CC BY
51
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1252-1254
УДК 532.5
СВОЙСТВА И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МНОГОСЛОЙНОЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ
© 2011 г. А.А. Чесноков
Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск
chesnokov@hydro.nsc.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Найдено преобразование, с помощью которого нелинейная система уравнений теории длинных волн, описывающая пространственные колебания многослойной стратифицированной жидкости во вращающемся круговом параболическом бассейне, сведена к обычным уравнениям модели многослойной мелкой воды над ровным неподвижным дном. Это преобразование получено в результате анализа теоретико-групповых свойств уравнений движения вращающейся мелкой воды, а также более общей модели, учитывающей ку -сочно-постоянную стратификацию жидкости. Наличие у рассматриваемых уравнений движения нетривиальных симметрий позволило провести групповое размножение решений. С использованием известного стационарного вращательно-симметричного решения получен класс периодических по времени решений, описывающий нелинейные колебания в круговом параболоиде с замкнутыми или квазизамкнутыми (эргодическими) траекториями движения жидких частиц.
Ключевые слова: вращающаяся жидкость, стратификация, длинные волны, симметрии, точные решения.
Преобразование модели к уравнениям движения слоистой мелкой воды
Учет силы Кориолиса вносит в гидродинамику новые эффекты, представляющие интерес для приложений в физике океана и атмосферы [1]. На основе нелинейной модели мелкой воды были получены общие результаты о волновом движении жидкости во вращающемся бассейне, выведены уравнения для центра масс, момента инерции и полной энергии движущейся жидкости, а также найдены точные решения в рамках модели с линейным полем скоростей [2, 3]. Изучались нелинейные осесимметричные колебания жидкости в параболоиде вращения и построены классы точных решений уравнений движения, в том числе периодические по времени [4-7], их особенностью является линейная зависимость радиальной компоненты скорости от радиуса. Для систем уравнений, описывающих движение тонкого слоя жидкости над ровным дном с учетом и без учета силы Кориолиса, на основе методов из [8] установлен изоморфизм алгебр Ли допустимых операторов [9] и построены обширные классы точных решений [10]. Свойства симметрии уравнений движения вращающейся мелкой воды [9, 10] позволили преобразовать модель, описывающую пространственные движения тонкого слоя жидкости во вращаю-
щемся круговом параболоиде, к обычным уравнениям теории мелкой воды [11]. Установлено, что этот результат допускает обобщение на случай многослойной стратифицированной жидкости и может быть полезен при моделировании рингов и линз.
В приближении длинных волн рассматриваются нелинейные пространственные колебания многослойной стратифицированной жидкости в ограниченном бассейне, вращающемся с постоянной угловой скоростью //2 относительно вертикальной оси г. В цилиндрической системе координат (г, 0, г), вращающейся вместе с бассейном, движение жидкости описывается системой уравнений:
диТТ ди, У, ди, у2 ^
- + и,—--+———----'■— -
д
/ г -— + g — 4 дг
дг г д0 г
( - 1 N
г+1 \ +-1 ХрЛ
л
к / ,гк к
к =1 р- к = -+1 J
= 0,
V
сМ
+1 д. г д0
V У дУ.- и у,
дг
(
г д0 1
г +Х кк +— ХрА
дк
V к =1
1д
р- к=-+1
= 0,
1д
д, + (гик)+—~д00 (Ук) = 0.
а г дг г д0
Здесь и,, У, - радиальная и окружная компоненты вектора скорости в /-м слое; р, , к, — плот-
Г
(2*+1)яЛа/ /
Z=J i=2krJ(ti h+Z // jj
-1
1 б N '1
L 1 ' У N V ^ Л /J X/ Ч ГП
% V iV'“ V /
м t=Zknj(Si
О х 1
Рис. 1
. в
//i=25ic/а> /7 ^ / \ Vl N / \ \ \ —Л\
\ \,-i '.л \ L l. 4 i \ // / у / / у /
-1
X 1
ность и глубина /-го слоя жидкости (/ = 1, Ы); постоянные g и /— ускорение свободного падения и параметр Кориолиса; уравнением г =
Z(г, 0) задается рельеф дна. Теоретико-групповой анализ уравнений (1) показывает, что наиболее широкая, 9-мерная группа симметрий допускается только в том случае, когда рельеф дня имеет форму кругового параболоида
2 г2
КГ . /
Z =
к>-
, 2 —t
t =—1^-2’ — 2
ft
r = | cos
2
9' = + 9 (—= 2jgK),
—t —r —t
U. = U- cos--1----sin—,
г г 2 2 2 '
V '=|V + fr| cos—, h'= h
—t
орема дают возможность построения обширных классов точных решений рассматриваемой модели. Приведем пример периодического по времени решения, обладающего функциональным произволом:
U=
—г (а2 - 1)т
2
1 + а2т2
V = v(~).
