CC BY
72ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
93
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ БИФРАКТАЛОВ
Арзамасцева Г. В., Евтихов М. Г., Лисовский Ф. В., Мансветова Е. Г.
Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова, Фрязинский филиал, Российская академия наук, 141190 г. Фрязино, Московская область, Российская Федерация
Поступила в редакцию 16.05.2012
Представлена чл.-корр. РАЕН Грачевым В.И. 21.05.2012
Предложен метод конструирования геометрических бифракталов, основанный на использовании алгоритма типа «фрактал-носитель - носимый предфрактал». С помощью этого метода сконструирован ряд бифракталов, являющихся комбинацией четырех геометрических монофракталов (ковер Серпинского, снежинка Вичека и два монофрактала L-системы с аксиомой в виде квадрата), получены их цифровые мегапиксельные изображения, а также цифровые Фурье-образы, соответствующие дифракционным картинам, наблюдаемым в области Фраунгофера. Для сконструированных бифракталов спектральными методами (методы кругов и кольцевых зон), а также методом покрытия определены спектры хаусдорфовых размерностей, хорошо соответствующие теоретическим.
Ключевые слова: бифрактал, дифракция Фраунгофера, компьютерное моделирование, монофрактал,
мультифрактал, Фурье-преобразование, хаусдорфова размерность
УДК 51.74; 535.4__________________________
Содержание
1. Введение (93)
2. Дифракционные методы анализа свойств фракталов (94)
3. Описание и свойства объектов, используемых для конструирования бифракталов (95)
4. Описание, свойства и алгоритмы конструирования бифракталов (98)
5. Заключение (104)
Литература (104)
1. ВВЕДЕНИЕ
В последнее время наблюдается устойчивая тенденция к изучению и практическому использованию объектов, требующих расширения нашего понятия о традиционных (регулярных) фракталах на более сложные структуры, именуемые мультифракталами (см. монографии и обзорные статьи [1-14] и приводимые там ссылки). Если привычное для всех определение фракталов отождествляет последние с организованными по иерархическому принципу самоподобными (или самоафинными) топологическими множествами с нецелочисленной хаусдорфовой фрактальной размерностью Df, то мультифракталы представляют собой совокупность двух или более таких множеств с неодинаковыми значениями размерности. Согласно этой схеме традиционные (регулярные) фракталы следует называть монофракталами; бифрактал представляет собой объединение двух фрактальных множеств с неравными значениями Df , и т.д. Поскольку чаще всего объединяемые множества представляют собой иерархии с разными шкалами масштабирования,
мультифракталы иногда называют масштабнозависимыми фракталами, характеризуемыми масштабнозависимой хаусдорфовой размерностью [15]. Статистические мультифракталы для своего описания требуют задания не только спектра хаусдорфовых размерностей, но и ряда других показателей. В общем случае для построения мультифракталов (в отличие от монофракталов) необходимы несколько разношаговых алгоритмов конструирования.
Большинство природных фракталов являются мультифракталами, поэтому, перефразируя известное выражение Мандельброта [1], можно сказать, что у природы мультифрактальное лицо. Многочисленные примеры этого в неживой природе (от галактического масштаба до микромира) можно найти в монографии [8]. Имеются публикации о существовании мультифрактальных структур и в высокоорганизованной живой природе, например, обнаружено двойное иерархическое пространственное масштабирование в человеческом геноме [15].
Наряду с этим, мультифрактальные методы описания сложных физических явлений и анализа изображений и сигналов приобретают все более широкое распространение, а «рукотворные» мультифракталы все глубже приникают в технику, например, для создания многодиапазонных антенн и антенных решеток [16-19].
В настоящей работе с помощью компьютерного моделирования исследуются свойства простейших плоских бифракталов, являющихся комбинацией двух геометрических монофракталов (типа «фрактал-носитель — носимый предфрактал»).
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
94 Арзамасцева Г.В., Евтихов М.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
Для ряда таких объектов получены Фурье-образы, содержащие информацию о распределении интенсивности дифрагированного излучения в области Фраунгофера. На основе полученных данных определен спектр хаусдорфовых размерностей изучаемых бифракталов.
Во избежание путаницы необходимо заметить, что в научной и технической литературе термин «бифрактал» имеет и другое значение, отличное от введенного выше. Его часто используют для обозначения любых объемных объектов с фрактальной размерностью (см. напр. [20-22]), в том числе так называемых фрактальных решеток, у которых поперечное сечение одной декартовой координатной плоскостью представляет собой фрактал (напр., снежинку Коха), а сечение перпендикулярной координатной плоскостью — регулярную решетку [20].
2. ДИФРАКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СВОЙСТВ ФРАКТАЛОВ
Используемый в настоящей работе подход к исследованию процесса рассеяния света фракталами с использованием Фурье-анализа оцифрованных фотографических изображений объектов был ранее описан и применен нами для изучения фракталоподобных доменных структур в магнитных пленках [23]. Такой процесс компьютерного моделирования дифракции был нами же отработан на реальных тестовых объектах, в качестве которых выбирались упорядоченные монопериодические и бипериодические доменные структуры, реализующиеся в магнитных пленках, толщина и коэффициент поглощения оптического излучения которых в видимом диапазоне длин волн позволяли непосредственно наблюдать и фотографировать дифракционные картины в режиме «на просвет». Полученные по фотографиям доменных структур Фурье-образы сопоставлялись как с экспериментально наблюдаемыми (на длине волны 0.63 мкм) дифракционными картинами, так и с результатами теоретического расчета [24]. Кроме того, с помощью разработанной нами программы были получены Фурье-образы ряда фрактальных объектов (триадная и квадратная снежинки Коха, ковер Серпинского, фрактал Вичека и др. [25]), для которых распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции ранее определялось и экспериментально, и теоретически другими авторами [26-28]. Согласие получаемых нами модельных дифрактограмм с результатами этих экспериментальных и теоретических исследований было достаточно хорошим. Данный простой
метод моделирования дифракции не требует аналитического описания фракталов, которое использовалось, например, авторами работ [2830], и он может быть применен к любому объекту (не обязательно фрактальному), изображение которого может быть получено и оцифровано.
