CC BY
20
УДК 528. 15: 528. 087
СВОЙСТВА ОЦЕНОК РАВНОТОЧНО ИЗМЕРЕННЫХ ВЕЛИЧИН, ПОЛУЧЕННЫХ МЕТОДОМ ПСЕВДОНОРМАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ КОРРЕЛАТНЫМ СПОСОБОМ
Амридон Гемзаевич Барлиани
Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и информационных систем, тел. (983)319-99-31
Известно, что в математических моделях геодезических построений истинные значения параметров сети не известны. Мы располагаем лишь их оценками, полученными на основе результатов измерений, которые сопровождаются неизбежными случайными ошибками наблюдений. В такой ситуации хорошее качество оценок параметров модели, полученных с использованием того или иного метода, является одним из важнейших условий построения «удачной» математической модели геодезической сети. Теория статистического оценивания определяет качество оценок по свойствам несмещенности и эффективности. Напомним, что оценка является несмещенной, если истинное значение параметра можно рассматривать как ее математическое ожидание или, иначе, математическое ожидание ошибки оценки должно быть равно нулю. Оценка рассматривается как эффективная, если она характеризуется наименьшей дисперсией (дисперсия ошибки оценки минимальна) среди всех других аналогичных оценок, полученных различными методами. В статье дано теоретическое обоснование несмещенности и эффективности оценок параметров математической модели геодезических сетей, полученных по методу псевдонормальной оптимизации, для коррелатного способа.
Ключевые слова: оценка точности, псевдонормальная оптимизация, псевдообратная матрица, симметричная матрица, эффективная оценка, несмещенная оценка, ковариационная матрица.
Необходимо доказать, что оценки, полученные на основе метода псевдонормальной оптимизации в коррелатной версии, являются несмещенными и эффективными.
Проверку свойств оценок рассмотрим для случая неравноточно измеренных величин. Для этого на первом этапе докажем, что оценка вектора уравненных результатов измерений у^, полученная на основе псевдонормальной оптимизации коррелатным способом, является несмещенной оценкой. С этой целью запишем уравненный вектор результатов измерений [1-8]:
Хорошо известно, что вектор невязок ю является вектором истинных ошибок функций. Поэтому его можно записать как линейную функцию (комбинацию) от истинных ошибок наблюдений, то есть [1, 2, 9-16]:
у = у - В+ю.
(1)
ю = ю(0) = -В(¥ - у) = В( у-7),
где 7 - вектор истинных значений измеренных величин;
у - вектор измеренных значений;
0 - вектор истинных ошибок измерений.
Тогда формулу (1) с учетом (2) перепишем в виде [1, 2]:
у = у - В+Ву + В+ВТ . (3)
Учитывая тот факт, что М(у) = У, а также то, что составляющие вектора У считаются постоянными величинами, математическое ожидание выражения (3) будет равняться:
М(у) = У - В+ВУ + В+ВУ = У. (4)
Это значит, что оценка является несмещенной оценкой для вектора У.
Теперь ответим на вопрос, является ли оценка у эффективной. Чтобы ответить на поставленный вопрос, рассмотрим теорему.
Теорема 1. Оценка (3), полученная методом псевдонормальной оптимизацией является наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.
Докажем это. Для этого рассмотрим любую другую линейную несмещенную оценку для вектора у. С этой целью без ограничения общности такую оценку можно представить в виде:
у = (I - В+В + ЕВ)у + В+ВУ,
где Е - некоторая п х г-мерная матрица.
Так как составляющие вектора У являются постоянными величинами, на основании теоремы обобщенной оценки точности получим ковариационную матрицу для вектора у:
Ку = (I - В+В + ЕВ)Ку (I - В+В + ЕВ)Т.
2
Учитывая, что К у = ^ I, после несложных преобразований получим:
К9 = \у2(1 - В+В + ЕВ)(I - В+В + ЕВ)Т. (5)
Для удобства дальнейших выводов введем следующие обозначения:
Ц = (I - В+В + ЕВ);
В2 = (I - ВТВ+Т + ВТЕТ).
