CC BY
37
10. Расмагин С.И., Крыштоб В.И., Расмагина В.В. Безопасная утилизация поливинилхлорида методом сжигания // Проблемы современной науки и образования, 2017. № 35 (117). С. 5-8.
11. Крыштоб В.И., Власов Д.В., Миронов В.Ф., Апресян Л.А., Власова Т.В., Расмагин С.И., Кураташвили З.А., Соловский А.А. Особенности пробоя в электрических кабелях с полимерной изоляцией // Электротехника, 2014. № 5. С. 60-63.
12. Власов Д.В., Крыштоб В.И., Власова Т.В., Апресян Л.А., Расмагин С.И. Температурная зависимость электропроводности пленок сополимера поливинилхлорида-полиацетилен // Высокомолекулярные соединения. Серия А, 2015. Т. 57. № 3. С. 242.
ТОЧНЫЕ ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДВОЙНЫХ РЯДОВ ФУРЬЕ ПО ПРОИЗВОЛЬНЫМ ОРТОГОНАЛЬНЫМ
СИСТЕМАМ
Селимханов Э.В. Email: Selimkhanov17124@scientifictext.ru
Селимханов Эмирхан Валерьевич - бакалавр, факультет математики и компьютерных наук, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала
Аннотация: в статье даны точные оценки скорости сходимости (наилучших приближений) двойного ряда Фурье по произвольным ортогональным системам функций на классах функций многих переменных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности, а также оценки N - поперечников Колмогорова этих классов функций. Так как, в отличие от одномерного случая, для двойных рядов нет естественного способа построения частичных сумм, то мы сначала строим некоторые классы функций, а затем соответствующий метод приближения -«треугольные», «гиперболические» и другие частичные суммы двойного ряда Фурье, которые позволяют отыскать точные оценки скорости их сходимости (наилучших приближений) на этих классах функций. Известно, что в вопросах, связанных с разложениями функций в ряды Фурье по тригонометрической системе или по классическим ортогональным многочленам и оценкам их скорости сходимости (наилучших приближений), существенную роль играют операторы сдвига, связанные с «теоремами сложения» и «теоремами умножения» для этих систем. Для произвольных систем таких теорем нет. В работе, опираясь на некоторые ранее известные факты, построен оператор обобщенного сдвига, который позволяет определять классы функций, характеризующиеся обобщенным модулем непрерывности. На этих классах, в частности, доказана прямая и обратная теорема теории приближений.
Ключевые слова: ряд Фурье, ортогональная система, оператор сдвига, обобщенный модуль непрерывности, N - поперечник Колмогорова.
EXACT ESTIMATES OF THE CONVERGENCE SPEED OF DOUBLE SERIES OF FOURIER BY ARBITRAL ORTHOGONAL
SYSTEMS Selimkhanov E.V.
Selimkhanov Emirkhan Valerievich - Bachelor, FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE, DAGESTAN STATE UNIVERSITY, MAKHACHKALA
Abstract: the article gives sharp estimates of the rate of convergence (best approximation) of a double Fourier series with respect to arbitrary orthogonal systems of functions on classes of functions of several variables characterized by a generalized modulus of continuity, and also estimates of the Kolmogorov N-widths of these classes of functions. Since, unlike the one-dimensional case, for double series there is no natural way of constructing partial sums, we first construct some classes of functions, and then the corresponding approximation method is "triangular", "hyperbolic" and other partial sums of the double Fourier series that allow Find exact estimates of the rate of their convergence (best approximations) on these classes of functions. It is known that in questions connected with the expansion of functions in Fourier series with respect to a trigonometric system or with respect to classical orthogonal polynomials and estimates of their rate of convergence (best approximations), an essential role is played by shift operators associated with "addition theorems" and "multiplication theorems" for these systems. There are no such theorems for arbitrary systems. In this paper, based on some previously known facts, a generalized shift operator is constructed that allows us to define classes of functions characterized by a generalized continuity module. On these classes, in particular, the direct and inverse theorem of approximation theory is proved.
Keywords: Fourier series, orthogonal system, shift operator, generalized modulus of continuity, N - Kolmogorov width.