Первым шагом компьютерного моделирования являлась генерация черно-белых растровых изображений выбранных фрактальных объектов с помощью специально разработанных программ. Далее изображения фракталов аппроксимировались сеточной функцией на равномерной сетке с числом узлов n*n, где значения n и n выбирались достаточно большими (до 4096) для того, чтобы гарантировать адекватную аппроксимацию деталей наименьшего размера и иметь возможность исследовать предфракталы высокого порядка. Для оцифрованного таким образом изображения с помощью быстрого преобразования Фурье определялись амплитуды Фурье-компонент, то есть распределение интенсивности дифрагированного излучения I в области Фраунгофера.
Для отображения интенсивности дифракционных максимумов на плоскости можно использовать либо линейную (или логарифмическую) шкалу интенсивности с использованием различных уровней серого, либо представление значений I в виде кругов с пропорциональным интенсивности (или логарифму интенсивности) радиусом, где коэффициент пропорциональности выбирается из соображений получения оптимальной наглядности получаемых изображений. В данной статье использовался первый метод с линейной шкалой интенсивности.
Нами применялись два спектральных метода определения Df. Первый метод (далее — метод кругов) основан на численном определении усредненной результирующей интенсивности дифрагированного излучения
2п Г
'(rk ) = —з J J1 (P’P) PdPdV
k 00 (1)
в кругах переменного радиуса rk = r0 + kxdr с центром в
точке расположения центрального дифракционного максимума, (r0 и Sr — начальный радиус и шаг изменения радиуса, k = 0, 1, 2,...) и последующего использования формулы
1 (а) = V °f > (2)
где I0 — интенсивность центрального максимума. После этого значение фрактальной размерности Df определялось как модуль углового коэффициента прямой, аппроксимирующей зависимость I (rk) в двойном логарифмическом масштабе.
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
свойства плоских 95 геометрических бифракталов
Во втором методе (далее — метод кольцевых зон) плоскость дифракции разбивалась на кольцевые области системой концентрических окружностей с радиусами rk — rQmk> где rQ начальный радиус, а m > 1 — постоянный множитель. Далее рассчитывалась усредненная результирующая интенсивность дифрагированного излучения внутри каждого кольца
2п m г0
1 ( Г ) =
2k 21 2 nm rQ [m
T) 1 1 1 (p’9’) pdpd<p’
'(m2 -l) * * (3)
V > 0 mkr0 (3)
после чего в двойном логарифмическом масштабе строилась зависимость д Гк), модуль наклона линейного участка которой и определял фрактальную размерность Df . Для самоподобных фракталов значение m совпадает с коэффициентом масштабирования элементов при переходе между соседними иерархическими уровнями фрактала, а значение rQ должно выбираться таким образом, чтобы каждая из кольцевых зон содержала только конгруэнтные фрагменты дифракционной картины [26-31]. Если фрактал не обладает свойством самоподобия, дать рекомендации по выбору m и r0 в общем случае не представляется возможным.
1
Размерность исследуемых фракталов
определялась и методом покрытия, где использовалась построенная в двойном логарифмическом масштабе зависимость N — fe-1), где N — необходимое для полного покрытия фрактала число квадратов с длиной стороны e [1-4, 7, 10]. Наклон прямой, аппроксимирующей данную зависимость, и дает значение фрактальной размерности Df .
а
Рис. 1. Ковер Серпинского 4-го порядка (а) и
3. ОПИСАНИЕ И СВОЙСТВА ОБЪЕКТОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ БИФРАКТАЛОВ
Исследуемые бифракталы формировались из двух простых геометрических монофракталов, в одном из которых (фрактале-носителе) в качестве затравочного объекта выступал другой фрактал (носимый фрактал). Эта процедура коренным образом отличается от давно используемой процедуры создания бифракталов (как геометрических, так и «сигнальных») с помощью простого объединения двух множеств [32-34].
Для конструирования бифракталов использовались четыре геометрических монофрактала: ковер Серпинского [10, 35] (аналог множества Кантора [36] на плоскости), фрактал (снежинка) Вичека [4, 37, 38] и два монофрактала И-системы [39, 40] с аксиомой («затравкой») в виде квадрата [41] (далее — фракталы LS1 и LS2). У первых двух фракталов коэффициент масштабирования m — 3, у двух последних m — 2. Для каждого из перечисленных монофракталов были созданы мегапиксельные черно-белые растровые изображения, по которым находились Фурье-образы и тремя описанными в разделе 2 методами определялись значения размерности Df .
Изображение ковра Серпинского 4-го порядка и Фурье-образа такого фрактала 7-го порядка показаны соответственно на рис. 1а и рис. 1б, а результаты определения фрактальной размерности Df методом кругов, кольцевых зон и покрытия — на рис. 2 a-в. Полученные этими методами значения D^ составили соответственно 1.92, 1.85 и 2.0. Штриховые линии на рис. 2а-в имеют угловой коэффициент, модуль которого равен теоретическому значению D^ — ln8/ln3 — 1.893.
6
. . * т-. . .
♦ ♦
?•: • :: • ж :: • :•?
. ♦ > ♦ .
