CC BY
145
УДК 511+530.145
СВЕРХЧИСЛА (основные принципы арифметики и физические образы)
© С.А. Векшенов
Vekshenov S.A. Supernumbers (basic arithmetic principles and physical images). In the article new mathematical objects -supernumbers are introduced, their basic properties and application in quantum statistics are considered.
ВВЕДЕНИЕ
Суть теории сверхвещественных чисел (сверхчисел) можно выразить так.
1) Теория множеств накладывает существенные ограничения на тип бесконечности - в ней допускается только количественная бесконечность, «материализуемая» в понятии множества. Снятие этого ограничения дает возможность рассмотреть иной тип бесконечности - порядковый, который может быть «материализован» в нашем представлении в виде целостного абстрактного вращения - тропоса (тропоа - поворот).
Фундаментальной характеристикой множества является принадлежность ему данного элемента. Эти понятия к тропосу не применимы - его фундаментальной характеристикой становится изменение направления вращения. Таким образом, формально тропос можно представить как неограниченную последовательность смен направлений - последовательность «0» и «1».
2) Принципиально важным оказывается, что простейший тропос является, с одной стороны, бесконечным порядковым числом А, с другой - вполне физическим понятием, - спином. Эту двойственность можно рассматривать как обобщение фундаментальной теоретико-множественной двойственности, когда первое бесконечное кардинальное число ю ассоциируется с простейшим геометрическим объектом - точкой:
ю - «точка» - вещественное число
| | |
А - «спин» (тропос) - сверхвещественное число
Если посмотреть на данные двойственности в иной, вертикальной плоскости, то можно увидеть нечто интересное.
Числа ю и А образуют двойственное единство -единство количественного и порядкового аспекта числа. Двойственное единство: «точка» - «спин» (вращение - волна) - эта двойственность квантовой теории -один из вариантов постулата де Бройля. Наконец, поскольку всякая точка связана с вещественным числом, действуя в той же логике, можно предположить существование неких обобщений - сверхвещественных чисел. Эти числа являются обобщением вещественных чисел в следующем смысле. Вещественное число в трактовке Кантора - это фундаментальная последова-
тельность, т. е. некоторый «линейный» процесс. Сверхвещественное число обобщает действительное число в динамическом смысле - замыкая этот процесс. В этом плане и комплексные числа, и кватернионы можно рассматривать как частные случаи сверхчисел.
3) Сформулированные двойственные единства оказываются чрезвычайно продуктивными не только в идейном, но и в прагматическом отношении. В частности, можно получить следующие фундаментальные результаты.
В квантовой теории - выявить внутренние пружины квантовых статистик Бозе - Эйнштейна, Ферми -Дирака и сформулировать общие правила конструирования статистик произвольного вида. В частности, можно формальными методами построить статистику, связанную с дробным квантовым эффектом Холла, обосновать возможность существования «цилиндрических атомов» и др.
В теории множеств - определить новый тип нестандартных натуральных чисел и, в более общем плане, расширить теоретико-множественный универсум путем включения новых типов объектов, в которых свойства «количества» детерминированы свойствами «порядка».
В данной работе сформулированные общие походы получают конкретную реализацию.
ОБЩАЯ КАРТИНА
Прежде чем перейти к рассмотрению формальных конструкций, имеет смысл посмотреть на картину теоретико-множественной математики - поскольку теория сверхчисел имеет своим истоком именно теорию множеств.
Как известно, понятие множества, «многого мыслимого как единого» - является общепризнанной «материей» современной математики. Теория этой материи - теория множеств Г. Кантора - обладает уникальными качествами: исключительной ясностью исходных посылок и совершенно обескураживающими результатами их разработки.
В первом качестве эта теория инициировала «программу Бурбаки», следствием которой было беспрецедентное расширение наших знаний о структурах - теоретико-множественных моделях математических объектов. При этом сущность самих объектов постепенно стала ускользать из поля зрения математики. Это по-
ложение дел подытожил Г. Вейль в своем знаменитом определении: «Mathematics is a subject in which we don't know what we are tacking about».
Что касается второго качества теории множеств, то долгое время оно оставалось прерогативой специальной области «оснований математики», которая выработала ряд рецептов преодоления парадоксов и несообразностей этой теории. При этом удовлетворительного решения не получила практически ни одна из возникших проблем. Поэтому математика предпочла следовать заповеди Л. Витгенштейна: «Wovon man nicht sprechen kann, darüber muß man schweigen» («О чем нельзя хорошо говорить, о том следует молчать») и не обсуждать в широком кругу драматических вопросов, связанных с математическим статусом теории множеств.
Однако за последнее время ситуация кардинально изменилась. Проблемы теории множеств перестали быть ее внутренними и даже внутриматематическими проблемами, а стали обсуждаться в контексте всех проблем современной науки. В связи с этим важно понять не только позитивную, но и проблемную сторону теории множеств.
Как известно, попытка образовать универсальное множество, т. е. «множество всех множеств» приводит к парадоксу Рассела. Это значит, что универсум множеств необходимо рассматривать как процесс становления. Это самый существенный дефект теории множеств, который перечеркивает идейные устремления ее автора - полностью заменить потенциальную бесконечность актуальной, завершенной бесконечностью.
В современной теории универсум множеств строится по шагам. На каждом шаге осуществляется одна из возможных операций: «объединение предыдущих множеств - и» или «взятие множества - степени - Р»:
Vo = 0;
Va+j = P (Va), если а - непредельный ординал;
Va = и Vß, если а - предельный ординал.
ß < a.
Внешне этот процесс напоминает процесс построения натуральных чисел, принятый в арифметике Пеано. Однако имеется принципиальное отличие. В теоретико-множественной иерархии между уровнями а и а+1 допустим «обратный ход». Множество P (Va) уровня а+1 дает возможность образовать новый элемент X, в дополнение к уже собранным в множество Va элементам уровня а (т.н. «диагональная процедура»). Этот новый элемент позволяет образовать множество Va и {X} и, соответственно, P (Va и {X}). Снова применяя диагональную процедуру, можно получить элемент Xj уровня а и т. д. Таким образом, диагональная процедура оборачивается диагональным процессом. На этот факт обращал внимание еще О. Беккер, известный историк математики, ученик Э. Гуссерля.