УДК 517.519
В статье даны точные оценки скорости сходимости (наилучших приближений) двойных рядов Фурье по произвольным ортогональным системам функций на классах функций многих переменных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности, а также оценки N - поперечников Колмогорова этих классов функций.
1. Обозначим через L2 ( Glt\h( t) ) - пространство суммируемых с квадратом функций с неотрицательным суммируемым на весом и нормой
n
h(t)f2(t)dt
V
({=({1,С2.....с С\ с Ег,/ > 1).
Мы будем предполагать, что весовая функция Л ( £) и область С с таковы, что в пространстве Ъ 2( С; Л ( £) ) существует полная ортонормированная система функций. Пусть, далее,
щ{х)Л = 0,1,2, ...;г^(у),; = 0,1,2,... полные ортонормированные системы функций соответственно в пространствах Ъ 2 (С™; р (х) ) , Ъ 2 ( С"; q (у) ) (существование таких систем мы постулировали).
2. Через Ъ 2=Ъ 2(С™+",р(х) q(у) ) обозначим пространство суммируемых с квадратом функций с весом и нормой
/
гт+п ^ху
p(x)q(y)f2(x,y)dxdy
(С:
т+п — пп
ху
х Gу -
= {(х,у):х 6 С™;х = (хх, х2,..., хт); у 6 = (у1(у2,...,уп)}). Хорошо известно, что система функций
ui(x)Vj(y),i = ОД,...;у = 0,1,... будет полной ортонормированной системой в пространстве
Пусть / £ L 2 и
fix, = c4 (X)VJ(У) (!)
i=o j=о
Cijif) = J p(x)q(y)f(x,y)ui(x)vJ(y)dxdy
rm+n
ее ряд Фурье,
s'n ' (/■; X,y)= ^ cy (f)uL (x)Vj (y),
О <i+j<N
Sf(f-,x,y)= ^ ^ c0(/K(x)^(y),
О<i<N 0<j<N
i c00(f)u0(x)v0(y), N = 1 S^if'.x.y) = I ^ N = 2,3.....
Vo<i }<N
где к = max(1 ,/с) , к = 0, 1 ,. . ., соответственно «треугольные», «прямоугольные», «гиперболические» частичные суммы ряда (1). Известно, что
||/||2 = ^2/500. (2)
L=0 j =о
Через
E(Nk)(f)=M\\f-P^\\ (/с = 1,2,3) (3)
PN
обозначим наилучшее приближение функции / £ L 2 полиномами вида
О <i+j<N
Р'ы1'(х,у) = ^ ^ ацщ{х)У](у),
О<i<N 0<j<N
( a00u0(x)v0 (у), N = 1 Р™(х,у)= j ^ aijUi(x)vj(y), N = 2,3.....
Vo<7 j<w
где, как и выше, к = max (1 , к) , к = 0, 1 ,. . .. Рассмотрим теперь функцию
оэ оо
T(x,Ç;y,ri;h) = Vj{y)Vj(j))hi+i,
L=0 j=о
где и равенство здесь понимается в
смысле сходимости в евклидовой топологии, т.е. в топологии пространства
12 ((СГ х Gf) X (g? X G^);p(x)p(Oq(y)q(v))
(последнее обозначение очевидно).
Известно ( [ 1 ] , с. 2 72) , что в ряде частных случаев для
Т(х,у; К) = ^ un(x)un(y)h7]
(0 < й < 1, С^ = Су = (а, Ь) с Е) можно указать и явное выражение.
В пространстве I 2 = I 2(<^+ Р (х) Ч Су) ) рассмотрим следующий оператор
19
Fhf(x,y) = J p(Oq(rj)f((,rj)T(x,(;y,rj;l- h)d^drj =
= J J p(0^(rj)f((,rj)T(x,(;y,rj;l-h)d(drj,
rn
который мы будем называть оператором обобщенного сдвига. Отметим ряд простых свойств этого оператора:
1) ^ (Л+/2)=^/1 + fh/2,
2) Fh (Я/)=Я (Fh/) Д£1,
3) I I I I < I I / I I ,
4) Fh (щ(x) v, (y) ) = (1 - h) (x) и,-(y) ,
5) I I I I -0,h-0 + .
