CC BY
87
МАТЕМАТИКА
УДК 514.822:514.752.8
В. Р. Крым, Н. Н. Петров
ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ И УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА
ДЛЯ ЧЕТЫРЕХМЕРНОГО НЕГОЛОНОМНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Введение
Ранее первым автором [1] была предложена модель, в которой уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности получены как уравнения Эйлера— Лагранжа для функционала длины для некоторого четырехмерного неголономного распределения [2]. В настоящей работе продолжается изучение этой модели и определяются симметричная риманова связность и тензор кривизны для распределения. Из классического функционала, содержащего скалярную кривизну и 4-форму объема, следуют инвариантные уравнения Эйнштейна для распределения. Методами современной квантовой механики в этой модели удаётся получить оператор Дирака, операторы зарядов и связать квантование зарядов с топологической структурой пространства.
Отношение физиков к естественнонаучным теориям, в которых используются «скрытые» размерности, неоднозначно. Особой критике подвергаются «пятимерные» модели, подобные известной теории Калуцы—Клейна [3]. Эти теории имеют давнюю историю. В 1914 г. финский физик Г. Нордстрём унифицировал гравитацию и электромагнетизм в рамках специальной теории относительности, увеличив размерность пространства на единицу. Некоторое время его элегантная теория конкурировала с общей теорией относительности, построенной А. Эйнштейном в 1915 г., но феномен искривления световых лучей, зафиксированный А. Эддингтоном во время полного солнечного затмения в 1919 г., подтвердил правильность теории Эйнштейна: в модели Г. Нордстрема световые лучи прямолинейны. Затем попытка унифицировать гравитацию и электромагнетизм в рамках общей теории относительности была осуществлена Г. Вейлем (1918 г.), но его красивая теория оказалась нефизичной. Все это порождало сомнения в правильности введения «скрытых» размерностей. В 1921 г. появилась работа Т. Калуцы [4], в которой была использована идея Г. Нордстрема о переходе к пятимерному пространству. Различие заключалось в том, что унификация осуществлялась в рамках общей теории относительности и пятое, дополнительное измерение имело другой физический смысл. В 20-е годы О. Клейном [5] была независимо постро-
© В. Р. Крым, Н. Н. Петров, 2008
ена подобная теория, получившая поначалу восторженную оценку Эйнштейна. Однако в дальнейшем [6] он изменил свое мнение, полагая, что те факты, которые объясняются с помощью дополнительных размерностей, должны быть получены в рамках четырехмерного пространственно-временного континуума. В [3, с. 48] утверждается, что в корректных пятимерных моделях некоторые важные физические параметры должны быть «заморожены», что якобы противоречит духу общей теории относительности, в которой геометрия «динамична». Но что плохого в том, что «замораживается», например, заряд электрона? В теории Калуцы—Клейна предполагается, что пространство в направлении пятой координаты топологически является окружностью, и «радиус» этой окружности связан с гравитационной постоянной: л/ЮттСдг/е [?]> гДе е — заряд электрона, —гравитационная постоянная Ньютона (появление такой формулы связано с тем, что в метрический тензор были введены масштабирующие множители). В предлагаемой нами модели (в классической ее части) такая топологическая структура не предполагается.
Интерес к проблеме унификации взаимодействий заметно снизился уже в 30-е годы двадцатого века после того, как были открыты сильные и слабые ядерные силы. Полная же унификация всех видов взаимодействия и сейчас считается практически безнадёжной задачей.
Тем не менее, авторы считают, что некоторые модификации теории Калуцы— Клейна имеют право на существование. Увеличение размерности пространства в физике сейчас считается обычным делом. Например, согласование квантовой механики и специальной теории относительности, предпринятое в современной теории струн, требует увеличения размерности до 10-и, а гипотетическая М-теория Виттена, объединяющая различные струнные теории, строится в 11-мерном пространстве. Другим примером являются уравнения Янга—Миллса, описывающие сильные и слабые взаимодействия. Известны работы, в которых при изучении этих взаимодействий использовались идеи теории Калуцы—Клейна.
Для построения этих объектов нами используется только метрический тензор четырехмерного распределения, а не всего касательного пространства. Это является преимуществом предлагаемой теории по сравнению с теорией Калуцы—Клейна [7-10]. В теории Калуцы—Клейна используется 5-мерный метрический тензор или метрический тензор более высокой размерности с отличными от нуля дополнительными компонентами, что приводит к усложнению уравнений. Отметим, что экспериментальная проверка подтверждает правильность уравнений Эйнштейна [11], а не уравнений теории Калуцы—Клейна с дополнительными физическими полями. В предлагаемой нами модели метрический тензор 5-мерного многообразия имеет следующий блочный вид:
Сужению этого метрического тензора на четырехмерное распределение соответствует тензор (д^-(х))і,з=о,...,з с классической лоренцевой сигнатурой (+, —, —, —). Отношение причинности на многообразиях с метрическим тензором сигнатуры (+, —, —, —, 0,.. .,0) рассматривалось нами ранее [12-15]. Конус будущего С ТМ5 содержит прямую Ьіп{д4|. Конус будущего в пространстве скоростей Q^ П А(£) является четырехмерным выпуклым эллиптическим конусом, как в общей теории относительности. Еще одним интересным обобщением теории относительности является одно из направлений финслеровой геометрии [17].