Диагональный процесс - фатальное изобретение теоретико-множественной математики, бросающее тень на ее основополагающую идею - возможность собрать элементы в одно целое. Это, по-видимому, осознавал и сам Кантор, который пытался придать диагональному процессу статус доказательства того, что множество P(Va) имеет большую мощность, чем множество Va. Однако в строгом смысле метаморфозы не получилось. За весь период существования теории множеств с критикой диагонального метода доказа-
тельства выступили десятки авторов, начиная с Б. Рассела. Последним по времени был, по-видимому, А.А. Зенкин, который отметил в коротком, на У страницы, доказательстве Кантора семь (!) ошибок. При условии того, что диагональный метод является несущей конструкцией канторовской теории, остается загадочным длительное молчание математики о столь фундаментальном дефекте в ее идейных основах.
Диагональный процесс de facto превращает теоретико-множественный универсум в среду, обладающую внутренним хаотическим самодвижением. Это выражается, в частности, в том, что моделью этого универсума могут служить случайные действительные числа (Д. Скотт, Р. Соловей).
Причина этой неординарной ситуации кроется в самом понятии множества. Для теории множеств характерно восприятие мира «всего и сразу», т. е. при полном изгнании его временной составляющей. Между тем, в реальности (при любом ее разумном понимании) объекты возникают последовательно. Способ же собирания элементов «по предикату» приводит к тому, что рядоположенными оказываются существующие и еще не возникшие объекты. На каком-то этапе эта мысль показалась привлекательной и эффективной, но сейчас, по-видимому, она порождает больше проблем, чем решений.
Следует сказать, что эта позиция с самого начала вызывала резкие возражения. В частности, Я. Брауэр еще в 20-х годах прошлого века обосновал и развил подход, названный им «интуиционизмом», который в противовес теории множеств развивал интуицию времени. В частности, в теории Брауэра допускались только потенциальная бесконечность, а континуум виделся средой свободного становления. Эта идея приняла впоследствии разнообразные формы конструктивизма, которые всесторонне изучались на протяжении более чем полувека. Однако достаточно содержательной математики построить не удалось. Причина этого заключалась в том, что идея актуальной бесконечности безусловно была сильнее и продуктивнее идеи бесконечности потенциальной. Забегая вперед, можно сказать, что проблемы канторовской теории во многом были следствием ее незавершенности, следствием которой стало исключительное место именно количественной, теоретико-множественной бесконечности.
Теория множеств, в значительной мере, была создана для того, чтобы построить математически приемлемую модель среды непрерывности, континуума. Как известно, это понятие было введено еще Аристотелем в связи с анализом апорий Зенона. При этом он настоятельно подчеркивал, что континуум нельзя свести к совокупности неделимых элементов и что они составляют лишь внешнее проявление сущности континуума.
Последовательную и работоспособную теорию континуума создал Г.В. Лейбниц. Для него она явилась воплощением метафизики монад - исключительно глубокой и последовательной философской концепции. Фундаментальными свойствами монады по Лейбницу были следующие свойства:
- монада есть простая, т. е. не имеющая частей субстанция, которая входит в состав сложных понятий;
- монада подвержена беспрерывному изменению;
- изменения монад исходят из внутреннего принципа, т. к. внешняя причина не может иметь влияния внутри монады.
Коротко, монады - это неделимые сущности, обладающие собственным внутренним самодвижением. В этом монады принципиально отличаются от точек. В математике и естественных науках монады хорошо известны под именем «бесконечно-малых величин».
Теория континуума, построенная Лейбницем, была дуальной. В ней на равных правах участвовали «точки» и «не-точки» - бесконечно малые величины. Долгое время считалось, что эта модель континуума является не строгой и порождает множество проблем. В конечном итоге она была заменена точечной, теоретикомножественной моделью, которая в настоящее время является общепринятой. Существенным моментом в конструкции теоретико-множественного континуума является использование актуальной бесконечности. При этом количество проблем точечной модели континуума, по сравнению с континуум Лейбница, едва ли не увеличилось.
Следует сказать, что с развитием теоретикомножественной аксиоматики в 60-х гг. ХХ в. произошла неожиданная реинкорнация идей Лейбница. С помощью теоретико-множественной теории ультрафильтров было обосновано существование неких объектов, свойства которых давали основания отождествить их с монадами Лейбница. В дальнейшем эта теория стала известна под названием «нестандартного» или не архимедова анализа (анализа, в котором не выполняется аксиома Архимеда). При этом необходимо отметить, что нестандартный анализ - это теоретикомножественная теория, которой свойственны все онтологические проблемы теории множеств. Эти проблемы не решаются и не могут быть решены никакими аксиоматическими действиями, в частности, изъятием аксиомы Архимеда.
Вопреки общепринятым взглядам, теоретикомножественная модель континуума, как было показано выше, не является статической. Образно говоря, она вскрывает монаду и случайным образом размазывает упакованное в ней движение по всему универсуму (модель Скотта - Соловея). Именно в этой динамики и следует искать истоки проблемы определения числа элементов (мощности континуума), т. е. континуум-проблемы. Кроме того, точечная модель континуума совершенно непригодна в своем прямом, аристотелевском, назначении - быть средой, в которой осуществляется движение, что со всей очевидностью демонстрируют апории Зенона. Кроме того, наличие внутреннего самодвижения делает теоретико-множественную модель практически непригодной для описания физических процессов в микромире.
Однако точечная модель континуума обладает важным, в контексте общефилософских устремлений ХХ в., достоинством. Она конструктивна и представляет собой идеальный Spielraum - «игровое пространство» для введения всевозможных (полезных и бесполезных) структур, в соответствии с методологией Бурбаки. Однако при общем ослаблении теоретико-множественной идеологии эти достоинства все в большей мере уходят в тень и в большей мере вырисовываются фундаментальные проблемы теоретико-множественного континуума. Однако можно констатировать, что математика сегодня, по-видимому, не имеет внутренних сил для переосмысления своих оснований и предпочитает сохранять status quo.
