CC BY
26
Приведем пример. Пусть M = M = Mg. Тогда
Q(a|X0) = g-1 (fwk • g(l(a(xk),yk))
В этом случае агрегировано корректная операция над алгоритмами имеет
(_т ^
¥{ах,...,ат} = g£wig) .
\'=1
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шибзухов З.М. Корректные расширения корректных £п-алгоритмов // Доклады 15-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов». - M.: Макс-Пресс, 2011. - С. 116-119.
2. Шибзухов З.М. Поточечно корректные операции над алгоритмами // Доклады Международной конференции «Интеллектуализация обработки информации» ИОИ-10. - М.: Торус -Пресс, 2012. - С. 90-93.
3. Шибзухов З.М. Поточечно корректные операции распознавания и прогнозирования // Доклады РАН. - М.: МАИК «Наука/Interperiodica», 2013. - Т. 405. - №. 1. - С. 24-27.
4. Журавлев Ю.И. Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации // Проблемы кибернетики. - М.: Наука, 1978. - Т. 33. - С. 5-68.
5. Матросов В.Л. Синтез оптимальных алгоритмов в алгебраических замыканиях моделей алгоритмов распознавания // Распознавание, классификация, прогноз. - М.: Наука, 1989. -С. 149-176.
6. Шибзухов З.М. Конструктивные методы обучения £п-нейронных сетей. - М.: МАИК Наука, 2006.
7. Матросов В.А., Шибзухов З.М. Об одном классе корректных алгоритмов вычисления £п-оценок // Всероссийской конференции ММРО-15. - М.: Макс-Пресс, 2011. - С. 116-119.
8. Parekh R., Yang J., Honavar V. IEEE Transactions on Neural Networks. - 2000. - Vol. 11. -No. 2. - P. 436-451.
9. Beliakov G., Pradera A., Calvo T. Aggregation Functions: A Guide for Practitioners. - Springer, Heidelberg, Berlin, New York, 2007. 231
10. Mesiar R., Komornikova M., Kolesarova A., Calvo T. Aggregation functions: A revision // H. Bustince, F. Herrera, and J. Montero, editors, Fuzzy Sets and Their Extensions: Representation, Aggregation and Models. - Springer, Berlin, Heidelberg, 2008.
11. GrabichM., Marichal J.-L., PapE. Aggregation Functions // Series: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. - No. 127. - Cambridge University Press, 2009.
12. Kolmogorov A.N. Sur la notion de la moyenne // Atti Accad. Naz. Lincei. - 1930. - 12(6). -P. 388-391.
13. NagumoM. Uber eine klasse der mittelwerte // Japanese Journ. of Math. 1930. - 7. - P. 71-79. ■
ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ ТРАНССАСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
Н Аила Демедерос
Аннотация. В работе получены некоторые тождества, которым удовлетворяет тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий. Также получены условия, при которых тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий удовлетворяет контактным аналогам тождеств Грея. Получено локальное строение транссасакиевых многообразий класса CR1.
Ключевые слова: почти контактные метрические структуры, транссасакие-вые структуры, пространство присоединенной G-структуры, тензор римановой кривизны, тождества Грея.
Summary. The article deals with some identities obtained to satisfy the Riemann curvature tensor of trans-sasakian varieties. The conditions are also obtained, under which the Riemann curvature tensor of trans-sasakian manifolds satisfies the contact analogs of the identities of Gray. The local structure of trans-sasakian manifolds of class are obtained.
Keywords: almost contact metric structure, trans-sasakian structure, space associated G-structure, the Riemann curvature tensor, the identities of Gray.
232
Пусть М - м-мерное риманово многообразие с метрическим тензором g, Д(Х У) обозначает преобразование кривизны в касательном пространстве Тр(М), определяемое векторами Х,У Е Тр(М). Тензор (поле) римановой кривизны для М, обозначаемый также через Д есть тензорное поле, 4-ковариант-ное и определяемое так [1]:
При этом тензор римановой кривизны, рассматриваемый как квадрилиней-ное отображение Тр (Л/) X Тр{М) X Тр (Л/) X Тр{М) ->й,в каждой точке р Е М обладает свойствами:
1. й ^/^Зг^) = =
^ 3-Я Х^г ^ ^ =
Имеет место следующее предложение [2].
Предложение 1. Кривизна Дкелерова многообразия обладает следующими свойствами: (1) Я{Х, У) »} = ] □ П{Х, У); (2) П(]Х,]У) = Д(Л'. У), УХ, У е Х(М).
