CC BY
95
Бабичева Т.С.12
Московский физико-технический институт (государственный университет), ассистент,
еппдМ@ gmail. сот
2Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша, м. н. с.
ТРАНСПОРТНЫЕ ПОТОКИ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА
Транспортное моделирование, имитационное моделирование, теория систем массового обслуживания, автотранспортное средство, перекрёстки, управление движением.
АННОТАЦИЯ
В статье описываются методы математического и имитационного моделирования процессов локального взаимодействия в транспортных системах. Описаны разработанные автором модели транспортных потоков, основанные на модификации микроскопической модели Трайбера и на теории систем массового обслуживания, более полно, чем существующие, описывающие поведение участников дорожного движения на управляемых перекрёстках.
Микромодель движения АТС. Появление ЭВМ позволило производить сложные численные эксперименты с помощью имитационного моделирования процессов, и, что особо важно, появилась возможность учитывать случайный характер транспортного потока. К моделированию обычно прибегают в тех случаях, когда изучаемые системы невозможно анализировать с помощью прямых или формальных аналитических методов.
В микроскопических моделях каждое АТС рассматривается как отдельный элемент транспортной системы. Полагается, что ускорение конкретного АТС зависит от соседних АТС. Наибольшее влияние на поведение водителя оказывает АТС, движущееся впереди, лидирующее АТС, лидер.
Автором разработана микроскопическая модель транспортных потоков, обобщающая существующую "модель разумного водителя" Трайбера [1] на случай многополосных дорог и перекрёстков. В этой модели для каждого АТС задаются желаемая скорость в диапазоне 0... Vmax , величина d - расстояние между текущим АТС и следующим перед ним, Vп - скорость текущего АТС. Правила обновления задаются моделью Трайбера.
Модель Трайбера была обобщена на двумерный случай путём введения вероятностных характеристик возможности смены полосы и необходимости смены полосы, что позволило учитывать, в том числе, пересечение потоков транспортных средств при поворотах на перекрёстке. Для рассмотренных методов был разработан комплекс компьютерных программ BTSSIM, реализующий математические модели, с помощью которого проведён ряд вычислительных экспериментов.
Рассмотренная микроскопическая модель была использована для решения задачи о движении АТС на регулируемом перекрёстке. Рассматривалось движение АТС на перекрёстке с заранее заданными неоднородными многоцелевыми потоками. Решалась задача оптимизации длительности фаз светофорного режима на сетке значений, обеспечивающих максимальную пропускную способность перекрёстка при заданных интенсивностях потоков на каждом из направлений. Полученные распределения фаз были проверены на устойчивость к небольшим изменениям интенсивностей входящих потоков с различных сторон, что показало возможность работы с неточными данными.
Введём понятие эффективного числа полос, которое поясним следующим примером. Предположим, что поток АТС, двигающийся по шестиполосной дороге, доходит до Т-образного перекрестка. Предположим, что целью трети водителей является поворот налево, а целью остальных - движение прямо. В этом случае две крайние левые полосы займут АТС, у водителей которых цель - поворот налево. Поток АТС через светофор при включения зеленого сигнала для
прямого движения будет не 6 000 АТС/час, а только 4 000 АТС/час. Эффективное число полос в этом случае равно 4 [3].
Сформулируем следующее свойство и его следствие:
Свойство о равновесной максимальной пропускной способности на управляемом перекрёстке.
Пусть имеется управляемый многополосный перекрёсток. Пусть имеется поток АТС с одного направления на фиксированной светофорной фазе. Пусть N - число полос на исходящей дороге, - число полос на целевых дорогах, 5 - максимальная пропускная способность одной полосы, (t) - очередь АТС с исходящей дороги в направлении i в момент времени Ь, t) -очередь АТС на исходящей дороге в момент времени ^ ^) - очередь тех АТС на исходящей
дороге, которые могут продолжить движение на данной фазе в момент времени £:. Тогда:
Математическое ожидание максимального проходящего потока с одного направления на управляемом перекрёстке на данной фазе за время Г равно:
Следствие об эффективном числе полос в отсутствии асимметрии очередей.