1
Из всего вышесказанного вытекает, что теория множеств содержит в себе некие сдерживающие механизмы, которые в ее рамках оборачиваются противоречиями и несвязностями. В этой связи имеет смысл явным образом выделить такие механизмы и попытаться устранить в них фактор сдерживания. Для этого необходимо прежде понять идейные истоки теории множеств.
При всей кажущейся самодостаточности, теория множеств в действительности опирается на фундаментальный арифметический постулат, суть которого сводится к следующему.
Согласно изначальным, арифметическим представлениям натуральное число является единством количества и порядка. Можно сказать, что число п является «вектором» п = (щ , %), где % - мера количества, а % -мера порядка.
Арифметический постулат, лежащий в основе теории множеств, утверждает, что число - это, прежде всего, мера количества, т. е. п = %. Иными словами, каждое число п можно представить в виде п различимых элементов: п = (• • • ......• • •„). Развертывание
этого постулата в конечном итоге и приводит к необходимости введения универсального понятия множества [1].
Поскольку количественная составляющая числа традиционно (по крайней мере, со времен И. Канта) ассоциируется с пространством, а порядковая - считается проявлением времени, то теорию множеств, по крайней мере, в идейном плане, можно считать универсальной пространственной теорией.
Принятие данного постулата с необходимостью подразумевает построение некоторой модели времени, т. е. представление порядковой составляющей натурального числа через количественную составляющую.
В арифметике эта проблема решается неявным принятием утверждения: «Что больше, то и дальше». Это значит, что % определяется как число элементов
последовательности: (•) — (• •) — ...(• • • .......• •
• )„ , т. е. ^ = % .
С другой стороны, при фиксированном количестве nR возможны и другие последовательности. Решение этой проблемы в рамках теории множеств сводится к следующему.
Возьмем, например, числа 1 = (•), 2 = (• •), 3 = (• • •) и всевозможные последовательности, связывающие эти числа:
(•)— (• •) — (• • •),
(• •) — (• • •) — (•),
(• • •) — (•) — (• •),
(•) — (• • •) —(• •),
Будем считать все такие последовательности упорядоченными множествами:
{(•), (• •), (• • •)},
{(•),(• • •), (•)},
{(• • •), (•),(• •)},
{(•), (• • •),(• •)},
Все эти упорядоченные множества определяют один порядковый тип, т. е. «то общее, которое получается из множества М, если отвлечься от качества элементов М, но сохранять их порядковое расположение» [2]. В общем случае, порядковый тип является классом, который не всегда совпадает с множеством. Однако, согласно фон Нейману, достаточно взять одного представителя этого класса, например, множество {(•), (• •), (• • •)}. Мощность (число элементов) этого множества, т. е. в данном случае число 3 и является порядковым типом приведенной выше совокупности множеств. Таким образом, в теории множеств арифметический принцип «Что больше, то и дальше» получает свое обоснование.
На данном этапе представление порядка количеством не приводит к коллизиям. Однако при построении на количественном принципе «множества действительных чисел» возникают проблемы. К наиболее фундаментальным из них относятся:
• упорядоченность теоретико-множественного континуума вводится «руками» с помощью аксиомы выбора. Это значит, что идея представления порядка количеством «работает» только в простейших ситуациях;
• упомянутая выше диагональная процедура говорит о том, что в континууме возникает некое «обратное» введенной упорядоченности движение.
Избежать этих особенностей теоретико-множественного континуума невозможно. В действительности это лишь свидетельство того, что время и пространство являются принципиально различными сущностями, и полноценное представление «времени» «пространством» (в любом их понимании) заведомо обречено на неудачу.
Более естественно, со всех точек зрения, мыслить время и пространство как две отдельные, самостоятельные сущности. С точки зрения числа это означает, что его количественная составляющая не зависит от порядковой составляющей. При этом речь идет вовсе не о том, что число пъ будет больше или меньше числа щ - такая ситуация имеет место и в теории множеств. Например, числа ю+1 и ю количественно (по мощности) совпадают, но они различны с точки зрения порядка, т. е. имеют различный порядковый тип. Независимость ^ и щ в нашем понимании означает, что это принципиально различные по качеству числа.
Утверждение именно такой независимости составляет содержание постулата арифметической двойственности. Таким образом, с точки зрения этого постулата число п - это вектор п = (щ , %) с двумя качественно различными компонентами % и % .
2
Рассмотрим простейшие следствия из постулата арифметической двойственности.
Снова возьмем, например, числа 1 = (•), 2 = (• •), 3 = (• • •) и всевозможные последовательности, связывающие эти числа:
(•Н1 (• •) ^ (• • •),
(• •) 1 (• • •) 1 (•),
(• • •) 1 (•) 1 (• •),
(•) 1 (• • •) !(• •),
Если исходить из постулата арифметической двойственности, то все эти последовательности равноправны. Более того, все они реализуются одновременно, поскольку время одно! Их нельзя рассматривать как различные элементы какого-либо множества, как это было сделано в предыдущем случае. В этом проявляется принципиальное отличие временной точки зрения на порядок числа в отличие от пространственного, теоретико-множественного подхода, который допускает разделение единого процесса на отдельные «кадры».
Развитие данного подхода приводит к следующему.
С точки зрения теории множеств перестановки п элементов образуют группу Zn, которая разбивается на циклическую группу и п преобразований симметрии. Рассмотрим число 3 и для наглядности представим группу Zз как группу преобразований равностороннего треугольника. В этом случае число 3 можно представить в следующем виде:
3 = < • • • I >.
За циклической группой можно увидеть целостное вращение, ровно также, как и за тремя элементами
• • • можно увидеть абстрактное понятие множества. Также как и множество, данное вращение является абстрактным понятием. Например, бессмысленно задавать вопрос об оси вращения - это относится к вращению физическому. Абстрактное вращение - целостный объект. В нем нельзя зафиксировать ни одной точки -это явно теоретико-множественный ход рассуждений (в этом смысле приведенный рисунок ориентированного треугольника с фиксированными вершинами является не вполне корректным образом абстрактного вращения).
В следующих пунктах мы придадим абстрактному вращению более строгий характер.
