CC BY
40
УДК 543.142
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПУЛЬСАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТОПЛИВА В ТИПОВЫХ УСТАНОВКАХ
В.М. ЛАРИОНОВ, С.Е. ФИЛИПОВ, Д.В. РУКАВИШНИКОВ
Казанский государственный университет
Исследовано пульсационное горение твердого топлива в открытой трубе и установке типа «емкость—труба». Энергетическим методом разработаны математические модели автоколебаний газа при горении в рассмотренных установках.
Ключевые слова: пульсационное горение, твердое топливо, математические модели.
Известно [1], что основная часть потребляемой энергии обеспечивается процессом горения. Запасы основных энергоносителей - нефти, газа, угля -иссякают, поэтому задачи ресурсо- и энергосбережения приобретают особую актуальность. Другая, не менее важная проблема - экологическая, связанная с ограничением количества выбрасываемых в атмосферу токсичных веществ, утилизацией промышленных и бытовых отходов. Перспективным для одновременного решения этих задач является создание в энергетических установках колебаний рабочей среды [2]. Значительное повышение полноты сгорания позволяет сократить количество основных энергоносителей, расходуемых на единицу продукции или услуги, использовать вторичные энергоресурсы - отходы, биотопливо и прочие. Пульсационное горение органического стекла и древесины в типовых установках экспериментально исследовано в работах [2-3]. Разработана линейная теория, позволяющая находить границы возбуждения и частоты колебаний газа в трубе [2, 4]. Получено уравнение и выполнен расчет частот колебаний газа в установке типа емкость-труба [2, 5].
Цель данной работы - разработка математических моделей автоколебаний газа, возникающих при слоевом горении твердого топлива в типовых установках с учетом нелинейных эффектов. Это позволит рассчитывать не только границы возбуждения, частоту, но и амплитуду автоколебаний газа. Решались следующие задачи: вывод соотношений, определяющих амплитуду установившихся колебаний давления газа в открытой трубе и установке типа емкость-труба; расчет границ возбуждения, частот и амплитуд колебаний газа в типовых установках, сравнение с известными экспериментальными данными, полученными при горении древесины.
Согласно энергетическому методу [5], самовозбуждение колебаний газа в установках с тепловыми источниками происходит при условии
Ас, ь > Аа, ь , (1)
где равенство соответствует границе неустойчивости, индекс «Ь » означает, что процессы, приводящие к генерации акустической энергии Ас и ее потерям А^, рассматриваются в линейном приближении. © В.М. Ларионов, С.Е. Филипов, Д.В. Рукавишников Проблемы энергетики, 2009, № 11-12
Уравнение
Ас, N = ^,N , (2)
учитывающее нелинейные свойства системы, позволяет найти амплитуду установившихся колебаний газа.
Общее выражение для акустической энергии, генерируемой в единицу
*
времени тепловым источником, расположенным в сечении х трубы с произвольными граничными условиями, известно [2] и имеет вид
(в - 1,0 plm\KN |8Ш (ют u [2 (шх 7 С1 +Ф1 )] Лс =--—--, (3)
4 ^ Р 1,0 c1
где B - отношение температуры горячего газа к температуре холодного газа; S -площадь поперечного сечения трубы; и^о, Р1,о, Pl,m, С1, Ф1 - средняя скорость,
плотность, максимальная амплитуда пульсаций давления, скорость звука, фаза звуковой волны в холодном газе, соответственно; ю - угловая частота колебаний; О0 - среднее количество теплоты, сообщаемое газу в единицу времени; KN -передаточная функция из выражения ц = KNи1)*, связывающего пульсации скорости тепловыделения источника q' с пульсациями скорости газа «1* на
входе в область тепловыделения. В квазилинейном приближении эта функция имеет вид
Kn = (Kl\ - bq|u1,.|)exp(- гюти),
где К^ - передаточная функция линейного приближения; ти - время запаздывания скорости тепловыделения относительно пульсаций скорости газа; Ьц - коэффициент нелинейности процесса горения.
