CC BY
23
УДК 551.24.02
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ ГЕОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Борис Тимофеевич Мазуров
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, доктор технических наук, профессор кафедры физической геодезии и дистанционного зондирования, тел. (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail.ru
Геодезические данные об изменении координат точек земной поверхности являются экспериментальной основой понимания картин деформационных полей и причин происходящих в них изменений. Здесь описаны некоторые возможности использования систем дифференциальных уравнений для качественного исследования горизонтальных движений земной поверхности.
Ключевые слова: геодинамические системы, горизонтальные движения, качественное исследование, дифференциальные уравнения.
THEORETICAL BASIS A QUALITATIVE STUDY OF HORIZONTAL MOVEMENTS OF THE GEODYNAMIC SYSTEMS
Boris T. Mazurov
Siberian State University of Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Department of Physical Geodesy and Remote Sensing, professor, Ph. D., tel. (383)343-29-11, e-mail: btmazurov@mail.ru
Geodetic data on changes of coordinates of ground points are the experimental basis of our understanding of the paintings of the strain fields and the causes of their variation. Here are some of the possibilities of using systems of differential equations for the qualitative study of horizontal movements of the earth's surface.
Key words: geodynamic systems, horizontal motion, qualitative research, differential equations.
Несмотря на многочисленные работы и исследования, посвященные изучению движений земной поверхности по данным GPS-наблюдений, горизонтальные движения земной коры на сегодняшний день остаются менее изученными, чем вертикальные. Степень изученности горизонтальных движений проявляется в частности в том, что при наличии значительных объемов результатов геодезических измерений анализ многих из них выполняется в сжатом малоинформативном виде или с помощью методов, аналогичных применяемым для интерпретации вертикальных движений.
Математическое обеспечение исследования горизонтальных движений ввиду их двухмерного описания объективно должно быть значительно расширено за счет использования самых различных методов моделирования.
Например, идет развитие направления в тектонике и геодинамике названное «вихревой геодинамикой» [1-3]. Некоторые примеры распределений векто-
ров горизонтальных смещений земной коры, полученных по геодезическим измерениям на некоторых ГДП Евразии и указывающих на вращательный характер земной поверхности даны в [1, 4-6]. Природные процессы имеют нелинейный характер. Геодезические данные и их последующий статистический анализ в совокупности с геофизическими наблюдениями позволяет выполнять математическое моделирование и идентификацию напряженно-деформированного состояния геодинамических систем в аспекте прогноза природных и техногенных катастроф [7-9]. Результаты исследований могут быть перенесены на геодезический мониторинг различных инженерных сооружений [10, 11].
Здесь описаны теоретические основы некоторых возможностей использования дифференциальных уравнений для качественного оценивания природных процессов, проявляющихся в виде сложных картин горизонтальных движений земной поверхности. Если для представления решений дифференциальных уравнений использовать бесконечные ряды того или иного вида, выявить наиболее существенные и интересные свойства решений очень затруднительно. Существуют приемы и методы, которые позволяли бы, не решая самих дифференциальных уравнений, получать необходимые сведения о тех или иных свойствах решений. Такие методы- они составляют содержание качественной теории дифференциальных уравнений [12].
Рассмотрим автономную динамическую систему на плоскости. Многие задачи механики и физики при упрощающих предположениях приводят к рассмотрению одного дифференциального уравнения второго порядка
В элементах формулы (1) точки над символами обозначают скорость (одна точка) и ускорение (две точки). Вводится новое обозначение х = у. Соответственно, х = у. И уравнение (3) тогда запишется в виде системы двух дифференциальных уравнений
Представление (1) в виде (2) является значительно удобнее для выполнения исследования динамических систем на плоскости. В том числе для исследования геодинамических систем на плоскости, а конкретно на плоскости конформной проекции некоторого участка поверхности Земли. Геодинамические объекты регионального и локального масштаба имеют соответствующее координатное обеспечение геодезических пунктов при исследовании горизонтальных движений земной поверхности.
Более общий вид системы двух дифференциальных уравнений для решения задач написания уравнений движения следующий
х — = 0.
(1)
* = У, У = Ах,у,
(2)
х = Р(х,у^), у = <2(х,у,0-
(3)
Также интересен для практических приложений случай, если исключить в (3) из списка переменных г
х = Щх,у), у = М(х,у).
(4)
Система (4) является автономной динамической системой второго порядка. Она определяет векторное поле и имеет также название динамическая система на плоскости. И вопрос в том, как найти решение динамической системы.
Если математической моделью реальной физической системы является динамическая система вида (4), то с помощью этой системы возможно проследить изменение состояний рассматриваемой реальной системы при изменении времени Задание начальных значений уо, ¿0 однозначно определяет решение для всех значений ? - описывает «прошлое» и «будущее» (экстраполяция, прогноз). Для этого нужно найти решение (проинтегрировать) (4). В большинстве случаев выразить решение системы (4) через элементарные функции или через интегралы от элементарных возможно лишь в случае частных типов этой системы. Например, в случае линейных систем. Но, не каждая физическая система может быть хотя бы приближенно описана линейной системой. Это относится к природным и природно-техническим системам в большинстве случаев. В том числе к геодинамическим системам различных пространственно-временных масштабов.
В случае же нелинейных систем к вопросу нахождения решения можно подойти так: отказаться от отыскания аналитических выражений для решений и, задавая с той или иной степенью точности некоторые начальные значения, приближенно вычислять решения на заданном промежутке значений. При наличии современных информационных технологий такое приближенное вычисление решений для некоторых задач может дать в некоторых случаях необходимый ответ.
