CC BY
75
УДК 539.32
Е.А. Митюшов, С.А. Берестова
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет - УПИ»
ТРАНСФОРМАЦИЯ УКАЗАТЕЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ УПРУГИХ СВОЙСТВ ТЕКСТУРИРОВАННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Abstract
The transformation of elastic properties indicating surfaces of textured polycrystal iron were investigated.
Как известно, указательной поверхностью (индикатрисой) называется вспомогательная поверхность, характеризующая зависимость какого-либо свойства среды от направления. Для построения указательной поверхности из одной точки проводят радиус-векторы, длина которых пропорциональна величине, характеризующей данное свойство в данном направлении, например, электропроводность, показатель преломления, модуль упругости. Указательные поверхности служат наглядным графическим представлением об анизотропии физических свойств. Для упругих свойств наряду с указательными поверхностями используются также так называемые направляющие поверхности или поверхности растяжения [1].
Указательные поверхности относятся к центральным поверхностям, и для их построения используется сферическая система координат. Так, указательная поверхность для модуля Юнга ортотропного материала может быть построена с помощью соотношения [2]
,2
_ ( ш(*п ) = 6 (п,
е(п)■ 1 Г* ■ Ї ~ х;
где Е(п) - модуль Юнга в направлении п, А* - модули Кельвина - Рыхлевского, характеризующие упругие свойства материала, ш(г) - компоненты тензорного базиса в пространстве симметричных тензоров второго ранга.
Пусть анизотропный материал представляет поликристаллический агрегат, состоящий из множества произвольным образом ориентированных зерен, имеющих в общем случае некоторую преимущественную ориентацию (кристаллографическую текстуру). В этом случае модули упругости Кельвина - Рыхлевского являются функциями упругих свойств кристаллитов и параметров текстуры.
Для их определения могут быть использованы различные схемы расчета. В частности, используя их вычисление как средние геометрические соответствующих монокри-стальных констант, для поликристаллов с кубической симметрией структуры имеем [3]
А*1 "V
А* 3 = А2(1-3Л1+Л2 -Л3 + 2р2,3 (л2 -Л3 ))А4(зЛ1-Л2 +Л3 -2р2,3 (л2 -Л3 )),
А* = А 2(2Л 2 + 2Л3 -2Л1)А 4(і-(2Л 2 + 2Л3 -2Л1)),
Трансформация указательных поверхностей упругих свойств текстурированных материалов
(2Дз + 2Д|-2Д2^ (1-(2Д3 + 2Д!-2Д2)),
Х*5 2
Х*6 2
(2Д1 + 2Д2 -2Д3^ (1-(2Д1 + 2Д2 -2Д3))
где модули Кельвина - Рыхлевского кубического кристалла выражаются через модули упругости ( К - объемный модуль упругости) в обозначениях Фойгта равенствами
— Сц + 2^2 — 3К, А 2 — А з
"11
С12, А 4
А< — А, — 2с
44
Вид базисных тензоров в данном случае определяется только текстурными пара-
метрами Д;, / — 1,2,3 . При этом ^1 0 0л
ю
(I ) —_1_ — л/3
010
V0 0 1
ю
(II,III )
ф
ю
(к)
г0 0 0Л 0 0 1 010
V
ю
(к)
1
И
у
2,3 + 2 р
0 1 ^
0 0 ,
0 0)
2,3
1 0 0
0 р2,3 0
0 0 - 1 - р2,3
У
ю
к)
1
0 1 0 1 0 0
V
000
у
где Р2,3
к ±л1 к2 + к +1, £ — Д1 Д
Д2 - Д3
Очевидно, что один и тот же материал в разных его текстурных состояниях будет иметь в общем случае разную анизотропию упругих свойств, что сопровождается трансформацией указательной поверхности модуля нормальной упругости.
Другой графической характеристикой анизотропии упругих свойств может служить указательная поверхность модуля сдвига О (п) при кручении, которая может быть построена с помощью соотношения [4]
2 Е -1 (п)+О -1 (п)— 2 Е- + О;,1,
где Еиз и Оиз - модули Юнга и сдвига при кручении квазиизотропного поликристалла.
Из этого соотношения следует, что увеличению модуля Юнга в каком-то направлении соответствует уменьшение модуля сдвига при кручении вокруг этого направления.
Построение указательных поверхностей модуля сдвига при простом сдвиге и коэффициента Пуассона также возможно, но требует дополнительных ограничений, поскольку эти упругие характеристики определяются ориентацией двух связанных между собой ортогональных векторов, задающих плоскость и направление сдвига в первом случае, и направления продольной и поперечной деформаций во втором. При этом удобно использовать инвариантное представление технических характеристик упругих свойств [2]. Коэффициент Пуассона \(т,п) в направлении т при растяжении в направлении п определяется из формулы
у(т, п) — 6 (пю(/)п)т ю(/ т )— 6 (п1п]ю(ю().
Е (п )
Е I—1
Е I—1
1
2
Модуль сдвига О(ш, п) при сдвиговой деформации в плоскости, задаваемой вектором т, в направлении п дается равенством
1 — « (шЮ()п) = 6 (п<п1 ю())2 .
4 О (ш, п ) I — 1 X* I —1 X*
Построение указательных поверхностей с использованием этих соотношений может быть осуществлено несколькими путями, в частности, при построении указательной поверхности коэффициента Пуассона можно зафиксировать положение направления поперечной деформации, изменяя направление оси растяжения в пространстве.