Пусть имеется управляемый многополосный перекрёсток. Пусть имеется поток АТС с одного направления на фиксированной светофорной фазе. Пусть в начальный момент времени очередь на перекрёстке отсутствует. Пусть ^ - математическое ожидание входящего потока с данного направления, к - математическое ожидание потока АТС, которые могут продолжить движение на данной фазе, 5 - максимальная пропускная способность одной полосы, N - число полос на исходящей дороге, N - число полос на целевых дорогах, к - математическое ожидание потока АТС, способных продолжить движение в направлении i на данной фазе. Тогда:
Математическое ожидание максимального проходящего потока с одного направления на данном управляемом перекрёстке на данной фазе равно:
Для решения задачи поиска ожидаемых задержек, возникающих при пересечении управляемого перекрёстка с фиксированными длительностями фаз применён аппарат теории систем массового обслуживания, который к транспортным задачам на многополосных дорогах практически не применялся. В исследовании данных задач, например, необходимо учитывать, что время обслуживания на многополосных перекрёстках - величина, зависящая от текущей светофорной фазы и распределения целей движущихся АТС. Вводятся следующие сокращения и обозначения: с - сигнальный цикл; с{ - время длительности I -й фазы; ц - поток входящего трафика;
5 - максимальный поток проходящего перекресток трафика;
- ожидаемая очередь переполнения из предыдущих циклов. Рассмотрен простой поток - Пуассоновский процесс АТС, прибывающих к светофору с фиксированными временами фаз. Задержка АТС на светофоре равна времени, потраченному АТС на перекрёстке на ожидание. Общая задержка АТС во время одного сигнального цикла как сумма компонент, получающихся при каждой фазе цикла, выражается как
Рис. 1. Иллюстрация к свойству
1=1
где Wi - общая задержка АТС, вызванная 1 -й фазой,
Ь.-/-1
= Г адл.
&
Г-1
Воспользовавшись понятием эффективного числа полос, получаем, что, если к1 -интенсивности потоков, которые могут продолжать движение в /-той фазе, то проходящий поток будет равен
г 1 к1
Е[5] = 5 --1. Ц
Общий результат можно сформулировать следующим образом:
где Р= Ц — Е [ ] - так называемые "избыточные потоки".
Пусть Рц - избыточный поток для дороги с номером / на фазе j, 0 - начальная очередь АТС на данной дороге.
При рассмотрении математического ожидания суммарной задержки АТС за время Т со всех направлений для одного перекрёстка с четырьмя фазами, то есть за Т/с светофорных циклов, получается [2]:
т
7 -
£рГ] = (Xтах(П;0 + £{с,Рв%0) + с. £^Х^ /2 + с2+с3+с,) +
;=1 г=1 ;=. с
Для конкретных перекрёстков величины Рц можно считать постоянными. Решение этой задачи в общем виде достаточно громоздко и разбивается на множество случаев в зависимости от этих величин.
Для перекрестка двухполосных дорог, просчитанного численно в работе [1], была рассчитана общая задержка за светофорный цикл со всех направлений.
Щ"-
1+ А ^
Рис. 2. Перекресток и фазы светофора
Задача была сведена к решению проблемы минимизации общих задержек в единицу времени:
Е (W)/Т , то есть, к минимизации функции
г = (с - - (— +1)- ((т ах(14с1 - 16с2 + 34с, - 6с4, 0) + 2 с с
+ тах(13.75с: + \ЪЛ5с2 - 46.25с3 + 13.75с4?0) + + тах(9.5с- + 9.5с, +9.5с}-51.5с4,0) + тах(-31.5^ +9.5с2-П.5с3 +29.5с4,0)) + +(^(5.75)^ /2 + с; + с3 + с4) + с2(6.75)(с2/2 + с3 + с4) +
+с3(-14.25)(с, /2 + с4) + с4(-14.25)(С4 /2))--)/Г
с
на пирамиде
с1...0 , с2... 0,
Сз... 0 ,
с-с1-с2-с3...0 .
