CC BY
51
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 25-26
1831
УДК 539.3
ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ УПРУГИХ АНИЗОТРОПНЫХ ТЯЖЕЛЫХ ТЕЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ И ОСЕВОЙ СИММЕТРИЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
© 2011 г. А.А. Фукалое, А.В. Кутергин
Пермский государственный технический университет
mr_aa@mail.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Получены новые точные аналитические решения задач о равновесии полых и составных толстостенных тяжелых трансверсально-изотропных сфер и ортотропных цилиндров, жестко закрепленных по внутренней или внешней поверхности и находящихся под действием равномерного и/или неравномерного внешнего или внутреннего давления. В качестве примера проанализировано влияние геометрии монолитных железобе -тонных крепей цилиндрических и сферических горных выработок, свойств железобетона и окружающего массива осадочных пород на распределения напряжений и перемещений в поперечных сечениях, проведена оценка начальной прочности на основе многокритериального подхода, учитывающего различные механизмы разрушения от растяжения или сжатия в радиальном, окружном и осевом направлениях и поперечного и антиплоского сдвига, характерные для анизотропных тел с центральной и осевой симметрией.
Ключевые слова: тяжелые анизотропные сферы и цилиндры, равномерное и/или неравномерное внешнее или внутреннее давление, точные аналитические решения, монолитные железобетонные крепи цилиндрических и сферических горных выработок, многокритериальная оценка начальной прочности.
Потребность в решении задач для тяжелых анизотропных сферических и цилиндрических тел обусловлена широким спектром приложений в различных отраслях промышленности, строительстве, геологии, на предприятиях нефте-газо-химического комплексов. Примерами могут служить задачи геомеханики хранения и добычи полезных ископаемых (монолитные крепи горизонтальных горных выработок), промышленного и дорожного строительства (конструкции и сооружения неглубокого залегания: реагентопроводы химических производств, пульпопроводы, облицовки туннелей), при решении которых необходимо учитывать центральную и осевую симметрию, равномерно и/или неравномерно распределенное внешнее и/или внутреннее давление. Получение новых аналитических решений важно и актуально для разработки инженерных методов уточненного прочностного анализа, для тестирования численных алгоритмов решения более сложных задач, в которых отдельные элементы конструкций и сооружений имеют аналогичную геометрию и граничные условия, а также для отработки методик эксперимента с тяжелыми телами простейшей геометрии.
Получены новые точные аналитические решения задач о равновесии полых и составных толстостенных тяжелых трансверсально-изотроп-
ных тел с центральной симметрией [1] и ортотропных тел с осевой симметрией [2], жестко закрепленных по внутренней или внешней поверхности и находящихся под действием равномерного или неравномерного внешнего или внутреннего давления. При интегрировании неоднородной системы уравнений Ламе в цилиндрических и сферических ортогональных координатах метод разделения переменных позволил понизить размерность задачи, а использование обобщенных степенных рядов — записать частное решение. Из полученных решений в частном случае следуют выражения для напряжений, деформаций и перемещений в точках полых и составных тяжелых изотропных сфер и цилиндров с аналогичными граничными условиями [3, 4].
Рассмотрена задача о равновесии тяжелого железобетонного цилиндра (у = 40 кН/м3, Е =
= 4-105 МПа, Евв = 8-105 МПа, Е = 5.33-105 МПа,
7 00 22
Оа = 5.65-105 МПа, ц = 0.15, ц = 0.075 и ц 0 =
Г0 ' Г 0Г ' Г Г2 Г 20
= 0.375) (р1 = 3.0 м и р2 = 5.5 м), находящегося на грунтовом основании. Площадь контактной поверхности предполагалась известной и неизменной, а реакция основания считалась заданной в виде квадратичной функции (на части внешней поверхности тела, не имеющей общих точек с основанием, принималась равной нулю), на которую налагалось условие равенства ее интегральной
1832
А.А. Фукалов, А.В. Кутергин
суммы весу конструкции. Это предположение позволило записать граничные условия для определения постоянных интегрирования частного решения, на основе которого были проанализированы распределения полей перемещений (рис. 1) и напряжений в поперечных сечениях горизонтальных монолитных железобетонных цилиндров, нижняя половина которых вкопана в грунт.