Широко известно высказывание А. Грея о том, что ключом к геометрии почти эрмитовых многообразий являются тождества, которым удовлетворяет их тензор римановой кривизны [3]. В начале 1970-х гг. Альфред Грей в работе
Преподаватель XX
4 / 2013
[4] изучал дифференциально-геометрические свойства келеровых многообразий с точки зрения специального тождества, которому удовлетворяет их тензор римановой кривизны.
Итак, если богатство геометрии келеровых многообразий связано с тем, что их тензор кривизны удовлетворяет келерову тождеству, то в работе [3] Альфредом Греем был поставлен вопрос нахождения аналогичных тождеств для общих типов почти эрмитовых многообразий. И в этой же работе Греем были выделены несколько специальных классов почти эрмитовых многообразий, характеризующихся следующими тождествами:
1. Класс Л,: (R(X,Y~)Z,W) = (a(JXJY)Z, W);
2. Класс Дг: {R{X,Y)Z,W) = (R(JX,JY)Z,W) + {R(JX,Y)JZ,W) + {RQX, Y)Z,JW)-,
3. Класс Дэ: {R{X,Y)Z,W) = {R(JX,]Y)JZ,JW).
Для произвольного почти эрмитова многообразия им же было показано, что для классов R1,R2,R3 справедливы включения с Л2 с Дэ. При этом, если многообразие келерово, то его тензор кривизны удовлетворяет всем трем соотношениям [3], для эрмитовых многообразий классы Я2 и Яд совпадают. Ввиду этого естественно ожидать, что среди АН-многообразий по дифференциально-геометрическим и топологическим свойствам наиболее близки к келеровым многообразиям многообразия класса А|, затем многообразия класса Дг, и, наконец, многообразия класса Дэ.
Тем самым Альфред Грей сформулировал новый принцип изучения строения почти эрмитовых структур на многообразиях - по дифференциально-геометрическим инвариантам второго порядка (свойствам симметрии тензора R римановой кривизны). В его основу положен принцип, выдвинутый А. Греем и сформулированный в ряде его работ [3-5] и других.
Отметим, что в научной литературе нет однозначно устоявшихся названий для выделенных А. Греем классов. Так, многообразия класса Дх Рицца изучал под названием паракелеровых [6], в литературе эти многообразия встречаются под названием ^-пространств. Этот термин был предложен Саваки и Секигавой [7], Баррос и Рамирес [8]. Многообразия класса Д3, или с^-инвариантным тензором кривизны, называются также RK-многообразиями. Наряду с А. Греем их рассматривали Ванхекке [9-10], Навейра, Хервелла [11]. Многообразия класса F:-_, пока не имеющие специального наименования, были введены в рассмотрение А. Греем в связи с изучением приближенно келеровых многообразий ввиду того, что NK с Д2 [5; 12], и рассматривались Греем и Ванхекке [13], Уотсоном и Ванхекке [14] и другими авторами.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1 [15]. Пусть 5 = (j,g = (-,-)} - почти эрмитова структура. Тогда:
(1)5 = (/, д = (■/)) ~ структура класса Я, тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = ^-¿ъг.а = ^¿Scd = 0;
(2) S = (j,g = (■/}) - структура класса R2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = = 0;
(3) S = (j,g = (■/}) - структура класса Дэ тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры R^cd ~
233
234
Контактными аналогами тождеств А. Грея Л2 и R3 кривизны почти эрмитовых многообразий являются тождества кривизны CR^t Cfi^ *' ^^g для почти контактных метрических многообразий:
CRi: №(Фх,ФУ)Фг,Ф1л?) = №(Ф2х,Ф2у)Фг,Ф№У,
= №(Ф2х,Ф2у)Фг,Ф\у) + №{Ф2х,ФУ)Ф2г,Ф]л?) + ^{Ф2х,ФУ)Фг,Ф2^^у,
Таким образом, тождества CR1 — CR3 в изучении строения почти контактных метрических структур имеют большое значение. Исследуем эти тождества для транссасакиевых многообразий. Имеет место следующая аналогичная теореме 1 теорема.
Теорема 2 [15]. Пусть S = ff, ij, Ф,д = (у)} - А&структура. Тогда:
(1) S = (f. ¡7, Ф, g = {■,■)) структура класса CR^ тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = R^cd ~ ^sicd ~ 0;
(2) S = (f,j;, = ( ,-}} структура класса CR2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = R^cd ~ 0;
(3) S = (f,j;, = ( ,-}} структура класса CR3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры R^cd ~ 0.
В предыдущей работе [16] были вычислены компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве пштсоелиненной GcTnvKTypbi:
6) RL -
V2
(1)
3) пЬ = -<*с - Ю -
А остальные компоненты нулевые.