С учетом введенных обозначений предварительно найдем произведение двух матриц:
Д . D2 = (I - B+B + EB)(I - BTB+T + BTET) = = I - BTB+T + BTET - B+B + B+BBTB+T -B+BBTET + EB - EBBTB+T + EBBTET.
, T +t
Учитывая, что B B = B B , после несложных преобразований получим:
Д . D2 = I - B+B + EBBTET . С учетом этого ковариационную матрицу (5) перепишем так:
Ky = ^2(I - B+B + EBBTET). Учитывая выражение (5), получим:
Ky = Ky + ц2EBBTET. (6)
T T
Хорошо известно, что симметричная матрица EBB E неотрицательно определена, поэтому можно записать:
КУ а Ky . (7)
Отсюда следует доказательство теоремы. Действительно, i-й диагональный элемент ковариационной матрицы K- равен дисперсии i-й компоненты вектора у.
Поэтому из (7) следует неравенство для дисперсий оценок параметров уравненного вектора результатов измерений:
»Iа ° I • (8)
что и требовалось доказать.
Точно таким же образом можно доказать несмещенность и эффективность оценки вектора поправок V к измеренным величинам.
Найдем несмещенную оценку ц2 для генеральной дисперсии единицы
2
веса а , рассмотрим вектор остатков:
V = - B+ю.
Эту формулу с учетом выражения (2) можно представить в виде:
V = - В+ю = - В+В е, и Ут = -етВт В+т. Тогда можно записать, что
М(VTV) = М[(-етВт В+т)(-В+Ве)] = М[етВт В+тВ+Ве].
Из свойства псевдообратных матриц известно, что Вт В+т = (В+В)т = В+В, поэтому можно записать
м(VTV) = М[етВт В+тВ+Ве] = М[етВ+ВВ+Ве].
Известно, что В+ВВ+ = В+, поэтому можно переписать:
м (VTV) = М [ етВ+В е].
Введем обозначение С = В+В. Очевидно, что матрица С является симметричной идемпотентной, поэтому недиагональные элементы, расположенные в матрице симметрично, равны друг другу.
Исходя из симметричности и идемпотентности матрицы С, следует:
М^) = £ С .е2 + £ С е е .,
и ' . 1 у
I = 1 I Ф у
где у = 1, 2, ..., п; С., и С.. - диагональные и недиагональные элементы мат-
II I.
рицы С соответственно.
Принимая во внимание, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий и что элементы матрицы С являются неслучайными величинами, получим:
М (етСе) = £ СМ (е;2) + £ СМ (е. е .). (10)
.= 1 у
2 2
Учитывая, что М(е .) = а и М (е е .) = 0, выражение (10) перепишем:
I I ]
М(утУ) = а2 £ С.. = аЬтС, (11)
. = 1
где №С - след матрицы С.
Известно, что след любой квадратной матрицы равен сумме ее диагональных элементов. Чтобы найти след матрицы C в выражении (11), вместо матрицы C подставим ее значение и получим:
M(8TC8) = а2^ = а\(В+В). (12)
Как известно матрица В+В является идемпотентной, поэтому след этой матрицы равен ее рангу. Используя свойства ранга произведения матриц, можем записать:
^ (В+В) = тт^ (В+), ^ (В)]. (13)
Из линейной алгебры известно, что гк(В+) = гк(В) = г = п - к, поэтому можно записать:
^(В+В) = г = п - k. (14)
Следовательно, окончательно можно получить:
M(VTV) = а2Хг(В+В) = а2(п - k).
Из этого следует, что
2 2 VTV IV2 ц2 = а2 = —!— = =-!- (15)
п - k П - k
2 2 2
является несмещенной оценкой дисперсии ошибок а , т. е. M(ц ) = а .
Следовательно, оценки, полученные методом псевдонормальной оптимизации, являются несмещенными и эффективными (в смысле наименьшей дисперсии) оценками.