Пульсации скорости и давления на начальном участке трубы описываются известными [5] акустическими соотношениями для газа, имеющего одинаковую температуру во всем рассматриваемом объеме:
«1 (х, * )= С1003(1х + Ф1 )ехР гю*, =ю/С1, (5)
р1 (х, * )= -ф^о^С! $ш(&1 х + ф1 )ехр гю*, (6)
где для трубы, открытой на входе, ф1 =- 0.61юЯ/с1 ; Я - радиус трубы; С1 -максимальная амплитуда пульсаций скорости холодного газа.
Амплитуду пульсаций скорости холодного газа в сечении, где расположен тепловой источник, согласно соотношениям (5), (6), представим в виде
|u1,* | = C1
cos(шх 7с 1 +ф 1 ^ = |cos(шх 7С1 +ф 1 ^Pim I(р 1,0С1)• (7)
Вводя безразмерные функции Kn = KnU^o/Qo , Kl = KlU^o/Qo , полагая Yu = Im(KL )= -I Kl| sin((Bt u ), с учетом выражений (3), (4), (7) получим:
Ас,N = (ас,Ь — ас,N14^ )р1,т ,
(В-1 ^ «1п[2(шх7cl +ф 1)]
ac,Ь
ас^ =
Ь;= bqUlo| Оо,
4Р 1,0 с1
(В-1 )>Ь со«(шх /С1 +ф 1 )|зт(шти )зт[2(шх /с1 +ф 1)]
4(Р 1,0 С1 )2
Определим потери акустической энергии, происходящие в пристеночной области и на открытых концах трубы, полагая
Ай, N = ^ ,1 + ^,2 + А0 + А1
(9)
Потери в пограничном слое на стенках трубы длиной I^ находятся по известной формуле [2]
=лЯрол/^С2 2-^2 [1 + (у 1)/ Л/рТ ], (10)
где V - коэффициент кинематической вязкости; у - показатель адиабаты; Рг -число Прандтля.
*
На начальном участке трубы длиной х , полагая р^^С = Р1,т, с учетом формулы (10) получим
2 пЛ^/ю Vl х
А^,1 = а^,1 Р1,т , а^>,1 = 32 2
2 ' Р1,0С1
* { \ У1 -1
1+
л/РГ1
(11)
В приближении, когда скорость звука в горячем газе - линейно убывающая функция, то есть С2 (х)= а2 — Ь2х, пульсации скорости и давления газа, согласно работе [5], имеют вид:
и2 (х, *)= С2 ехр(гю*) 1 — Ь2х со«
а2
Р2 (х * )=—гР2,0С2С 2 ех1
ШР2 ,
ф 2--7— 1п
Ь2
2
' 1 — Ь2х ^
Ч а2 /
(12)
р(гю*) 1 — Ь2х ■! —соз П ^ а2 [ 2ю
ф 2-
®Р 2
1п
1—
Ь2 х а2
+ в2 зт
®Р2 ,
ф2 — 1п
' 1 — Ь2х ^ а2
(13)
где для трубы, открытой на выходе
юв2 ,
ф2 = 2 1п Ь2
ь21с
1—
ч а2 /
— aгctg
^ , л Ь2
2юв 2
в2 =д/1 — (Л^2ю)2 .
Ь
2
2
В сечении, разделяющем холодный и горячий газ, выполняется условие
р1 (х ,*)= р2(х ,*), из которого, согласно выражениям (6), (13), следует:
С 2 = зт (шх */ С1 +ф1 Р1,т, ф2 = Ф 2
®Р 2
1п
I — -
¿2 х а2
(14)
В 2 =
* * / * / Р2С2 V 1 -¿2х /Я2
V 2 а 2
-СОЗ (ф 2 )+ в 2«1П (Ф 2 )|
-1
Вводя в формулу (10) индекс «2», представим пристеночные потери в горячем газе выражениями:
А^,2 = а^,2 р1,т,
* / * ■ 2 ■ яЛр 2 V шу 2 - х ^зт
а^,2 =■
шх / С1 +ф 2 )" 2
2
3/2
С1 +Ф 2 Р 2 | 1 + У 2 -1
(15)
Потери акустической энергии, вызванные излучением звука на открытом конце трубы, определяются известными [2, 5] соотношениями:
А =
£ (( +ро«/2)
2
X/ =
= Ро М)2
2с
(16)
где X/ - действительная часть импеданса открытого конца в линейном
приближении; ро, и, с - средняя плотность, амплитуда пульсаций скорости газа,
скорость звука на конце трубы, соответственно.
