Научная статья на тему 'Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по торцевой поверхности упругого цилиндра'

Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по торцевой поверхности упругого цилиндра Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
82
27
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Бодунов М. А., Бодунов Д. М., Коваленко П. В.

Совместно рассматриваются задача теории течения в тонком пластическом слое и задача теории упругости о деформировании сплошного цилиндра, нагруженного на торцевой поверхности. Исследуются упругие перемещения цилиндра, величина которых может отразиться на точности изделия. Для решения задачи теории упругости использован программный пакет ANSYS. Проводится подробный параметрический анализ.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по торцевой поверхности упругого цилиндра»

Известия Тульского государственного университета Серия Естественные науки 2008. Выпуск 1. С. 47-57

---- МЕХАНИКА ----

УДК 539.214

М.А. Бодунов, Д.М. Бодунов, П.В. Коваленко

Московский государственный технический университет «МАМИ»

ТЕЧЕНИЕ ТОНКОГО СЛОЯ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ТОРЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ УПРУГОГО

ЦИЛИНДРА

Аннотация. Совместно рассматриваются задача теории течения в тонком пластическом слое и задача теории упругости о деформировании сплошного цилиндра, нагруженного на торцевой поверхности. Исследуются упругие перемещения цилиндра, величина которых может отразиться на точности изделия. Для решения задачи теории упругости использован программный пакет .'\XSYS. Проводится подробный параметрический анализ.

На сегодняшний день при обработке материалов давлением, актуальны проблемы получения тонкостенных изделий заданной точности, поскольку существенное влияние на конечную геометрию детали оказывает деформируемость тела инструмента. В рассматриваемых процессах величина упругих перемещений контактирующих поверхностей инструмента может быть соизмерима с толщиной обрабатываемого слоя, что существенно отражается на точности готового изделия. В настоящее время существует ряд математических моделей, позволяющих описать такие процессы, однако они пока не нашли практического применения вследствие определенных математических затруднений.

В работе рассматривается напряженное состояние и деформация тела инструмента, имеющего форму круглого цилиндра, нижнее основание которого жёстко закреплено, а верхнее подвержено давлению со стороны слоя материала заготовки. Выберем систему координат таким образом, чтобы её начало совпадало с центром верхнего основания, а ось г направим вдоль оси цилиндра (рис. 1).

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ, проект № 06-08-00391.

© Бодунов М.А., Бодунов Д.М., Коваленко П.В., 2008

Рис. 1. Общая схема процесса

Обозначив перемещения каждой точки тела инструмента как:

Г иг(г,г),

\ их{г,г),

запишем компоненты тензора деформаций

Ои,

є

ГГ

Є

гг

дг ’

1 (диг

£вв

и.

г

' і &гг

дщ дг ’

_п

Н---^ ) 5 Єгв — и, £вг

0.

дг д:,

Компоненты тензора напряжений выразим через деформации (Тгг — гг ■; &00 — ^ 0 01 О гг — ~Ь г г 1

<7

гг

2іЦЄГ2і ®Г0 — 0, <702

о,

(1)

где ( — ¿гг+-^+-~~ Е

единичная объёмная деформация; Л

Еь>

(1 + |/)(1-2|/)

коэффициенты Ламе. Для данного случая запишем диффе-

М 2(1 + !/)

ренциальные уравнения равновесия в полярных координатах

Г да

дг

да

гг ^ дагг агг

&вв

гг

дг

+

дг

да

О,

г

дг

+

а

(3)

гг

Г

при граничных условиях

Г

—Н : иг О : агг =

їь . а <р<р —

— О, агх -Р(г)

0. агх — 0

0

о,

(4)

'5 '-'гг

где /;(/•) — давление со стороны слоя материала заготовки. С использованием (1) и (2) уравнения равновесия (3) могут быть записаны в перемещениях

А + [і [і

Аиг - ^ (--тгітг) + ^

г/ ог \ г ог ог

0,

где Д

д /1 д Ґ ч диг Аиг + — - — (гиг) +

к А + /і о г \г Ог о г

д2 1 д д2

+ -тг- +

(5)

0.