(1)
Во втором разделе мы даем определение симметричной римановой связности на распределении, доказываем ее существование и единственность. В третьем разделе мы определяем параллельный перенос горизонтальных векторных полей вдоль путей на многообразии. В четвертом разделе мы определяем преобразование кривизны распределения и доказываем его основные свойства. В пятом разделе мы доказываем инвариантность дифференциальной формы 4-объема на рассматриваемом расслоенном пространстве и получаем уравнения Эйнштейна с учетом электромагнитного поля с помощью преобразования кривизны распределения. В шестом разделе мы доказываем, что квантование электрического заряда определяется топологической структурой рассматриваемого расслоенного пространства.
Напомним, что распределением на гладком многообразии М называется семейство подпространств А(х) С ТХМ одной и той же размерности, гладко параметризованное точками многообразия [18-20]. Для каждого х Є М на А(х) определена квадратичная форма (и,и)Х с метрическим тензором д^-(х) = (е*,е^}Х, где е* —базис распределения. Метрический тензор распределения гладко зависит от точки. Предположим, что метрический тензор распределения имеет обычную лоренцеву сигнатуру (+, —, —, —) [21, 22]. Будем считать, что каждой частице соответствует гладкий путь на М5. Предположим, что всевозможные скорости частиц образуют четырехмерное линейное подпространство А(х) касательного пространства ТХМ5 в каждой точке. Пространство скоростей частиц остается четырехмерным, как в обычной теории относительности.
Пусть и — координатная область на гладком многообразии М5. Предположим, что распределение А задано на и ковекторным полем нормали:
3
ш Лкйхк + йх4. (2)
к=о
Координаты дифференциальной формы ш отождествим с 4-потенциалом электромагнитного поля. Скорость света принята равной единице, поэтому размерность всех потенциалов Лк —вольт, размерность координат хк —метр, к = 0,.. .,3, а размерность координаты х4 — В-м. Распределение А можно также задать с помощью базисных векторных полей
д А 9
дхк кдх4 1
Уравнения неголономных геодезических для этого распределения совпадают с уравнениями движения заряженной частицы общей теории относительности [1, 2]. Это было нами доказано с помощью принципа максимума Понтрягина [23-25]. Вопросы существования таких кривых рассмотрены в работе [26, 27]. Так как [е*,е^] = —F^j84, где —тензор электромагнитного поля, это распределение неголономно, если Г = 0. Распределение А зависит от 4-потенциала электромагнитного поля, но не зависит от метрического тензора. Распределение А называется Ск-гладким, если все функции Лк(х) Ск-гладкие.
Разумеется, все рассматриваемые уравнения должны быть инвариантны по отношению к преобразованиям координат. На многообразии М5 = М4 х М с конусом будущего, являющимся суммой по Минковскому прямой и эллиптического конуса [12-15], преобразования координат должны сохранять каузальную структуру, т. е. следует ограничиться преобразованиями координат х ^ у вида
дук ду4
£-<=“• *=0--3- з?=±1- (4>
ек - тгт - Актгл, к- 0, ...,3. (3)
Координата на втором сомножителе в прямом произведении М4 х М оказывается выделенной этим условием. Однако эта координата не вполне выделена, так как ду4/дхк = 0 (эти величины соответствуют калибровочным преобразованиям 4-потенциала электромагнитного поля [1, 2]). Блочный вид метрического тензора сохраняется при преобразованиях координат:
13 I <],ук<],у'' (5)
г,0 = 0 к,1=0 \і,о = 0 У У
Прямая Ып|д4} является инвариантным подпространством. Координаты векторов из этого подпространства преобразуются, как псевдоскаляры: д/дх4 =
4
^ дук/дх4д/дук = ду4/дх4д/ду4, ду4/дх4 = ±1. Так как допускаются только глад-
к=0
кие замены координат, д/дх4дуі/дх3 = д/дх3дуі/дх4 = 0, і, і = 0,.. .,4. Поэтому можно считать, что все физические величины (тензорные поля) на многообразии не зависят от х4, и это условие инвариантно. Пятая компонента любого ковектора также преобра-
4
зуется, как псевдоскаляр: р4 = ^ дук/дх4рк = ду4/дх4рРА. Поскольку координаты ко-
к=0
векторов умножаются на транспонированную матрицу Якоби, в кокасательном расслоении Т*М5 также есть инвариантное подпространство Ьш{йх°, йх1, йх2, dx3}. Ковек-торы из этого подпространства преобразуются, как четырехмерные ковекторы. Базис
распределения А при преобразованиях координат преобразуется следующим образом: 3
вк = ^2 ду3/дхкв'„. Действительно, при произвольном преобразовании координат
і=°
3 3/3 ‘Л к *'і4\
дх дх
]Га^ + ^4 = ]Г]Г^—+ —]^ + ^4 (6)
к=0 І=0 \к=0 У У
координаты дифференциальной формы ш подвергаются калибровочному преобразованию совместно с обычным умножением на матрицу Якоби:
, дхк дх4 .