Важно также понимать, для многих задач иногда представляет интерес не аналитический вид решения и не приближенное вычисление решений, а, учет состояния равновесия у конкретной динамической системы, и насколько оно устойчиво. В [12] приведены примеры качественного исследования динамической системы. Они могут быть перенесены на исследование геодинамических систем, например горизонтальных движений земной поверхности, техногенных объектов.
Пример 1.
Жх Жг
= 1
Жу
= о.
Траектории - прямые, параллельные оси х
х — 1 + С2-
Пример 2.
йх <Лу ,
= ах, ~ = Ьу- (5)
ш ш
При этом а и Ь одного знака. Решение системы (5) для начальных значений ¿0, хо, у о имеет вид
* = *И'"Ч у = УоеЬ('-'«\ (6)
Отмечаем, что аргументом уравнений системы (6) является / -/0, то есть интервал времени в приложении к геодинамическим системам также.
Если исключить / -/0 в (6), траектории системы (5) возможно получить переходя к декартовым координатам. Траектории будут представлять собой семейство парабол
хЬ/а
У-уо-ьП-
х0
Для случая, когда полагаем х0 ф 0 и с = У^ получаются параболы
х0
у = сх^а и система (5) записывается в виде одного уравнения
сЬс ах Ф Ъу
Интегральными кривыми системы (5) в пространстве (х, у, ^) могут быть не
только параболы, например:
1) ось I, т. е. х = 0, у = 0 (эти уравнения получаются из уравнений (6) при хо = уо =0);
2) показательные кривые
х = у = 0;
3) показательные кривые
* = 0, У = УоеЬ('-'о). Для дифференциальных уравнений
йх йу
— = ~х,— = у (7)
ш Л
и при начальных значениях ¿0, х0, у0 решение системы (7) имеет вид
-(t-to) (t-to)
x = x0e v ÜJ, У = Уое •
Система имеет аналитический интеграл ху = С, которому соответствуют интегральные кривые в виде гипербол.
Приведенные выше примеры интегральных кривых могут быть качественными характеристиками геодинамических систем. Во многих случаях подобные траектории соответствуют горизонтальным движениям земной поверхности в местах активных тектонических разломов, сочленений блоков земной коры. Именно эти места наиболее вероятны в аспекте возникновения сейсмических событий - землетрясений, например. Современные геодезические методы ко-ординатизации предоставляют данные, анализ которых может быть использован для качественного оценивания геодинамических систем локального и регионального масштабов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Мазуров Б. Т Некоторые примеры определения вращательного характера движений земных блоков по геодезическим данным // Геодезия и картография. - 2010. - № 10. -С. 58-61.
2. Кузнецов Ю.И., Мазуров Б.Т., Никитина Ю.В. Математическая модель волноводов в земной коре // ГЕ0-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). - Новосибирск : СГГА, 2008. Т. 3, ч. 1. - С. 86-90.
3. Кузнецов Ю.И., Мазуров Б.Т., Тихонов В.И. Математическая модель вращательных кольцевых структур Земли // ГЕ0-Сибирь-2007. III Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 6 т. (Новосибирск, 25-27 апреля 2007 г.). - Новосибирск : СГГА, 2007. Т. 3. - С. 61-66.
4. Мазуров Б.Т. Поля деформаций Горного Алтая перед Чуйским землетрясением // Геодезия и картография. - 2007. - № 3. - С. 48-50.
5. Дорогова И. Е. Изучение движений и деформаций земной коры на геодинамическом полигоне Таштагольского железорудного месторождения // Вестник СГГА. - 2010. -Вып. 2. - С. 9-12.
6. Мазуров Б.Т., Дорогова И.Е., Дербенев К.В. Горизонтальные движения земной коры вращательного характера, наблюдаемые на геодинамических полигонах // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2012. VIII Междунар. науч. конгр. : Междунар. науч. конф. «Геодезия, геоинформатика, картография, маркшейдерия» : сб. материалов в 3 т. (Новосибирск, 10-20 апреля 2012 г.). - Новосибирск : СГГА, 2012. Т. 1. - С. 232-236.
7. Мазуров Б.Т., Панкрушин В.К., Середович В.А. Математическое моделирование и идентификация напряженно-деформированного состояния геодинамических систем в аспекте прогноза природных и техногенных катастроф // Вестник СГГА. - 2004. - № 9. - С. 30-35.
8. Мазуров Б.Т. Моделирование и идентификация геодинамического объекта в вулканической области по комплексным нивелирным и гравиметрическим наблюдениям // Вестник СГГА. - 2006. - № 11. - С. 84-94.
9. Мазуров Б.Т. Модель системы наблюдений за вертикальными движениями земной поверхности и изменениями гравитационного поля в районе действующего вулкана // Изв. вузов. Горный журнал. - 2007. - № 3. - С. 93-102.
10. Гуляев Ю.П., Хорошилов В.С., Кобелева Н.Н. Построение прогнозной математической модели процесса перемещений плотины Саяно-Шушенской ГЭС (2004-2007 годы) //Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2015. - №4. - С.16-20.
11. Прогнозирование процесса перемещений плотины Саяно-Шушенской ГЭС на этапе эксплуатации 2007-2009 годов / Ю.П. Гуляев и др. // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2015. - №5/С. - С. 23-28.
12. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1990. - 486 с.
© Б. Т. Мазуров, 2016