Амплитуда пульсаций скорости газа на входе в трубу, согласно выражениям (5), (6), равна
ио = |и1 (0,* )| = С1 |соз ф 11 =
Р1,т |С°ЗФ 1| Р 1,0 С1
Обозначая потери акустической энергии на открытом входе трубы индексом « 0 », положим
А0 = (а0, Ь + а0, Ир1,т ))1,т, где, согласно формулам (16), (17), \2
(17)
БХ{
а0, Ь
0, Ь
2
' |С°З ф1"
Р1,0С1
а0, N
£Р1,0
4
СОЗ
Ф1|
Р1,0С1
Амплитуда пульсаций скорости газа на выходе из трубы находится из выражения (12) и равна
и1
1 =| и2 (1с,*^ = С2^1 -Ь2 1с/а2 |созФ2,11; Ф2,1 =Ф2 -
®Р 2
г
1п
Ьу1
21с
1 -
V а2
ь
2
ь
2
3
ь
2
С учетом формул (14) получим:
ui = Di | sin (ШХ */С1 +ф 1 )|Pl,m , Dl = D2 |cOSф2,l | V1 - b2lo/a2 • Используя индекс «l», представим потери на выходе из трубы в виде Al = (al ,L + al, Np1,^p1,m ,
где, согласно полученным ранее соотношениям, SXl
al, L =
Ь Г . ( ./ + )12
-\р1 зт^юх /с 1 +ф 1 ;
2
8р/,о [ | . ( */ )23
а1,N =-[РЦ «т^шх /с 1 +ф.
4 1 1
Подставляя выражения (8), (11), (15), (17), (18) в равенство (2), получим формулу, определяющую максимальную амплитуду установившихся колебаний
давления в холодном газе:
p1,m =
ac,L - aw,1 - aw,2 - a0,L - al,L ac,N + ao, N + al, N
(19)
Полагая = 0, то есть приравнивая числитель этой формулы нулю, получаем уравнение, соответствующее границе возбуждения колебаний:
ac,L - aw,1 - aw,2 - a0,L - al,L = 0 ,
(20)
которое можно получить непосредственно из условия (1).
Если горение топлива происходит в емкости (рис. 1, б), зависимость пульсаций скорости тепловыделения от пульсаций скорости воздуха, поступающего в зону горения, аналогична зависимости для трубы ^ = KNu'*.
2
□ □ □
а)
б)
Рис. 1. Схема экспериментальной установки: а - типа трубы: 1-труба; 2-образцы; 3-сетка; 4 - шток;
5 - микрофон; 6 - измерительный блок; б - типа емкость-труба: 1 - резонансная труба, 7 - емкость;
8 - воздухоподающая труба
Особенностью исследуемой установки является то, что горение топлива происходит с участием воздуха, поступающего по трубе, расположенной на входе в емкость. При истечении воздуха в камере сгорания образуется струя, ядро которой сужается, после чего скорость потока быстро падает до нуля. На некотором удалении от дна емкости амплитуда колебаний скорости потока станет равной нулю, периодическая составляющая скорости тепловыделения исчезнет, и вибрационное горение станет невозможным. Наличие в потоке решетки и слоя © Проблемы энергетики, 2009, № 11-12
топлива усложняет картину. С целью упрощения среднюю по слою топлива пульсационную скорость воздуха предлагается связать с пульсациями скорости воздуха на выходе из воздухоподающей трубы соотношением
и* = «ó(l - х* / х"т ),
*
где х т - расстояние от входа в емкость до точки, в которой пульсации скорости
воздуха в емкости прекращаются.
