CC BY
51
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И То м IV 197 3
№ 2
УДК 533.6.011.8
СВОБОДНОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СЛОЖНЫХ КАНАЛАХ
М. А. Закиров
Установлено, что при течении через изогнутые трубы сложной формы параметры газа в выходном сечении при числе М = 0 близки по величине соответствующим параметрам в выходном сечении прямой трубы с той же длиной оси. Для каналов конической формы рассмотрены особенности изменения параметров газа по радиусу в выходном сечении и средних значений параметров по сечениям, нормальным оси канала. Рассмотрено уравнение дроссельной характеристики произвольного воздухозаборника, проведено сравнение коэффициентов расхода и сжатия, а также сравнение средних значений концентрации молекул, скоростей, температур и потоков тепла в выходном сечении осесимметричных воздухозаборников, имеющих форму цилиндра, конуса, эллипсоида и гиперболоида.
Задачи расчета свободномолекулярных течений в сложных каналах возникают при разработке вакуумных аппаратов, а также насадков для измерения давления и воздухозаборников, обтекаемых свободномолекулярным потоком с большой скоростью [1—4]. Во всех рассмотренных в литературе задачах о внутренних течениях (см. библиографию в работах [1—4]) в качестве основной величины бралась вероятность пролета молекул через канал (коэффициент Клаузинга) и только в некоторых работах [5, 6]—средняя концентрация частиц в выходном сечении канала, причем при течении с большой скоростью изучались каналы только сферической, цилиндрической и конической форм. В работах [7] и [8] было рассмотрено применение воздухозаборника конической формы в качестве устройства, усиливающего выходной поток при диффузном отражении молекул, а в работе [3] исследован цилиндрический воздухозаборник в качестве соединенного с емкостью устройства, обеспечивающего молекулами сжатого газа какого-либо потребителя.
В настоящей работе для исследования свободномолекулярных течений была использована основанная на методе Монте-Карло универсальная программа, с помощью которой можно провести подробный расчет всех параметров газа (концентрация молекул, средняя скорость, температура, тепловой поток и т. д.) по полю внутренних и внешних свободномолекулярных течений около сложных тел. Описание этой программы дано в работе [9].
В расчетах, проводимых в пп. 1 и 2, принято диффузное отражение от поверхности, с постоянной температурой Тт, а в расчетах п. 3 — диффузное отражение и отражение с максвелловской функцией с отличной от нуля средней скоростью. Применяемые ниже обозначения: №—коэффициент Клаузинга, п=п' пт— концентрация молекул, У=У' — средняя скорость, Т = Т — температура,
Р=Р'Роо~ Давление, ? = ?'(— я«, л»3/2) ~ тепловой поток, п^, Т^, й~1/2, т —
соответственно концентрация, температура, наиболее вероятная скорость и
масса молекул набегающего потока, А?р—число разыгранных случайных траекторий молекул. Штрихом обозначены безразмерные параметры. .
1. Течения через изогнутые каналы. На фиг. 1 приведены значения вероятностей вылета №_1_1 из выходного сечения / цилиндрического канала 1 и каналов в форме изогнутой трубы 2, элемента сферы 3 с вырезами и элемента тора 4, внутренний радиус которого равен нулю. Входное и выходное отверстия каналов—круглые, одинакового радиуса /?, у изогнутых каналов — соприкасающиеся. Угол изгиба каналов равен 0. За сечением / предполагается вакуум. Для канала 2 расчет был проведен при = 0 и 300 = 8.
-у
а
№
V ч \
N ' \ V ч \ в
\ N \ \
\ \ ч.\
--км
51-
1
г о
-----К ;(а),^«г 7
Я т*—,----------------*2П
-I --3>_
^¿0 ] ‘
Фиг. 1 Фиг. 2
Для изогнутой трубы значения Ш +1 при 5^ = 0, рассчитанные методом Монте-Карло, сравнивались с величинами, полученными путем решения интегральных уравнений в работе [10] при 6 =0-н90° и определенными экспериментально в работе [11] при 0 = 90°. Сравнением обнаружена ошибочность результатов работы [10] и хорошее совпадение значения $'+1 при 0=90° с данными, приведенными в работе [11]. Из фиг. 1 можно также заметить, что для изогнутой трубы эффект влияния скорости при 5^ = 8 на вероятность вылета № + при 6 = 90° полностью исчезает.
