Термоупругость микрополярных ортотропных тонких оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

2013 Механика № 3

УДК 539.3

С.О. Саркисян, А.Ж. Фарманян

Гюмрийский государственный педагогический институт им. М. Налбандяна, Гюмри, Республика Армения

ТЕРМОУПРУГОСТЬ МИКРОПОЛЯРНЫХ ОРТОТРОПНЫХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

Рассматриваются трехмерные уравнения и граничные условия невзаимосвязанной термоупругости микрополярных ортотропных тел с независимыми полями перемещений и вращений. Принимая во внимание качественные стороны поведения асимптотического решения граничной задачи трехмерной микрополярной термоупругости в тонкой области оболочки, сформулированы адекватные кинематические и статические гипотезы для построения прикладной двумерной теории термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений. Принятые кинематические гипотезы представляют собой обобщение на микрополярный случай кинематических гипотез Тимошенко. Что касается статических гипотез, то наряду с принятой в теории тонких оболочек гипотезой о нормальном напряжении, действующем на площадках, параллельных площадкам исходной поверхности, сформулированы некоторые другие предположения, которые созвучны асимптотической теории. Для температурной функции принята гипотеза о ее линейном распределении по толщине оболочки.

На основе принятых достаточно общих предположений построена прикладная теория термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений. Теории термоупругости микрополярных ортотропных тонких стержней и пластин с независимыми полями перемещений и вращений будут исследованы как частные случаи теории оболочек.

Ключевые слова: микрополярная упругость, ортотропный материал, тонкая оболочка, температурные напряжения, общая теория.

S.H. Sargsyan, A.J. Farmanyan

Gyumri State Pedagogical Institute, Gyumri, Republic of Armenia

THERMOELASTICITY OF MICROPOLAR ORTHOTROPIC THIN SHELLS

Three dimensional equations and boundary conditions of non-interacted thermoelasticity of micropolar orthotropic bodies with free fields of displacements and rotations are studied. Taking into consideration qualatative aspects of asymptotic solution of boundary-value problem of threedimensional micropolar thermoelasticity in thin domain of the shell, adequate kynematic and static hypotheses are formulated for the construction of applied two-dimensional theory of thermoelasticity of micropolar orthotropic thin shells with free fields of diaplacements and rotations. Accepted kynemathic hypotheses are Timoshnenko's kynemathic hypotheses generalized for micropolar case. Beside of the hypothesis of normal stresses, accepted in theory of thin shells, some static assumptions are formulated

which are conformable to asymptotic theory. For temperature function assumption of its linear distribution by shell thickness is accepted.

On the basis of the accepted generalized hypotheses applied theory of thermoelasticity of micropolar orthotropic thin shells with free fields of displacements and rotations is constructed. Theories of thermoelasticity of micropolar orthotropic thin bars and plates with free fields of displacements and rotations are obtained as private cases.

Keywords: micropolar elasticity, orthotropic material, thin shell, temperature tension general

theory.

В работе [1] изложены термодинамические основы классической термоупругости изотропных тонких оболочек, общие теоремы и методы решения статических и динамических задач термоупругости оболочек при различных способах нагрева. В работе [2] представлена классическая теория термоупругости ортотропных тонких оболочек с учетом деформаций поперечнего сдвига. В работах [3-5] изложены основы трехмерной термоупругости микрополярного изотропного тела. В работах [6-8] на основе метода гипотез, имеющих асимптотическое подтверждение, построена общая теория микрополярных упругих тонких пластин и оболочек. В работе [9] изучены асимптотические свойства решения краевой задачи микрополярной термоупругости в области тонкой оболочки, в работе [10] сформулированы адекватные гипотезы и построена общая прикладная теория термоупругости микрополярных изотропных оболочек.