Выражение для акустической энергии, сообщаемой газу в результате тепловыделения в емкости, согласно работе [2], имеет вид
Ac = (ac,L - ac,N Pc )2 , (21)
(B - l) YU(l - x7Xm ); 2Y0,0
(B - 1)^0 bq sin fflT и
где
ac, L
ас, N = '
2Г0,0 |^о,о|
7о,о - мнимая часть импеданса воздухоподающей трубы, равная Pl,оCltg(в^о/С1);
*
1о = 1о + о.61До; «о и ^о - радиус и площадь поперечного сечения воздухоподающей трубы.
Потери акустической энергии в рассматриваемом случае складываются из потерь, вызванных излучением звука на открытых концах установки и поглощением энергии в пристеночных областях обеих труб, то есть
Аа = ^ ,о + Ао + ^ ,2 + А1. (22)
Потери акустической энергии в емкости не учитываются, так как исследование проводится в приближении, когда газ - идеальный, а процесс его сжатия в емкости - адиабатический.
Пристеночные потери во входной трубе находятся по формуле (Ю). Пульсации скорости и давления газа в этой трубе описываются соотношениями (12), (13). Если начало координат расположено на дне емкости, амплитуда пульсаций давления в емкости связана с амплитудой пульсаций давления на верхнем конце трубы соотношением р'с = | р о( о, * )| = р 1,о с 1С о|зт ф о|, где
Фо =-®1о/ с1.
Для амплитуды пульсаций скорости воздуха имеем
Рс
С о =-71—*-Т
р 1,о с1 зт^ю/о/с1/
Следовательно,
2 кЩу1 шу i l о Y i -1 ^
Aw,0 = aw,0Pc , aw,0 =-^-1--:-* 1 +
,0 c
23/2 P 1,0cjsin2 (l */ci )) д/Рг!
(23)
Амплитуда пульсаций скорости на нижнем конце воздухоподающей трубы
равна
u 0 =
u 0 (1 0't ^ =
СО« (ш (10 -10 )/ c1 )
= D 0 Pc
Тогда, с учетом формул (16), акустическая энергия, излучаемая на входе в установку, определяется соотношениями:
А = («0,
«0, Ь =
Ь + «0, Ире
So Х 0, ¿А) 2
)р2,
(24)
^0р1,0 ^ «0, N =-4-
Х 0,Ь =
Р1,0 )2 2с,
Резонансная труба полностью заполнена горячим газом. Полагая х = 0 в соотношениях (12), (13), учитывая что рс =| р2 (0,t)|, находим максимальную амплитуду пульсаций скорости газа в резонансной трубе:
С 2 =
Рс
Р2с2
Ь2 „ .
-^СО« ф 2 +в 2«1П Ф 2 2га
= П2 Рс.
Тогда с учетом формулы (10) имеем
_2 „ г
с,2 = ,2рс , ,2
2
3/2
1 +
У 2 - 1
D22.
(25)
Согласно выражению (12) амплитуда пульсаций скорости на выходе из резонансной трубы определяется соотношением:
и1 =1 и 2 (1, t Я = С 2
Ь21 г 1- СО«
« 2
шР 2 ,
ф 2--1п
Ь
С учетом формулы для С2 получим
шр 2
и1 = D 2
Ь21г 1 СО«
« 2
Ф 2
1п
Ь 2
2
Ь 21
Ь 21Г 1--
V ш
21г
12
• Рс = DlРc
Тогда потери, вызванные излучением звука на выходе из резонансной трубы, равны
к = («1,
Ь + «I, Npc
)р2,
(26)
где, согласно формулам (16),
, ьР1 ,0 Df «I, Ь =-2-, «I, N =-4-, Х1, Ь =
Р1,0 М) 2 2с1
1
После подстановки выражений (21), (23)-(26) в уравнения (2), (22) получаем формулу для расчета амплитуды установившихся колебаний давления в камере сгорания:
«с,Ь - аь>,0 - ам>,2 - «0,Ь - а1,Ь ,„ч
Рс =-• (27)
«с, N + «0, N + а1, N
Уравнение границы возбуждения колебаний газа имеет вид
ас,Ь - ,0 - «^,2 - «0,Ь - а1,Ь = (28)
Акустическая энергия, получаемая газом в зоне горения, зависит от передаточной функции, мнимая часть которой, согласно работе [4], имеет вид:
- = - 8Шюти , ти = т2 + агс1ё(ЮХ1 )/ю , (29)
Л/1 + (®Т1)
где Т1 - время инерции; т2 - время запаздывания процесса горения.