Для случая сферы с вырезами результаты расчета методом Монте-Карло оказались близкими к результатам расчета по формуле
-1
(1.1)
с погрешностью 1—2% при /Ур = 2000-ч-3000. Формула (1.1) является частным случаем известной формулы [12]
У ■■
5+5_5^(5+ + 5_)-
(1.2)
полученной для сферы с произвольно расположенными круглыми отверстиями. В формуле (1.2) 5_(_ и 5_ — суммарные площади кусков сферической поверхности, занятой отверстиями, причем через площадки молекулы входят, через — выходят, 5^. —суммарная площадь отверстий входа, а № — вероятность выхода молекул через площадки 5_. Значения №+1 для элемента тора на фиг. 1 взяты из работы [2].
На фиг, 2 приведены параметры п^, р{ для выходного сечения пря-
мой цилиндрической трубы и сложных каналов, составленных из двух цилиндрических труб, соединенных элементами сферической и цилиндрической ловерх-
.8 - Ученые записки ЦАРИ № 2
113
ности при 5^ = 0 в зависимости от Ь и зависимости №+1 от угла атаки я для случаев 1 и 2 при 5^ = 7 и £ = 5.
Анализ представленных на фиг. 1 и 2 результатов при 5т = 0 показывает, что при равенстве длин осей /. значения при ¿>0 и значения п\ и
при ¿^3,5 для прямой трубы и изогнутых каналов отличаются на 3—5%. При 5^ = 7 вероятность вылета из прямой трубы при росте а резко снижается и может стать меньше коэффициента Клаузинга для прямой трубы при = 0. Это объясняется тем, что большая часть молекул падает ближе к входу и имеет большую вероятность вылета через вход в трубу. Изгиб трубы при а = 0 и 5^ = 7 сильно снижает проводимость трубы. При росте угла а отличие Ш+1 для прямой и изогнутой труб уменьшается и при а = 90° составляет примерно 20%. Отметим, что полученные значения Ц7+, (а) при 5,^ = 7 для прямой трубы практически совпадают с результатами работы [13] (отличие 3—5%). Для данных, приведенных на фиг. 2, в расчетах принималось 7^ = 0,4 7\0.
2. Некоторые результаты расчета течений через конические каналы. Было проведено сравнение результатов расчета методом Монте-Карло с решениями, полученными при рассмотрении обтекания усеченных конусов малого удлинения.
/5 = 32°-, /?,= Пг-= 15/16-, 1000
1,5
10
05
Интегральное уравнение для случая обтекания круглого конуса осесимметричным гипертермическим потоком (фиг. 3) имеет вид
ЛСД!,) = пж V«, >1п ¡5 + N (М2) (1 - У ^=1 £±1) Чг2, (2.1)
с = (г\ + г\ — Чгх г-2 соз2 3) (2 гх г3 в1п2 [3)_1.
Здесь N—поток частиц к поверхности, гх и г., — расстояния от точек Мх и М2 поверхности до оси симметрии.
Рассматривая случай (/?] — R2) (R2 sin p)—i — s < 1, будем решать уравнение 42.1) методом последовательных приближений, причем за начальное приближение примем N (Mj) — No — Лд, Vg,, sin р.
Ограничиваясь первым приближением
W1 = .¡V01 + .
/?2 СОв2 £
Гг 2
получим формулу для функции распределения отраженных молекул
(2.2)
Л = ^-Л^ехр (- hrfyí2r dQ.