......................■
Фурье-образ этого же фрактала 7-го порядка (б).
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
96 Арзамасцева Г.В., Евтихов М.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
7-го порядка методами кругов (а), кольцевых зон (б) и покрытия (в).
На рис. 3а и 3б представлены соответственно изображения фрактала Вичека 3-го порядка и Фурье-образа, полученного для этого фрактала 7-го порядка. Значения размерности, определяемые методом кругов (рис. 4а), кольцевых зон (рис. 4б) и покрытия (рис.4в), для фрактала Вичека 7-го порядка составили 2
соответственно 1.47, 1.44, и 1.498 при теоретическом значении D ^ = ln5/ ln3 = 1.465 (см. штриховые линии на рис. 4а-в).
Алгоритмы конструирования двух монофракталов LS1 и LS2 с аксиомой в виде квадрата могут быть описаны на основе стандартного для
Рис. 3. Фрактал Вичека 3-го порядка (а) и Фурье-образ этого же фрактала 7-го порядка (б).
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
свойства плоских 97 геометрических бифракталов
L-систем подхода с помощью набора правил («черепашьей графики»), однако в нашем случае более простым оказывается представление с помощью приводимых ниже рекуррентных соотношений, отображающих последовательные преобразования единичного затравочного квадрата на комплексной плоскости. Заметим, что при этом используются преобразования, использующие только целочисленные трансляции объектов вдоль действительной и (или) мнимой осей, а также повороты только на углы, кратные п/2.
Если выбрать ориентацию системы координат на комплексной плоскости таким образом, чтобы мнимая ось было направлена по горизонтали направо, а действительная ось — по горизонтали вниз, и расположить единичный затравочный квадрат (множество Z(0)) в первом квадранте (координаты вершин (0,0), (0,i) (1,i) и (1,0)), то предфракталы LS1 любого порядка (поколения) Z(n) получаются операцией объединения множеств U с помощью рекуррентных соотношений
Z(n+1) = Z(n) U (iZ(n) + (1 + i)2n j U (-iZ(n) + (1 + i)2n j. (4)
В качестве примера на рис. 5а приведено изображение получающегося в результате применения описанной процедуры фрактала LS1 4-го порядка, соответствующего 5-ой итерации по формуле (5); рядом (рис. 5б) показан Фурье-образ для однотипного фрактала 10-го порядка (11-я итерация). Значения фрактальной размерности, определяемые методом кругов (рис. 6а), кольцевых зон (рис. 6б) и покрытия (рис.бв), для фрактала LS1 10-го порядка равнялись соответственно 1.585, 1.6 и 1,585; теоретическое значение составляло Df = ln3/ln2 = 1.585 (см. штриховые линии на рис. 6 а-в).
Для фрактала LS2 цепочка последовательных преобразований множества в виде единичного затравочного квадрата задается выражениями
Z(п+1) = Z(n) и (-Z(n) + (2 + i)2n j и (-Z(n) + (1 + 2i)2n j. (5)
Рис. 5. Фрактал LS1 4-го порядка (а) и Фурье-образ этого же фрактала 10-го порядка (б).
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
98 Арзамасцева Г.В., Евтихов М.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
а
Рис. 7. Фрактал LS2 4-го порядка (а) и Фур\
При n = 5, например, получаем предфрактал 4-го порядка, изображенный на рис. 7а; Фурье-образ однотипного фрактала 10-го порядка (11-я итерация в (5)) показан на рис. 7б. Для последнего зависимости 1 (rk ) и N(eJ практически совпадают с аналогичными зависимостями для фрактала LS1 10го порядка (небольшие отличия проявились лишь на зависимости 1(гф в методе кольцевых зон), поэтому здесь они не приводятся. Метод кругов для фрактала LS2 дал значение хаусдорфовой размерности 1.585, метод кольцевых зон — 1.56 и метод покрытий — 1.585 при теоретическом значении Df = ln3/ln2 = 1.585.
Для фракталов в виде ковра Серпинского и снежинки Вичека наилучшее совпадение определяемых с помощью компьютерного моделирования значений Df с теоретическими величинами дают методы кругов и кольцевых зон, а для фракталов LS1 и LS2 — методы кругов и покрытия.
4. ОПИСАНИЕ, СВОЙСТВА И АЛГОРИТМЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ БИФРАКТАЛОВ
Существуют два подхода к построению геометрических фракталов — нисходящий и восходящий.
В первом случае затравочный (начальный) объект (затравочное множество) подвергается последовательному измельчению по иерархическому принципу с сохранением подобия между элементами иерархических уровней. При этом максимальные размеры («габариты») фрактала ограничены сверху размерами затравочного объекта, а минимальные размеры элементов стремятся к нулю при неограниченном возрастании числа уровней иерархии. Примерами таких фракталов
6
г-образ этого же фрактала 10-го порядка (б).
могут служить множество Кантора, снежинки Коха,
драконы, деревья и др.
Во втором случае каждый переход на более высокий иерархический уровень сопровождается объединением множества исходного уровня с конечным числом множеств, получаемых из исходного с помощью кратных трансляций и поворотов на углы, кратные п/2. Размеры конструируемых по восходящему принципу фракталов неограниченно возрастают при увеличении числа иерархических уровней, а минимальные размеры определяются протяженностью исходного множества. Классическими примерами таких объектов являются описанные в разделе 3 фракталы Е-системы с аксиомой («затравкой») в виде квадрата.
В настоящей работе мы будем применять исключительно восходящий принцип
конструирования бифракталов на основе двух различных монофракталов. Один из монофракталов выбирается в качестве «носителя», а второй монофрактал конечного порядка (то есть, предфрактал) является «носимым», то есть используется вместо затравочного множества первого. Порядок получаемого при этом бифрактала характеризуется двумя индексами k^k2, где k — порядок фрактала-носителя, а k2 — порядок носимого предфрактала.