Рассмотрена монолитная железобетонная (Е = 40.0 ГПа, Е = 25.0 ГПа, С = 11 ГПа, V = = 0.075, V = 0.15, у = 40 кН/м3) крепь сферической
горной выработки и окружающий массив осадочных горных пород (Е = 55.0 ГПа, Е = 23.0 ГПа, С = 29 ГПа, V = 0.29, V = 0.32, у = 27 кН/м3) как единая механическая система, проанализировано влияние геометрии сооружений и свойств материалов на распределения независимых инвариантов тензора напряжений сферически трансвер-сально-изотропного тела [5] в поперечных сечениях вдоль меридиональной и обезразмеренной радиальной координаты р = (р - Р1) /(р2 -Р1) (рис. 2), проведена оценка начальной прочности
Рис. 1. Распределение радиальных (и, 10 6 м) и окружных (V, 10 6 м) перемещений в монолитном железобетонном цилиндре на внутренней, внешней и срединной поверхностях
Рис. 2. Распределение инвариантов тензора напряжений на закрепленной внешней свободной от агрузок внутренней ) и контактной ) поверхностях (р1 = 3.1 м, р2 = 4.3 м )
Точные аналитические решения задач о равновесии упругих анизотропных тяжелых тел 1833
на основе многокритериального подхода, описывающего различные механизмы разрушения, и определены области, где это разрушение может быть инициировано.
Список литературы
1. Зайцев А.В., Фукалов А.А. Упругое равновесие тяжелой трансверсально-изотропной толстостенной сферы с жестко закрепленной внутренней поверхностью // Вестник Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. №5(21). С. 85-95.
2. Зайцев А.В., Кутергин А.В. Упругое равновесие
тяжелых горизонтальных и вертикальных ортотропных цилиндрических тел // Неравновесные процессы в сплошных средах: Матер. Всероссийск. конф. молодых ученых. Пермь: Изд-во ПГУ, 2009. С. 107-110.
3. Кожевникова Л.Л. и др. Аналитическое исследование упругого равновесия полой сферы, жестко закрепленной по внешнему контуру // Пробл. прочности. 1974. №9. С. 20-23.
4. Кузнецов Г.Б. Упругость, вязкоупругость и длительная прочность цилиндрических и сферических тел. М.: Наука, 1979. 112 с.
5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984. 336 с.
EXACT ANALYTICAL SOLUTIONS TO PROBLEMS OF THE EQUILIBRIUM STATE OF ELASTIC
ANISOTROPIC HEAVY CENTRAL AND AXIAL-SYMMETRIC BODIES AND THEIR APPLICATIONS
A.A. Fukalov, A V Kutergin
New exact analytical solutions to problems on equilibrium state of hollow and combined thick-walled heavy transversally-isotropic spheres and orthotropic cylinders, which are fixed on the interior surfaces and are subject to the action of uniform and/or nonuniform internal or external lateral pressure, are obtained. As an example, the influence of geometry of concrete monolithic cylindrical and spherical mine working supports, the properties of reinforced concrete and the sedimentary rock mass surrounding minings on the distribution of stresses and displacements are analyzed. The estimation of an initial strength is carried out on the basis of a multicriteria approach taking into account various fracture mechanisms (i.e. damage from tension or compression in radial, hoop and axial directions, and from transversal and anti-plane shear) of anisotropic axial- and central-symmetric bodies.
Keywords: heavy anisotropic spheres and cylinders, uniform and/or nonuniform internal or external lateral pressure, exact analytical solutions, reinforced concrete monolithic cylindrical and spherical mine working supports, multicriteria estimation of an initial strength.