Решение этой задачи, в общем, зависит от отношения Т/с , количества рассматриваемых циклов, но полученное решение асимптотическое и практически не подвержено колебаниям начиная с Г/с = 50 (табл.1).
сЦс с5/с Т/с
0.208502 0.368045 0.229767 0.193685 40
0.209071 0.367474 0.2292 0.194255 50
0.209071 0.367473 0.229201 0.194255 60
0.209071 0.367474 0.2292 0.194255 70
0.209071 0.367473 0.2292 0.194255 80
0,209071 0.367474 0.2292 0.194255 90
0.209071 0.367474 0.2292 0.194255 100
Таблица 1. Зависимость оптимального значения с* /с от количества циклов Т/с.
Сравнение результатов анализа перекрёстков аналитической и микромодели для данного перекрёстка (таб. 2, 3) показывают, что результаты, полученные с помощью аналитического аппарата коррелируют с результатами микромоделирования.
Фаза 1, сек Фаза 2, сек Фаза 3, сек Фаза 4, сек СРТ
35 61.5 38,4 32.5 0.741
Таблица 2. Результаты, полученные аналитически с помощью аппарата систем массового обслуживания
Фаза 1, сек Фаза 2, сек Фаза 3, сек Фаза 4, сек СРТ
60 30 45 30 (1.737
45 30 30 30 0.737
30 75 45 30 0.737
45 30 30 90 0.566
30 30 30 90 0.560
Таблица 3. Результаты, полученные численным микромоделированием
Движение на кольцевой автодороге. Далее рассматривается моделирование движения на кольцевой автостраде, закрученной в одну сторону. Рассматриваемая автострада представлена в виде, рассмотренном на рис. 3.
Здесь:
• под ц подразумевается поток трафика от узла с номером i к узлу с номером i+1;
• под Ц10и( 011( - поток исходящего трафика из /-того узла в направлении от кольца;
• под ц ;п 0Ш - поток исходящего трафика из /-того узла в направлении внутрь кольца;
• под ц 0Ш 1п - поток входящего трафика из /-того узла в направлении от кольца;
• под ц ¡п 1п - поток входящего трафика из /-того узла в направлении внутрь кольца. Моделирование движения осуществляется для некоторой "матрицы корреспонденций" Q,
имеющей следующий вид:
<w Ofjui (fi- l)rtlII
0iT, X <3 [0,irt,0( out]
Oout Q(tw,0>] X
X
(fl - 1)DU1 X
Для удобства вычислений, ячейки нумеруются не в виде 2 n Х2 n , а в виде Q[i, in/out, j, in/out], то есть, представление матрицы корреспонденции есть четырёхмерная матрица n Х 2 Х n Х 2 . Для численной записи в данной матрице in обозначает 0, а out обозначает 1. Под Q[i, in, j, out] подразумевается число АТС в единицу времени, желающих попасть с внутренней дороги i-го узла на внешнюю дорогу j-го узла.
Пусть Ni - число полос у соответственных побочных дорог и N - число полос на кольцевой автостраде. Число полос у въездов полагается всегда достаточной для пропуска всех желающих в случае полностью зелёного сигнала, в таком случае можно использовать следствие об эффективном числе полос. Автострада принимается постоянной ширины, максимальная пропускная способность одной полосы - константа, равная S. Рассчитана максимальная пропускная способность рассматриваемой автострады в зависимости от матрицы корреспонденций и пропускных способностей главной и побочной дорог.
Ранее рассмотренная модель движения на изолированном перекрёстке обобщена и расширена на данный случай.
При движении по ранее показанной схеме математическое ожидание максимального проходящего потока с главной дороги на n-той фазе есть
hn
E [ Sn ] = S N —i-
q-i
с побочных дорог
e[sn J=S n •—^.
q away ,i ,u
п—1 1
Здесь Ца„ау^,и = Q[j,l,i,u] - поток АТС, желающий выехать на /-м узле в
1 = 0 1=0
направлении u(in/out).
кп - соответственные интенсивности потоков АТС, которые могут продолжать движение в п-й фазе с главного направления,
кп и - соответственные интенсивности потоков АТС, которые могут продолжать движение в п-й фазе с побочного направления u(in/out).