Поясним процедуру с помощью рис. 8 для случая, когда носителем является фрактал Вичека, а носимым объектом — ковер Серпинского; первые порядки этих фракталов показаны соответственно на рис 8а и 8б. Если черные квадраты на рис. 8а заменить коврами Серпинского 3-го порядка, то получится бифрактал №»1 порядка 1x4, изображение которого показано на рис. 8в.
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
свойства плоских 99 геометрических бифракталов
Рис. 8. Использование фрактала Вичека (а) в качестве носителя и ковра Серпинского (б) в качестве носимого объекта для конструирования бифрактала №1 (в).
Технические возможности современной компьютерной графики позволили построить бифрактал №1 порядка 4x4, мелкий план Фурье-образа которого и его увеличенной (x8) центральной части (крупный план) приведены соответственно на рис. 9а и 9б. Видно, что мелкий план Фурье-образа этого бифрактала (при
рассматривании «издалека») в целом соответствует Фурье-образу ковра Серпинского (см. рис.1б). Однако, при увеличении центральной части дифракционной картины в 8 раз она становится похожей на Фурье-образ фрактала Вичека (см. рис. 3б). Кроме того, весь фон дифракционной картины «промодулирован» в соответствии с картиной для фрактала Вичека. Это явление при достаточно большом увеличении становится заметным для любой (а не только центральной) части дифракционной картины. Таким образом, периферия и грубые черты Фурье-образа бифрактала №1 задаются ковром Серпинского, а центральная часть и «тонкие» особенности — фракталом Вичека. С самим бифракталом ситуация обратная: при рассмотрении «издалека» (мелкий план) наблюдатель увидит фрактал Вичека, а вблизи (крупный план) — ковер Серпинского. Таким образом, масштабнозависимым является как сам бифрактал, так и его Фурье-образ. Эти особенности объектов типа «фрактал-носитель — носимый фрактал» являются типичными и наблюдались у всех рассматриваемых в настоящей работе бифракталов, поэтому мы на них далее останавливаться не будем. Здесь и далее, говоря о мелком, среднем и крупном плане, мы имеем в виду центральную часть изображения фрактала или его Фурье-образа.
Для данного бифрактала зависимости 1 (п) (для методов кругов и кольцевых зон) и N(b^) (для метода покрытия) в двойном логарифмическом масштабе, изображенные точками соответственно на рис. 10а, 10б и 10в, имеют излом, свидетельствующий об изменении угла наклона аппроксимирующих прямых, то есть об изменении фрактальной размерности. Особенно ярко излом выражен на зависимости /(г^) в методе кругов, на зависимости Nyy) этот излом сглажен. Наклоны соответствующих участков аппроксимирующих прямых
а
. . . ж • *. •
*• *ш'4 :м: * »
• :> |£н 41 • • • ■ <
к » • а ■ • ■ а
■ • • •
. -.:ж>' • •• ...
* • *,м,ж,в.» • • • -
. :Й: ' -• ■: : *£< >■« ; : м •
'Г - _ ; *.* - * ' •
.«•' -..к*» *;«*v • ‘-'Н.
frijMl « V; «4* *4 <)
ч.мтя,
; ^ “ ' . *'-s * ~ '• ^ \
■: :■( чп <»> >■: я *. _ :м:
.. • »:ж> •• •* ■
• • . ж ‘ж* я . • •••' « •
я - • я ' ■ • « я
б
Рис. 9. Мелкий (а) и крупный (x8) (б) план Фурье-образа бифрактала №1 порядка 4^4.
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
100 Арзамасцева Г.В., Евтихов М.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
для метода кругов равны 1.78 и 1.46 (рис. 10а), для метода покрытий — 1.75 и 1.55 (рис. 10в). Для зависимости 1 к-) в методе кольцевых зон (рис. 10б) линейные
участки выделить трудно из-за малого количества точек. Штриховые линии на графиках (рис. 10а-в) имеют наклон, по абсолютной величине равный 1.893 (кривые 1) и 1.465 (кривые 2), что соответствует теоретическим значениям размерности соответственно для ковра Серпинского и фрактала Вичека.
Нами также были сконструированы и изучены другие бифракталы с различным соотношением коэффициентов масштабирования и (или) фрактальной размерности фрактала-носителя и носимого фрактала.
Рис. 11 иллюстрирует схему использования фрактала LS2 в качества носителя (коэффициент масштабирования m = 2, фрактальная размерность Df = 1.585) и ковра Серпинского (m = 3 и D^. = 1.893) в качестве носимого объекта (на рис. 11а,б соответственно
Рис. 11. Использование фрактала LS2 (а) в качестве носителя и ковра Серпинского (б) в качестве носимого объекта для конструирования бифрактала №2 (в).
показаны их вторые порядки ) для создания бифрактала №2 (на рис. 11в показан бифрактал порядка 1X3).
Рис. 12 показывает вид Фурье-образа бифрактала порядка 4X4 (максимально достижимый по техническим причинам порядок) для мелкого (а), среднего (б) и крупного (в) плана, который в первом случае практически эквивалентен виду Фурье-образа для ковра Серпинского (см. рис. 1а), а в последнем -для фрактала I S2 (см. рис. 76).