В установках типа трубы Рийке колебания газа с частотой первой гармоники возбуждаются, когда тепловой источник располагается в нижней половине трубы, где пульсации давления отстают по фазе на я/2 от пульсаций скорости газа, а фазовый сдвиг между пульсациями скорости тепловыделения и пульсациями скорости газа не превышает я, то есть 0 < юти < я [2, 5]. Установлено, что в трубе могут возбуждаться колебания газа с частотой /т более 400 Гц [4]. В этом случае можно предположить, что фазовый сдвиг, обусловленный инерционными свойствами процесса горения, близок к максимальному значению агС^(ютТ1 )«я/2, где ют = 2я/т. Тогда т2 ®я/(2ют), а из формул (29) следует
со$[агй^( шт 1)]
Yu
V1 + (<от 1 )2
В то же время из уравнения (20), с учетом формулы для коэффициента ac l , входящего в выражение (8), получим
Y __ 4Р 1,0c1 (aw,1 + aw,2 + a0,L + al,L ) U (B _ 1 )S sin [(rax 7 c 1 -ф 1)]
Равенство этих выражений, после подстановки экспериментальных значений частоты колебаний и параметров установки, соответствующих границе возбуждения колебаний, позволяет вычислить время инерции процесса горения.
Аналогично определяется Т1 и Т2 в случае пульсационного горения в установке типа емкость-труба. Отличие состоит в том, что вместо выражения (30) используется соотношение
2Y0,0 (a w, 0 + a w, 2 + a0,L + al,L )
(в _ 1)s 0 (1 - x* I x ;ax) '
Yu _-
которое следует из уравнения (28) с учетом формулы (21).
В работе [4] максимальная частота колебаний газа /т равнялась 561 Гц.
Колебания с частотой 301 Гц возбуждались, когда слой топлива перемещался на
*
расстояние х = 0,11 м от нижнего конца трубы длиной 0.6 м. Этим данным и условиям, при которых они были получены, соответствуют значения —3 —3
т 1 = 8,04• 10 с, т2 = 0,45• 10 с. В цитируемой работе амплитуда колебаний оценивалась по уровню звукового давления (УЗД) на расстоянии х0 = 0,05 м от нижнего конца трубы. Согласно формуле (6) амплитуда пульсаций давления в этом сечении трубы равна
Р0 = Р1,т I «п(юх0/С1 +Ф1 )|. (31)
УЗД вычислялся по известной формуле Г
I = 20^
Р0
^ 2 • 10
—5
(32)
Расчет проводился в следующей последовательности. Задавались размеры установки, термодинамические параметры холодного и горячего газа. Из известного уравнения [4, 5]
— ^ + Р2 tg
2га
®Р 2
Ь
1и
2
1 —
Ь2 х а2
— Ф 2
+ —tg С1
Г * гах
С1
+ Ф1
= 0
находилась частота колебаний газа и подставлялась в соотношения (19), (31), (32), из которых определялся соответствующий уровень звукового давления. Использовалось эмпирическое значение коэффициента нелинейности процесса горения Ь'ц = 0,1. Рассчитанные зависимости в виде линий показаны на рис. 2
вместе с соответствующими экспериментальными данными работы [4].