Л? = 53 к я~Т + я~Т’ J=0,...,3. (7)
к=о ду3 ду3
Поэтому базис распределения преобразуется следующим образом:
= ___^ ^ = V—— - V— ^ = V —е' (81
к дхк к дх4 р-^ дхк ду3 р-^ дхк 1 ду3 ду3 у ду4 р^ дхк 3’
где е3 = д/ду3 — А3д/ду4, ] = 0,.. .,3. Калибровочные преобразования не проявля-
ются в этой формуле, даже если они совершаются. В таком базисе рассматриваемое пространство скоростей кажется четырехмерным.
2. Связность на распределении
Определение 1. Пусть М —гладкое многообразие, на котором задано распределение А, точка а € М. Правило V, которое каждому вектору и € А(а) и гладкому
горизонтальному векторному полю X, заданному в окрестности точки а, сопоставляет вектор УиХ Є А(а), назовем ковариантным дифференцированием на распределении в точке а, если оно билинейно и выполняется тождество дифференцирования произведения векторного поля на функцию:
для любой гладкой функции /, заданной в окрестности точки а. Ковариантное дифференцирование V назовем линейной связностью, если оно задано на всем М и для любых гладких горизонтальных векторных полей X, У на М векторное поле VхУ тоже гладкое [16].
Определим символы Кристоффеля для связности на распределении:
Поэтому символы Кристоффеля при преобразованиях координат преобразуются так же, как и на римановом многообразии:
На любом распределении глобально существует связность. Действительно, выпук-
является связностью. Если связности V®, г = 1,.. .,т, и гладкие функции / ^ 0 заданы
т т
на М, причем У~] / = 1, то равенство (^хУ)х = ^ /®(*)^ХУ)х определяет связность ®=1 ®=1
V. Выберем на М локально конечный атлас (и®, Н®), и пусть {/®} — разложение единицы, соответствующее покрытию М областями О® = Н®(и®). В каждой области О® введем связность V®, выбрав в О® произвольно гладкие символы Кристоффеля. После чего положим ^хУ)х =$^ /®(*)^ХУ)х. Сумма в правой части осмысленна: где связность
V® не была определена, там /® равно нулю. Кроме того, в каждой точке лишь конечное число слагаемых этой суммы отлично от нуля.
Связность на распределении называется симметричной, если для любых горизонтальных гладких векторных полей X, У
У„(/Х ) = (/)Х (а)+ / (а)У„Х
(9)
3
(10)
к=0
3
3
Тогда для горизонтальных векторных полей X = ^ Xгег, У = ^ У3 е3
і=0
3=0
(11)
При преобразовании координат (8) из (10) следует, что
(12)
(13)
лая комбинация (1 — і)У1 + іУ2, где 0 ^ і ^ 1, двух связностей V1, V2 на М снова
У — X = рг([Х,У ]),
(14)
где проекция рг определяется следующим образом: рг = ^ ед & ^хд, т.е. рг(дд) = ед,
Д=0
к = 0,...,3, рг($4) = 0. Это определение инвариантно, т.к. в силу формулы (8) при
(4 д 3 \ 3 д 3 3 д 3
? дх*^ ) = ? 9ж¥РГ('^') = ? ~дхкС':> = еь Если рг([е®, е^]) = 0, то символы Кристоффеля симметричной связности симметричны: Г3 = ГД®, г^к = 0,...,3.
Пусть на распределении задано невырожденное скалярное произведение (•, •}. Связность на распределении называется римановой, если для любых горизонтальных гладких векторных полей X, У, 2
X(У, 2} = VУ, 2} + (У, Vх2}. (15)
Теорема 1. На любом распределении с заданным метрическим тензором существует единственная симметричная риманова связность.