В заключение можно сделать вывод о том, что предложенный метод является устойчивым к возмущениям исходных данных и его можно использовать при решении хорошо обусловленных, вырожденных и плохо обусловленных систем линейных уравнений. Таким образом, данный алгоритм можно рекомендовать для уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барлиани А. Г. Псевдорешение и метод наименьших квадратов // ГЕО-Сибирь-2008. IV Междунар. науч. конгр. : сб. материалов в 5 т. (Новосибирск, 22-24 апреля 2008 г.). -Новосибирск : СГГА, Т. 1, ч. 1. - С. 160-163.
2. Барлиани А. Г. Методы обработки и анализа пространственных и временных данных : монография. - Новосибирск : СГУГиТ, 2016. - 188 с.
3. Барлиани А. Г. Разработка алгоритмов уравнивания и оценки точности свободных и несвободных геодезических сетей на основе пседонормального решения : монография. -Новосибирск : СГГА, 2010. - 135 с.
4. Albert A., Sittler R. Conditions for positive nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses // SIAM J. Appl. Math. - 1969. -17. - P. 434-440.
5. Ben-Israel A., Wersan S. J. An elimination method for computing the generalized inverse for arbitrary complex matrix. J. Assoc. Comput. Mach., 10 (1963), P. 532-537.
6. Boullion T., Odell P. Theory and Application of Generalized Inverse : Proceedings of symposium Texas Technological College, March 1968.
7. Boullion T., Odell P. Generalized Inverse. Matrices Wiley-Intersience. - New York : Calcutta, 1971.
8. Greville T. N. E. The pseudoinverse of a rectangular matrix // SIAM Review. - 1959. -№ 1. - P. 38-43.
9. Penrose R. A. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Phil. - 1955. - Soc. 51. - P. 406-413.
10. Падве В. А. Математическая обработка и анализ результатов геодезических измерений : монография в 2 ч. Ч. 1. Основы теории погрешностей измерений и фундаментальные алгоритмы точностной МНК-оптимизации результатов измерений. - Новосибирск : СГУГиТ, 2015. - 163 с.
11. Карпик А. П., Каленицкий А. И., Соловицкий А. Н. Новый этап развития геодезии - переход к изучению деформаций блоков земной коры в раионах освоения угольных месторождений // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 3 (23) - С. 3-9.
12. Карпик А. П. Разработка методики качественной и количественной оценки кадастровой информации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2013. - № 4/С. - С. 137-142.
13. Маркузе Ю. И., Голубев В. В. Теория математической обработки геодезических измерений : учеб. пособие для вузов / под общ. ред. Ю. И. Маркузе. - М. : Академический Проект: Альма Матер, 2010. - 247 с.
14. Машимов М. М. Уравнивание геодезических сетей : учеб. пособие для вузов. - М. : Недра, 1979. - 367 с.
15. Папазов М. Г., Могильный С. Г. Теория ошибок и способ наименьших квадратов. -М. : Недра, 1968. - 302 с.
16. Эльясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений. Главная редакция физико-математической литературы издательства. - М. : Наука, 1976. - 416 с.
Получено 17.10.2016
© А. Г. Барлиани, 2017
ASSESSMENTS PROPERTIES OF EQUAL ACCURACY MEASURED VALUES, OBTAINED BY PSEUDONORMAL OPTIMIZATION CORRELATION WAY
Amridon G. Barliani
Siberian State University Geosystems and Technologies, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Ph. D., Associate Professor, Department of Applied Informatics and Information Systems, tel. (983)319-99-31, e-mail: kaf.pi@ssga.ru
It is known that in the mathematical models of geodetic constructions the true values of the network parameters are not known. We have only their estimates obtained on the basis of the meas-
Вестник CTyTuT, Tom 22, № 1, 2017
urement results, which are accompanied by the inevitable random errors of observations. In this situation, a good quality model parameter estimates obtained using a particular method, is one of the most important conditions for building a "successful" mathematical model of geodetic network. The theory of statistical evaluation determines the quality of the assessments on the properties of unbi-asedness and efficiency. We remind that the estimate is unbiased, if the true value of the parameter can be seen as its mathematical expectation or otherwise, the mathematical expectation estimation error should be equal to zero. Evaluation is regarded as effective if it has the lowest dispersion (variance estimation error is minimum) among all other similar estimates obtained by different methods. The article gives a theoretical justification for unbiasedness and efficiency parameters of a mathematical model of geodetic networks estimates obtained by the method pseudonormal optimization for correlation method.