1. Постановка задачи

Будем рассматривать микрополярные упругие ортотропные тела типа оболочек. Деформация их рассматривается под действием поверхностных силовых и моментных нагрузок и неравномерного температурного поля. Трехмерные исходные соотношения термоупругости для микрополярных ортотропных тел включают [3-5, 11]:

- уравнения равновесия

д (и \ д / \ д( \ дИ, дИ, дИ -

----[И,- а,—---(И а н------(ИИ,. а3,н--- а, + И —- а,3-- а = 0,

даЛ 1 ' да Л 1 ' да3 ' да, 1 да3 dai

-дгИИ 20,3 )+д-(И,а2,) + д-{И1И20 33,)-И 2 ^ а„ - И, а 22 = 0,

да1 да2 да3 да3 да3

д (—*-)+т^(ии-^)+1т»- + <1л>

\ Н J \ 1~ 11 J \ I 31 f

да,. да, да 3 да,

* J J

дИ дИ, ... , ч

+И- да; ^- ют+(-1) ИИ- И3 --=0

5 (Н#13 )+-^(я,|^ )+-^(Я_Лз) —И2 |_- - _ !_ | 22 +

-“•> \ 2~ 13/ \ 1” 23/ -“•> \ 1 2~ 33/ 2 -“•> ~ 11 1 -“•>

да, да 2 да 3 да3 да 3

+И1 ' И2 (°12 — °21 ) = 0;

- геометрические соотношения между компонентами тензора де-

формации {у*}, тензора изгиба-кручения {х*} и компонентами вектора перемещения {^1,и вектора независимого поворота

{ш1,ш2,ш3}:

1 5у. 1 д_. 1 д_. ду3

У11 = Иг да. + И гИ] да/1 + Иг да3У’ У33”503’

у =^.^—_И_^.уг +(—1уЮ3’ у.3 =^—+(—1ую * ,

1 Иг даг И _даг ; 3 3 Иг даг Иг да3 1 у ' ]

г г г ] ] г г г 3 /л

(1.2)

сУ. , .у 1 дю. 1 дИг. 1 д_

У 31 =— +(—1)® у, Хгг=-------------------------+---------^ у +---г-®3,

г да^ ’ 1 И г даг И1И] да}. 1 И г да3 3

дю3 1 дю. 1 дИ ■ дю . 1 дю3 1 дИ.

х“=з07’ х *==аат’ ь =_гагнааТ" ;

- соотношения закона Гука для микрополярного ортотропного материала (обобщенные на случай воздействия температурных полей с применением гипотезы Дюамеля-Неймана)

Уп = ^11^11 + «12° 22 + «13°33 + О100’ У 22 = «21°11 + «22° 22 + «23° 33 + 0 20®,

У33 «31°11 + «32°22 + «зз°з, + аз®0, У 23 «44°23 + «45°32 ’

У 32 = «45°23 + «55°32’ У13 = «56°31 + «66°13’

У 31 = «65°31 + «56°13’ У12 = «77°12 + «78°21’ (13)

У21 = «78°12 + «88°21’ Х11 = ^11^11 + ^12^22 + Ь13|33’

Х22 = Ь12|11 + Ь22^ 22 + Ь23|33’ Х33 = Ь31|11 + Ь32^ 22 + Ь3зМз3’

Х 23 = Ь44^ 23 + Ь45|32 ’ Х32 = Ь45^ 23 + Ь55^32’ Х13 = ^56^31 + Ь66|13’

Х31 = ^65^31 + Ь56|13’ Х12 = Ь77112 + Ь78^21’ Х21 = Ь78^12 + Ь88^21.

Здесь а , и - соответственно компоненты силового и моментного

^ тП г тп

тензоров напряжений; атп, Ътп - упругие постоянные микрополярного ортотропного материала; а10, а20, а30 - коэффициенты линейного температурного расширения в направлениях координатных линий; 0 -температурная функция, отсчитываемая от температуры исходного не-деформированного состояния. Предполагается, что в области тела-оболочки наперед решена краевая задача теплопроводности и задано распределение температурной функции 0; ап (п = 1,2,3) - криволинейные ортогональные координаты, принятые в теории оболочек [12].

К определяющим уравнениям (1.1)—(1.3) трехмерной термоупругости микрополярного тела-оболочки присоединим соответствующие граничные условия.

На лицевых поверхностях оболочки примем граничные условия первой граничной задачи микрополярной упругости

азг = ±Ч±, азз = ±0± > Мз; =±т± > М33 =±тз±. (14)

На поверхности края оболочки Е будем рассматривать три основных типа граничных условий: 1) когда заданы силовые и момент-ные напряжения; 2) когда точки поверхности Е закреплены; 3) когда заданы трехмерные смешанные условия типа шарнирного опирания.