а)
I, dB 140 -
130 .
120 -
110 -
100_i_I_i_I_i_I_i_I_i_I
0,4 0,6 as 1,0 , m
t'
б)
Рис. 2. Зависимости частоты колебаний газа (а) и УЗД (б) от длины трубы, x = lc /4: линия - теория, точки - эксперимент
Частоты колебаний газа в установке типа емкость-труба рассчитывались из уравнения, полученного в работе [2]:
+ Р2 tgФ2 + F-1 = 0, F = га V(c*SJ"1 - cosQctg{al0 /со)/с2 .
Измерения показали, что при Vc =0,746 10-3 м3 , lr = 0,2 м, dr = 0,03 м колебания газа прекращаются, когда частота достигала значения /max = 283 Гц. Этим данным
—3 —3
соответствуют значения т i = 3,5 *10 с, т 2 = 0,8810 с. УЗД в емкости находился из соотношений (27), (32). Результаты вычислений, экспериментальные данные, опубликованные в работе [3] и полученные дополнительно, представлены на рис. 3, 4.
f, Hz г
280 -270 -260 -250 -2« -230 -
0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 V1(f тз
а)
Рис. 3. Зависимости частоты колебаний газа (а) и УЗД (б) от объема емкости; йг =0,03 м, 1Г =0,2 м, 10=0,1м, линии - теория, точки - эксперимент
а)
I, dB
140
130
120
110 L_«_I_»_I_«_i__J_I_i_I_«_i__>
0,0 02 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 / m
б)
Рис. 4. Зависимости частоты колебаний газа (а) и УЗД (б) от длины резонансной трубы;
V=1,1*10-3 м3, dr =0,03 м, lr =0,1 м, линии - теория, точки - эксперимент
В завершение выделим основные итоги проведенного исследования.
1. Разработаны математические модели пульсационного горения твердого топлива в трубе и установке типа емкость-труба.
2. Результаты расчетов частот колебаний газа и УЗД при пульсационном горении в типовых установках удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
Summary
Pulsating combustion of solid fuel in open ended tube and "capacity-tube" type installation is investigated. Mathematical models of combustion-driven gas oscillation in considered installation is created by energy method.
Key words: pulsating combustion, solid fuel, theoretical models.
Литература
1. Варнатц Ю. Горение: физические и химические аспекты, моделирование, эксперименты, образование загрязняющих веществ / Ю. Варнатц, У. Маас, Р. Диббл. М.: Физматлит, 2003. 352 с.
2. Ларионов В.М. Автоколебания газа в установках с горением / В.М. Ларионов, Р.Г. Зарипов. Казань: Изд-во Казан. гос. технич. ун-та, 2003. 237 с.
3. Филипов С.Е. Вибрационное горение твердого топлива в устройстве типа «емкость-труба» / С.Е. Филипов, В.М. Ларионов // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2004. № 1-2. С. 135-138.
4. Филипов С.Е. Механизмы возбуждения и теоретическая модель вибрационного горения твердого топлива в трубе / С.Е. Филипов, В.М. Ларионов, Д.В. Рукавишников // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2006. № 1-2. с. 20-28.
5. Ларионов В.М. Автоколебания газа в энергетических установках: Учебное пособие / В.М. Ларионов. Казань: изд-во Казан. гос. ун-та, 2006. 164 с.
Поступила в редакцию 27 марта 2009 г.
Ларионов Виктор Михайлович - д-р техн. наук, доцент, профессор кафедры «Физика молекулярных систем» Казанского государственного университета. Тел.: 8 (843) 544-58-66; 89196930765.
Филипов Сергей Евгеньевич - инженер кафедры «Физика молекулярных систем» Казанского государственного университета. Тел.: 8 (843) 571-47-73; 8-9047639920. E-mail: Sergey.Philipov@ksu.ru.
Рукавишников Дмитрий Владимирович - старший лаборант кафедры «Физика молекулярных систем» Казанского государственного университета. Тел.: 8 (843) 297-58-32.