Поскольку Raьcй ~ ~ то согласно теореме 2 транссасакиевы многооб-
разия являются А&многообразиями классов CRг и CRS.
Пусть Т&многообразие М является А&многообразием класса CRi. Тогда согласно теореме 2 имеет место равенство Rgcd = = 0, т.е, — ) = 0- Свернем полученное равенство сначала по индексам с
1 л «01-Й 042
и с, а затем по индексам о и а, тогда получим:-' 1 —
Преподаватель XX
. Из полученного -4 / 2013
равенства следует, что либо п = 1, т.е. многообразие является трехмерным, либо = 0. Во втором случае полная группа структурных уравнений Т8-многообразия М примет вид [16]:
1) <1ва = в£ А въ; 2) ОВа = -6% Л 6Ь; 3) М = 0;
4)
г/" '.г: = -г. т : '.г,.
И согласно теореме 4 [16] Т&многообразие класса СЯ1 является косимплек-тическим многообразием. Поскольку очевидно, что косимплектическое многообразие является А&многообразием класса СД,, то нами доказана следующая теорема.
Теорема 3. Т&многообразия являются АОмногообразиями классов СД2 и СД3. Т^-многообразие размерности больше 3 является А&многообразием класса СЛ1 тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием.
Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [15], то можно сформулировать следующее следствие.
Следствие. Т&многообразие класса СЙ1 размерности больше 3 локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.
А теперь рассмотрим дополнительные тождества, которым удовлетворяет тензор римановой кривизны 75-многообразий.
1) Поскольку согласно (1)
т.е. ли = -^¿{/г00 ТО Д&О? = + Так как М
образуют базис подпространства _1, а проектором модуля Х(М) на это подпространство является эндоморфизм и = а ° I = — ^(Ф2 + — 1Ф), то
=; = : с1.-; - -V € .V ;.■ . Раскрывая
по линейности это равенство и выделяя действительную и мнимую части, получим два равносильных тождества:
1- л ((, Ф2Х) С = - {/?00 + №0)2} ч>2х:
Рассмотрим первое тождество, т.е.
= Х(М>. (2)
Назовем тождество (2) первым дополнительным тождеством кривизны ТЯ-многообразия.
2) Поскольку Д0°пЬ = = 0,д£«ь = 0, т.е. = 0, то Я(_£а,£ь)( = 0. Так как {£а} образуют базис подпространства £>ф-1, а проектором модуля Х(М) на это подпространство является эндоморфизм тг = а ° I = — ~(Ф2 + V-1Ф), то Л (Ф2* + %^1ФХ,Ф2У + = 0; УХ, У е Х(М'). Полученное
тождество равносильно следующему
«(ф^ф2!^+ Я(Ф*,ФУ)£ = 0; УХ, У ех(м). (3)
235
3) Аналогично, рассматривая соотношения Л0п£ — — ~ те-
^оаъ ~ получим = 0. Так как {£<Л' 1£п} образуют базис подпространств
и Оф"'-1, а проекторами модуля Х(М) на эти подпространства являются эндоморфизмы тг=ст°£ = -^(ф:+ ^^Ф) и тс = а « I = 1 (-ф: + ^^Ф), то
- / = ; - V / ■= .V :: . Полученное тождество рав-
носильно следующему тождеству
Л(ф2^,ф27)£- = 0; УХ,У <Е Х(М). (4)
Из (3) и (4) получим:
.
(5)
4) Так как Я^оь = 0,Коъ = = 0, т.е. Я1л0Ь = 0, то Я(£с»Х = 0. Поскольку Vеа / образуют базис подпространства Оф 1, а проектором модуля Х(М) на это подпространство является эндоморфизм тс = а ° I = — ~(Ф2 + V-1Ф), то Я{^,Ф2Х + + ^Ф^) = 0; УХ,У е Х(М). Полученное тождество равносильно следующему
л(^ф2^)ф2г- Д^Ф^ФГ = 0; УХ,У<Е Х{М). (6)
5) Теперь распишем соотношения:
т.е. Ядоь = ^с [^оо + \ (Ра)2}?'• Последнее равенство запишем в виде = ^(Роо + Так как {зи}, {%} образуют базис подпро-
странств Оф 1 и Уф'' 1, а проекторами модуля На эти подпространства яв
ляются эндоморфизмы тс = а ° I = — ^(Ф2 + \'-1Ф) и п = а» I = Ф2 + \'-1Ф),
то Л (£-Ф2х + + ч/^Ф*') = 4 {-Ф2Х + Ф2У + \;,:1ТФК) |/?00 +
.