Пусть / £ L 2. Определим ее конечные разности первого и высших порядков следующим образом:
Ah/O. У) = Fhf(x,y) - f{x,у) = СFh - E)f(x,y), Akhf{x,y) = Ah (д^/Сх.у)) = (Fh - E)kf(x,y) = к
где
i = 1 , 2 ,. . ., /с, E - единичный оператор в пространстве L 2. Величину
fifc(/;£)= sup ||Ah/(x,y)|| ,k = 1,2,...
0 <h<8
будем называть обобщённым модулем непрерывности /с - го порядка функции /6L 2.
Через Wfc (Ф) обозначим класс функций / £ L2 , для которых
nfc(/";5) < Ф(5),/с = 1,2,..., где - неотрицательная монотонно возрастающая функция на
[О, +со) и Ф(0) = 0.
Напомним, что N - поперечником Колмогорова множества М с L 2 называется величина
dN(M) = dNm,L2) = inf \sup\inf\\f-g\\}
G,vcL2 (feM ygEGpj )
где последний раз точная нижняя грань берется по всем подпространствам Gw с L2 размерности N = 1 , 2 ,. . . ([2], c.186).
Пусть / £ L 2. Тогда нетрудно показать, что из свойства 5) оператора Fh следует
1=0 ] = 0
3. Справедливы следующие утверждения.
ТЕОРЕМА 1. Для любой функции / £ Ъ 2 справедлива оценка
(к £ (0,1); к = 1,2,...; N = 1,2,...), причем при каждом фиксированном N = 1 , 2 ,. . . константа в правой части неравенства уменьшена быть не может. ТЕОРЕМА 2. Пусть / £ Ъ 2. Тогда
(к £ (ОД); к = 1,2,...; N = 1,2,...), и при каждом фиксированном N = 1 , 2 ,. . . константу в правой части неравенства уменьшить нельзя.
ТЕОРЕМА 3. Для любой функции / £ I 2 справедлива оценка
43)(Я < [1 - (1 -
(и £ (о.^);^ = 1,2,...; N = 4,5,...),
причем при каждом фиксированном константа в правой части
неравенства уменьшена быть не может. ТЕОРЕМА 4. Пусть / £ I 2. Тогда
1 -/с(М+1) г х
Е™(П< (N + 1^(1- —) ] П*(/; К)ак
Д7_1_ 1
\
V
/
(Л £ (0,1); к = 1,2,...; Л/ = 1,2,...)
и при каждом фиксированном константу в правой части неравенства
уменьшить нельзя.
ТЕОРЕМА 5. Пусть / £ I 2. Тогда
42) (/) < +1)* (1 - ^у) ] П* (/; К)ак
Д7_1_ 1
\
V
/
(Л £ (ОД); к = 1,2,...; Л/ = 1,2,...)
и при каждом фиксированном константу в правой части неравенства
уменьшить нельзя.
ТЕОРЕМА 6. Для любой функции / £ I 2 справедливо неравенство
/с / 1 \ г _!_
43)оо<(2^+1) (1-^=—) ] ^(г-.ть
\
\
/
причем при константу в правой части неравенства уменьшить нельзя.
ТЕОРЕМА 7. Пусть / £ I 2. Тогда
ТЕОРЕМА 8. Пусть / £ I 2. Тогда
а
2 у
ТЕОРЕМА 9. Пусть / £ I 2. Тогда
п,
:(Л>0< (8/02к ^ г2к_1(^(3)(Л)2 -
ТЕОРЕМА 10. Справедливо равенство
^(Л,+1)+г№(Ф)Д2) = [1 - (1 - /ОЧ^ФОО
(Л 6 (ОД); к = 1,2,...; I = 1,2,... N = 2,3,...).
4. Мы докажем теоремы 3, 6, 9 и 10. Остальные теоремы доказываются по аналогичной схеме.
