
8. Благосклонов В. И., Стасенко А. Л. Двумерные поли-дисперсные течения с межфазным массообменом. — Изв. АН СССР, Энергетика и тр., 1982, № 2.
9. Renksizbulut М., Yuen М. С. Experimental study of droplet evaporation in a high-temperature air stream. Numerical study of droplet evaporation in a high-temperature stream. — J. Heat Transfer (Trans. ASME), 1983, vol. 105, N 2.
10. Галкин В. С., Коган М. Н., Ф р и д л е н д е р О. Г. О некоторых кинетических эффектах в течениях сплошной среды. — Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 3.
Рукопись поступила 5/XI 1984