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
свойства плоских 101 геометрических бифракталов
На рис. 13 приведены графики зависимостей, используемые для определения спектра фрактальных размерностей бифрактала порядка 4x4 методом кругов (а), кольцевых зон (б) и покрытия (в). Штриховыми линиями на всех графиках нанесены зависимости, соответствующие теоретическим значениям D для ковра Серпинского — 1.893 (линия 1) и для фрактала LS2 — 1.585 (линия 2). Видно, что на зависимостях, полученных методом кругов и покрытия, наблюдается излом, справа и слева от которого абсолютные величины наклона аппроксимирующих соответствующие участки прямых оказываются равными 1.78 и 1.56 для метода кругов и 1.83 и 1.6 — для метода покрытий. Метод кольцевых зон не дает возможности выделить линейные участки из-за малого числа экспериментальных точек, как и в случае бифрактала № 1.
Следующим примером, который иллюстрирует рис. 14, является использование фрактала Вичека в
Рис. 14. Использование фрактала Вичека (а) в качестве носителя и фрактала LS2 (б) в качестве носимого объекта для конструирования бифрактала №3 (в).
качестве носителя и фрактала LS2 в качестве носимого объекта для конструирования бифрактала №3. На рис. 14а показан фрактал Вичека 1-го порядка, на рис. 14б — фрактал LS2 2-го порядка, на рис. 14б—результирующий бифрактал порядка 1x4. Для получения Фурье-образа и последующего определения масштабнозависимой фрактальной размерности использовался бифрактал порядка 4x4. На рис. 15 приведены мелкий план Фурье-образа такого бифрактала (а) и его увеличенной центральной части (x4 - (б) и x16 - (в) — средний и крупный план соответственно), иллюстрирующие масштабнозависимый характер объекта (ср. с рис. 7б и рис. 36).
« <■ i*:' '
•* ■ * • V* . ' *
•*: тиы* . \ ч
/Яг-' ■ :*
, ■ .*
■ * * ' ИГ
1- .Х
ж г •
*'*SR v ■■ •
• Яб : .-. ■■14. Л
л .л >:
х х хфяс - v
wx х
■ :.Ч5 ■ ««S-V :.Ч; •
" <> ■
■- Hr?
-f- а
ч
> *]
•Д. A'v Л
«’Я-
■Г
К±Ш А <
R4 -*♦!•
M4-U. •' ■' ж
♦ж
А К
ж
?♦!
^ ^ ’■ ■f'Se
К • X »S4> ТЯ4 4*H H4J*
X ,к±п a *♦*',.*v»4Ж <.,■
- ’Я4 44t- Я* ^4^ ЗЙР "C X
'♦ 'if 5-fc V X ■v -■ ■'
■ *! . . S(4}t .f. S'! л _■
5- >: x . *M- **•: ;>И«М* •
V ' у V ~-
X ■- 'М±ж a .• А
■■ - ■ -
-V ■*
:ч
Рис. 15. Мелкий (а), средний (x4) (б) и крупный (x16) (в) план Фурье-образа бифрактала №3 порядка 4^4.
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
102 Арзамасцева Г.В., Евтихов М.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
Для бифрактала №3 порядка 4x4 на зависимостях
1 {rk )и N(sk) (см. рис. 16а-в) тоже наблюдались изломы, обусловленные масштабной зависимостью фрактальной размерности. Штриховые линии 1 и 2 на всех подрисунках имеют наклоны, по абсолютной величине соответствующие значениям размерности D = 1.585 для фрактала LS2 и D f = 1.465 для фрактала Вичека. Полученные методом кругов значения абсолютной величины Df для участков 1 и 2 составили 1.56 и 1.47 (рис. 16а), для метода покрытия (рис. 16в) на участке 1 и
2 соответственно получились значения 1.585 и 1.5+0.1 (на участке 2 надежная линеаризация невозможна). Также практически отсутствуют линейные участки и для метода кольцевых зон (рис. 16б).
Был сконструирован также бифрактал №4, который отличался от предыдущего только тем, что в качестве носимого объекта использовался
Рис. 17. Использование фрактала Вичека (а) в качестве носителя и фрактала LS1 (б) в качестве носимого объекта для конструирования бифрактала №»4 (в).
изображения мелкого (а), среднего (x4) (б) и
крупного (x8) (в) плана Фурье-образа бифрактала №4 порядка 4x4, которые иллюстрируют масштабнозависимый характер объекта (ср. с рис. 5б и рис. 3б). Для этого бифрактала зависимости Ih) и N(sk) имеют вид, практически неотличимый от наблюдаемого для бифрактала №3, поэтому
здесь они не приводятся.
Рис. 18. Мелкий (а), средний (х4) (б) и крупный (х16) (в) план Фурье-образа бифрактала №4 порядка 4^4.
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
свойства плоских 103 геометрических бифракталов
Рис. 19. Использование фрактала LS1 (а) в качестве носителя и фрактала LS2 (б) в качестве носимого объекта для конструирования бифрактала №5 (в).
Определенный интерес представляло также изучение свойств бифракталов с одинаковыми значениями фрактальной размерности и коэффициентов масштабирования у носителя и носимого объекта. Это было сделано для бифрактала №5, использующего в качестве носителя фрактал LS2 и LS1 — в качестве носимого объекта (Df = 1.585 и m = 2 у обоих фракталов). На рис. 19а и 19б показаны вторые порядки используемых для конструирования фракталов, на рис. 19в — результирующий бифрактал
Рис. 20. Мелкий (а) и крупный (x8) (б— слабый контраст, в — сильный контраст) план Фурье-образа бифрактала №5 порядка 4^4.
порядка 1x4. Здесь тоже проявляется масштабная зависимость вида бифрактала — на мелком плане (издалека) наблюдатель воспринимает его как фрактал LS2, на крупном (вблизи) — как фрактал LS1.