Доказательство теоремы 3. Пусть / £ Ъ 2. Имеем
IК/112 = - (1 - >
1=0 ]=о
> £ [1 - (1 - /1)г+7']2кс500 = + ^[1 - (1 - йУ]2Ч(Я + ^ [1 - (1 - /0г+7']2к с?.00 =
Оценим теперь каждое слагаемое в отдельности.
Так как
то
£ = ^[1 - (1 - /0г]2к4(Я > ^ [1 - (1 - Ю277]2" 400 >
2/с Ч 1
>[1-(1-Ю2^] 2,400.
то есть
,2/с '
2 >[1-(1-й)2^Г^4(Я-
Аналогично получим, что
п2 к
Так как I + у > 2 д/7/, то
Ез = 2 [1 ~(1 ~ ^'^^ОО > £ [1 - (1 - ьу^]2к с?.00 >
2 ь V 1
>[1-(1-л)2^] £ с?, оо.
то есть
Объединяя оценки, полученные для 2 х ,2 2 и 2 3 имеем, что
1К/Ц > х
^ с5(/)) =
2 ь V 1
= [1-(1-л)2^] 2,40а
Таким образом,
или
Отсюда следует, что
С другой стороны, для функции
/,(х,у) = г^(х)^(у),12 = N = 4,9,16,... последнее неравенство обращается в равенство, тем самым теорема 3 доказана полностью.
Доказательство теоремы 6. Докажем, что
£ (1 - /0г+;'с5(/0 < (1 - й)2^ £ с?.00.
Г/гМ г/гм
Так как I > 2 //I,/ > 2 // (I, / = 4, 5 ,. . .) , то
- л)Ч(/) < (1 - /г4~^4(Л. ^(1 - йУ4(Я < (1 -
так как I + / > 2 /I/, а I/ > N , то (1 — Л) 1+-' < (1 — Л) 2 ^ и поэтому
£ (1 - /0^400 < а - л)2^' £ с?, оо.
Складывая левые и правые части полученных трех неравенств получим требуемое неравенство. Оценим теперь разность
l■J>N l■J>N
В силу неравенства Гельдера
1 1
X = Е - ((1 - л)г+7') <
l■J>N
2к-1
< (^ 4 оо) (^ а - а - ку^укс1 оо
£ 4 ш < +
Следовательно
2к-1 2 к
1
\ 2 к
+
Z су 00 Z(1 ~(1 ~ к^2ксь оо ■
vrj>w / \rj>w /
Отсюда в силу определения имеем
2 с2 (Я < (1 - ^ cfjif) +
l-J>N
2k—1 2k
l-J>N
+
jj>W /
Интегрируя последнее неравенство на отрезке [ 0 , 2J1+1 ] получим
1 1 / 1 ч2^+11 ^
ivm I £ ivm1 -11 - штт) X с«от+
" T J>N
2к-1-i-
"2fc~2VW+l
lJ>W
+ 2*500 J nkk(/,h)dh.
KZJ>N
Отсюда следует, что
1 ( 1 \2V17+1
. _ ____ . _
2к—1__1
(\-2/Г27ЛН-1 1
2с5(/о) I п\ц,к)йк.
1]>М ) о
Возведя обе части последнего неравенства в степень 2 к получим
/ \2к
<
(2 л/77 +1)
<(ХС5(/)
2к — 1
\TJ>N
2^/N+l
TJ>N J
\ 2k
J nkk(f,h)dh
или
V 2fc / 1 42fc^+1 Г I
1]>N
Следовательно
2^/N+l
2k
fc(2ViV+l)
2VN+1
1 , -^iVilTl^ , £
431(rts (2VN + 1) J fit;,
Нетрудно показать, что для функции
f*(x,y) = un{x)vn(y),n2 = N = 4,9,... последнее неравенство обращается в равенство.