Единственной характеристикой абстрактного вращения можно считать его направление: О или О. Преобразования симметрии в этом случае могут быть истолкованы как перемена направления вращения. При перемене вращения период вращения в 360 ° увеличивается в зависимости от числа перемен направления вращения.
Простейшую перемену направления вращения наглядно, хотя, разумеется, нестрого - ведь речь идет об абстрактном вращении - можно представить следующим образом. Расположив на плоскости две касающиеся друг друга окружности, перемену направления вращения можно представить через переход вращения в точке касания с одной окружности на другую (рис. 1).
При таком вращении, чтобы вернуться в точку А, необходимо повернуться уже не на 360°, а на 720°.
В числе 3 заложены две такие перемены направления вращения.
А
+
Рис. 1
Таким образом, приняв постулат арифметической двойственности, мы приходим к следующей структуре натурального числа:
=< с
*)и 1 О| (+ -)n-1 X
где (+ -)n-1, обозначает n-1 перемен направления вращения. Структура этих перемен представляет собой особый интерес и будет подробно рассмотрена в следующих пунктах.
Выявленная структура натурального числа может быть записана в следующем виде: n = nR О (+ -)nR. Это соотношение мы в дальнейшем будем называть формулой Родионова. Не вдаваясь в данный момент в полную расшифровку этой формулы, проясним ее смысл на конкретном примере. Если записать О в аналитической форме е,ф , а n положить равным 1, то получится экспоненциальная форма комплексного числа, равного по модулю 1. Если заменить nR на произвольное действительное (количественное число) aR, то формулу Родионова можно рассматривать как обобщение формулы Эйлера z = a + ib = а^ф.
Примечание. Если вспомнить знаменитое выражение Л. Кронекера «Die ganze Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menshenwerk», то возникает парадоксальная мысль: комплексные числа оказываются более фундаментальными понятиями, чем числа действительные. Эта мысль находит неожиданное подкрепление в теории БСКО (бинарной системе комплексных отношений) Ю.С.Владимирова, к которой мы вернемся в пунктах 5 и 6 данной работы.
3
Рассмотрим дальнейшие следствия постулата арифметической двойственности.
Как известно, теория множеств - это, прежде всего, теория бесконечности, более точно - количественной бесконечности. Постулат арифметической двойственности позволяет предположить, что возможен иной тип бесконечности, которую естественно назвать порядковой бесконечностью и которая принципиально отличается от количественной - теоретико-множественной бесконечности.
Попытаемся понять, что это за бесконечность.
Во-первых, очевидно, что характерные для теории Кантора способы введения бесконечности - либо путем собирания в одно целое элементов неограниченного множества, либо переходом к множеству степени -неприемлемы для построения порядковой бесконечности.
Однако существует иной способ введения новых объектов - аксиоматический. Выделив характеристическое свойство, можно определить новый объект как «нечто» этому свойству удовлетворяющее. Что касается характеристического свойства бесконечного, то рассмотрим сначала простой пример.
Предположим, мы наблюдаем за человеком, который неизменным шагом идет к горизонту. Степень удаленности горизонта от нашего взора может быть охарактеризована степенью неразличимости отдельных предметов: сначала мы перестаем различать пуговицы на пальто, затем черты лица и т. д. Для того чтобы полностью слиться с горизонтом, человек должен сделать бесконечное число шагов. Таким образом, нераз-
личимость можно считать ключевым свойством бесконечности.
Следует отметить, что понятие «горизонта» не просто удачный образ, но и математическое понятие, которые ввел выдающийся чешский логик П. Вопенка в качестве основного инструмента построения «Альтернативной теории множеств» [3]. В этой теории бесконечность трактуется как проявление нечеткости при подходе к горизонту. При этом Вопенка понимал бесконечность опять-таки в канторовском, количественном смысле.
Наше понятие «горизонта» близко к понятию горизонта Вопенки, хотя взгляды на сущность бесконечного кардинально отличаются от его представлений.
Формальное определение бесконечного в «аксиоматической» трактовке выглядит следующим образом.
Определение. Рассмотрим какой-нибудь неограниченный, с постоянным шагом процесс у, в котором объекты различимы данным предикатом А. Определим объект а, на котором стабилизируется процесс у в смысле предиката А. Если все объекты являются конечными, то объект а можно считать бесконечным относительно предиката А (релятивизация бесконечности).
Рассмотрим, как «работает» данное определение в применении к натуральному ряду. По-прежнему будем считать, что п = П , %). В предыдущем пункте мы на основе эвристических соображений уточнили структуру порядкового компонента % натурального числа в предположении того, что он качественно отличается от nR . Отвлечемся на время от этой структуры и будем рассматривать только процесс перехода от одного порядкового компонента % к другому порядковому компоненту ш2. Будем отражать этот процесс предикатом =ъ который определен уже на натуральных числах, но различает их в смысле порядкового компонента. С другой стороны, на натуральных числах можно ввести предикат =^ который фиксирует их количественное различие.
В этом случае можно образовать два бесконечных числа ю и О, на которых натуральный ряд стабилизируется в смысле количества и порядка соответственно, т. е. ю+1 = но ю+1 £ С другой стороны, О+1 £ ¿О, что влечет О+1 £ /:&. С разной степенью наглядности данный процесс можно изобразить следующим образом (рис. 2).
Попытаемся разобраться в смысле этих бесконечностей.
С бесконечностью числа ю все понятно - это кан-торовская счетная бесконечность (равная счетному множеству): ю = К0. Зададимся вопросом: что такое О?
Во-первых, очевидно, что О не может быть множеством. Действительно, порядок О в области множеств должен совпадать с порядковым типом (принцип соответствия). Однако в силу неограниченности шкалы порядковых типов (ординалов), О допускает увеличение в смысле порядка, что противоречит его определению.
1z, 2z, 3 z.--
а
га
а
га
Рис. 2
n
О,
Рис. 3. Последовательность дискретных шагов «^» (которые задаются количественной составляющей числа) переходит в непрерывный процесс, который постепенно сворачивается и образует бесконечное вращение - число О
Проведем аналогию с действительными числами. Действительное число возникает как предел последовательности, т. е. некоторого дискретного процесса. При этом добавление к этой последовательности конечного количества - конечного числа членов - не меняет предела (стабильность относительно предиката = к). В этой ситуации ответ на вопрос: «Что такое действительное число» вполне очевиден, - это сама такая последовательность. Аккуратная реализация этой идеи приводит к хорошо известной конструкции континуума действительных чисел как классов фундаментальных последовательностей.