(2.3)
Здесь 5Г—скорость отраженных молекул, й — телесный угол, индекс г — обозначает отраженные молекулы. Предполагая, что функция (2.3) постоянна по поверхности, получим после интегрирования (2.3) формулы для средних значений параметров течения по элементарным площадкам, представляющим собой кон-
центрические круги, в выходном расстояния от оси симметрии:
сечении I (см. фиг. 3) в зависимости от р-
п, - п, п„
Nx Su
ДА
V«r =
V Л1'2 =
пг /1О0
У к
Vr'i+ ш'
ДЛ2
J
} (2.4)
т' — т т-
1 г 1 г J ОС
v:
' 2
пг 5
JV,
N-
A.,. Vn
г = р eos 9 4- V — (р sin ср)2, АН :
^2 с __________ с
----7—S------ > --- °С
fgí1
V-
I
Здесь пг, Тг, Упг—плотность, температура и компонента скорости отраженного газа по нормали к поверхности /. Из фиг. 3 видно, что результаты расчета
по формулам (2.4) и методу Монте-Карло отличаются на 3—5% (в отдельных случаях несколько больше). Отметим, что розыгрыш траекторий молекул, летящих из бесконечности, производился через контрольную поверхность, представляющую круг с внутренним /?2 и внешним
представляли концентрические круги в сече-с внутренними радиусами р] = 0; 3 13 7
и внешними .ра-
7
8 ’ 16’ диусами
/?! радиусами. Площадки ^ собой нии I
_3_ _9_ ______ ____ ____
' ' 4 ; 16 ’ 8
3 9 3 13 7 15
ра — 8 ’ 16 ’ 4 ’ 16 ’ 8 ’ 16 •
На фиг. 4 приведены результаты расчета при 5^=10 и Тш = 0,4 средних параметров по сечениям, нормаль-
ным к оси х, для трех вариантов длины усеченного конуса: 1=0,4; 0,8; 1,2.
Можно отметить небольшое отличие значений №+хдля малых и больших значений 11. Положение максимума плотности п’ с увеличением /,//?2 сдвигается в окрестность выходного сечения, причем в пределе при ¿/#2 00 плотность
в окрестности угловой точки конуса получается равной
л' = 1 + ]/л5ш(1-{- сое р) вт-2 р. (2.5)
Здесь р—полуугол при вершине конуса. Температура газа достигает минимума
"Ученые записки ЦАГИ № 2
115
ближе к выходному сечению. Средняя скорость молекул, возрастающая к выходному сечению, убывает при увеличении ¿/У?2> причем при о величина
Vx -»0 по всей оси х. Отметим, что для любого канала, имеющего одно отверстие, средняя скорость по нормали к сечению канала равна нулю. Тепловой поток, уменьшающийся к выходному сечению, с увеличением ¿//?2 возрастает.
3. О некоторых характеристиках воздухозаборников в свободномолекулярном потоке. Обозначим входное и выходное сечения, перпендикулярные оси заборника, через F^—izR^ и F2 = kR?,, где Ri и /?2 — радиусы. Молекулы набегающего потока с массовой скоростью Ух, параллельной оси х заборника, попадают в него через сечение Ft. Вероятность выхода молекул через сечение F2 (коэффициент Клаузинга) обозначим через при ^>0 и через Й70 при 1^ = 0. Отношение расхода в сечении F3 при наличии заборника к расходу в сечении F2 при отсутствии заборника составляет при 5^ > 1
Q. = W*F,Fi'. (З-1)
Если заборник в сечении присоединен к емкости, состояние газа в ней предполагается равновесным с концентрацией молекул nw, температурой Tw и относительным уплотнением (сжатием)
г* = nw (2 sw)~ 1 = W*W о1. (3.2)
Формула (3.2) получена из уравнения баланса числа молекул в емкости. Пусть емкость имеет дополнительные выходные отверстия в потребитель Fn(n — = 3, 4, 5, .... т), через которые молекулы вылетают как бы в вакуум. Тогда, обозначив относительное сжатие газа в емкости через г, из уравнения баланса числа молекул в емкости получим
п—т
с = Г* (Г0 + Л)-1, А = F^1 2 рп- (3-3)
л=3
Для относительного расхода потребителя, отнесенного к величине пх VjT Fx, получим формулу
W = Ае. (3.4)
Комбинируя уравнения (3.3) с (3.2) и (3.3) с (3.4), получим
as“1 = Г0 (W0 + А)~К WW-1 — A (W0 + Л)-1, (3.5)
ss“1 +WW~X = 1. (3.6)
Уравнение (3.6), являющееся уравнением дроссельной характеристики произвольного воздухозаборника* и связывающее характеристики потребителя (W, е) и заборника (И7*, е*), позволяет выбирать параметры воздухозаборника при известных характеристиках потребителя. Точка пересечения линейных характеристик потребителя (3.4) и заборника (3.6) определяет в системе координат W, в рабочую точку заборника. При обтекании гипертермическим потоком и диффузном отражении молекул значения G* и г* для конического воздухозаборника можно определить с помощью данных [2, 8], а для сферического заборника в настоящей работе были получены формулы
_ 1 — COS0 COS0
°* = 1 + (2 _ cosa)tg2 4 ’ s*=]- 2 ’ (3-7)
из которых видно, что наибольшие значения G* и г*, равные 1,5, достигаются
при 00. Отметим, что увеличение потока молекул на 1/2 при малых 0 для
сферического заборника было отмечено также в работе [14].