Для регулируемых светофоров на магистрали с односторонним движением обычно используется цикл из 3 светофорных фаз.
1_
Рис. 4. Возможная схема организации движения на узле магистрали с односторонним движением Далее рассматриваются светофорные фазы рис. 4.
Пусть Я i и - поток, приходящий по второстепенной дороге узла / с направления u.
п—1 1
Яш, Q [ ]
1=0 ¡=0
Тогда:
5 ■ .V ■ -
1 Л
опт А.и
11=0
?м
0
что даёт рекуррентное соотношение, позволяющее от /-го узла перейти к i+1-му, и это позволяет замкнуть модель.
Задача минимизации общих задержек, возникающих при преодолении кольцевой автострады.
"Избыточные потоки" с каждого направления для каждой фазы равны
Зависимость Р от Q и Я0 получается подстановкой найденных значений и рекуррентным получением Я—1 .
Задержка, возникающая при пересечении /-го узла всех АТС равна:
„?ч- г> /„¡ч-
Р (г!у Р (с' г
1 — гП | . -идДЛ ¡р г
р^Ц?
(1)
С3 (^гаМ. С1 + РщянГ С2 )-
Важно учесть, что "избыточные потоки" зависят от потоков по главным дорогам, зависящих от сигнального цикла, а также, что, в отличие от задачи об изолированном перекрёстке, изначальные очереди в общем виде зависят от ранее лежащих узлов, а, значит, и от сигнального цикла.
Программный комплекс моделирования движения на кольцевой дороге основан на формуле (1) и предназначен для определения оптимальных фаз светофоров, расположенных на кольцевой дороге.
Входными данными программы являются значения коэффициентов Qi j, где I£{1,...,N } и j€Е{ In, Out} , а так же коэффициентов Qi j k l, где i. k £1,... ,N;j,l £{in,out} и коэффициентов q0 ;,z'e{1, ...,N } .
Первый режим работы - нахождение оптимального решения в предположении, что все светофоры на кольцевой дороге имеют одинаковое распределение фаз, заключается в нахождении вектора коэффициентов ( С1; С2 ,c3 ), связанных условием Сх + С2 + С3 = 1, при заданных значениях коэффициентов j, Qi j k l и q0i, который минимизирует функцию задержек (1). Эта задача решается методом расчёта по сетке возможных значений С1, С 2 ,С 3 с заданным шагом дискретизации.
Второй режим работы, нахождение оптимального решения в предположении, что для каждого из светофоров определяются собственные распределения фаз, заключается в определении набора векторов ( (С1 i3 С2 i,С3 i,i£ {1, ...,N }) ) при тех же исходных данных, минимизирующего функцию задержек (1). Данная задача есть задача оптимизации функции с 2 -N переменными (переменная С3 i связана с остальными переменными выражением
Сз,i = 1-С 1,i С2,i).
Заключение. В работе впервые проведена модификация модели Трайбера путём внедрения в модель поведения интеллектуального агента, обеспечивающего многовариантное поведение, характерного для движения на многополосной магистрали и перекрёстках, в том числе, сложной формы, а также на модели кругового движения. Модель апробирована на конкретных перекрёстках, результаты апробации опубликованы в ряде работ, в том числе [1-3].
Литература
1. Babicheva T.S., Babichev D.S., Numerical Methods for Modeling of Traffic Flows at Research and Optimization of Traffic on the Signal-controlled Road Intersections// Procedía Computer Science, 3rd International Conference on Information Technology and Quantitative Management, ITQM 2015, Vol. 55, pp 461-468, 2015
2. Babicheva T.S., The Use of Queuing Theory at Research and Optimization of Traffic on the Signal-controlled Road Intersections// 3rd International Conference on Information Technology and Quantitative Management, ITQM 2015, Vol. 55, pp 469-478, 2015
3. Обидина Т.С., О возможной реорганизации в строительстве перекрестков на примере г. Королев (МО)// Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Часть VII Управление и прикладная математика: Труды 55-й научной конференции МФТИ./ М.-Долгопрудный, 2012.