дг2 г дг дг2 Тогда и граничные условия (4) перепишутся в виде

—II : иг = 0; г = 0: (2д + А)

ди7

ди..

дг - + А

г

дг

Д: (2д + А)^ + А

ОГ

0,

Ґдиг ч дг (дщ { дг

иг

+

г /

иг

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+

г

диг диг

-р{г); +

дг дг

0,

(6)

диг диг

о- —- ч--------------

о I о

От Ог

0.

Дифференциальные уравнения (5) и граничные условия (6) составляют краевую задачу для определения двух неизвестных функций иг и иг.

Для решения задачи приведем её к безразмерному виду. Для этого перемещения отнесём к толщине слоя И, напряжения — к удвоенной величине предела текучести материала на сдвиг 2т.ч. все линейные размеры и координаты — к начальному радиусу цилиндра К. Таким образом, во всех указанных выше уравнениях вместо физических величин будут фигурировать

безразмерные величины

( ^ иг иг

^г = ~Г~ 5 иг = ——,

п п

Н х у г г

Н = —. х = —, у = г = г = — < Я Я Я' Я Я

_ (?гг - &00 - @ гг

О гг 0 5 ®00 0 5 О гг 0 5

¿т8 ¿т8 ¿т8

_ °гг _ Я гв _ &вг

°гг Г 5 ^ г В Г 5 ®вг 7» •

ч 2Тд ^Тд ^Тд

Уравнения (1) (7) примут вид (8) (М)

диг Л, диг н иг Н иг

& тт - дг — Я дг ^ = д£гг’ £00 = г " Я г

диг И дих н

&гг - дг — Я дг ^ = д£гг,

1 ( ди, . диг' \ 1 И /дйг дйг Л и

£гг ^ 2 ( аг 1 дг , ) ^ 2 Я ( дг + дг ■)- я

ч &г0 — 0, £дг — О,

Огг = ^ (Аг + 2Щгг) , (7вв = (Аё + 2//£^) ,

< ^ = Л + ’

ч ^г.~ = = 0, = О,

где

^ \ ^ /1ПХ

е = £гг + £00 + = — (£гг + £00 + £гг) = —е, (Ю)

Л Л

Л ^

(1 + г/)(1 - 2г/) 2т8’

_ Ё ¡л

^ 2(1 + V) 2т8 ’

д<7гг дагг (Тгг ^"00 „

о— ' о — ' — ?

ог ог г ,лл,

< (11)

д<7гг д&хх <7Гг _____

7\ I 7\ I

ог Ог г

г = —Н : иг = 0, дгх = О,

< 2 = 0: агг = -Р(г), = -т8 = 0, (12)

ч г = 1 : ¿тгг = 0, <тг-г = О,

(1

А + ¡і А

. _ л*/* + ?_ (\ ?_ {гуг) +

К А + /і О г \г Ог о г

О,

О,

(13)

Г

и.

О,

диг

~д¥

дщ

О,

диг

0: (2^ + А)“^Г + Л ( ~о^ +

иг

г

йг

1: (2Д + А)^ + А(^ + -’'

Ог \ Ог г

^ диг диг

-р{г)’ + ж

дйг дйг_

'-'5 о- ' О-

ог ог

О, (14)

Также приведем к безразмерному виду и используемые в решении задачи константы

Е = 2-Ю6 кг/см2, т.ч = 103 кг/см2, ь> = О, З, Е

Е

Ю3, т.

Т»

0,5.

2т8 7 2т8

Основное дифференциальное уравнение [1, 2], связывающее давление в слое и упругие перемещения контактных поверхностей тел инструмента и заготовки, имеет вид

^гас1р|

4т»

(И + ш)2

(15)

На границе области течения выполняется условие р(г) = к ■ <тн. где р — давление в слое; чг — упругие перемещения контактных поверхностей; к — начальная толщина слоя; т.ч — предел текучести материала на сдвиг, <тн = = \/3т8 — предел текучести материала, к — множитель порядка единицы.