Key words: accuracy evaluation, pseudonormal optimization, pseudoinverse matrix, symmetric matrix, effective evaluation, unbiased assessment, covariance matrix.
REFERENCES
1. Barliani, A. G. (2008). Pseudosolution and least squares method. In Sbornik materialov Interekspo GEO-Sibir'-2008: T. 1, ch. 2. [Proceedings of Interexpo GEO-Siberia-2008: Vol. 1, Part. 2] (pp. 35-40). Novosibirsk: SSGA [in Russian].
2. Barliani, A. G. (2016) Metody obrabotki i analiza prostranstvennykh i vremnnykh dannykh [Methods of processing and analysis of spatial and temporal data]. Novosibirsk: SSUGT [in Russian].
3. Barliani, A. G. (2010). Razrabotka algoritmov uravnivaniya i otsenki tochnosti svobodnykh i nesvobodnykh geodezicheskikh setey na osnove psevdonormalnogo resheniya [Development equalization algorithms and the accuracy of its assessment, the free and non-free geodetic networks based on solutions pseudonormal decision]. Novosibirsk: SSGA [in Russian].
4. Albert, A., & Sittler, R. (1969). Conditions for positive nonnegative definiteness in terms of pseudoinverses. SIAM J. Appl. Math., 17, 434-440.
5. Ben-Israel, A., & Wersan, S. J. (1963). An elimination method for computing the generalized inverse for arbitrary complex matrix. J. Assoc. Comput. Mach., 10, 532-537.
6. Boullion, T., & Odell, P. (March 1968). Theory and Application of Generalized Inverse. In Proceedings of symposium at Texas Technological College.
7. Boullion, T., & Odell, P. (1971). Generalized Inverse. Matrices Wiley-Intersience. New York: Calcutta.
8. Greville, T. N. E. (1959). The pseudoinverse of a rectangular matrix. SIAM Review, 1, 38-43.
9. Penrose, R. A. (1955). A generalized inverse for matrices. Proc. Cambridge Phil. Soc. 51, 406-413.
10. Padve, V. A. (2015) Matematicheskaya obrabotka I analiz rezultatov geodezicheskikh izmereniy [Mathematical processing and analysis of results of geodetic measurements]. Novosibirsk: SSUGT [in Russian].
11. Karpik, A. P., Kalenitsky, A. I., & Solovitsky, A. N. (2013). New stage of development of geodesy - the transition to the study of the deformation of crustal blocks in the areas of development of coal deposits. Vestnik SGGA [VestnikSSGA], 3(23), 3-9 [in Russian].
12. Karpik, A. P. (2013). Development of the method of qualitative and quantitative assessment of the inventory information. Izvestia vusov. Geodeziya i aerofotos"emka [Izvestiya Vuzov. Geodesy andAerophotography], 4, 137-142 [in Russian].
13. Marcuse, Y. I., & Golubev, V. V. (2010). Teoriya matematicheskoy obrabotki geodezicheskikh izmereniy [The theory of mathematical processing of geodetic measurements]. Moscow: Academic Project: Alma Mate r [in Russian].
14. Mashimov, M. M. (1979). Uravnivanie geodezichescikh cetey [Adjustment geodetic networks]. Moscow: Nedra [in Russian].
15. Papazov, M. G., & Grave, S. G. Teoriya oshibok i sposob naimenshikh kvadratov [Theory of errors and the method of least squares]. Moscow: Nedra [in Russian].
16. Elyasberg, P. E. Opredelenie dvizheniya po rezultatam izmereniy [Motion determined by the results of measurements]. Moscow: Nauka [in Russian].
Received 17.10.2016
© A. G. Barliani, 2017