Для получения Фурье-образа бифрактала №5, мелкий и крупный (x8) план которого представлены на рис. 20а и рис. 20б,в соответственно использовался порядок 4x4. На рис. 20б использовался более слабый контраст (по сравнению с рис. 20в), чтобы четче показать мелкие детали. Восприятие Фурье-образа также масштабнозависимо — мелкий план (рис. 20а) соответствует образу фрактала LS1, а увеличенная центральная часть (крупный план на (рис. 20б,в) — образу фрактала LS2.
Несмотря на совпадение фрактальных размерностей и коэффициентов масштабирования у «компонент» бифрактала №5, зависимость 1 (rk ) в методе кругов (рис. 21а) имеет излом, обусловленный сменой алгоритма построения бифрактала, приводящей к масштабной зависимости Фурье-образа. Начальный участок зависимости I{rk ) имеет наклон, по абсолютной величине равный
1.63, конечный — 1.59. В методе кольцевых зон (рис.
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
104 Арзамасцева Г.В., Евтихов М.Г., Лисовский Ф.В., Мансветова Е.Г.
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
21б) изменение наклона лежит в пределах ошибки измерений; левая часть кривой имеет наклон 1.42, правая —1.74. Зависимость N(e^) в методе покрытия рис. 21в изломов не имеет и дает значение Dу = 1.6. Штриховые линии на рис. 21а-в имеют наклон, по абсолютной величине равный 1.585, что соответствует теоретическому значению размерности фракталов LS1 и LS2.
5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложен метод конструирования геометрических бифракталов, основанный не на простом объединении двух топологических множеств, а на использовании алгоритма типа «фрактал-носитель — носимый предфрактал». При этом бифракталы формируются из двух геометрических монофракталов, в одном из которых (носителе) в качестве затравочного объекта выступает другой (носимый) фрактал.
С помощью предложенного метода были сконструированы несколько
бифракталов, являющиеся комбинацией четырех геометрических монофракталов
(ковер Серпинского, снежинка Вичека и два монофрактала Е-системы с аксиомой в виде квадрата), получены их цифровые мегапиксельные изображения, а также цифровые Фурье-образы, соответствующие дифракционным картинам, наблюдаемым в области Фраунгофера.
Все сконструированные бифракталы и их Фурье-образы являлись масштабнозависимыми. Мелкий план изображения таких объектов («издалека») соответствовал носителю, крупный план («вблизи») — носимому фракталу; для Фурье-образов существовала обратная ситуация.
По цифровым изображениям изучаемых объектов и их Фурье-образам спектральными методами (методы кругов и кольцевых зон), а также методом покрытия были определены спектры хаусдорфовых размерностей бифракталов, которые находились в хорошем соответствии с теоретическими. При этом на кривых зависимости усредненной интенсивности дифрагированного излучения I от радиуса rk в методе кругов и кольцевых зон, а также на кривых зависимости N(ek), где N — необходимое для полного покрытия объекта число квадратов с длиной стороны е наблюдались особенности, обусловленные масштабной зависимостью бифракталов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.
2. Пьетронеро Л, Тозатти Э. (ред.) Фракталы в физике. М., Мир, 1988, 672 с.
3. Федер Е. Фракталы. М., Мир, 1999, 254 с.
4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск, НИЦ “РХД”, 2001, 528 с.
5. Пайтген Х-O, Рихтер ПХ. Красота фракталов. М., Мир, 1993, 206 с.
6. Олемской АИ, Флат АЯ. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды. УФН, 1993, 163(12):1-50.
7. Stoyan D, Stoyan H. Fractals, random shapes andpoint fields. Chichester, John Wiley and Sons, 1994, 399 p.
8. Gouyet J-F. Physics and fractal structures. Paris, Ecole Polytechnique, 1995, 234 p.
9. Bunde A, Halvin S. Fractals in science. Berlin, Springer-Verlag, 1995, 298 p.
10. Peitgen H-O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals. New frontiers of science. New York, Springer-Verlag, 2004, 864 p.
11. Потапов АА. Фракталы в радиофизике и радиолокации: топология выборки. М., Университетская книга, 2005, 848 с.
12. Потапов АА, Гуляев ЮВ, Никитов СА, Пахомов АА, Герман ВА. Новейшие методы обработки изображений. Под ред. Потапова АА. М., Физматлит, 2008, 496 с.
13. Зосимов ВВ, Лямшев ЛМ. Фракталы в волновых процессах. УФН, 1995, 165(4):361-402.
14. Божокин СВ, Паршин ДА. Фракталы и мультифракталы. Ижевск, НИЦ “РХД”, 2001, 128 с.
15. Carpena P, Bernaola-Galvan P, Voronado AV, Hackenberg V, Oliver JL. Identifying characteristic scales in the human genome. Phys. Rev. E, 2007, 75(3):0329031-03290314.
16. Puente C, Romeu J, Pous R, Garcia X, Benitez F. Fractal Multiband Antenna Based on the Sierpinski Gasket. IEE Electronics Letters, 1996, 32(1):1-2.
17. Dimas HE. Spiral fractal arrays. NSF/SUNFEST Summer Undergraduate Research, University of Pennsylvania, 2000:188-199.
18. Zadeh HE, Ghobadi Ch, Nourinia J. Circular Multifractal UWB monopole antenna. EICE Electron. Express, 2010, 7(10):717-721.
19. Maninegalai B, Raji S, Abhaikumar V A multifractal cantor antenna for multiband wireless applications.
IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2009, 8(10):359-362.
20. Shi Y, Gong C. Critical dimensionalities of phase transition on fractals. Phys. Rev. E, 1994, 49(1):99-103.
21. Schreiber M, Grussbach H. Dimensionality dependence of metal-insulator transition in the Anderson model of localisation. Phys. Rev. Letters, 1996, 76(10):1687-1690.