Основное дифференциальное уравнение (15) и граничные условия также приведём к безразмерному виду

др

др

2т»

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где р

р

и;

¡1 + 'Ш

2 т8 др К дг

к\/3т8

2т»

¡1 + ІІ'Ш

др

дї

Д 1

к 1 + и)

2 т8 ¡і 2 т8 2

Для решения данной задачи применим метод последовательных приближений

1) 'Ш:

0- ^

5 о-

от

^ -(о)

—, р^>

11 г + С; С

п

К

К +

р( 0) = (1 — г) +

далее из решения задачи теории упругости при

а

-р(о)(г) нах0дИМ функции (г, г) и и^\г,г) =

2) Определив из уравнения

R

1

функцию р^\ из pernear h 1 + «А1;

ния задачи теории упругости находим функции (f, z) и ü^ (f, z) = w^

при граничных условиях a)tz U=o— —(г), |г=о— ts = 0 и т.д.

Для нахождения функций üz(f, z) = w, не решая сложную систему уравнений (13), будем применять программный пакет ANSYS, использующий алгоритмы метода конечного элемента (МКЭ). Для этого в программе создадим твердотельную модель нашего цилиндра (вернее — половины его осевого сечения, в силу того, что задача осесимметричная), разобьем её на линейные конечные элементы с длиной R/50 и зададим граничные условия (рис. 2).

Рис. 2. Конечноэлементная модель деформируемого цилиндра

В качестве результата решения выдает нам численные значения

перемещения каждого узла сетки конечных элементов. Однако, для дальнейшего использования в решении дифференциального уравнения (15) нам необходимо иметь аналитическое выражение функции перемещений. Для этого проведём полиномиальную интерполяцию полученных точек с координатами (г, г). Определив, таким образам, функцию перемещений как полином 10-ой степени, находим решение дифференциального уравнения

— функцию давления в первом приближении. Затем, изменив граничные условия в модели А^УБ, и проделав аналогичные действия, найдём функцию перемещений во втором приближении. И так далее, до тех пор, пока графики последующих приближений не станут близки к предыдущим. Как следует из представленных графиков, скорость сходимости увеличивается

при увеличении параметра 1г/Я, и при уменьшении параметров Н (то есть

— Н/В) и та.

ТРІ (г)

— " 0.00262' ч?2(г)

V ч.

X;

N Чч

\х V

ч

ч

ч.

0 1 2 3 4 5 6 0 7 8 9

Рис. 3. Первое и второе приближения функции перемещений при Тд = 500, Н/Я = 1, 1г/Я = 1/10

Рис. 5. Распределение напряжений по толщине цилиндра

Рис. 6. Первое, второе, третье и четвертое приближения функции перемещений при та = 500, Н/Я = 1, 1г/Я = 1/40

Рис. 7. Распределение перемещений по толщине цилиндра

Рис. 9. Функция перемещений, полученная в шестом приближении при т8 = 1000, Н/Я = 2, 1г/Я = 1/40

Рис. 11. Распределение напряжений по толщине цилиндра

Следует отметить, что скорость сходимости зависит от толщины растекающегося слоя: при увеличении параметра h/R скорость сходимости метода также увеличивается. При этом необходимо учитывать, что теория течения в тонком пластическом слое является приближенной и ее точность также зависит от величины выше названного параметра.

Библиографический список

1. Кийко И. А. Теория пластического течения / И.А. Кийко. - М.: Изд-во МГУ, 1978. -С. 50-57.

2. Ильюшин A.A. Некоторые вопросы пластического течения / A.A. Ильюшин// Изв. АН СССР. OTH. -1958. -№ 2. -С. 64-68.

Поступило 13.12.2007

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.