CC BY
31
УДК 536.25:519.6
ТЕЧЕНИЕ, ВОЗБУЖДАЕМОЕ ДИСКОМ, ВРАЩАЮЩИМСЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
В.П. Бескачко, А.Е. Коренченко
Рассматривается задача о равномерном вращении толстого диска, погруженного в жидкость на некоторую глубину, получены картины возникающих в жидкости течений. Изучено затухающее движение диска после прекращения действия сил, поддерживающих его вращение. Расчеты показали, что при затухающем движении диска в ньютоновской жидкости не возникают возвратные движения, наблюдавшиеся в [1].
Непосредственной мотивацией для выполнения настоящей работы послужили результаты экспериментов, выполненных в [1] и указывающих на возможность присутствия упругих свойств в жидкостях, обычно считающихся ньютоновскими. В этих экспериментах поплавок в виде диска помещался на поверхность исследуемой жидкости и приводился во вращение вокруг собственной оси. По достижении некоторой (небольшой) угловой скорости диск предоставлялся самому себе, и наблюдали процесс затухания его вращения вследствие вязкого трения о жидкость. Обнаружилось, однако, что затухание носит осциллирующий характер, неожиданный для ньютоновской жидкости. Это дало повод авторам [1] предположить, что в исследованных ими жидкостях наряду с вязкими присутствуют также и упругие свойства. Не исключая подобной возможности, мы хотели бы обратить внимание также и на то, что характеристики течения, возбуждаемого вращающимся диском в жидкости, сложным образом зависят от:
1) «начальных условий» - точнее от истории раскрутки диска от состояния покоя до прекращения действия внешнего вращающего момента;
2) от формы и размеров твердых поверхностей, ограничивающих жидкость;
3) от механических параметров самого диска (его момента инерции, например). Учитывая нестационарность, трехмерность и нелинейность задачи, даже в ньютоновском случае трудно предвидеть характер течения, например, априори исключить возможность возвратных течений. Последние могли бы быть причиной наблюдаемого движения диска и в отсутствие упругих свойств жидкости. В связи с этим в настоящей работе предпринята попытка численного исследования некоторых упрощенных вариантов задачи.
Математическая формулировка задачи. Пусть диск радиуса (рис. 1) плавает на поверхности вязкой несжимаемой жидкости (с плотностью р и кинематической вязкостью V ), погрузившись в нее на некоторую глубину. Жидкость содержится в круговом цилиндре радиуса Яс и заполняет его до высоты Нс. Геометрические оси цилиндра и диска совпадают. Рассматриваются следующие случаи относительного движения диска и цилиндра.
1. В момент {~ О диск начинает вращение с угловой скоростью цилиндр неподвижен. Изучается поле скорости жидкости до момента установления стационарного вращения.
2. Цилиндр с жидкостью, покоившийся до момента / ~ 0, начинает вращаться с угловой скоростью (ос. Диск остается неподвижным все время движения. Исследуется стационарное распределение скоростей в сосуде.
3. До момента / = 0 вся система покоится. При г = 0 диск начинает вращаться с угловой скоростью сос1. После достижения стационарного состояния приводящий диск в движение момент исчезает, и диск продолжает движение по инерции. Исследуется характер этого затухающего движения.
Кл*1
I
У > * н„ * Г с-
Н,
К— Яс —эн
Рис. 1. Схема установки
Бескачко В.П., Коренченко А.Е.
Течение, возбуждаемое диском, вращающимся на поверхности жидкости
В безразмерных переменных, когда все расстояния отнесены к радиусу Кс цилиндра, скорость -к у/Кс (у - кинематическая вязкость жидкости), возмущение давления сверх р%2 - к
2 2 2 ру / Кс (р - плотность жидкости), время - к Кс /V, движение диска и окружающей его жидкости описывается следующей системой уравнений:
— = Аи~и-Уи-Ур, (1) дг
Уи = 0, (2)
^-Гм1г. (3)
Здесь мы ввели цилиндрическую систему координат (г,в, 2), начало отсчета которой поместили на дне сосуда (рис. 1), и = {и2, иГУ щ) ир - поля безразмерной скорости и безразмерного возмущения давления в жидкости, со(} - угловая скорость диска, М/г - безразмерный момент вязких
сил трения, приложенных к диску со стороны жидкости, учитывающий трение о боковую поверхность и нижний торец диска. Выражение для момента учитывает направление внешней нормали к поверхности и записывается в виде [2]:
Мь=Мх+Мг=Т
ди,
Г г2^г + J
ди* и/
по нижнем по боковой ^
поверхности поверхности
^ диска диска
дг Г ;
с1г
Т = 2тгрЯ
здесь / -момент инерции диска.