Воспользуемся этой идеей для выяснения природы
О. Как и действительные числа, О возникают в результате предела (стабилизации) некоторого процесса относительно предиката = г. Однако в этом случае речь уже идет о целостном непрерывном процессе. Тем не менее, и в этом случае можно превратить процесс в объект - число. Чтобы добиться стабильности процесса относительно = Z и образовать число, необходимо замкнуть этот процесс - сделать свойство циркуляции времени внутренним свойством числа (рис. 3). В этом тезисе нет ничего необычного, поскольку последовательное, «линейное» движение является внутренним свойством действительного числа.
Таким образом, все количественные составляющие натурального числа оказываются «нанизанными» на одно «большое вращение». Таким образом, эвристические рассуждения о структуре натурального числа, проделанные в предыдущем параграфе, получили свое обоснование. При этом возникает следующая важная теорема.
Теорема 1. Количество п элементов, соединенных вращением, равно п-1 перемене направлений этого вращения.
Доказательство основано на представлении данного количества группой подстановок в духе рассуждений предыдущего пункта.
Примечание. Положив в основу всех приведенных построений постулат арифметической двойственности, провозглашающий равноправие количественного и порядкового компонентов числа, мы в результате получили нечто большее: количественная составляющая натурального числа полностью определяется свойствами порядковой составляющей, а именно -переменами направления вращения. Таким образом, «количество» п можно понимать не как нечто, состоящее из п элементов, а как п-1 перемену направления абстрактного вращения, которое выражает его порядковую составляющую. Оказывается, такое редуцированное количество обладает исключительно интересными свойствами, вскрывающими глубинные связи
арифметики и квантовой статистики. Об этом пойдет речь в п. 4.
Подобная трактовка натурального числа имеет и более глубокий подтекст. Традиционное понимание натурального числа как количества, а количества как числа элементов возникло на основе представлений макромира. Применение этих представлений в иных ситуациях, например, в микромире, возможно, не столь оправдано. Таким образом, само понятие «натуральный ряд» (даже если исключить все нестандартные модели аксиом Пеано) имеет примерно тот же статус, что и «евклидова геометрия». Заметим, что о возможном несоответствии натурального ряда физическим представлениям (в области больших чисел) говорил еще П.К. Рашевский в знаменитом письме в редакцию журнала УМН «О догмате натурального ряда».
Вернемся к бесконечностям.
Каждое из бесконечных чисел ю и О можно рассматривать как начало развертывания совокупности бесконечных чисел: количественных и порядковых, соответственно.
В случае теории множеств конечным результатом этой деятельности является кардинальная шкала - расширение последовательности натуральных чисел в область бесконечных количеств:
0, 1, 2. п, ... Ко, К!, К ... К ...
Число О также допускает развертывание в совокупность бесконечных чисел. Сделать это можно следующим образом.
Основной характеристикой замкнутой «фигуры времени» - числа О направления вращения применительно к данному обороту. Разумеется, эта идея возникла из феномена физического вращения, но она может быть корректно распространена и на абстрактное вращение. Таким образом, О можно рассматривать как «идею» вращения (в платоновском смысле).
Введем двухбуквенный алфавит «+», «-» и рассмотрим всевозможные неограниченные последовательности из «+» и «-» - слова в этом алфавите. Определим числа ,... рг.следующим образом:
Рі = (О I + + + — ),
- Рі = (О I--------------------.... ),
слова с у перемен знака
Р2 = <О | + - + - ...>,
- р2 = <О | - + - +....>,
Р у = <О 1 ( + ...-)у X
- Ру = <О 1 (-. ..+)у X
где (+...-...)у и (-...+...)у (перемен направления вращения).
В силу теоремы 1 р1 можно считать единицей, р2 -двойкой и т. д.
Строгое определение целых чисел через перемены направления вращения должно учитывать также следующие моменты. В определении целых чисел будут участвовать только слова, имеющие конечный период. Интуитивно это связано с тем, что количественные элементы числа должны допускать неограниченное число перестановок. Непериодические слова, имеющие п перемен вращения, будем называть «изотопом» числа
п+1. Изотоп имеет одно и то же количество, что и обычное натуральное число, но отличается от него структурой перемен вращения.
Одному и тому же числу перемен вращения, очевидно, может соответствовать неограниченное число периодов, например: + -, + + -, - + + +. и т. д. Таким образом, натуральное число определяется классом периодов, имеющим одно и то же число перемен направления вращения.
Следующий шаг состоит в распространении данного подхода на действительные числа. Иными словами, речь идет о возможности моделирования действительных чисел числами Рг , т. е. вращениями.
Аналогичная задача возникала в свое время в теории множеств, когда действительное число - последовательность - необходимо было мыслить как единый объект, множество. Рассмотрим в начале, как решалась именно эта задача.
Решение в рамках «наивной» теории множеств состояло в том, что считать последовательности объектами, т. е. - по методологии И.В. Гете - превратить проблему в неоспоримый факт, постулат. Эти объекты объявлялись элементами множества действительных чисел. Оставалась только найти для этого множества удовлетворительные аксиомы, что и было сделано. Таким образом, суть проблемы была переключена с объекта на свойства множества таких объектов, что вообще характерно для аксиоматического метода.
При более строгом подходе, например в рамках формальной системы Цермело-Френкеля 2Г, никакие последовательности уже не допускались. Действительное число представляется счетным множеством - своеобразным «следом» последовательности, а множество действительных чисел отождествлялось с множеством всех подмножеств натурального ряда N.
Решение той же проблемы в рамках развиваемого подхода, естественно, совершенно иное.