Будем предполагать, что толщина оболочки 2И весьма мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки.

2. Исходные допущения (гипотезы)

Учитывая качественные результаты асимптотического решения системы уравнений (1.1)—(1.3) с указанными выше граничными условиями [9], в основу предлагаемой теории термоупругости микрополяр-ных ортотропных тонких оболочек ставим следующие гипотезы:

1. В процессе деформации первоначально прямолинейные и нормальные к срединной поверхности волокна свободно поворачиваются в пространстве как жесткое целое на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярным к деформированной срединной поверхности.

Принятую гипотезу математически можем записать так: тангенциальные перемещения и нормальный поворот распределены по толщине оболочки по линейному закону

V = ui (а1, а2) + а3у; (а1, а2), ; = 1,2,

ш3 =03 (а1, а 2 ) + а3г(а1, а 2),

(2.1)

а нормальное перемещение и тангенциальные повороты не зависят от поперечной координаты а;, т. е.

К3 = w(а1за2), шг = Ц. (а17а2), ; = 1,2. (2.2)

Отметим, что с точки зрения перемещений принятая гипотеза ((2.1), (2.2)) по сути дела совпадает с кинематической гипотезой Тимошенко в классической теории упругих оболочек [13, 14]. Гипотезу (2.1), (2.2) в целом назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошенко в микрополярной теории оболочек.

2. Силовым напряжением а33 в обобщенном законе Гука (1.2) для уй можно пренебречь относительно силовых напряжений а и, аналогично моментным напряжением м3; в обобщенном законе Гука (1.2) для х;3 можно пренебречь относительно моментного напряжения МгЗ.

3. При определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений сначала для силовых напряжений а3; и моментного напряжения м33 примем

0 0

а

а3; (а1>а 2), М33 М33 (а1>а 2) (; 1,2). (23)

После вычисления указанных величин значения а3; и м33 окончательно определим прибавлением к значениям (2.3) соответственно слагаемых, получаемых интегрированием первых двух или шестого уравнений равновесия из (1.1), для которых потребуем условия, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю.

4. Величинами — по сравнению с единицей можно пренебречь.

Кг

5. Принимаем, что температура по толщине оболочки меняется по линейному закону, а именно

0 = 0о (а, а2 ) + -О-3А0(а1, а2), (2.4)

где

00 = 2 (0++0-), А0 = 0+ - 0-, (2.5)

0+(а17 а2) и 0-(а17 а2) - температура соответственно на внешней (а3 = И) и внутренней (а3 = -И) поверхностях оболочки.

3. Определение деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений

В соответствии с принятым законом распределения перемещений и свободных поворотов (2.1), (2.2), подставляя их в геометрические формулы (1.2) и сохраняя в выражениях только линейные члены по а3, находим

Уй =Г (аl, а2 )+а3К„ (аl, а2 ) , У33 = 0 (3 1)

Уу = Гу +а3Ку , У;3 =Г;3 (аl, а2 ), У3; =Г3; (аl, а2 ),

Хй = ^(аl, а2 ), Х33 = к33 (аl, а2 ) , Ху = кг, (аl, а2 ) , (32)

Х3; = 0, Х;3 = кг3 (а1, а2 ) + а3^13 (а1, а2 ),

где

Г,((а„ а 2 ) = ± ди-(а- а 2) +-^ дЛ-и/ (а,, а,)+.

А да( ЛЛ, 5а, Л 1 2) Я

* * * ] ] *

К ( ) 1 д^(а1,а2) , 1 дЛ ( )

К,, (а,, а2) =------- ------ +------------ш, (аъа2),

(( V 15 2/ л л /( я™ 15 2' ’

да ( ЛЛ, 5а,

* * У У

Г, К а2 Ч= ^ ^ ( 7 а2 ^ - А^А"( а2 ) + (-1) 1 ( а2 ч

( 3 3

К ( ) 1 3 (а1’а2) 1 дЛ( ( ) , ( 1 ( ) (3 3)

К(3 (а1. а 2 )= Л---я-ЛЛ д^Шс(а1, а 2 ) + (-1) Ча1, а2 ) (33)

Л да( АЛ3 да3

Г(3 (а1, а2) = -и + (-1)3 □ 3 (а1, а2),

Г3( (а1. а2 ) = Ш (а1, а2 ) + (-1) ^3 (а1’ а2 ) .