Уравнение (1) - уравнение баланса импульса в вязкой несжимаемой жидкости (уравнение Навье-Стокса), (2) - условие ее несжимаемости, (3) - уравнение движения диска по инерции. Граничные условия состоят в прилипании жидкости ко всем твердым границам:
г = 0, 0 < г < Кс : иг = 0, иг - 0, ив=сос- г;
0 <г<Ка: и2 ~ 0, иг= 0, ив=Фаг; 0 <2<НС> г = Лс: и2~ 0, иг=0, ив=0)сЯс;
и в отсутствии сдвиговых напряжений на свободной границе:
ди„ „ ди,
2 = НГ, Я}<г<П: 0, ^=0, —^=0.
дг дг
В условиях осевой симметрии при г ~ 0 будут иметь место условия — = 0, иг - 0 для всех функ-
дг
ций /(г, в, г).
Численные методы решения. Численное решение проводилось методом конечных разностей. Использовались равномерные пространственные сетки с максимальной размерностью 45 х 45 в осевом и радиальном направлениях. Дискретизация гидродинамических уравнений производилась по схеме центральных разностей с точностью (Ах)2 по пространственным переменным. Линеаризация получаемых в результате нелинейных разностных уравнений проводилась методом Ньютона, а решение линеаризованных систем алгебраических уравнений - методом исключения Гаусса [3, 4]. Консервативные свойства решения контролировались на каждом временном шаге, и соответствующие погрешности оказались находящимися в пределах схемной точности (-1 %). Расчеты проводились для цилиндрического контейнера с внутренним радиусом 3 см,
ГУ /
параметр задачи уС принимал значения в пределах между 1 и 3. Радиус диска варьировался в
/ с
пределах I.. .3 см. Физические параметры жидкости отвечали воде.
Результаты и обсуждение. Через некоторое время после начала движения во всех рассмотренных случаях наступало стационарное состояние. Линии тока стационарных движений для случаев 1 и 2 изображены на рис. 2а, б. Твердотельное вращение в таких обстоятельствах не на-Серия «Математика, физика, химия», выпуск 2 09
Физика
Рис. 2. Линии тока при вращательном движении: а) вращается контейнер; б) вращается диск
блюдалось даже при самых малых угловых скоростях. Движение жидкости в этих случаях имело сходные черты. Для обоих случаев характерно образование двух вихрей: первый возникает вблизи свободной поверхности, центр второго находится под диском. Однако имеется существенное различие в направлениях вращения жидкости, связанное с тем, что в случае вращения диска движение зарождается вблизи диска под его поверхностью, радиальные давления под диском обусловлены центробежной силой и направлены в сторону возрастания радиуса. Вихрь, возникающий вблизи свободной поверхности, имеет вторичное происхождение и появляется в результате распространения первого вихря внутри жидкости под действием центробежных и вязких сил. В случае вращения контейнера при покоящемся диске элементы жидкости, расположенные вблизи свободной поверхности, имеют меньшую, по сравнению со случаем твердотельного вращения, скорость и поэтому под действием центробежной силы приобретают некоторый импульс в направлении возрастания радиуса. Вихрь, сформированный вблизи свободной поверхности, является первичным, в результате его распространения в жидкости появляется вторичный вихрь, в котором жидкость затекает под поверхность диска. Если диск вращается в покоящемся контейнере и после достижения стационарного состояния вращение диска не поддерживается извне, то под действием сил трения со стороны жидкости диск постепенно останавливается. На рис. 3 изображена зависимость угловой скорости такого затухающего вращательного движения диска от времени. Уменьшение угловой скорости описывается экспоненциальной зависимостью, по коэффициенту затухания этой кривой можно судить о коэффициенте кинематической вязкости жидкости. В затухающем движении диска в жидкости, подчиненной ньютоновскому закону вязкости не наблюдалось возвратных движений, из чего можно сделать вывод, что адекватное описание эксперимента [ 1 ] возможно лишь с помощью моделей жидкости, включающих возможность релаксации напряжений.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 01-01-96424 Урал.
Рис. 3. Временная зависимость угловой скорости при затухающем движении диска
Литература
1. Apakashev R.A., Pavlov V.V. Determination of the shear strength and modulus of water at low flow velocities // J. Fluid Dynamics. - 1997. - V. 32, № 1. - P. 1.
2. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Механика сплошных сред. - М.: Наука. 1988. - 518 с.
3. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. -М.: Мир, 1988. - 537 с.
4. Т. Inamuro, А. Yamaguchi, F. Ogino. Fluid flow m a rotating cylindrical container with a rotating disk at the fluid surface // Fluid Dynamics Research. - 21 (1997). - P. 417.