В последовательности, представляющей действительное число, нас интересует прежде всего сам процесс перехода от одного члена последовательности к другому. «Удлиняя» этот процесс до О, мы тем самым делаем его целостным и замыкаем на себя. Все члены исходной последовательности при этом «растворяются» - становятся неразличимыми. Однако варьируя число и структуру перемен направления образовавшегося вращения, мы в состоянии «восстановить» исходное действительное число.
Общее направление этой деятельности может быть следующим.
Начнем с того, что формально любое действительное число, т. е. некое количество можно закодировать неограниченным словом в двухбуквенном алфавите «+» «-», т. е. представить в устройстве, имеющем только два состояния.
Нашей задачей является обращение этого результата: имея в распоряжении некий абстрактный процесс из двух состояний, нам необходимо получить из него все возможные действительные числа - различные неограниченные слова в алфавите «+» «-».
Представим себе некое абстрактное вращение, которое после каждого периода спонтанным образом меняет направление вращения (что немного похоже на последовательность свободного выбора, Wahlfolge, Л. Брауэра). Предположим, что такое вращение проте-
кает столь долго, что почти доходит до ñ. В этом случае:
- можно «нарезать» столько последовательностей длины ю (в действительности любого ХД что все действительные числа попадут в эту «нарезку» (это следует из теоремы 2 следующего параграфа);
- все получаемые таким образом числа в строгом смысле являются случайными (доказывается в [3] с использованием оценок колмогоровской и префиксной энтропии).
Следовательно, действительные числа, которые в теоретико-множественной концепции реализуют идею непрерывности, в рамках данной концепции реализуют идею случайности.
Таким образом, непрерывность и случайность можно рассматривать как различные проявления одной сути.
Разумеется, это всего лишь некая мифологема, надстроенная над конкретными математическими результатами. Но подобные мифологемы создают определенную ауру, которая в иных случаях не менее (а иной раз и более) значима, чем сухой набор математических знаков.
Примечание. Сформулированную выше формулу Родионова n = nR О (+ -nR можно переписать в новых обозначениях следующим образом: n = nR P nR, или в общем случае а = aR P nR.
В заключение данного пункта рассмотрим соотношение между числами ю и ñ и, вообще, между числами Кг и рц. Вернемся к кардинальной шкале:
0, 1, 2... n,... Ко, кь к2 ... кл .. (*)
Она неограниченна и завершить ее в рамках теории множеств невозможно (парадокс Бурали-Форти). Такая ситуация во всех существенных чертах воспроизводит парадокс несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, что в свое время послужило источником введения иррациональностей. Действительно, последовательность:
1; 1,4; 1,41; ... (**)
ничем принципиально не отличается от последовательности (*). Для завершения последовательности (**) числом V2 потребовалось преодолеть horror infinity (страх бесконечного). Точно также для завершения последовательности (*) необходимо преодолеть “страх сверхбесконечного”, т. е. бесконечности ñ более высокого уровня по сравнению с количественной бесконечностью.
Ситуация становится более понятной, если принять во внимание следующие соображения.
Легко видеть, что всякое кардинальное число Кг, являясь бесконечным в смысле количества, является конечным в смысле порядка. В частности Кг +1/ Кг в порядковом смысле, т. е. кардинал Кг «ведет себя» также, как и любое конечное натуральное число. Иными словами, в порядковом смысле последовательность (*) и последовательность: 0, 1, 2. n, ... эквивалентны. Это значит, что последовательность (*) также стабилизируется на числе ñ.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. ft > ю и для любого кардинала N ft > N^
Доказательство. Поскольку каждый кардинал N одновременно является порядковым числом, ft > Ni.
Примечание. Неравенство ft > N является полным аналогом неравенства ю >k . Смысл последнего неравенства состоял в том, что шаг ю так велик, что он больше всех конечных шагов.
В свободном толковании теорема 2 означает, что порядковых чисел больше, чем количественных. Принимая во внимание уже упомянутые философские традиции связывать количество с пространством, а бесконечность со временем, можно заключить, что бесконечность пространства меньше, чем бесконечность времени. Подобные утверждения не отличаются точностью, но дают повод для развития многих плодотворных образов (теорема Геделя о невозможности установления непротиворечивости системы ее внутренними средствами породила много глубоких вещей, хотя, строго говоря, утверждает несколько иной факт).
Из всего вышесказанного можно заключить, что, числа относятся к числам Nj, как конечные количественные числа относятся к бесконечным количествам. Это дает основание считать числа обобщением вещественных чисел в той же степени, как и действительные числа можно считать обобщением рациональных чисел (действительные числа определяют «линейную часть» вращения, также как рациональные числа определяют конечный фрагмент последовательности). В дальнейшем числа будем называть сверхвещест-венными числами или коротко - сверхчислами.
Сверхчисла допускают интересную геометрическую интерпретацию.
Очевидно, что неограниченное произведение экспонент: eVWT... с определенным приближением можно считать сверхчислом. Отсюда, в частности, видно, что и комплексные числа и кватернионы можно понимать как сверхчисла. Геометрический образ названного произведения экспонент, а следовательно, сверхчисла, в общем случае представляется бесконечномерным тором Т°. Однако, если в структуре числа можно выделить период длины k, то такое сверхчисло можно представить тором Tk (при этом, строго говоря, речь должна идти о динамических объектах, поэтому корректнее говорить о топологии фазового потока, см. п. 5). Например, число т2 можно представить тором Т2. Как известно, топология тора Т2 позволяет геометрическим образом ввести понятие спина, которое как раз и заложено в сверхчисле р2.
Сверхвещественные числа «освежающе непохожи» на количественные числа. Во-первых, среди них нет полностью конечного числа, поскольку даже натуральное число содержит бесконечный порядковый компонент («Все от Бога»). Во-вторых, в отличие от линейно упорядоченной кардинальной шкалы на совокупности сверхчисел возможно ввести только частичный порядок (впрочем, в некоторых аксиоматических системах теории множеств, например, New Foundations, совокупность кардиналов также только частично упорядочена). Если считать число перемен знака счетным, то на совокупности сверхчисел можно ввести разнообразные теоретико-множественные структуры, напри-
мер, булеву алгебру. При этом не забывать, что эти структуры являются, в данном случае, способом выражения структуры реального вращения, заключенного в числе.