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
ФРАКТАЛЫ В ФИЗИКЕ
22. Travenec I, Markos P. Critical conductance distribution in various dimensions. Phys. Rev. B, 2002, 65(11):1131091-1131094.
23. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Лукашенко ЛИ. Компьютерное моделирование дифракции света на фрактальных доменных структурах. Тр. XIXМеждунар. шк.-сем. “Новыемагнитные материалы микроэлектроники’. Москва, 2004, с. 632-634.
24. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ, Темирязева МП. Аморфизация бипериодических доменных структур в квазиодноосных магнитных пленках критической толщины. ЖЭТФ, 2008, 134(2):282-290.
25. Арзамасцева ГВ, Евтихов МГ, Лисовский ФВ, Мансветова ЕГ. Фурье-образы фрактальных объектов. Изв. РАН, сер. физ., 2010, 74(10):1430-1432.
26. Alain C, Cloitre M. Optical diffraction on fractals. Phys. Rev. B, 1986, 33(5):3566-3569.
27. Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Diffraction fields of fractally bounded apertures. Optical review, 1994, 1(1):3-7.
28. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals. J. Mod. Optics, 1990, 37(6):1011-1031.
29. Зинчик АА, Музыченко ЯБ, Стафеев СК. О
принципах амплитудной и амплитудно-фазовой пространственной фильтрации. Изв. ВУЗов. Приборостроение, 2007, 50(7):46-52.
30. Зинчик АА, Музыченко ЯБ, Смирнов АВ, Стафеев СК. Расчет фрактальной размерности регулярных фракталов по картине дифракции в дальней зоне. Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, 2009, 2(60):17-24.
31. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. Fraunhofer diffraction by Koch fractals: the dimensionality. J. Mod. Optics, 1991, 38(7):1335-1347.
32. Liaw S-S, Chiu F-Y. Construction bi-fractals from mono-fractals. http://140.120.11.21/htdocs/stock%20 market/Construction%bifractals%from%monofractals. pdf.
33. Liaw S-S, Chiu F-Y Fractal dimensions of time sequences. Physica A, 2009, 388(15-16):3100-3106.
34. Liaw S-S, Chiu F-Y Fractal analysis of stock index and electrocardiograph. Chinese J. of Physics, 2010, 48(6):814-828.
35. Sierpinski W Sur une corbe dent tout point est un point de ramification. Comptes Rendus Acad. Sci, 1916, 162(25):629-632.
36. Кантор Г. О бесконечных точечных линейных многообразиях. В кн. Труды по истории множеств. М., Наука, 1985, с. 36-40.
37. Viscec T. Fractal model for diffusion controlled aggregation. J. Phys. A, 1983, 16(17):L647-L652.
38. Лоскутов АЮ, Михайлов АС. Основы теории сложных систем. М.—Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2007, 620 с.
свойства плоских 105 геометрических бифракталов
39. Lindermayer A. Mathematical model for cellular interaction in development. I. Filaments with one-sided inputs. J. Theor. Biol., 1968, 18(3):280-299.
40. Lindermayer A. Mathematical model for cellular interaction in development. II. Simple and branching filaments with two-sided inputs. J. Theor. Biol, 1968, 18(3):300-315.
41. http://lcni.uoregon.edu/~dow/Geek_art/Binary_ fractals/Binary_fractal_images.html.
Арзамасцева Галина Васильевна,
k. ф.-м.н, с.н.с,
ФИРЭ им. В.А. Котельникова, Российская академия наук
l, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.,
+7 496 565 2435
Евтихов Михаил Григорьевич,
k. ф.-м.н., с.н.с.,
ФИРЭ им. В.А. Котельникова, Российская академия наук
l, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.,
+7 496 565 2435
Лисовский Федор Викторович,
д.ф.-м.н., проф., гл.н.с.,
ФИРЭ им. В.А. Котельникова, Российская академия наук 1, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.,
+7 496 565 2435, +7 915 337 8428; lisf@df.ru
Мансветова Екатерина Георгиевна,
k. ф.-м.н., с.н.с.,
ФИРЭ им. В.А. Котельникова, Российская академия наук
l, пл. Введенского, 141190 Фрязино Моск. обл.,
+7 496 565 2435.
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
106
FRACTALS IN PHYSICS
PROPERTIES OF PLANAR GEOMETRICAL BIFRACTALS
Arzamastseva G.V., Evtikhov M.G., Lisovsky F.V., Mansvetova E.G.
Kotel’nikov Institute of Radio-Engineering and Electronics, Fryazino Branch, Russian Academy of Science, http://fire.relarn.ru
1, Vvedensky sq., 141120 Fryazino, Moscow region, Russian Federation,
lisf@df.ru
A new method of planar geometrical bifractals design of “monofractal carrier — carried prefractal” type is suggested. On the basis of this method a number of bifractals were designed in a form of four geometrical monofractals combination (Sierpinski carpet, Viscec snowflake and two L-system fractals with axiom in a form of square box) were designed and their megapixel images and corresponding Fourier images in Fraunhofer region were obtained. For designed bifractals by spectral and covering methods the Hausdorf dimensions spectra were determined which were in good accordance with the theoretical ones.