Для доказательства сосчитаем сначала выражение
X (У, 2} + У (2, X} - 2 (X, У} =
= V У, 2} + (У, VX, 2} + (Vу 2, X} + (2, УУ, X} - (V*X, У} - (X, ^, У} =
= (2, Vх У + VуX} + (У, Vх 2 - V*X} + (X, Vу 2 - V*У} =
= (2, VуX - VхУ} + (2,2VхУ} + (У, р^, 2])} + (X, рг([У, 2])} =
= 2(2, VхУ} - (2, р^У])} + (У, pг([X, 2])} + (X, рг([У, 2])}. (16)
Отсюда следует формула Кошуля
2(VхУ, 2} = (X(У, 2} - (У, рга^ШН
+ (У(2,X} - (X,рг([У,2])}) - (2(X,У} - (2,рК^У])}). (17)
Значение правой части этого равенства в точке х не зависит от значений поля 2 вне точки х, а зависит только от 2(х) € ТхМ. Поэтому в силу того, что метрический тензор распределения А невырожден, существует единственный вектор т € ТхМ, для которого (ад, 2(х)} равно правой части формулы (17). Полагая Vх(x)Y = ^/2, получим симметричную риманову связность на распределении.
Применим теперь формулу (17) к выражениям ^х У, 2} и ^х 2, У} и сложим результаты. Получим 2^хУ, 2} + 2^х2, У} = 2X (У, 2}, т. е. условие римановости связности. Из этого условия следует правило дифференцирования произведения векторного поля на функцию: Vu(/X) = (и/^(а) + /(а)VИX для любой гладкой функции /, заданной в окрестности точки а. Действительно, X(/У, 2} = ^х(/У), 2} + /(У, Vх2} и X (/У, 2} = X (/(У, 2}) = (X/)(У, 2} + /X (У, 2} = (X/)(У,2} + / V У,2} + / (У, Vх 2}. Поэтому ^х (/У), 2} = (X/)(У, 2} + /^хУ, 2} для любого вектора 2, следовательно Vх(/У) = (X/)У + /VхУ, т.е. V — связность.
Симметричность этой связности легко следует из того, что 2^хУ, 2} -2^уX, 2} = 2(pг([X, У]), 2}. Так как векторное поле 2 произвольно, VхУ - VуX = pг([X, У]). □ Выпишем формулу Кошуля (17) в локальных координатах. Заметим, что выбор базиса распределения (3) не умаляет общности. Действительно, пусть базис распре-
3
деления имеет вид е3 = ^2 дд + В34д4, где функции не зависят от х4. Тогда
к=0
3 / 3 \
е' = ^2 В'йе^ + I В^4 — ^2 А^ I д4, т. е. этот базис можно разложить по базису (3).
й=0 V й=0 )
Поэтому координаты всегда можно выбрать так, чтобы рг([в£, е^]) =0, і,^ = 0,.. .,3.
Мы предполагаем, что метрический тензор распределения не зависит от ж4. Тогда в указанных координатах символы Кристоффеля симметричной римановой связности имеют вид
3
гИ£*“(!<«■>
где — матрица, обратная к матрице метрического тензора распределения А.
3. Параллельный перенос с зарядом р4
Пусть горизонтальное векторное поле X задано вдоль пути 7 : [а, 6] ^ М5, т. е. X(4) € А(7(4)). Этот путь, вообще говоря, не является горизонтальным. Ковариантная производная гладкого горизонтального векторного поля X вдоль пути 7 определяется
■ з
выражением (_ОХ/^)г = йХ*/^4 + ^ Г^-^7к/^4Х^. Горизонтальное векторное поле X
д,&=0
вдоль кусочно-гладкого пути 7 : [а, 6] ^ М5 будем называть параллельным с зарядом Р4, если
DX
+ р4Р(Х) = 0 Ш £ [а, 6], (19)
где . — это тензор Р с поднятым первым индексом: (и, РХ("у)}Х = РХ(и,-у) Ум, V € ТХМ, = АХш. Оператор в левой части этого уравнения будем обозначать Р[р4]/А4. Это система четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. На любом интервале [^ 1, ^2] С [а, 6] задача Коши для системы = 0 имеет един-
ственное решение. Для любого вектора и € А(7(^)) существует единственное параллельное с зарядом р4 векторное поле X вдоль 7, для которого X(41) = и. Значение этого поля в точке 42 будем обозначать Р^2 и и называть параллельным переносом с зарядом р4 вектора и из точки 7(41) в точку 7(42) вдоль пути 7.
Из линейности системы Р^^/А = 0 следует, что параллельные векторные поля вдоль пути образуют векторное пространство. Размерность этого пространства равна размерности распределения. Касательный вектор горизонтальной геодезической с зарядом р4 параллелен вдоль нее с тем же зарядом.
Для любых 41,42 € [а, 6] правило и ^ Р^2и определяет отображение Р^2 : А(7(41)) ^ А(7(42)), которое является линейным изоморфизмом. Этот изоморфизм назовем параллельным переносом с зарядом р4 пространства А(7(41)) вдоль пути 7 из точки 7(41) в точку 7(42). Из определения следует, что Р^1 = и Р^2 = (Р^1 )-1, если параллель-
ный перенос в обратную сторону проводится с противоположным зарядом. Поэтому Р‘1 = Р‘32Р‘1 для любых 41,42,43 € [а, 6].