4
В предыдущем пункте фактически «за кадром» остался принципиально важный вопрос о структуре перемен направления вращения, заключенного в числе гр.. Рассмотрим простейшую структуру, отраженную в числе р2 = <й | + - + - ...> (или - р2 = <й | - + - +...>). Фактически, т2 - это число 2 (-2), которое можно записать как 2 = < • *| й | + - + - ...>, ( -2 = < • *| й | - +
- +...>). Наглядно это изображено на рис. 4.
В чисто количественном смысле оба элемента • • являются равноправными. Однако если их поменять местами (по сути дела, произвести преобразование симметрии), то направления всех вращений поменяются на противоположные и число «2» станет «- 2». Говоря языком квантовой механики, подобные элементы подчиняются статистике Ферми-Дирака. Как будет показано в следующем пункте - это не только аналогия: многие физические положения квантовой теории в действительности имеют полностью арифметическую природу.
Дальнейшее развитие этой идеи также примечательно.
Рассмотрим число р4 - 4 и для наглядности изобразим его в геометрической форме:
4 = < • • • *| ft |
X
Из рисунка видно, что все четыре элемента подчиняются статистике Ферми-Дирака, т. е. при перестановке меняют направления вращений. Но имеется один интересный момент. Симметрии относительно диагоналей квадрата переставляют по одному элементу, в то время как остальные две симметрии переставляют сразу два элемента. Можно сказать, что в этом случае возникают некие квазиэлементы {• •}, которые как единые элементы подчиняются статистике Ферми-Дирака. Такая же ситуация будет наблюдаться и при других четных числах. Возникает искушение интерпретировать квазиэлементы как «куперовские пары», а всю совокупность элементов как некую «квантовую жидкость» (понятно, что пока речь идет только об арифметических образах физических понятий).
Интересная ситуация возникает при нечетных п.
В числе п = 1 никаких перемен вращения нет.
1 = < • | й | + + + .... >. Это просто констатация факта дуализма количества и порядка (что, как уже понятно,
является одной из форм постулата де Бройля о дуализме частицы и волны - причем более абстрактной и универсальной). Перестановки элемента «•» самого с собой, разумеется, ничего не меняют. Но для п > 1 возникает вопрос: что такое статистика Бозе-Эйнштейна?
Ведь для любого п все п элементов соединены одним вращением и, следовательно, всякая перестановка любых двух элементов ведет к изменению направления вращения, т. е. элемент автоматически становится «фермионом». Однако при этом вовсе не обязательно, чтобы изменение направления было осуществлено немедленно. Оно может реализоваться сколь угодно далеко от начала вращения. Такой «фермион» может иметь с «1» или «-1» сколь угодно длинный начальный отрезок (в данном случае: + + + ....+ + +):
+ + + ... 2= 1
(+ + + ....+ + +)
- + - ....
Если ввести в совокупности сверхчисел топологию, базис которой составляют все продолжения любого конечного отрезка, то можно вполне корректно сказать, что «бозоном» можно считать «фермион», который находится в сколь угодно малой окрестности = 1 (разумеется, и наши «бозоны» и наши «фермио-ны», - пока еще чисто арифметические объекты).
Наконец, рассмотрим случай п = 3
= 3 = < • • • І О I £ ^ >.
Все элементы «•» в строгом смысле являются «фермионами». Однако, варьируя структуру вращения, можно некоторые из них сделать более «бозонными» или, вообще, элементами с весьма экзотической статистикой.
Примечание. В качестве физической демонстрации возможностей рассмотренных арифметических конструкций приведем начальный этап построения статистики, связанной с дробным квантовым эффектом Холла [10].
Рассмотрим «фермион» т2 = <О I + - + - ...>, который можно интерпретировать как электрон. «Квант магнитного потока» представляется простейшим вращением = <О I + + ....+ + +...>. Захват электроном кванта магнитного потока можно рассматривать как удлинение первого периода т2 на счетное число «+». В результате этого образуется число тт = <О I (+)в + - + - .>.
Число тт, очевидно, относится к «бозонам», поскольку с точки зрения описанной выше топологии тт находится в окрестности , т. е. перестановки происходят «слишком далеко» и, в смысле упомянутой выше топологии, не уходят далеко от «бозона» .
Таким образом, сверхчисла представляют собой универсальный инструмент создания абстрактных конструкций, которые могут иметь крайне интересное физическое истолкование.
5
Совершенно очевидно, что представленная выше вдохновляющая аналогия не может быть случайной. Однако, чтобы навести мосты между рассмотренными конструкциями и современными физическими представлениями, необходимо сделать ряд шагов.
Начнем с того, что очевидным кандидатом на роль сверхчисла является волновая функция ¥. Ее вполне можно трактовать как целостный объект, обладающий внутренней динамикой - вращением. Во всяком случае, это не противоречит ее традиционному пониманию как «волны вероятности» нахождения частицы в данной
точке пространства. Соотношение X = Ь/ р параметров волны и частицы и утверждения, что сама волновая функция представляет собой сверхчисло, позволяет придать фундаментальному постулату де Бройля следующий вид: физическая величина импульса р имеет своим значением сверхчисло, т. е. . I р I е {}..
Покажем, что эта переформулировка является фундаментальной и, по сути, вскрывает внутреннюю пружину квантовой механики. Полагая значением р действительное число, мы возвращаемся в рамки классической механики.
Для дальнейших рассуждений нам будет полезна следующая наглядная картина обобщенной кардинальной шкалы (рис. 5).
Примечание. Приведенная схема (рис. 5) иллюстрирует замечательную философскую метаморфозу. Как известно, Г. Кантор рассматривал свою кардинальную шкалу как настоящую «лестницу в небо», полагая, что наращивание мощности все дальше уводит объект от реальности (эта мысль Кантора стала отправной точкой всех поколений конструктивистов, стремившихся изгнать актуальную бесконечность из математики). Введение «сверхбесконечности» ft, казалось бы, выводит математику полностью из естественнонаучных границ. Однако, как показывает схема, мы приходим к тому, с чего начали - к натуральному ряду (и его нового расширения).