Полученное тождество равносильно следующему тождеству:
.
С учетом (6) последнее тождество запишется в виде:
с-л- . с: "■" с;- = - г. ^ с:с;--ч- -V - V . (7)
Назовем тождество (7) вторым дополнительным тождеством кривизны ТЯ-многообразия.
6) Прежде чем перейдем к рассмотрению остальных тождеств, предварительно рассмотрим тензор А: Х(М) X Х(М) X Х(М) -> Х(М), задающийся соотношением
А(Х,У,г) = А1\ХъУс2йва^А1\ХъУ,2йвй
(8)
Преподаватель
4 / 2013
Непосредственным подсчетом легко проверить, что тензор А обладает свойствами:
В самом деле,
а(Фх,г,г) = а^(Фх)ьусг^а + аь^(Фх)ьусг<1ва = тПл^х^г^ - ^А^хъусглЕа =
.
Аналогично,
а(Фх,у,г) = аЩфхУу^^ + фх\гсглЕа = лПл^х^Уг^ - л%хьгсг% =
.
Кроме того, имеют место равенства:
г = л = .-. .V : = ;. (10)
7) Рассмотрим соотношения: = Л£сй — 0; — 0, т.е. Я'аЬ!, = 0. Последнее равенство запишем в виде: Я{вс,вь)вс = 0. Поскольку {зп} образуют базис подпространства 01'1, а проектором модуля Х(М) на это подпространство является эндоморфизм п = о ° I = — -(ф2 + V-1ф), то
й(ф2Х + + + \/—1ф2) = 0; УХ,У,2 Е Х(М).
Полученное тождество равносильно следующему
?:с:.у с::- с - г - с;" с; - Р:с.у с:;" с" - ? су с;" с:г = : т.У ГГтл:: . (11)
8) Рассмотрим соотношения:
Кл = л™ - ;«АГ -Ы + = 0; =л£~1 з^ПР0 - Ю +
,
т.е. = - ~ Д.) + Последнее соотношение с учетом
(8) запишем в виде:
Так как {еа},(ей-} образуют базис подпространств О!-1 и а проекторами
модуля Х(М) на эти подпространства являются эндоморфизмы тт= ст°1 = -^(Ф2 + т^тф) и тг = а ° i = ^ (-ф2 + ^'^тф), то
л (ф2х + -ф2 г + 7=1фг)(фгг + уг^фг) =
а{Ф21 + \^1Ф2,Ф2х + -Ф2у + у/^тф^) - - Ро)(Ф2^ + -^н1Ф1)(Ф2х +
т/^фх, -ф21'4- ^фу) + + ро)(ф2х + \^1фх)(ф2г + 2у +
.
Раскрывая по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим, что последнее тождество равносильно следующему тождеству: н(ф2х,фгу)ф2г + п(ф2х,Фу)Фг - п(Фх,ф2у)Фг + п(фх,фу)ф2е = а(Ф2г,Фгх,Ф2у) + а(Ф2г,Фх,Фу) + а(Фг,Ф2х,Фу) -л(Фг, - ра~){Ф2г{Ф2х,Ф2у) +
ф2е{фх,фу) + фг(ф2х,фу) - фе(фх,ф2у)} +
.
238
Согласно (9), (10) и равенства (Ф'2,Ф у) = (фе,фу), последнее тождество можно переписать в виде: п(Ф2х,Ф2у)Ф2г + R(Ф2x,Фy)Фz - п(Фх,Ф2у)Фг + п(Фх,ФУ)Ф2г = 4л(г,х,У) -- Р0){ф27(Ф^ФУ) - Фг(х,Ф+
.
Полученное тождество с учетом (11) запишется в виде:
я(Ф2х,Ф2у)Ф2г - я(Фх,Ф2у)Фг = 4А(г,х,г) - р0~)[Ф2г(Фх,Фу) - Фго.(х,у)} +
' . (12)
Назовем тождество (12) третьим дополнительным тождеством кривизны ТЯ-многообразия.
