Точные значения средних v-поперечников некоторых классов целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2010, том 53, №2_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Г.А.Юсупов

ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ СРЕДНИХ у -ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 11.01.2010 г.)

Таджикский национальный университет

В работе найдены точные значения средних у-поперечников для некоторых классов целых функций, определяемых модулями непрерывности т -го порядка.

Ключевые слова: пространство - множество - целая функция - модуль непрерывности - наилучшее приближение - полином - поперечник.

В статье рассматривается задача нахождения значений средних у -поперечников для некоторых классов целых функций, определяемых модулями непрерывности т -го порядка.

1. Для любого неотрицательного вещественного о через Нст обозначим множество всех целых функций /(г) конечной степени, не превосходящей о. Сужение /(г) е На на вещественной оси М = (—да, +да) обозначим через /(х). £2 (М) - банахово пространство функций /(х), определенных и измеримых на вещественной оси М с конечной нормой

Множество всех целых функций /(г) е На таких, что /(х) е £2 (Ш), называется пространством Винера-Пэли и обозначается 2 .

Известно [1], что если р(и) е [—о, о], то функция

Адрес для корреспонденции: Юсупов Гулзорхон Амиршоевич. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Дехоти, 1/2. Таджикский национальный университет. E-mail: g_7777@mail.ru

1 Р

f (z) = ^— Г в,гиф) du

пРинаДлежит поДпРостРанству Wa 2 , причем І\ДКі =|/||L (R) =|Н|L (-ар) Величина

называется наилучшим приближением данного элемента /(х) е Ё2 (М) посредством целых функций да(2) е^2 . Под Щ)(М)(г е ^Щ0(М) = Ё2(М)) понимаем множество функций /(х) е Ь2(М), у

которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а г'(х) є £2 (М).

В работе [2] доказано, что если ¥(х) - преобразование Фурье функции /(х) є £2 (М), то модуль непрерывности т -го порядка этой функции имеет вид

(о2т( f; t) = 2т sup L |F (x)|2(1 - cos hx)mdx.

i*ia -L

Нам в дальнейшем понадобиться следующая

Лемма [3]. Пусть f (x) е L2 (R) и F(x) - ее преобразование Фурье в смысле L2 (М),

F(х) є L (^) • Тогда функция

Fa (f, х) =

1 Г

-,= Г F(t)eixt dt

<2ж І

является целой функцией из Жа2, наименее уклоняющейся от /(х) в смысле метрики Ь2 (М) . При

этом

( V/2

Af) = |f - Fa(f )|| = J |F(t)|2 dt

(1)

Из (1) для любого f (x) є L)(M) вытекает неравенство

Л/2

ч 1/2

Af)) =

J 12r\F(t)|2 dt >1 J |F(t)|2 dt

= lAa{f).

Таким образом, для /(х) е Щ (М) всегда имеет место неравенство

АС Г) ■¡■о-'Ло(р-'').

2. Вопросам наилучшего приближения целыми функциями посвящено много работ, из которых укажем работы С.Н.Бернштейна, С.М.Никольского, Н.И.Ахиезера, А.Ф.Тимана, И.И.Ибрагимова и др. (см., например, [1]).

С.Б.Вакарчук [4] при решении экстремальных задач теории приближения периодических дифференцируемых функций /(х) е Щ [0,2л] тригонометрическими полиномами и приближения

/ (х) е Ё2 (М) целыми функциями использовал следующую характеристику гладкости

N * * ]1/2

п(/;*)г = -т! • -Лдт/(С(м, ^ >*> о-

эквивалентную сот (f; t)2 и, в частности, доказал, что

рГАа(f) U(i sin t'

О “

. 2(®) О

f (r ) ф const

-ml 2

2ff,r,m(t) = suP Q (fb.tlrr-\ I211 __T l • (2)

fel^K) 0m (J ; t |р) I V t Jj

В данной работе мы введем в рассмотрение следующую экстремальную характеристику, обобщающую (2) вида

</ агЛ (/)

^,гт„ (Л)= 5ир ----------------- (/ ) у/, , (3)

/ єі£( к) н- '

/от (f(r);1 |р) d<

где r е Z+, m е N, 1 / r < q < 2, 0 < й < d / 2. Имеет место следующая

Теорема 1. Для произвольных чисел r е Z+, m е N, 1 / r < q < 2 и всех 0 < й < d2 справедливо равенство

й/ • ,\mq/2 q

sin í

/о,„(*) = 2—т/2 1 — ^ №*

Доказательство. Известно [3,5], что для произвольной функции /(х) е Ё2 (М) существует только одна целая функция Лет/(х) е ^ 2, которая наименее отклоняется от /(х) в метрике Ё2 (М) и имеет вид

1 +да 1 + о

л.1 (х)=—/ еиХо(1)^(/; * №=— / е“^(/;* )<*,

—да ^Л —о

где ^ (а; *) - преобразование Фурье функции / (х), а %о (*) - характеристическая функция интервала (—о, о). Поскольку

1 +да

Ч/(х) = /(х + Н,)—,х) = — | (<Л —1).^(/;*)Л*, (, = 1т),

то мы имеем:

1 m

A"f(x) = — | П (/h -1) f (f; t)e,xtdt. (4)

2n -L j=1

Из (4), используя свойства преобразование Фурье и равенство Парсеваля, получим

2 +L m

||Д"У(-)| = 2" ||f(f; t)|2n( 1 - cos Щ J dt. (5)

Для фиксированного г, 0<г <ж/(2-), используя соотношения (5), находим

I 9 V I т г I

пт(/<г 1 г)=І -1 / і!г|г(/;і)|2¡П І(1—со*| 1 ли1 л

. ;=1 о

2т / і !г| Г (/; і )|2|1

2[, БІП ІГ

Лі >

ІГ

> 2т І і2|^(/; і)|2| 1 — БІПіГ

Лі.

\і\>—

іг

(6)

Воспользуясь континуальным аналогом неравенства Минковского (см., например, [6,стр.32])

ґ

и (

у / 2 (

І І |^(і,г)|- Лг

Лі

из соотношения (5) получаем

>

І І І\ф(і,г)\4 Лі

^2/9 ^

Лг

1/2

, 0 < 9 < 2,

І пт с/(г) ,г) лг

\1/9

>

>

І

І

2т І і!г(/;г)|211-

БІП гі

гі ,

Лі

9/2 Л1/9

Лг

>

> 2

т/2

Лг

т/2

= 2

Докажем, что функция

І |^(/;г)|2 і'91

1 —

гі

БІП гі гі

Лг

2/9 1

Лі

J

2/9 V72

Лі

J

Г(<) = і"' І|1

. ч тд / 2

БІП гі 1

Лг

гі

в области Q = {і :| і |> —} является монотонно возрастающей и

и (

шіп{^(і): і є Q} = щ(-) = —' 11 1

и ґ \ т9 / 2

БІП —г 1

Лг.

—г

(7)

т

т

0

Дифференцируя функцию (8), получим

Н / • \ та/2 Н т / • \ та/2

ПГ БШГ* V , ГЛ Л Л БШ т* Л

у (*) = г^1/[1 — ^ Л + *га¡±|1

Воспользовавшись легко проверяемым тождеством

ё* I т*

ёт.

(9)

. , . ^тц!2 . х . А//2

а I Б1п т* Л _ т а I Б1п т* Л

ё* I т*

* ёт\ т*

и выполнив интегрирования по частям во втором интеграле правой части равенства (9), с учетом условия теоремы получаем

та/2

,га—1 ГК §1пт* Л Л'"1" , га-\ Г а I Б1пт*

у(*) = га!" \\1| ёт+[1

ёт I т*

т"2 2

ат =

-1п *Н *Н

+ (га —1)|[1

Н / . \т"/2

Б1п т* Л

ат;>> 0.

т*

Поэтому из неравенства (7) следует, что

(/о

Н \1/?

пт(/(г),т)л) >

> 2т

•г/2

_гц

н / \та/2 Л12"/^

-тот

ч 1/2

о'

V 0

/[1 ■

ёт

от

= 2т 2оЛо (/)1 /I 1

Н / \тд/2 Л1а

-° аТ

от

В неравенстве (10), заменяя Н на Н/о и сделав замену переменной * = от, имеем

(10)

М/9

• и\тЧ /2 Л\1/а

-1п * Л

1 а*

I /п(/|г),*/о)<т >2т/2огЛо(/)I Л1—--

V о У V0 ^

Отсюда, с учетом определения величины (3) получаем оценку сверху

.та/2 у1/а

У

о,г,т,а

(Н) < 2—т/2 [ /[ 1 — -1п

а*

(11)

(12)

Для получения оценки снизу (3) рассмотрим целую функцию экспоненциального типа о + £ следующего вида [4]

£ ■

, sin(c + s)x sin cx 1 Л

9*(x) = аН —(---------)------. 0 <е<с(л! Л-1).

Преобразование Фурье функции gs (х) имеет вид

^ (9Є,x) = <

1, если <Т<| х |<T + S

1 II II

—, если | х |=T + S или | х |=Т

2

0, если | х |>T + S или | х |<Т.

Очевидно, что дЕ(х) е Lr2 )(М) и из (1) следует, что Aa(gs) = 2s. Так как функция sin х/х на отрезке [0, d] является монотонно убывающей и имеет место формула

r, х) = Wr„ х).

то, используя левую сторону неравенства (6), запишем

П-(я';'.tIc) = 2m+1 f x!rjl

x-a - síníxiíd Idx <

xt Ic

< 2-+i£(c + £)2'Jl- sint(1 + dc)

І t (1 + sc)

= 2-A;(g,)(o + efr J1 - si"'(1 + S/T)1 .