Лемма 1. Для векторного поля X вдоль пути 7 справедливо равенство
ДР4]Х
^4
Ит -—— (Р/°Х(4) - Х(4о)). (20)
Действительно, пусть Ео,.. .,Ез —базис в пространстве параллельных с заря-
з
дом р4 вдоль 7 векторных полей. Тогда X(4) = ^ X*(4)Е*(4). Из того, что
■=о
п[рмЕ' = о и Р{°х(г) = Е хг(г)Ег(г0) следует в[р4]х/<а|4 = Е &хг1&\ Е®(г0) =
®=0 ®=0 0
11ш 1/(* - *о) Е (X^)Р»Ы - X®ЫР»Ы) = Иш 1/(* - *0)(Р 0X(4) - X(^)). □
Ъ—— Ъ о ®=0 ^ —— Ъ о
Если на распределении задано скалярное произведение и связность риманова, то вдоль любого пути 7 для параллельных с зарядом векторных полей X, У скалярное произведение (X(4), У(4)) постоянно. Действительно, й/Л^, У} = (DX/dt, У} + (X, РУ/Л) = (DX/й4 + ^Р^), У) + (X, РУ/Л + р4Р(У)) в силу антисимметричности тензора Р. В частности, при параллельном переносе сохраняется длина вектора и угол между векторами (отображения Р^2 являются изометриями).
Пусть X — векторное поле вдоль пути 7 : [а, 6] ^ М5. После параллельного переноса каждого из векторов X(4) вдоль 7 в точку 7(а) получим семейство векторов P^аX(4) в пространстве А(7(а)). К нему можно корректно применить обычное дифференцирование. Оператор Р[р4]/й4 перестановочен с параллельным переносом с тем же зарядом:
±<р?т) = р?^- да)
Действительно, £(Р?ХЦ)) = Иш £(Р“+ЙХ(* + (5) - Р?ХЦ)) = Р? Ит $(Р*+вХЦ + 6)-
X(4)) = Р^Д^^/Л в силу (20). Из этого следует формула Ньютона-Лейбница для векторного поля вдоль пути 7 : [а, 6] ^ М5:
Рь“Х(Ь) - Х(а) = £ ^ (22)
где Р“ —параллельный перенос с зарядом р4 вдоль 7 из точки 7(4) в точку 7(а).
4. Преобразование кривизны распределения
Чтобы дать определение преобразования кривизны на распределении, необходимо
продолжить связность на все векторные поля. Предположим, что связность продолже-
3
на следующим образом: Уэ4е, = Е Г4,е®, .7 = 0,.. .,3.
®=0
Определение 2. Пусть М — гладкое многообразие, А —распределение на М, V — связность на распределении. Для каждой точки х € М и любых трех векторных полей и, V, т в окрестности точки х преобразованием кривизны распределения А назовем отображение Д(м,«)т = VИVvт - VvVиw - V[ИJV]W.
3
Легко видеть, что последний член в силу [е&, е;] = -Р^;д4 даёт Р^ Е Г4,е®. Из физи-
®=0
ческих соображений следует выбрать Г4, = е0к/2с2Р®,, где е0 = 8.854187 • 10-12 Ф/м — диэлектрическая проницаемость вакуума, к = 1.8659218 • 10-26 м/кг — гравитацион-
3
ная постоянная Эйнштейна. Тогда выражение £0к/2е2 Е Рн Р, будет автоматически
®Н=0
включено в функционал действия для поля (25). Выражение VиVvт- VvVиw- V[ИJV]W в точке х зависит только от значений векторных полей и, V, т в точке х, т. е. является тензором (все члены, содержащие производные и, V, т, сокращаются).1
1В голономном случае хорошо известна геометрическая интерпретация преобразования кривизны как результат параллельного переноса вектора по бесконечно малому замкнутому контуру [28, е.87]. Для предлагаемой модели такую конструкцию также можно рассматривать, это эквивалентно
Выпишем тензор кривизны распределения А в базисе {е^}^=0,..,з. Порядок индексов
3
следующий: Д(м,«)т = Е Дг,А:;мк-у;е®. Тогда
®,н,к,;=0
3
Преобразование кривизны (23) имеет обычные алгебраические свойства, аналогично [28], за исключением свойства (2). Хорошо известно, что в голономном случае для ри-мановой связности Д(м, у)ги ортогонально го, т. е. (Д(м, г;) го, го) = 0. Для распределения это тоже выполняется, так как Р,, = 0.
Проверим свойства преобразования кривизны.
1. Д(и, -у)т = -Д(«,м)т (следует из определения).
2. Даже для симметричной связности на распределении, вообще говоря, Д(м,«)т +
Д(-у, т)и + Д(т, м)-о = 0. Для доказательства достаточно сосчитать выражение Р,Р^ + РйР;, + РаР,к для г = 0, = 1, к = 2, 1 = 3.