Keywords: bifractal, computer simulation, Fourier transform, Fraunhofer diffraction, Hausdorf dimension, monofractal, multifractal
UDC 51.74; 535.4
Bibliography — 41 references
RENSIT, 2012, 4(2):93-107___________________________
REFERENCES
1. Mandelbrot BB. The fractal geometry of nature. San Francisco, Freeman, 1983, 497 p.
2. Pietronero L, Tossati E. (eds.) Fractals in physics. Amsterdam, New York, 1986, 476 p.
3. Feder J. Fractals. New York, Plenum Press, 1988, 283 p.
4. Shroeder M. Fractals, chaos, power laws: Miniatures from an infinite paradise. New York, Freeman, 1991, 429 p.
5. Peitgen H-O, Richter PH. The beauty of fractals. New York, Springer Verlag, 1986, 199 p.
6. Olemskoi AI, Flat AYa. UFN, 1993, 163(12):1-50 (in Russ.).
7. Stoyan D, Stoyan H. Fractals, random shapes and point fields. Chichester, John Wiley and Sons, 1994, 399 p.
8. Gouyet J-F. Physics and fractal structures. Paris, Ecole Polytechnique, 1995, 234 p.
9. Bunde A, Halvin S. Fractals in science. Berlin, Springer Verlag, 1995, 298 p.
10. Peitgen H-O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals. Newfrontiers of science. New York, Springer Verlag, 2004, 864 p.
11. Potapov A.A. Fractaly v radiofizike i radiolokatsii: topologiya vyborki [Fractals in Radiophysics and Radiolocation: topology of sample]. Moscow, Universitetskaya kniga Publ., 2005, 848 p.
Received 16.05.2012
12. Potapov AA, Gulyaev YuV, Nikitov SA, Pakhomov AA, German VA. Noveyshie metody obrabotki igobragheniy [The latest image processing techniques]. Potapov AA (ed.). Moscow, Fizmatlit Publ., 2008, 496 p.
13. Zosimov VV, Lyamshev LM. UFN, 1995, 165(4):361-402 (in Russ.).
14. Bozhokin SV, Parshin DA. Fractaly i multifractaly. Izhevsk, RKhD Publ., 2001, 128 p.
15. Carpena P, Bernaola-Galvan P, Voronado AV, Hackenberg V, Oliver JL. Phys. Rev. E, 2007, 75(3):0329031-03290314.
16. Puente C, Romeu J, Pous R, Garcia X, Benitez F.
Electronics Letters, 1996, 32(1):1-2.
17. Dimas HE. NSF/SUNFEST Summer Undergraduate Research, University of Pennsylvania, 2000:188-199.
18. Zadeh HE, Ghobadi Ch, Nourinia J. EICE Electron. Express, 2010, 7(10):717-721.
19. Maninegalai B, Raji S, Abhaikumar V. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters, 2009, 8(10):359-362.
20. Shi Y, Gong C. Phys. Rev. E, 1994, 49(1):99-103.
21. Schreiber M, Grussbach H. Phys. Rev. Letters, 1996, 76(10):1687-1690.
22. Travenec I, Markos P. Phys. Rev. B, 2002, 65(11):1131091-1131094.
23. Arzamastseva GV, Evtikhov MG, Lisovsky FV, Lukashenko LI. Tr. XIX Meghd. shkoly-seminara
2 НОМЕР | ТОМ 4 | 2012 | РЭНСИТ
FRACTALS IN PHYSICS
properties of planar 107 geometrical bifractals
“Novye magnitnye materialy microelectronic”,
Moscow, 2004:632-634 (in Russ.).
24. Arzamastseva GV, Evtikhov MG, Lisovsky FV, Mansvetova EG, Temiryazeva MP. ZhETF, 2008, 134(2):282-290 (in Russ.)
25. Arzamastseva GV, Evtikhov MG, Lisovsky FV, Mansvetova EG. Izp. RAS, ser. fip, 2010, 74(10):1430-1432 (in Russ.)
26. Alain C, Cloitre M. Phys. Rev. B, 1986, 33(5):3566-3569.
27. Sakurada Y, Uozumi J, Asakura T. Optical review, 1994, 1(1):3-7.
28. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. J. Mod. Optics,
1990, 37(6):1011-1031.
29. Zinchik AA, Muzychenko YaB, Stafeev SK. Izy. VUZov. Priborostroenie, 2007, 50(7):46-52 (in Russ.).
30. Zinchik AA, Muzychenko YaB, Smirnov AV, Stafeev SK. Nauchno-tehnicheskiy vestnik SPbGU ITMO, 2009, 2(60):17-24 (in Russ.).
31. Uozumi J, Kimura H, Asakura T. J. Mod. Optics,
1991, 38(7):1335-1347.
32. Liaw S-S, Chiu F-Y. http://140.120.11.21/ htdocs/stock%20market/Construction%bi-fractals% from%monofractals.pdf.
33. Liaw S-S, Chiu F-Y. Physica A, 2009, 388(15-16):3100-3106.
34. Liaw S-S, Chiu F-Y. Chinese J. of Physics, 2010, 48(6):814-828.
35. Sierpinski W Comptes Rendus Acad. Sci., 1916, 162(25):629-632.
36. Cantor G. Math. Ann., 1883, XV:1-7; XVII:355-358; XX:113-121; XXI:51-58 and 545-591.
37. Viscec T. J. Phys. A, 1983, 16(17):L647-L652.
38. Loskutov AYu, Mihailov AS. Osnovy teorii slozhnyh sistem [Foundations of the theory of complex systems]. Moscow—Izhevsk, Institut kompyuternykh issledovanii Publ., 2007, 620 p.
39. Lindermayer A.J. Theor. Biol., 1968, 18(3):280-299.
40. Lindermayer A.J. Theor. Biol., 1968, 18(3):300-315.
41. http://lcni.uoregon.edu/~dow/Geek_art/ Binary_fractals/Binary_fractal_images.html.
РЭНСИТ | 2012 | ТОМ 4 | НОМЕР 2