[ t(1 + st) J

Из неравенства (13) для любых т > 0, m, r е N, 1 / r < q < 2 и 0 < й <d2 получаем

(13)

f П- Я'). t Ic) dt

\1I q

<

< 2m'2 Aa(gs)(a + S)’

Неравенство (14) запишем в виде Aff(gs)(T + s)r

íh г • , , o -q|2 ^1Iq

fJ1 -sin‘(1+sIc)l dt

J0 І t(1 + sc) J

f П- («sr). t Ic)dt

\1I q

> 2

- m 12

f I"

sin t (1 + s I c) t (1 + sc)

mq 12 Y1Iq !• dt

(14)

(7

m

Отсюда, устремляя £ к нулю и переходя к верхней грани по всем функциям де (х) е 1^ЧЩ), получаем

,mq/2 Л-17 q

sin t

(h) * 2-m'2|Jf1 - d,

(15)

Сопоставляя неравенства (12) и (15), получаем утверждение теоремы 1. Теорема 1 доказана.

3. Пусть M - некоторое центрально-симметричное подмножество из L2 (M) и v > 0 является произвольным числом. Следуя работам [7,8], через dv(M, L (M)), Sv(M,L2(M)), bv(M,L2 (M)) соответственно обозначим колмогоровский, линейный и бернштейновский средние v -поперечники множества M в L2 (M). Между перечисленными средними v -поперечниками множества M имеют место неравенства [9]

b v(M, L2 (M)) < d v(M, L2 (M)) < ^v(M, L2 (M)).

Пусть 0(t), t > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что Ф(0) = 0. Для любых r е Z+, m е M, 1 / r < q < 2, h е (0, л] введем следующий класс функций

Г f h j1/q

W(Ф) := W(r,m,q;Ф) =j / е L2)(M): <(f r',t)dt I < Ф(h)

Следуя работам [10], через t„ обозначим величину аргумента x е (0,го) функции sin x/x, при которых она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t„ есть наименьший из положительных корней уравнения x = tgx Простые вычисления показывают, что 4,49 < t„ < 4,51. Полагаем

f л sin x j I sin x Л 1 sin t. j

I 1-----:=j1---------,еслиО <x < X;1---------,еслиx > xj.

V x ). j x X j

4^ (Ф)^ (*) = supK(/): / е Wq (Ф)}.

Теорема 2. Если для любого заданного /ле (0,1] и для всех Л> 0, 0 < h <л, m, r е N, 1 / r < q < 2 мажоранта Ф(и) удовлетворяет условию

Лл / • ,\mq/2 Лл / • ,\mq/2

ф»(Лh)jÍ1 -unij dt<ф«(h)j[Í1 -sirnj ,

Л r\ V t )* r\ V t )

то для любого v > 0 имеют место равенства

Лv(Wq (Ф), L2(M)) = ^V,(Wq (Ф))^ =

mql 2 Л 1lq

dt Ф(^1 v),

где - любой из средних поперечников: бернштейновский (•), колмогоровский (') или линей-

ный §у (•). При этом пара ((М),Лга/), где Лул/ определяется из условия

(^ - преобразование Фурье в Ь2 (М), %уп - характеристическая функция интервала (—УЖ, уж)), будет экстремальной для среднего линейного поперечника §у(•), а пространство является

экстремальным для среднего поперечника по Колмогорову (•)•

Доказательство теоремы 2 не приведем, поскольку в идейном отношении повторяет схему доказательства аналогичной теоремы 2 работы [9].

1. Ибрагимов И.И. Теория приближения целыми функциями. - Баку: Элм, 1979.

2. Попов В.Ю. - Изв. вузов. Математика, 1972, 6, с.65-73.

3. Ибрагимов И.И., Насибов Ф.Г. - ДАН СССР, 1970, т.194, 5, с.1013-1016.

4. Vakarchuk S.B. - East Journal on Approximation, 2004, v.10, 1-2, p.27-39.

5. Насибов Ф.Г. - ДАН Азербайджанской ССР, 1986, t.XLII, 4, с.3-6.

6. Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 pp.

7. Магарил-Ильяев Г.Г. - Мат. сборник, 1991, т.182, с. 1635-1656.

8. Магарил-Ильяев Г.Г. - ДАН СССР, 1991, т.318, 1, с.35-38.

9. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б., Мамадов Р. - ДАН РТ, 2009, т.52, 5, с.

10. Vakarchuk S.B. and Zabutna V.I. - East Journal on app., 2008, v.14, 4, pp. 411-421.

ЦИМАТИ АНИЦИ v-ЦУТР^ОИ МИЁНАИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ

Дар макола кимати аники v-кутрои миёна барои баъзе синфяои функсияяои бутун, ки ба воситаи модулями бефосилагии тартиби m -ум муайян карда мешаванд, ёфта шудааст.

Г(К./,•) = х„ (-)^(-/ ,•),

Поступило 11.01.2010 г.

ЛИТЕРАТУРА

Г.А.Юсупов

БУТУН

Донишго^и миллии Тоцикистон

Калима^ои калиди: фазо - мацмуъ - функсияи бутун - модули бефосилаги - наздиккунии бе^тарин - бисё'раъзоги - цутр.

G.A.Yusupov

EXACT VALUES OF MEAN 1/-WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS

Tajik National University In the article the exact values of mean / -widths for some classes functions which are given by the modulus of continuity in m -order are found.

Key words: space - set - entire function - modulus of continuity - best approximation - polynomial - width.