3. Если связность V на распределении А риманова, то (Д(и, «)т, г) = - (Д(и, «),г, т). Доказательство. При фиксированных и, V значение (Д(и, «)т, г) есть билинейная
форма от т и г, обозначим ее 6(т, г). Кососимметричность 6(т, г) равносильна тому, что 6(т, т) = 0 при любом т; действительно, если 0 = 6(т + г, т+г) = 6(т, т) + 6(т, г) + 6(г, т) + 6(г, г) = 6(т, г) + 6(г, т), то в (г, т) = -6(т, г). Но 6(т, т) = (Д(и, «)т, т) = 0. □
4. Для симметричной римановой связности (Д(и, «)т, г) = (Д(т, г)и, V).
Для первой части выражения (23) доказательство аналогично [28, с. 90], а для второй части достаточно заметить, что Р,Р^ = Р^Р,. □
3 3
Тензор Риччи Д^7 = Е + тгтг Е Ря.?р!г симметричной римановой связности
я=0 2с я=0
симметричен по отношению к перестановке индексов. Скалярная кривизна распреде-
33
ления А равна Д = Ё + т^т Ё Р^'Р^-
®,, = 0 2с ®,,=0
5. Дифференциальная форма объема и вариационный принцип
Базис распределения е^, к = 0,...,3, преобразуется, как векторные поля четырех-
3 д 3
мерного пространства общей теории относительности: (8). Поэтому диф-
ференциальная форма а/— сіеі д сіх0 А (їх1 А (іж2 А с£г3 инвариантна к преобразованиям координат на М5 (4), сохраняющим ориентацию. Действительно, после преобразования координат йж0 А йж1 А йж2 А йж3 будет умножена на детерминант матрицы Якоби. Тензор умножается слева и справа на обратную матрицу Якоби.
определению Яр4,д4 (и,'ю)'ш = V и ІР4І Vv [94] м— Vv[g4]V„[p4]w -?рг([„1„])№, где V и[Р4]м = ЧиЫ + Р4,р-т. Легко проверить, что Яр4,д4(и, у),ш = VuVvм — Vv VuW — VpI.([u,v])W + д4^иР)т — Р^ЬЁ)т. Это выражение нелинейно по и и V, но оно линейно по (и, Р4) и (V, 94) из-за того, что для оператора Vu[p4] не выполняется одна из аксиом ковариантного дифференцирования, а именно, линейность по и.
Если f : M5 ^ R — непрерывная функция, то определен (инвариантный) интеграл на распределении A:
/ da = /(ж) \J — det g(x) dx°dx1 dx2dx3, (24)
JQ Ju
где П — четырехмерное C 1-гладкое подмногообразие в M5, трансверсальное к векторному полю $4. Предположим, что множество П задано параметрически h : U ^ П, где U С R4 —четырехмерное подмногообразие. Для достаточно малой области U первые четыре функции hl можно принять за координаты. Тогда О. задано отображением (ж0,.. .,ж3, ж4(ж0,.. .,ж3)). Поэтому определен интеграл от функции f{x)\J— det д(ж) по U. Рассматриваемые нами функции на M5 не зависят от ж4 (как скалярные поля в классической физике).
Определим действие для поля так, как это принято в общей теории относительности [29-32]:
S=--^~ [ Rda + - [ W da, (25)
2к J Q C J Q
где к = 8nGN/с2 = 1.8659218 • 10-26 м/кг — гравитационная постоянная Эйнштейна, GN = 6.6725985 • 10-11 м3/(кг сек2) —гравитационная постоянная Ньютона, W — скалярное поле, определяющее действие для материи (для электромагнитного поля 33
W = — £о/4 Е FijFij — Е AfcJk, причем первое слагаемое уже учтено в скалярной
i,j=0 k=0
кривизне распределения, Jk —плотность 4-тока), с — скорость света. Если провести вариацию метрического тензора, то получится
ss = -^ jnJ2 (д^ - da+Тс Jn ? T^’fc
(26)
где —тензор энергии-импульса материи, включая электромагнитное поле:
1 |, , , ■|"1 ■■■*[ ^ ^", 1,1^
^-*1.* = —^----------------2.3? (27>
дх1
Из этого следуют уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла:
1 к 3 1
Щк~^9зкЯ=^к, = —.1к, 3,к = 0,...,3. (28)
2 С2 ^ £0С
5 = 0
6. Квантование электрического заряда на многообразии М4 х 51
Мы рассматриваем общий релятивистский случай. Напомним сначала, что векторные поля на многообразии можно рассматривать как операторы типа дифференцирования. Пусть М — гладкое многообразие, V С М — некоторая область. Обозначим через Ф = {<£> | ^ : М ^ М, ^ Є множество Сто-гладких функций на М. Опе-
ратором типа дифференцирования называется линейный оператор Б : Ф ^ Ф, для которого выполняется Б(^>1<£>2) = Б(^і)^2 + ^іБ(^2) ^у>і, ^2 Є Ф. Поэтому оператор
типа дифференцирования является векторным полем на M. Производные д/дж® задают координатные векторные поля. Ясно, что дифференцирование можно обобщить на отображения на многообразии со значениями в C4 (по линейности). Это позволяет перейти к волновым функциям частицы, т. е. к квантовой механике. Напомним, что в квантовой теории наблюдаемым соответствуют операторы, а состояниям частицы соответствуют волновые функции (в данном случае — со значениями в C4).