да.

Я

к33 =г(а1,а2)> ку = -1 ^а2) -—^^п.-(а—,а2),

у А{ да

1 д03 1

А А да.

; ] ]

кг 3 =

А. да. Я.

—Б"°«-(<х1’а 2),

1 дг(а1, а2) 1 дм (а1, а2) ui (а1, а2)

1.3 = , Ц = .

да

да

Я

Здесь Г..,Гу - компоненты тангенциальной деформации, характеризующие деформацию срединной поверхности; величины К.., Ку, к.., ку -

характеризуют изгибную деформацию и скручивание срединной поверхности; Г.3, Г3. - поперечные сдвиги; к.3, к3. - изменение кривизны

и кручений в нормальных к срединной поверхности плоскостях; 1.3 -

гиперкривизны или гиперкручения.

На основе обобщенного закона Гука (1.3) (имея в виду также гипотезы 2)-5)) для силовых и моментных напряжений получим

0 1 0 1

а.. = а.. (а—, а2) + а3 а(а—, а2), а33 = а33 (а—, а2) + а3 а33 (а—, а2),

0 1 0 а .у =а .у (а1, а2 ) + а3 а.у (а1, а 2), а„ = а.3 (а1, а2), (3.4)

= а3. (а1, а 2) + а3 а3. (а1, а 2) + —

а2 -

И2

а3. (а1, а 2),

и

^ = ^.-.- (а1, а2 )

0 1 1 ^33 = Д33 (а— , а2) + а3 Д33 (а— , а2) + ^

а 2 -

И

2

А

Д33 (а1, а2 ) ,

Му = Му (Х1, Х2 ) , Мз.' = Д3. (аl, Х2 ) + Х3 Д3. (Х1, Х2 ) , 0 1 Д.3 = Д.3 (а1, а2 ) + а3 Д.3 (аl, а2 ) ,

(3.5)

где

азе (а1з а2) = -

ЛЛ, 5ае ЛЛл 5а,

* 3 * * У У

1 дЛ

1 5а о

а у а,з + а 33,

АА 5а , 3 Я АА да(

( 3 3

аз, (а1, а2) =

1 5А 1

АЛ, 5а,

( З 3

1 дЛ, і

а(з + ^ азз

АА да е

азз (а1з а 2) = —-1

5І А1 а2з

А1Л2 5а1

А1Л2

1 0 1 0 4+ + чз

+—ап+—а 22 — з з

Я

Я

2И

(з.6)

азз (а1з а 2) =

Чз - Чз

Дз, (а1.а2 ) =

т( - т і

Дзе (а1. а2 ) = -

д| А Дее

д| Ае Д з ,

1 дЛ

АА 5ае

АЛ, 5а,

( 3 3

-Дез

АА, да /у ( 3 3

1 дА,

0

т + т(

(з.7)

1

Дзз (а1, а2 ) = -

3д,,-(-1)31 азз-азз 1 =--------

Я ЛА3 да, 33 ' V і 2й

1 ^А-Д" ^ 1 0(4Дв )+Я + ІІЯ.-Га„-а„ ],

А1А 5а1 Л Л2 5а 2 Я1 Я2 V

Дзз (а1, а2 )

1 51 Л2 Д1з I 1 51 А1 Д2з

А1Л2 5а1 А1А 5а 2

1 1 -1 а12 - а21

Кроме того,

0

ап =

а

Г—— -

2 А 11 2 22 а11а22 а12 а11а22 а12

Х19 ‘ а22 Х29а12

V а11а22 - а12 J

•(

ап =

а.