а(1 + т2) 1 + а2 т2
(2)
2 4 g
Теорема. Система уравнений (1), описывающая в длинноволновом приближении движение многослойной стратифицированной жидкости во вращающемся бассейне (2), и обычные уравнения теории мелкой воды для слоистых потоков (уравнения (1) при f = 0, Z = const) связаны точечным преобразованием
—t
fr_ (а - 1)(ат2 -1) 2 1 + а 2т2 "
~ = Гу
--f + fV(r)
g 0/
а(1 + т2)
1 + а 2т2 :
а(1 + т ) ~ h =-г—ГГ h (r); 1 + а2т2 —t 4
т = tg —; h (r) =
(4)
v2( r)
\
dr + h0 -
22 — -f r2.
8g
(3)
cos—
2 J 2 ' ‘ \ 2
Если набор функций U. (t, r, 0), Vi(t, r, 0), hi (t, r, 0) удовлетворяет уравнениям (1), (2), то функции U'(f, Г, 0'), V(t, r\ 0'), h'(t', Г, 0'), определяемые формулами (3), являются решением уравнений (1) при f = 0, Z = const.
Свободные колебания жидкости во вращающемся параболоиде
Выполненный анализ симметрийных свойств уравнений (1), (2) и сформулированная выше те-
Здесь V — произвольная гладкая функция, Н0 и а — положительные постоянные. Формулы (4) задают периодическое по времени (период Т = 2п/ю) решение уравнений (1), (2) в случае N = 1 (однородная жидкость) и описывают свободные колебания жидкости во вращающемся круговом параболоиде (рис. 1а — рельеф дна и свободная граница). Траектории движения частиц жидкости являются замкнутыми или квазизамкнутыми (эр-годическими), а деформация материального контура соответствует образованию спиральных рукавов (рис. 16 — деформация материального контура, t = 3 кп/ю, к = 0—4; в — материальный контур при t = 0 и t = 25п/ю), что качественно совпадает с экспериментами [12].
Графики получены при следующем выборе параметров /= g = Н0 = 1, а = 3/2, ю = 51/2, V = = 0.27г2. Решение (4) допускает «многослойное обобщение».
Работа выполнена при поддержке программы Президиума РАН № 16.7, Интеграционного проекта СО РАН № 65 и РФФИ (грант 10-01-00338).
r
2
Список литературы
1. Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics. Berlin: Springer, 1987. 710 p.
2. Ball F.K. // J. Fluid Mech. 1963. V. 17. P. 240-256.
3. Ball F.K. // J. Fluid Mech. 1965. V. 22. P. 529-545.
4. Ингель Л.Х. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. Т. 30, №5. С. 718-720.
5. Свиркунов П.Н. // ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 3. С. 520-522.
6. Доценко С.Ф., Рубино А. // Изв. РАН. МЖГ. 2003. №2. С. 158-164.
7. Калашник М.В. и др. // Изв. РАН. МЖГ 2004. №5. С. 131-142.
8. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.
9. Чесноков А. А. // СибЖИМ. 2008. Т. 11, № 3. С. 135-146.
10. Chesnokov A.A. // Europ. J. Appl. Math. 2009. V. 20, No 5. P. 461-477.
11. Чесноков А.А. // ПММ. 2011 (принято к печати).
12. Степанова Е.В., Чашечкин Ю.Д. // Докл. РАН. 2008. Т. 423, № 4. C. 474-478.
PROPERTIES AND EXACT SOLUTIONS OF THE ROTATING SHATLOW-WATER EQUATIONS FOR STRATIFIED MULTILAYERED FLOWS
A.A. Chesnokov
It is shown that the nonlinear system of equations, describing spatial fluctuations of the multilayered stratified shallow liquid in a rotating circular parabolic basin, can be transformed to the classical multilayered shallow water equations. This transformation is obtained as a result of the analysis of symmetry properties of the equations of motion of a rotating liquid and a more general model considering piecewise-constant stratification of a liquid. The existence of the not trivial transformations of the equations of motion has allowed generating new solutions. A new class of periodic solutions, which describes nonlinear fluctuations of the multilayered stratified liquid in a circular paraboloid with closed or ergodic trajectories of liquid particles, is obtained and studied.
Keywords: rotating liquid, stratification, long waves, symmetries, exact solutions.