В качестве примера возможной трансформации указательных поверхностей упругих свойств на рис. 1 представлены соответствующие поверхности монокристалла железа Ах — 0, А2 — 0, А3 — 0 и текстурированных поликристаллов железа, в зависимости от
изменения параметров текстуры. Для примера взяты образцы стального проката [5] следующего химического состава, мас. %: Fe 99,7; Si 0,3, один после холодной прокатки с обжатием 75% , когда Ах — 0,2, А2 — 0,23, А3 — 0,24; другой - после холодной прокатки и отжига при 7000С, когда Ах — 0,17, А 2 — 0,23, А3 — 0,23; и третий образец [6] прокатанного на 92% технически чистого железа, когда Ах — 0,22, А2 — 0,23, А3 — 0,28.
В соответствии с принципом Неймана симметрия указательных поверхностей определяется симметрией функции распределения ориентаций кристаллографических осей зерен поликристалла.
Рис.1. Указательные поверхности модуля нормальной упругости текстурированных поликристаллов железа, в зависимости от изменения параметров текстуры: а - для монокристалла железа А! = 0, А2 = 0, А3 = 0; б - сталь (мас. %: Ге 99,7; 8і 0.3) после холодной прокатки с обжатием 75% А1 = 0,2, А2 = 0,23, А3 = 0,24; в - сталь (мас. %: Ге 99,7; 8і 0,3) после холодной прокатки и отжига при 7000С А1 = 0,17, А2 = 0,23, А3 = 0,23; г - прокатанное на 92% технически чистое железо А1 = 0,22, А2 = 0,23, А3 = 0,28
Функция распределения ориентаций Г (ф,у ,$) показывает, во сколько раз совместная плотность распределения углов Эйлера, задающая распределение кристаллографических осей, отличается от таковой для нетекстурированного материала, то есть
/(ф,у,-&) = Г(ф,у,-э)уБтЗ .
8п
Текстурные параметры могут быть найдены путем непосредственного интегрирования с известной функцией распределения ориентаций, полученной из прямых методов количественного текстурного анализа,
-I п 2 п 2 п . .
Аг = —у| | | + а22Й2з + О-аО-а )(Ф- V-0) 81П0 аФ ЛV ЛЭ , 1 = 1, 2- 3 ,
8 п 0 0 0
где Он - косинусы углов между кристаллографическими осями зерен и осями лабораторной системы координат, выражаемые через углы Эйлера.
При моделировании текстуры набором идеальных ориентировок плотность распределения представляется суперпозицией дельта-функций Дирака и тек-
стурные параметры в этом случае вычисляются по формуле
п 2п 2п п
А = 111 (°2О2г + 00 + ОО ) ) 5 (ф - ф/) 5 ( - V/) - ( - 3/)-фЛ^, 1 = 1 2- 3 ,
0 0 0 1=
где р1 - относительная объемная доля текстурной компоненты, задаваемой углами
ф/-V/--&/ •
На рис.2 представлена трансформация указательной поверхности модуля нормальной упругости стали Х70 [7], используемой в качестве материала сварного газопровода (труба диаметром 1,5 м с толщиной стенки 16 мм). Текстура листового материала трубы многокомпонентна и неоднородна по сечению. Типы текстурных компонентов и их объемное содержание в разных слоях листов определяются режимами обработки. С учетом объемного содержания компонент текстуры вычисленные текстурные параметры в поверхностных слоях задаются следующими соотношениями: А1 = 0,22, А2 = 0,23, А3 = 0,19, а в центральных слоях - А1 = 0,31, А2 = 0,25, А3 = 0,23 .
Рис. 2. Указательные поверхности модуля нормальной упругости стали Х70, используемой в качестве материала сварного газопровода (труба диаметром 1.5 м с толщиной стенки 16 мм): а - центральные слои А1 = 0,31, А2 = 0,25, А3 = 0,23; б - поверхностные слои
А1 = 0,22, А2 = 0,23, А3 = 0,19
Библиографический список
1. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела/ С.Г. Лехницкий. - М.:Наука, 1977. 416 с.
2. Рыхлевский, Я. О законе Гука / Я. Рыхлевский // ПММ, 1984. - Т.48. - Вып. 3. - С. 420-435.
3. Митюшов, Е.А. Формальная схема расчета эффективных упругих свойств текстурирован-ных металлов / Е.А. Митюшов, Н.Ю. Одинцова, С.А. Берестова // Математическое моделирование систем и процессов. - 2003. - №11. - С. 76-80.
4. Адамеску, Р.А. Анизотропия физических свойств металлов/ Р.А. Адамеску, П.В. Гельд, Е.А. Митюшов. - М.: Металлургия, 1985. - 136с.
5. Бородкина, М.М. Количественная оценка текстуры слаботекстурированных матриалов / М.М. Бородкина, Т.С. Орехова // Заводская лаборатория. - 1976. - Т.42. - №4. - С.435-437.
6. Воробьев, Г.М. Количественное исследование ориентировок прокатного железа / Г.М. Воробьев, В.И. Попова // Металлы. - 1966. - №6. - С.54-62.
7. Лякишев, Н.П. Текстура и кристаллографические особенности разрушения материала труб из стали Х70 / Н.П. Лякишев, И.В. Эгиз, В.Ф. Шамрай // Металлы. - 2000. - № 2. - С. 68-72.
Получено 15.05.2006.