22

К -

а—

12

К, -

2 11 2 22 а11а22 а12 а11а22 а12

Х19 • а22 Х 29а12

V а11а22 - а12 J

0

а22 =

а

12

г— +-

а

Г -

X оо

2 11 2 22 а11а22 - а12 а11а22 - а12

С а—9 • а—2 +Х29а11 ^ V а11а22 - а12 J

•9

а 22 =

а

К +-

а

К-

2 “П 1 2 22

а11а22 - а12 а11а22 - а12

С а—9 • а22 + а29а— — ^

V а11а22 - а12 J

а

а23

-Г --

х ои

а

2 23 2 32’

а44а55 а45 а44 а55 а45

0

а32 =

а44 Г______________а45 Г

2 32 2 23’

а44а55 а45 а44 а55 а45

а<

а13

Г-

а

2 13 2 315

а55аб6 а56 а55аб6 а56

0

а31 =

0

а12 =

а66 Г______________а56 Г

~ 2 31 ~ 2 135

а55а66 а56 а55а66 а56

а8

а

78

2 12 2 215

а77а88 а78 а77а88 а78

а12 =

0

а21 =

а88 К______________а78

2 12 2 “215

а77 а88 а78 а77 а88 а78

К2

а

77

Г

а

78

2 21 2 125

а77 а88 а78 а77 а88 а78

а = а77 К_____________а78

а21 = 2 К 21 2 “125

а77 а88 - а78 а77 а88 - а78

К1

и =А—— к | А—2 к | А—3 к

А А 22 А 33 5

А1

А

А2

А

и — ‘~*12 к + ^ 22 к | 23 к ^22 л Л11 ~ л 22 л л33’

А2

А

1 (3.8)

О ,

(3.9)

(3.10)

(3.11)

0

Мзз =

Аз к + ^3 к ,^зз к

д Л11 “ Д 22 Д л33э

М-12

Ь77Ь88 Ь78

2 к12

78

Ь77Ь88 Ь78

Ь77Ь88 Ь78

к21

2 21

0 = 2. к

Д13 , к13,

Ь66

0 - _и

Д23 7 к23,

Ь

44

Ь77Ь88 Ь78

1 =

Д13 , *13,

Ь66

1 =

Д23 1 *23 •

2 12’

Ь

44

(312)

(313)

где

Д-

Ь11 Ь12 Ь13

Ь12 Ь22 Ь23

Ь13 Ь23 Ь33

(314)

а Дп,Д12,а13,а22,а23,а33 - соответствующие алгебраические дополнения в детерминанте Д.

4. Математическая модель термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек

С целью приведения трехмерной задачи микрополярной термоупругости к двумерной, что уже выполнено для перемещений, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в теории микрополярных упругих оболочек вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений вводим статически эквивалентные им интегральные характеристики-усилия Тг, 5^., Ы13, , моменты

Ыи, Н ., , Ь., Ьг3, Ь33 и гипермоменты Лг3, которые с учетом предпо-

ложения 4) выражаются следующим образом:

НИ к

Т = I Ма3, .аз, N,3 = | аг-3^аз,

- к

п п п

N3г = | °3г ^а3, Мгг = | а3°й^а3, Н . = | °3.а3

п п п

4-|Ма 3, Ь = |.а 3, Ь33 = |Д 33ё а

- к - к - к

Н к

Ь,3 - | д,3ёа3, Л,3 - | аа3.

(4.1)

Имея в виду относительно а3 качественные стороны поведения искомых функций, удовлетворяя граничные условия (1.4) на лицевых поверхностях оболочки и перейдя к усредненным величинам, получим математическую модель термоупругости микрополярных ортотропных тонких оболочек.

Основная система уравнений термоупругости микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так:

- уравнения равновесия

1 дТ 1 дЛ,

А да, ЛЛ. даг

(т - Т.) +

V г г , )

1_ д, + _1_ дА_

Л, да . АЛ, да,

Т,+5,)+м=-(++ м).

Я

1 дМ,, 1 дЛ,

4 даг 4Л; даг 1 _дЛ + М да;

± Н.

Л, да,

Т + Н,)-м,, -- н (+ + <?,т),

1

Т11 + Т22_____________

Я Я2 Л1Л2

1 дЬ 1 дЛ,

д( Л2 N13) + дТЛ^'

да1 да 2

Л, да, Л, Л, да,

Т -

(4.2)

Я

+ (-1- Т,3 -м3,)--(т+ + щ),

Ь11_ + _Ь22

1

Я Я, Л1Л2

1

д(Л2Ь13 ) , д(Л1Ь23 )

да1

да2

(512 521 ) т3 + т3 ,

Ь33

Л1Л2

д(Л2Л13 ) + д(Л1Л23 )

да1

да2

(Т12 Н21) Нт ^3 );