24
,h)dh
Доказательство теоремы 9. Пусть / £ I2. Напомним, что
оо оо
1=0 ]=о
Выберем N = ,Л £ (0 . Тогда
1 11 N < — < 2N,2h<-,-<4■h. 2к N N
Так как
О < 1 - (1 - < (I + ])к < 2Г-]1г, 1 - (1 - < 1, то, в силу упомянутого выше равенства, имеем
1К/112 = ]Г [1 - (1 - Ю^ТЧ2 00 +
1<1~]<Ы
то есть
пределения в силу выбора имеем
< (2к)2к £ (¡■])2кс'1](П + £ 4(Л <
<
М2 к 1
N
¿=2 г—
N
<
Так как
1=2 \г—/
X 4(Л = X 4(Л - X
00
<
1-1<1]<1 1]>1-1 то из предыдущего неравенства получим, что
12,
1]>1
<
И
И
\1]>1-1 ) '=2 ) N-1 /
22,с ^ с?. 00 + 2 (а + 1)2,с - г2") 2 с?. 00
'=2 \ij2l-l _ 1
1]>1
\1]>1
то есть
ПКЛЛ)<
22,с ^ с?. 00 + 2 (а + 1)2,с - г2*) 2 400
¿7>1 '=2 ;■;>/.
1]>1
Так как
р-1
р-1
(п + 1У - пР = 2 (Рк) пк < пР-12 (Рк) = пР_1(2р - 1) <
к=О /с=о
оI + 1)2,с - 12к < 22к12к~1.
Поэтому из предыдущего неравенства имеем
2 РпР-1,
то
<
№к
N-1
22к^с!](Г) + 22к^12к~1^с2](Г) ¿■_/> 1 1=2 ¿_/
2/с
¿=2
2/с
= 9 Е'^'Й-ОТ)2.
то есть
¿ = 1
2/с
1=1
Отсюда, в силу выбора следует, что
пк(г;ю<1(т2к £ ^(я^оо)2 V
Теорема доказана.
Доказательство теоремы 10. Оценка сверху. Пусть / £ ИИ^ (Ф) . Так как сумма
(л Л 1
5( ; х,у) содержит - N (N + 1 ) линейно независимых функций
Щ(.х)^(у),0 <i+j<N, То из теоремы 1, доказанной выше следует, что
< [1 - (1 - Л)лг]-лФ(Л).
Отсюда, очевидно, имеем
(¿1
■N(N+1 ) + /
№(ф)Д2)< [1 - (1 -(г = од,2,Ю-
(4)
Оценки снизу. Рассмотрим теперь в + 1 ) ^ + 2 ) - мерном подпространстве
полиномов
Д/у О. У) = ^ а^и^х) У! (у)
0<1+_/'</У
шар радиуса то есть множество таких полиномов, что
||ДЛ,||2= ^ а?- <у2,
и покажем, что
Пусть Тогда в силу леммы 1, доказанной выше, имеем
КМ2 = ^ [1 - а <
О <i+j<N
< [1 - (1 - йЛ2* 2 а2- <[!-(!- /О*]
2/с ^2
■
= [1 - (1 - К)м]2к ■ [1 - (1 - К)м]~2к ф2(К) = Ф2(Ю,
то есть
||Д^|| < ФОО. Отсюда следует, что полином , а это означает, что
Вновь из теоремы о поперечнике шара ([5, с. 32]) следует, что
то есть
^ [1 - (1 - Л)"]-кФ(Л).
Из этой оценки и из очевидных неравенств 1 1
-N(N + 1 ) -И + + 2) -1,1 = ОД,...,Л/
следует, что
> [1 - (1 - кГ]~кФ(К). (5) Из оценок (4) и (5) следует требуемое равенство.
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Нетрудно видеть, что из доказанных выше теорем следует £•«(/) = 0(ЛГа) фф П(/,5) = 0(8а) (0 < а < 1), 42)(/) = 0(ЛГа) фф П(/,5) = 0(5а) (0 < а < 1), я® (/) = О (лГ'?) ФФ П(/, 8) = О ) (О < а < 2). 2. Из неравенства
очевидно, следует равенство
Полагая в нем Л = — , имеем
и
suP]7TTTT4'f 6 ¿2
l^kif.h)
Отсюда следует, что
( Л* У1-N)
-ft
fffiHk-s"
sup -
пей I
/О")
Аналогичные утверждения можно доказать и для величин ) (/) и ) (/") . 3. Из теоремы 1 следует также аналог классической теоремы С.Н. Бернштейна об абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Фурье по тригонометрической системе для функций класса Липшица с показателем а > -. Здесь имеет место следующее утверждение.