9) Наконец рассмотрим соотношения:
= m2sicsf = 0; r°b£d~ = (Д,)2«' = 0; rte¿ = (Д,)2, т.е. Я^ = (/?0)2^ Полученное соотношение перепишем в форме:
R{zé'sa)sb = Т ~ \ (P°~)2ss(sb> 3Д Так как {sj, {%} образуют базис под-
пространств и , а проекторами модуля Х(М) на эти подпространства
ЯВЛЯЮТСЯ ЭНДОМОрфиЗМЫ JT=ÍFt>¿ = —i (ф2 + и 7Т = о7 о ¡ = ¿ (—ф2 V—1Ф), то
Я(-Ф2Х + уГ^ФХ^Ф2У + \^1ФУ)(Ф2Е + Т^Фг) = ^ (^9>2{(-Ф2^ + +
у^тф^ф2^ + у^тф^) - (-ф27+ у^тф^к-ф2* + ф2z + v^t't-^)}; vx, y,z е хОО.
Раскрывая по линейности и выделяя действительную и мнимую части, получим, что последнее тождество равносильно следующему тождеству: н(фгх, ф2у)ф2г + я(ф2х, фу)ф2 + r (фх, ф2у)фг - r (фх, фу)ф2г = i {^У{ф2х(ф2у, ф2г) + ф2^(фг,ф2) - Фх(ФУ,Ф2г) + фх(ф2у, фг) - ф2г{ф2*, Ф2г)
.
Согласно (11) и равенства (Ф22,Ф'у) = (Ф2,ФУ), последнее тождество можно переписать в виде:
л(ф2^фгг)ф2г -л(фх,фг)ф2г = ^(ра}2{Ф2х(ФУ,Ф2) + Фх(г,Фy) - Ф2у(Фх,Фг) с;- г -у у ~ = х :: . (13)
Назовем тождество (12) четвертым дополнительным тождеством кривизны TS-многообразия.
Итак, мы получили следующую теорему.
Теорема 4. Тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий обладает следующими тождествами:
oí]
2 о [с ой]
i>[c oí]
V2
2.Я(Ф2Х,Ф2У)( = Я(ФХ,ФУ)(= 0; 3^($,Ф2Х)Ф2У - R(?,ФX)ФУ = 0;
Преподаватель ^
4 / 2013
V^™ V21
5. Д(ФгХ, Ф2^)Ф27 - Л (Ф2*, ФУ)Ф1 — R(фхг Ф2У)ФЕ - Л (ФХ, ФГ)Ф2£ = 0;
7.я(ф1х, ф2у)фгг -и(фх, ФК)Фгг = ^(р°)г{ф2х(фу,ф2) + ФХ(2, ФГ> - Ф2Г(Ф,У, Фг)
е:" Г -л" :' г -Е .v :: .
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - Т. 1. - М.: Наука, 1981.
- 344 с.
2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. - Т. 2. - М.: Наука, 1981.
- 416 с.
3. Gray A. Curvature identities for Hermitian and almost Hermitian manifolds // Tohoku Math. J. -1976. - V. 28. - P. 601-612.
4. Gray A., Hervella L.M. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants // Ann. Math. Pure end Appl. - 1980. - V. 123. - № 4. - P. 35-58.
5. Gray A. Nearly Kahler manifolds // J. Diff. Geom. - № 3 (1970). - V. 4. - P. 208-309.
6. Rizza G.B. Varieta parakahleriane // Ann. Math. - Pure and Appl. - 1974. - V. 98. - № 4. -P. 47-61.
7. Sawaki S., Sekigawa K. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature // J. Diff. Geom. - 1974. - V. 9. - P. 123-134.
8. BarrosM., Ramires A. Decomposition of quasi-Kahler manifolds which satisfy the first curvature condition // Demonstr. Math. - 11. - № 3 (1978). - P. 685-694.
9. Vanheke L. Some almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature // J. Diff. Geom. - 1977. - V. 12. - № 4. - P. 461-467.
10. Vanheke L. Almost Hermitian manifolds with J-invariant Riemann curvature tensor // Rend. Semin. Mat. Univ. e politecn. - Torino 34 (1975-76). - P. 487-498.
11. Naveira A., Hervella L.M. Quasi-Kahler manifolds // Proc. Amer. Math. Soc. Univ. - 49. - № 2 (1975). - P. 327-333.
12. Gray A. The structure of nearly Kahler manifolds // Ann. Math. - 223, (1976). - P. 233-248.
13. Gray A., Vanheke L. Almost Hermitian manifolds with constant holomorphic sectional curvature // Cas. pestov. mat. - 104. - № 2 (1979). - P. 170-179.
14. Watson В., Vanheke L. KL-curvatures and almost Hermitian submersions // Rend, semin. mat. Univ. e politec. - Torino. - 36 (1977-78). - P. 205-224.
15. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003. - 495 с.
16. Демедерос Аила. О геометрии транссасакиевых многообразий // Преподаватель XXI век. -2013. - № 3. - С. 212-223. ■
239
ВЕК