- физические соотношения упругости

Т = С Г + С Г - Т Т = С Г + С Г - Т

-*11 11 11 12 22 -4105 22 12 11 22 22 ^220’

Ми = + ^12К22 — М110 , М 22 = О12К11 + О22К22 — М220 ,

^ = С Г + С Г ^ = С Г + С Г N = С Г + С Г

12 77 12 78 21’ °21 78 12 88 21’ -'43 ^66х 13 ^ ^56х 31’

^ 23 = С44Г 23 + С45Г 32, ^ 31 = С56Г13 + С55Г 31, ^32 = С 45Г 23 + С55Г 32,

Н12 = О77К12 + О78К21> Н21 = О78К12 + О88К21> (43)

Ьц = ёцкц + ^12^22 + ^13к33> Ь21 = ^12к11 + ^22 к22 + ^23к33>

Ь33 = ^13к11 + ^23к22 + ^33к33, Ь12 = ^77 к12 + ^78к21> Ь21 = ^78к12 + ^88к21>

-^13 = ^66к13, Ь12 = ^77 к12 + ^78к21, Л13 = ^66113, Л 23 = ^ 44123,

где

а

С = 2й______________________________________________________________________—_ С = —2й-—- С = 2й_

^11 2 ’ ^12 2 ’ 22 2

а11 а22 — а12 а11а22 — а12 а11а22 — а12

С = 2 й___________—__________ С =—2 й----------^78------ С = 2й___________________________

7^ ^ 2 5 78 2 ’ 88 2

а77 а88 — а78 а77 а88 — а78 а77 а88 — а78

а11а22 а78 2 а12

а77 а88 а56 а 2 оо

2

1 6 6 а 5 5 а 5 6

, а66

С = 2й_____________________________—__ С = —2й--------56------ С = 2й____________-55_________

^66 ~ 2 > ^56 ~ 2 > 44 2

<%55 а66 — а56 <%55а66 — а56 а44 а55 — а45

С =— 2й------------------------45------ С = 2й__________________________________________________________________-66_ С = 2 й_—_

'‘-'45 2 ’ 55 - 2 ’ 55 ^ 2

а Л лаСС а*£. а Л лаСС а/1

44 55 45 55 66 56 44 55 45

О77 = 2й! __а!—__ _ О78 = 2й! ^ 2 , В,8 = ^ ^ 2 (4.4)

3 а88 а78 3 ^_я77^_88 ^а^8 3 ^а88 ^_~і8

о = _2й_______________а88 О =— -2й__________а78 О = —__________а77

^11 -^''75 •>

77 3 2 ’ 78 3 2 ’ 88 3 2

3 а77а88 а78 3 ^а7788 ^а78 3 ^а7788 ^а78

ёп = 2й ё12 = 2 й ё13 = 2й ^ ё22 = 2й ^ d23 = 2й ^,

А А А А А

/ = 2й А33 ё77 = 2й------------——— й78 = —2й----------———, ё88 = 2й-------——2

33 — ’ 77 А А Д2 ’ /8 7 7 7 2 ’ 88 7 7 7 2

А Ь77Ь88 — Ь78 Ь77Ь88 — Ь78 Ь77Ь88 — Ь78

d = 2h 1 d = 2h 1 л = 2h j . = 2h3 l d 66 — 2h 7 ’ d 44 — 1 , Л 66 — - 4 Л 44 —

7 ' 44 7 ' 66 -*> 7 ' 44 7 '

b66 44 3 b66 3 b44

T — 9^ а10a22 — a20Д12 0 T — a20Д11 — а10Д12 0 J110 _ Z/7 2 W0> J220 _ z'' 2 '“'oj

a11a22 — a12 a11a22 — a12 (4 5)

MM — a10a22 — a20a12 0 MM — a20a11 — a10a12 0

iW110 _ - 2 W1> iW220 _ - 2 23 ana22 — a12 3 ana22 _ a12

К уравнениям равновесия (4.2) и соотношениям упругости (4.3) необходимо присоединить геометрические соотношения (3.3).

Представим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией a1 — const [7, 8]:

Tjj — Tj*j или u1 — u*, S12 — S* или u2 — u*, N13 — N*

или w — w*, Mn — M11 или

K11 — 4^ H12 — H12 или K12 — L11 — 4*1 или K11 — Km (46)

L12 — L12 или K12 — K12 , L13 — L13 или K13 — K*3 , Л13 — ЛВ или 4 — 4 .