В работе [3] указывалось, что семейство дроссельных характеристик для цилиндрического воздухозаборника в системе координат Wг имеет огибающую. Огибающие дроссельных характеристик представляют интерес, так как они наглядно показывают, какие значения W, г могут быть получены при рассмат-
* Аналогичное уравнение для цилиндрического воздухозаборника было получено в [3].
риваемом типе воздухозаборника, а какие нет. Анализ огибающих дроссельных характеристик, проведенный в настоящей работе, показал, что при гипертерми-ческом обтекании цилиндрический заборник при одинаковом сжатии может обеспечить больший расход, а при одинаковом расходе большее сжатие по сравнению с коническим и сферическим заборниками. Однако, как показали более подробные расчеты методом Монте-Карло, при скоростях полета, сравнимых с орбитальными, конические заборники при малых полууглах при вершине конуса и расходах обеспечивают большее сжатие, чем цилиндрические. На фиг. 5 и 6 приведены результаты расчета величин Й70, г*, а также безраз-
мерных средних значений по сечению концентрации п', скорости Ух и теплового потока ц'х при 5^ = 8 для осесимметричных воздухозаборников, имеющих
поверхность конуса (цилиндра) (помечено прямоугольниками и крестиками), эллипсоида (светлые кружочки) и однополостного гиперболоида (темные кружочки). Удлинение всех заборников было постоянным £ = = 5, = я/?2 ,
Т?2= 1> а радиус входного сечения изменялся в диапазоне — (1 -5- 3) /?2- Образующая поверхности заборника перпендикулярна сечению Ри если поверхность— элемент эллипсоида, и перпендикулярна сечению Р2, если поверхность—элемент гиперболоида. В случае конического заборника расчеты были выполнены при диффузном отражении (на фиг. 5 и '6 прямоугольники) и при отражении в соответствии с максвелловской функцией распределения молекул (на фиг. 5 и 6 крестики)
3/2
ехр
/г=3
- К 2 (5,.
п-1
УгпУ-
п = 1,2, 3
(3.8)
с пятью макропараметрами пг, Лг, При этом по закону (3.8) происходило
первое и второе отражение налетающей из бесконечности молекулы, а третье и дальнейшие кратные отражения были диффузными. В остальных случаях отражение молекул принималось диффузным. Во всех случаях диффузное отражение молекул от поверхности происходило с полной аккомодацией энергии при температуре на поверхности Тш = Т^,
Таким образом, было исследовано влияние образующей воздухозаборника, изменения площади и закона отражения молекул на коэффициенты воздухозаборника.
Отметим, что функция (3.8) для описания закона отражения была предложена в работе [15], а в работе [16] было установлено хорошее совпадение индикатрис отражения, полученных экспериментально и по формуле (3.8). Поэтому представляет интерес изучение параметров свободномолекулярных течений в заборниках при этом законе отражения. Для розыгрыша вектора скорости отраженной молекулы в соответствии с функцией распределения (3.8) предварительно определялись макропараметры и Угп с помощью макроскопических коэффициентов аккомодации энергии и импульсов частиц. При получении результатов, показанных на фиг. 5 и 6 крестиками, были использованы значения
8 — коэффициентов аккомодации энергии, нормального и тангенциального импульсов, приведенных в работе [17] для случая изолированного отражения частиц от поверхности при ¡а = 0,25 и а= 1 (здесь [х и о—отношения масс и радиусов атомов газа и атомов на поверхности тела). Этот случай интересен тем, что преимущественное направление полета молекул после отражения совпадает с направлением полета падающей молекулы, т. е. в случае воздухозаборников очевидно будут увеличиваться расход Г* и сжатие в*. При определении е* значения \У0 во всех случаях брались для диффузного отражения молекул.
