Томографические методы в теории вторичного квантования Текст научной статьи по специальности «Физика»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эя №<К! 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155И 1994-0406_

Томографические методы в теории вторичного квантования

# 09, сентябрь 2011

авторы: Федоров А. К., Юрченко С. О.

УДК 530.145.1

МГТУ имени Н.Э. Баумана alesha.fedorov@gmail.com st.yurchenko@mail.ru

Одним из наиболее активно развивающихся направлений в нерелятивистской квантовой механике является квантовая томография [1-3]. Квантовая томография использует для описания квантовых состояний неотрицательные функции распределения вероятностей - симплектические томограммы. В обзоре [1] рассмотрены основные соотношения, связывающие симплектическую томограмму с волновой функцией, матрицей плотности, функцией Вигнера [4]. Интересным является тот факт, что томограммы могут быть измерены в квантово-оптических экспериментах [5].

Целью настоящей работы является установление связи томографического представления квантовой механики с методами вторичного квантования. Показано, что при построении вторичного квантования в рамках квантовой томографии оператор плотности частиц является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения для симплектической томограммы. Обобщены результаты [2] и показано, что преобразования Боголюбова не сводятся к симплектическим преобразованиям, использующимся в квантовой томографии. Предложенные методы квантовой томографии во вторичном квантовании использованы для решения задачи о квантовой цепочке осцилляторов, вычислен спектр фононов и найдена энергия нулевых колебаний.

Томографическое представление квантовой механики использует линейное каноническое преобразование фазового пространства - действие симплектической группы 8Р2(Я):

е (

и л

V д ^

^ р)

где д - координата, р - импульс, а /л, / , щ, щ - вещественные числа.

Поскольку (1) является каноническим преобразованием, сохраняется структура фазового пространства с невырожденными кососимметрическими билинейными формами: скобкой Пуассона в классическом случае и коммутатором - в квантовом. Также канонические преобразования сохраняют вид уравнений движения. Частным случаем (1) является действие матриц группы 802(Я). В таком случае (1) является поворотом фазового пространства на некоторый угол. Тогда симплектическая томограмма превращается в маргинальное распределение гомодинной переменной в квантово-оптических схемах томографии [4]. В общем случае (1) - это поворот фазового пространства с взаимным масштабированием по осям р и д.

Симплектическая томограмма Т(е,/,щ) наблюдаемой е, которая является линейной комбинацией квадратурных компонент:

е=цд+ лр

определяется через волновую функцию следующим образом:

т(е ц,л) = Иа)|2

р [ф)]

(2)

где Р - линейный унитарный оператор.

Можно показать, что этот оператор - дробное преобразования Фурье:

т(е ил) =

1

2ж

\щ(д)

ехр

ги 2 ге

л — д

2л л

йд

(3)

Из определения симплектической томограммы (3) следует, что она представляет собой нормированную, положительную и однородную функцию:

|т(а, ц,л)йе = 1 Т(е, ¡и,л)^ 0 Т(е, ц, л) = |\Т(АеДиДл)

В случае квантового фазового пространства (1) задает преобразование операторов координат и импульса. Хорошо известно, что системы, состоящие из большого числа частиц, удобно рассматривать при помощи методов вторичного квантования [6]. Операторы координаты и импульса связаны с операторами рождения и уничтожения следующим преобразованием:

л

2

(а л

а

Vа У

1 (1 , л

Г А Л

42

V1

где а , а - операторы рождения и уничтожения.

Не нарушая общности, будем рассматривать случай бозе-частиц. Для операторов рождения и уничтожения справедливы коммутационные соотношения:

а а

а,, а]

а а

а,, а]

а, , а]

= 0

Таким образом, можно ввести операторы поля:

Т(е) = Х.а^г (е) Т+(е) = 2¿V (е)

волновые функции образуют полную ортонормированную систему; справедливы следующие коммутационные соотношения для операторов поля:

а а

Т(е),Т И)

= б(е-е')

а а

т(е), ти

а 1 а

Т (е),Т (е')

= 0

Вторично квантованный оператор плотности частиц:

р(е) = Т (е)Т(е)

является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения для симплектической томограммы (2). Как известно, в классическом случае оператор плотности соответствует обычной плотности вероятности в координатном или импульсном представлении.