Система уравнений (4.2), (4.3), (3.3) и граничные условия (4.6) представляют математическую модель термоупругости микрополярных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений.

Система уравнений (4.2), (4.3), (3.3) термоупругости микропо-лярных ортотропных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений представляет собой систему диференциальных уравнений 18-го порядка с девятью граничными условиями (4.6) на каждом из контуров срединной поверхности оболочки Г. Это система из 52 уравнений относительно 52 неизвестных функций

W , W, Vi, Ц , ^ I, V, 4 , S j , N3 , N3i, Мгг, Hj , 4 , Lj , L33 , Лг3 , Гй , Г j , Гг3 ,

Г3г, Кг г, Kj , К , kj , k 3, h 3.

Если в системе уравнений (4.2), (4.3), (3.3) перейти к плоскому

случаю

тогда получим модель термоупругости плоского на-

праженного состояния и модель термоупругости изгибной деформации микрополярных ортотропных тонких пластин.

Библиографический список

1. Подстригач Я.С., Швац Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. -Киев: Наукова думка, 197В. - 344 с.

2. Швец Р.Н., Лунь Е.И. Некоторые вопросы теории термоупругости ортотропных оболочек с учетом инерции вращения и поперечного сдвига // Прикладная механика. - 1971. - Т. 7, № 10. - С. 121—125.

3. Новацкий В. Моментные напряжения в термоупругости // Прикладная механика. - 1967. - Т. 3, № 1. - С. 3-17.

4. Nowacki W. Couple-stresses in the theory of thermoelasticity // Irreversible aspects of continuum mechanics and transfer of physical characteristics in moving fluids. IUTAM Symposia. - Vienna, l966. Ed. H. Parkus, L.I. Sedov. Springer-Verlag. Wien; New York, 1966. - P. 259-27В.

5. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. - Pergamon Press. Oxford. New York. Toronto. Sydney. Paris. Frankfurt, 1986. - 3В3 p.

6. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик // Прикладная механика и техническая физика. - 2012. -Т. 53. - Вып. 2. - С. 148-155.

7. Саркисян С. О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Физическая мезомеханика. - 20ll. - Т. 14, №1. - С. 55-66.

В. Sargsyan S.H. Mathematical models of micropolar elastic thin shells // Advanced structured materials. Shell-like structures. Non-classical theories and applications. Springer. - 20ll. - Vol. 15. - P. 91-100.

9. Sargsyan S.H. Termoelasticity of thin shells on the basis of asymmetrical theory of elasticity // Journal of thermal stresses. - 2009. - Vol. 32. -No. 6. - P. 791-818.

10. Саркисян С.О. Термоупругость микрополярных тонких оболочек // Актуальные проблемы механики сплошной среды: c6. науч. тр. междунар. конф. 8-12 октября 2012. Цахкадзор. Армения. - Ереван: Изд-во Ереван. гос. ун-та архитектуры и строительства. - 20l2. -С.184-189.

11. Iesen D. Torsion of anisotropic micropolar elastic cylinders // ZAMM. - 1974. - Vol. 54. - No. 12. - P. 773-779.

12. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. - М.: Гос. изд. техн. теорет. лит., 1953. - 544 с.

13. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. - Киев: Наук. думка, 1981. - 544 с.

l4. Подстригач Я.С., Пелех Б. Л. Термоупругие задачи для оболочек и пластин с низкой сдвиговой жесткостью // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1970. - Вып. 10. - С. 17-23.

References

1. Podstrugach Ya. S., Shvac R.N. Termouprugost tonkikh obolochek [Thermoelasticity of thin shells]. Kiev: Naukova dumka, 1978, 344 p.

2. Shvec R.N., Lun E.I. Nekotorie vaprosi teorii termouprugosti orto-tropnix obolochek s uchotom inercii vrasheniya I poperechnovo sdviga [Some problems of theory of thermoelasticity of orthotropic shells with consideration of rotation inertia and transverse shear]. Applied mechanics, l97l, vol. 7, no. 10, pp. 121-125.