з
Рассмотрим оператор Дирака вида D = — ih Е 7kefc, где {е^}^=о,..,з —базис распре-
fc=0
деления A. Это оператор Дирака для 4-мерного распределения на 5-мерном многообразии. Тогда уравнение Дирака имеет вид
з
—ih^3 7кекф = тф, (29)
fc=0
где Yk — матрицы Дирака (они определяются уравнением YjYk +YkYj = 2gjk/4, /4 — единичная матрица четвертого порядка), ф — волновая функция частицы, h — постоянная Планка, m — масса частицы. Предположим, что волновая функция зависит следующим образом от пятой координаты:
ф(ж) = exp {^x4^j (ЗО)
где e — фундаментальный заряд, и отображение ^ со значениями в C4 не зависит от
ж4. Тогда екф(х) = (дк - f Ак{ ж)) у>(ж), и для отображения получим классическое
уравнение Дирака
1к (дк - Ф = mLP- (31)
k=0 ^ *
В квантовой механике импульсу частицы рд соответствует оператор — ihdfc, причем в присутствии электромагнитного поля импульсу pk соответствует оператор —ihdfc — eAk. Пятой компоненте импульса в предлагаемой теории р4 соответствует оператор —ihd4. Оператор —ihd4 можно интерпретировать как оператор заряда,2, так как величина р4 интерпретируется как заряд [2]. Поскольку 4-потенциал электромагнитного поля и метрический тензор не зависят от координаты ж4, оператор заряда коммутирует с оператором Дирака. Поэтому оператор заряда можно включить в алгебру наблюдаемых. Волновая функция частицы должна быть собственной функцией оператора Дирака, оператора заряда и, возможно, других наблюдаемых.
Известно из большого количества экспериментальных данных, что заряды всех элементарных частиц кратны заряду электрона (фундаментальному заряду e). Предлагаемая модель позволяет объяснить это теоретически. На многообразии M4 x S1 траектории векторного поля д4 = д/дж4 гомеоморфны окружности. Поэтому множество собственных функций оператора заряда счётно: функция ж4 ^ ехр(^ж4/Й,) может быть задана на окружности длины 2п, только если Z = kh, к Є Z. Это может служить объяснением квантования электрического заряда. На окружности собственные функции оператора заряда должны иметь вид ехр^кеж4/Й,), к Є Z. Отсюда можно вычислить, что период вдоль координаты ж4 равен 2nh/e = 4.135669±4 x 10-15 В-м.
2Оператор заряда, имеющийся в литературе, достаточно тензорно умножить на —ihB4, и предположить (30). После этого все выводы совпадут.
Таким образом, мы объяснили явление квантования электрического заряда, основываясь на топологической структуре пространства. Это нетривиальное явление, для объяснения которого Дираком была предложена новая физическая частица — монополь [33]. Существование монополей не было подтверждено экспериментально [34, 35]. С другой стороны, существование 4-потенциала электромагнитного поля подтверждается экспериментально [36]. Доказано также существование совместных решений уравнения Максвелла и уравнения Дирака [37].
Известно три семейства фундаментальных частиц: (ve, e, u, d), т. е. электронное нейтрино, электрон, кварки и и d; (vM, ^, с, s), т. е. мюонное нейтрино, мюон, кварки с и s; (vT, т, t, b) т. е. тау-лептонное нейтрино, тау-лептон, кварки t и 6. Поэтому необходимо вводить три варианта лептонных зарядов и еще барионный заряд для тяжелых частиц. В следующей статье мы распространим топологическое квантование на лептонные заряды, т. е. на электронный заряд, мюонный заряд и тау-лептонный заряд, а также на барионный заряд.
Литература
1. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №3. С. 517-528.
2. Крым В. Р., Петров Н. Н. Уравнения движения заряженной частицы в пятимерной модели общей теории относительности с неголономным четырехмерным пространством скоростей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. №1. С. 62-70. (http://lanl.arxiv.org/abs/0706.3166v1)
3. Smolin L. The trouble with physics. Houghton Mifflin Company, 2006. 392 p.
4. Kaluza T. I. Zum Unitatsproblem der Physik // Sitzungsber. d. Preuss. Akad. 1921. S. 966972.
5. Klein O. Quantentheorie und funfdimensional Relativitatstheorie // Zeits. f. Phys. 1926. V. 37. P. 895-906.
6. Einstein A., Bergmann P. On a generalization of Kaluza’s theory of electricity // Annals of Mathematics. 1938. Vol. 39. P. 683-701.