Из анализа данных фиг. 5 и 6 можно сделать следующие выводы. При диффузном отражении молекул и при увеличении площади степень сжатия е* и расход б* увеличиваются до некоторого значения, а затем убывают, причем воздухозаборники с гиперболической образующей обеспечивают большие значения г*, а воздухозаборники с эллиптической образующей обеспечивают большие значения ЦТ* и б*. В рамках диффузного отражения различие значений Н70, е* и О* для разных заборников невелико. Сильное влияние на значения этих параметров оказывает закон отражения молекул от поверхности. Из примера расчета для закона отражения, описываемого функцией (3.8), видно резкое улучшение основных характеристик Н7*, е* и б* .воздухозаборника. Отсюда вытекает целесообразность применения для воздухозаборников специальных покрытий, обеспечивающих определенный закон отражения молекул от поверхности.
При увеличении температура и скорость убывают, а концентрация и тепловой поток растут.
Отметим, что при получении данных, приведенных на фиг. 3 и 6, применялись различные датчики случайных чисел, при этом разброс получаемых величин достигал примерно 5%. •
Автор выражает искреннюю благодарность М. Н. Когану, В. С. Галкину, В. А. Перепухову и А. И. Ерофееву за ценные замечания при обсуждении работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М., „Наука“, 1967.
2. Л ю б и т о в Ю. Н. Расчет взаимодействия молекулярных потоков с ограждающими их сосудами. М., „Наука“, 1964.
3. Богомазов В. И., Кузнецов Ю. Е., Носик В. А. О характеристиках цилиндрических воздухозаборников в свободномоле-кулдрном потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, том 1, № 5, 1970.
4. Шидловский В. П. Введение в динамику разреженного газа. М., „Наука“, 1965.
5. Kaplan М. Н. Free-molecular diffuser. AIAA J., vol. 4, No 4, 1966.
6. Муса нов С. В. Внутренние свободномолекулярные течения. Труды ЦАГИ, вып. 1206, 1970.
7. Whang J. С. Free molecule through inlet scoops. AIAA J., vol. 1, No 8, 1963.
8. TownsendS. J., P a 11 e r s о n G. N-, S і n с 1 a і r S. R. M. Free molecule flow through conical tubes. Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press, 1965.
9. Закиров М. А. Исследование внутренних и внешних свободномолекулярных течений около произвольной группы сложных тел. В сб. „Динамика разреженного газа и молекулярная газовая динамика“. Труды ЦАГИ, вып. 1411, 1972.
10. Отмахов а И. П. Течение разреженного газа через изогнутую трубу. „Вестник МГУ“, № 5, 1960.
11. Davis D. Н., Levenson L. L., М і 11 е г о п N. Theoretical and experimental studies of molecular flow trough short duets. Rarefied Gas Dynamics Proc. of the Second Internat. Symposium on Rarefied Gas Dynamics. New York and London, 1961.
12. Муса нов С. В. Сферическая полость в свободномолекулярном потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, том II, № 2, 1971.
13. Hughes Р. С., De Leeuw I. Н. Theory for the free molecule impact probe at an angle of attack. Rarefied Gas Dynamics, Forth Symp., Acad. Press., 1965.
14. Лариш Э. Аэродинамическое взаимодействие при свободномолекулярном обтекании. „Изв. АН СССР — Механика и машиностроение“, 1960, N° 3.
15. Crad Н. Principles of the kinetic theory of gasess. Handbuch der Physik, 12, 1958.
16. Ночилла С. Закон отражения от поверхности в свободномолекулярном потоке. В сб. „Взаимодействие газов с поверхностями“. М., „Мир“, 1965.
17. Баранцев Р. Г. Аэродинамика невыпуклых тел в установившемся свободномолекулярном потоке. В сб. „Аэродинамика разреженных газов“, вып. IV. Л., Изд. ЛГУ, 1969.
Рукопись поступила 3\1 1972 Переработанный вариант поступил 2jX 1972