По определению интеграл от оператора плотности, взятый по всему пространству, есть оператор полного числа частиц в системе:

а с а ^

/\ С

N = |Т (е)Т(е)^3е

Мощным инструментом вторичного квантования является использование канонических преобразований. В частности семейства симплектических преобразования Боголюбова могут быть использованы для диагонализации гамильтонианов. Структура преобразований Боголюбова близка к (1): они задаются матрицами групп БР2(Я) и БР2(С) и соответствуют псевдоевклидовым вращениям в

двумерном пространстве-времени (преобразования Лоренца) в случае бозе-частиц, вращению евклидового пространства для ферми-частиц.

В общем виде линейные канонические преобразования - действия группы

8Р2(С):

( а >

ь

V Ь у

и V

( а л

а

VV и У

(4)

Vа У

где и и V - комплексные числа, удовлетворяющие соотношению:

I 12 I 12

и - V = 1

Можно утверждать, что не существует таких комплексных чисел и и V, которые могли бы задавать преобразование вида (1). Эквивалентно утверждение, что элементы матрицы:

1

(

42

и + V 1

1 (и - V)

(; * \ и - V )

Л

V +и ци -

V V > У

удовлетворяют следующей системе:

1 (V* - и*) (и + V) -1 (и - V) (и * + V*) = 2

|и|2 - VI2 = 1

(5)

Система (5) не имеет решений. Поэтому преобразования Боголюбова не являются более общим случаем (1).

Теперь рассмотрим задачу о взаимодействии нескольких частиц в томографическом представлении и используем полученные методы вторичного квантования. Можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая, что взаимодействие N соседних частиц, описывается гамильтонианом:

а ^

н=2

а а

/и <71 -ц'е, 2т1

К 2

а а \ /а а

/\ е1 -е 1+1 1-^1 71 -<1+1

где К - параметр.

Учитывая (1) перейдем к операторам рождения и уничтожения:

1=1

Si ^ai

<Jt = —;=\ai

V2

V ,

ivjhr*

- ivJ nmpi

л + h

+ ai

_ V m0,

¡V^h,

+ mJ hm, 0,

mt 0

i/u'Jhmj 0

- ai

m

2m.0 i

Запишем гамильтониан при помощи операторы рождения и уничтожения:

1

н=£■

i=1

2m

ai + ai

' v

K 2

л л 1 л л

ai + ai — ai+1 — ai+1

Диагонализуем гамильтониан при помощи канонического преобразования (4) и приходим к виду:

л N (Л+ л 1 Л

H = )

лт л 1

Ь, Ь, + — 2

где частота колебаний (рис. 1):

0

(q ) = s,„ [q ^

(6)

Найдем энергию нулевых колебаний, приходящуюся на одну частицу (рис. 2):

Й

E =

4л

| 0 (q^)dq

I K f sin (i) dq=2 K

m ^ l 2I m

(7)

На рис. 1 представлен график частоты как функции координаты q и отношения K/m. На рис. 2 представлен график энергии нулевых колебаний как функции параметра K/m.

Таким образом, установлена связь томографического представления квантовой механики с методами вторичного квантования. Показано, что при построении вторичного квантования в рамках томографического представления оператор плотности частиц является многочастичным эквивалентном одночастичного выражения для симплектической томограммы.

Рис. 1. Частота колебаний (6)

1=1

Обобщены результаты [2] с учетом канонического определения матриц группы 8Р(Я) и показано, что преобразования Боголюбова не обобщают симплектическое преобразование, применяемое в квантовой томографии.

Рис. 2. Энергия нулевых колебаний (7) Предложенные соотношения для построения вторичного квантования в томографическом представлении опробованы на задаче о квантовой цепочке осцилляторов, вычислен спектр фононов и найдена энергия нулевых колебаний (7).

Библиографический список

1. Ibort A., Man'ko V.I., Marmo G., Simoni A., Ventriglia F. An Introduction to the Tomographic Picture of Quantum Mechanics // arXiv:0904.4439v1[quant-ph], (2009)

2. Федоров А.К., Юрченко С.О. Вторичное квантование и томографическое представление квантовой механики // Студенческий научный вестник, 2011, 217-218.

3. Федоров А.К., Юрченко С.О. Томографическое представление в квантовой механике // Физическое образование в вузах (приложение). Труды конференции-конкурса молодых физиков, XVII (2011), №1, 23.

4. Wigner E.P. On the Quantum Correction for Thermodynamic Equilibrium // Phys. Rev., 40 (1932), 749-759.

5. Beck M., Smithey D.T., Raymer M.G. Experimental Determination of Quantum-phase Distribution Using Optical Homodyne Tomography // Phys. Rev. A., 48 (1993), 890-893

6. Левитов Л.С. Функции Грина. - М.: Физматлит. 2002 - 352 с.