7. Bailin D., Love A. Kaluza—Klein theories // Reports on Progress in Physics. 1987. Vol. 50. P. 1087-1170.
8. Srivastava S.K. Some Aspects of Kaluza—Klein Cosmology. // Pramana—Journal of Physics. 1997. Vol. 49. N4. P. 323-370. (http://www.ias.ac.in/jarch/pramana/49/00000330.pdf)
9. Румер Ю.Б. Исследования по 5-оптике. М.: Гостехиздат, 1956.
10. Vranceanu G. On an anholonomic unitary theory of physical fields. // J. de Phys. 1936. Vol. 7. P. 514-526.
11. Yao W.-M. et al. The Review of Particle Physics // Journal of Physics G. 2006. Vol. 33. N 1. (http://pdg.lbl.gov)
12. Крым В. Р. Линейные пространства кинематического типа // Записки научн. семин. ПОМИ. 1997. Т. 246. С. 152-173. (http://lanl.arxiv.org/abs/gr-qc/9704016v1)
13. Крым В. Р. Гладкие многообразия кинематического типа // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119. №2. С. 264-281. (http://lanl.arxiv.org/abs/gr-qc/9802056v1)
14. Крым В. Р., Петров Н. Н. Каузальные структуры на гладких многообразиях // Вестн.
С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2. №9. С. 27-34.
15. Крым В. Р., Петров Н. Н. Локальный порядок на многообразиях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 3. №17. С. 32-36.
16. Горбатенко Е. М. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий (по В. В. Вагнеру) // Геом. сб. Томского ун-та. 1985. Вып. 26. С. 31-43.
17. Пименов Р. И. Анизотропное финслерово обобщение теории относительности как структуры порядка. М., 2006.
18. Gromov M. Carnot-Caratheodory spaces seen from within // Preprint IHES/M/94/6 (In-stitut des Hautes Etudes Scientifiques, 1994)
19. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Динамические системы-7. Итоги науки и техники, серия «Современные проблемы математики, фундаментальные направления». Т. 16. С. 5-85. М., 1987.
20. Гриффитс Ф. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. М., 1986. (Пер. с англ.: Griffiths Ph. A. Exterior Differential Systems and the Calculus of Variations. Birkhauser, 1983.)
21. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985. 400 с. (Пер. с англ.: Beem J., Ehrlich P. Global Lorentzian geometry. N.Y., 1981).
22. O’Neill B. Semi-Riemannian geometry with applications to relativity. N.Y., 1983.
23. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983.
24. Кротов В. Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М., 1973.
25. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1988.
26. Minguzzi E. On the existence of maximizing curves for the charged-particle action // Class. Quant. Grav. 2003. Vol. 20. P. 4169-4175. (http://lanl.arxiv.org/abs/gr-qc/0303111v2)
27. Minguzzi E. Maximizing curves for the charged-particle action in globally hyperbolic space-times. Proceedings of the «9th International conference on differential geometry and its applications». Prague, 2004. (http://lanl.arxiv.org/abs/gr-qc/0412074v1)
28. Бураго Ю.Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.
29. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 2. Теория поля. М.: Глав. ред. физ.-мат. лит., 1988.
30. Gray C. G., Karl G., Novikov V. A. Progress in Classical and Quantum Variational Principles // Reports on Progress in Physics. 2004. Vol. 67. N 2. P. 159-208.
31. Misner Ch. W., Thorne K. S., Wheeler J. A. Gravitation. W. H. Freeman, 1973.
32. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени. М., 1977. (Пер. изд.: Hawking S. W., Ellis G. F. The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press, Cambridge, 1973).
33. Dirac P. A. M. Quantized Singularities in the Electromagnetic Field // Proceedings of the Royal Society A. 1931. Vol. 133. P. 60-72.
34. Giacomelli G., Patrizii L. Magnetic Monopole Searches // Summer School on Astroparti-cle Physics and Cosmology ICTP, Trieste, 17 June — 5 July 2002 (http://lanl.arxiv.org/abs/hep-ex/0302011v2)
35. Milton K.A. Theoretical and experimental status of magnetic monopoles // Rep. Prog. Phys. 2006. Vol. 69. P. 1637-1712. (http://lanl.arxiv.org/abs/hep-ex/0602040v1)
36. Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory // Phys. Rev., 2nd series. 1959. Vol. 115. N3. P. 485-491.
37. Esteban M. J., Georgiev V., Sere E. Stationary solutions of the Maxwell—Dirac and the Klein—Gordon—Dirac equations // International Centre for Theoretical Physics, preprint IC/95/68. Miramare-Trieste.
Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.