3. Nowacki V. Momentnie naprajeniya v termouprugosti [Moment stresses in thermoelasticity]. Applied mechanics, l967, vol. 3, no. l, pp. 3-l7.

4. Nowacki W. Couple-stresses in the theory of thermoelasticity. Irreversible aspects of continuum mechanics and transfer of physical characteristics in moving fluids. IUTAM Symposia.Vienna, 1966. Editors H.Parkus, L.I.Sedov. Springer-Verlag. Wien; New York, 1966, pp. 259-278.

5. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Pergamon Press. Oxford. New York. Toronto. Sydney. Paris. Frankfurt, 1986, 383 p.

6. Sargsyan S.H. Matematicheskaya model mikropolyarnix uprugikh tonkikh plastin I osobennosti ikh prochnostnikh i joskostnikh xarakteristikh [Mathematical model of micropolar elastic thin plates and features of strength and rigidity]. Applied mechanics and technical physics, 2012, vol. 53, no. 2, pp.l48-l55.

7. Sargsyan S.H. Obshaya teoriya mikropolyarnix uprugix tonkix obolochek [General theory of micropolar elastic thin shells]. Physical me-somechanics, 20ll, vol. 14, no. l, pp. 55-66.

8. Sargsyan S.H. Mathematical models of micropolar elastic thin shells. Advanced structured materials. Shell-like structures. Non-classical theories and applications. Springer, 20ll, vol. 15, pp. 91-100.

9. Sargsyan S.H. Termoelasticity of thin shells on the basis of asymmetrical theory of elasticity. Journal of Thermal Stresses, 2009, vol. 32, no. 6, pp. 791-818.

10. Sargsyan S.H. Termouprugost mikropolyarnikh tonkikh obolochek [Thermoelasticity of micropolar thin shells]. Sbornik nauchnykh trudov mezhdunarodnoy konferencii «Aktualnye problemy mehaniki sploshnoi sredy». 8-12 October 2012. Tcaxkadzor. Armenia. Yerevan, 2012, pp. 184-189.

11. Iesen D. Torsion of anisotropic micropolar elastic cylinders. ZAMM, 1974, vol. 54, no. 12, pp. 773-779.

12. Goldenveyzer A.L.. Teoriya uprugikh tonkikh obolochek [Theory of elastic thin shells]. Moscow: Gosudarstvennoje isdatelstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1953, 544 p.

13. Grigorenko Ya.M., Vasilenko A.T. Teoriya obolochek peremen-noy jostkosti [Theory of shells of variable rigidity]. Kiev: Naukova dumka, 1981, 544 p.

14. Podstrigach Ya.S., Pelekh B.L. Termouprugie zadachi dlya obolochek I plastin s nizkoj sdvigavoy joskostu [Thermoelastic problems for shells and plates with low shear rigidity]. Teplovye napryazheniya v e’lementakh konstruktsiy, 1970, vol. 10, pp. 17-23.

Об авторах

Саркисян Самвел Оганесович (Гюмри, Республика Армения) -доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент НАН Армении, заслуженный деятель науки Армении, заведующий кафедрой высшей математики Гюмрийского государственного педагогического института (377526, г. Гюмри, ул. Паруйра Севака, 4, Республика Армения, e-mail: s_sargsyan@yahoo.com).

Фарманян Анаит Жораевна (Гюмри, Республика Армения) -кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по науке и внешним связям Гюмрийского государственного педагогического института (377526, г. Гюмри, ул. Паруйра Севака, 4, Республика Армения, e-mail: afarmanyan@yahoo.com).

About the authors

Sargsyan Samvel Hovhannes (Gyumri, Republic of Armenia) -Ph.D., Doctor of Sciences, Professor, Correspondent-member of NAS RA, Head for Higher Mathematics Chair, Gyumri State Pedagogical Institute (4, Paruyr Sevak st., 377526, Gyumri, Republic of Armenia, e-mail: s_sargsyan@yahoo.com).

Farmanyan Anahit Jora (Gyumri, Republic of Armenia) - Ph.D., Vice-rector on Scientific and International Affairs, Gyumri State Pedagogical Institute (4, Paruyr Sevak st., 377526, Gyumri, Republic of Armenia, e-mail: afarmanyan@yahoo.com).

Получено 16.07.2013