Пусть / £i 2 и П (/,5) = О (5я) (а > i) , тогда
¿=0 j=о
Су (Л I < +00-
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. В работе мы дали ряд точных оценок скорости сходимости (наилучших приближений) рядов Фурье по произвольным ортогональным системам функций на классах функций многих переменных, характеризующихся обобщенным модулем непрерывности.
2. В математической физике часто встречается задача на собственные функции для оператора Лапласа
Г—Аи = Аи (в области С),
I и\дс = 0,
где С - произвольная N - мерная область, дС - ее граница, причем краевое условие первого рода и\дс = 0 может быть заменено каким-либо другим краевым условием, например условием
ди
— + hu on
= 0.
зс
Известно, что эта задача имеет полную ортонормированную Ъ2 (С) систему собственных функций ик(х),к = 1,2,..., отвечающих последовательности собственных значений Хк, к = 1,2,...
Нетрудно видеть, что полученные выше результаты можно распространить и на ряды Фурье
ии
^ Ск (/>fc О), ck(f) = J f(x)uk (х) dx,
к = 1,2,.
/с=1 £
3. Отметим, что в силу неоднозначности построения частичных сумм двойного ряда, сначала надо построить класс функций в рассматриваемом пространстве Ь2, а затем отыскать метод приближения, позволяющий установить точную оценку скорости сходимости (наилучших приближений) этих сумм и связь между скоростью сходимости и гладкостью функций (прямые и обратные теоремы приближения функций в пространстве Ъ2).
Так возникает и вопрос - какова, например, скорость сходимости «сферических» сумм, т.е. сумм вида
SN (/; х, у) = ^ (f) щ (x)uj (у)
0<i + j<N
ряда (1).
Рассмотрим функцию
оэ оэ
T(x,%;y,ri;h) = ^ ^ (y)vj (f])hl2+j2.
L = о j = О
Обобщенный модуль непрерывности Пк (f, S) функции
f Е L2(G™+n,p(x)q(y)) определим, как и выше. Тогда можно доказать аналоги теорем, доказанных выше.
4. Аналогичные методы для нахождения точных оценок скорости сходимости (наилучших приближений) сумм Фурье по тригонометрической системе в пространстве L2 \—п, п\ нами были использованы в работе [4].
5. В настоящей работе при определении классов функций и при доказательствах теорем, сформулированных выше, мы пользовались методами из работ [5] - [10]. Теоремы, сформулированные в п. 3, в частности, обобщают аналогичные утверждения, доказанные в статьях [5] - [10].
Список литературы /References
1. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962. 1100 с.
2. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1987. 470 с.
3. КорнейчукН.П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987. 424 с.
4. Керимов М.К., Селимханов Э.В. О точных оценках скорости сходимости рядов Фурье для функций одной переменной в пространстве I 2 [—тс,тс]// Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016. Т. 56. № 5. С. 730-741.
5. Рафальсон С.З. Наилучшее приближение функций в метриках алгебраическими многочленами и коэффициенты Фурье по ортогональным многочленам // Вестник Ленинг. гос. ун-та. Серия механ. и матем., 1969. № 7. С. 68-79.
6. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости рядов Фурье по ортогональным многочленам в пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2009. Т. 49. № 6. С. 966-980.
7. Абилов В.А., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости «гиперболических» частных сумм двойного ряда Фурье по ортогональным многочленам // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2012. Т. 52. № 11. С. 1952-2012.
8. Абилов В.А., Абилов М.В., Керимов М.К. Точные оценки скорости сходимости двойных рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2015. Т.55. №7. С.1109-1117.
9. Абилов М.В., Айгунов Г.А. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных суммами Фурье в пространстве I 2( (а, Ъ ) (х) ) // Успехи матем. наук, 2004. Т. 59. № 6. С. 201-202.
10. Абилов В.А., Абилова Ф.В., Керимов М.К. О точных оценках скорости сходимости двойных рядов Фурье-Бесселя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2017. Т. 57. № 11. С. 1-6.