Основной сверхзадачей теории множеств, по мысли ее создателя Георга Кантора, является синтез арифметики и геометрии. Однако, фактически, теория множеств в состоянии «арифметизировать» только простейший геометрический объект - «точку», приписав ей кардинальное число К0. Что касается континуума, то он a' priori предполагается множеством, что можно рассматривать лишь в плане первого приближения.
Приведенная на рис. 5 схема исключительно важна в силу следующих обстоятельств.
Она фактически утверждает, что в математике нет места финитным образованиям, поскольку даже натуральные числа заключают в себя число ft со всеми переменами вращения. Согласно теореме 1 это означает, что в любом натуральном числе содержатся все натуральные числа. Это парадоксальное заключение противоречит, тем не менее, только теоретико-множественному пониманию числа как изолированного количества. Но именно подобная изоляция противоречит физике микромира, где более адекватными являются,
Рис. 5
например, «партоны» Фейнмана. Существование в «конечном» натуральном числе п всех остальных натуральных чисел является, по сути, арифметической формой принципа Маха или монад Г.В. Лейбница.
Из факта включения в натуральное число п всех остальных чисел следует вполне определенный методологический принцип: «Если в рассмотрении находятся количества, то всегда можно перейти к рассмотрению
т количеств, где т > п». Например, из факта взаимодействия двух частиц вытекают взаимодействия сразу многих частиц. Этот принцип работает в тех случаях, когда целесообразно перейти к аксиоме арифметической двойственности. Это, по-видимому, имеет место в микромире, где наблюдаются эффекты типа эффекта Мессбауэра, которые вполне объяснимы на основе данного принципа. Из этого же принципа вытекает возможность «холодных» многоядерных реакций [9].
Вернемся к основной теме.
Рассмотрим совокупность пар & = {(ед; Рх)} (мы будем крайне осторожно использовать термин «множество»). Числу (ок соответствует геометрический объект -точка, числу Р% - динамический объект - вращение. Принимая во внимание тот факт, что числа Р% можно рассматривать как значения импульса, саму совокупность можно соотнести с фазовым пространством. При этом переменная q будет пробегать по «точкам», а переменная р - по «вращениям».
Выясним теперь, каким образом можно интерпретировать основной постулат | р | е {Рп } в теоретикомножественной области.
Сверхчисло Рп можно естественно представить некоторым замкнутым контуром у (возможно, крайне нетривиальным с топологической точки зрения в зависимости от структуры перемен направления вращения). Импульс р в этом случае можно понимать как определенную на у вектор-функцию р(ц). Поскольку соотношение | р | е {Тп } инвариантно относительно любых теоретико-множественных конструкций, контур у и функция р(ц) должны быть согласованы таким образом, чтобы циркуляция р(ц) вдоль контура была бы постоянной.
Приведенное замечание позволяет сделать следующий шаг.
Определим отображение Р1 совокупности сверхчисел {Рп} (натуральных чисел) в совокупность действительных чисел следующим образом:
Р((Рк ) = т / к | р(q)dq
при т-кратном обходе контура у.
Нормирующий множитель 1/к вводится для устранения коллизий между числом т обхода у и числом Рк. Согласно сделанному замечанию, интеграл не зависит от контура у и равен некой постоянной величине, которая определяется только числом Рк.
Как известно, величина | р(q)dq равна постоянной Планка Й. Тогда отображение Р1 можно назвать план-ковским отображением, а его значением при однократном обходе контура будут:
Р€{Т1 ) = Й, Р{(-Р2 ) = -Й,
Р1(Р2 ) = Й/2, Р1(-Р2 ) = -Й/2, Р1(Рз ) = Й/3, Р€(-Р3 ) = -Й/3,
Р1(Рп ) = Й/п,,
Р1(-Рп ) = -Й/п..
Таким образом, арифметические «бозоны» и «фермио-ны», определенные в предыдущем пункте, получают правильное значение спина и могут рассматриваться как настоящие бозоны и фермионы (естественно все числа, находящиеся в окрестности Рг получают значение Й).
Заключительный этап в построении отображения Планка состоит в расширении области определения Р1 с целых чисел Тп ( - Тп) на все сверхчисла рц (-Рц).
Введенное нами планковское отображение Р1 представляется исключительно важным понятием в силу следующих обстоятельств:
1) это отображение, как было показано, фактически вводит некую постоянную - постоянную Планка Й;
2) в отображении Планка можно усмотреть соответствие между двумя образами действительных чисел: как среды непрерывности - с точки зрения теоретико-множественного подхода и как области случайного, если посмотреть на нее с позиции теории сверхчисел. Тем самым, квантовая теория (т.е. всякая теория, в которой присутствует квант действия Й) автоматически становится вероятностной теорией;
3) в силу пункта 1) отображение Планка дает возможность естественным образом изменить концепцию действительных чисел, а следовательно, и континуума: теоретико-множественный континуум непрерывности заменить на континуум «случайности». Этот факт, по сути, означает возможность на квантовом уровне отказаться от теоретико-множественной модели пространства. Это является одним из основных постулатов БСКО Ю.С. Владимирова - первой полноценной теории физических взаимодействий.
6
Попытаемся провести начальную рефлексию сделанных построений.
Центральным понятием теории сверхчисел является понятие абстрактного вращения, которое рассматривается как целостный объект, обладающий внутренней динамикой и который характеризуется единственным параметром - направлением вращения. Структура изменений направлений вращения, которая задается последовательностью: + +----1----..., оказывается исключительно ин-
формативным понятием, позволяющим найти внутренние пружины не только теории множеств, но и квантовой теории. Парадоксальный момент - решающее значение имеет не само вращение, а изменение его направления -почти также как решающее значение в динамике имеет не скорость, а ее изменение - ускорение.
Теория множеств подходит к изучению вращения совершенно с иных позиций. В соответствии со своей идеологий она «разрезает» процесс вращения на отдельные «кадры» - элементы и рассматривает группы Ли преобразований этих элементов. Это требует большой подготовительной работы по изучению инфинитоземальных преобразований и теоретико-множественных конструкций вообще. К сожалению, при таком подходе полностью теряется принципиальное различие между преобразованиями симметрии и вращения и, как следствие, возникают трудности с описанием перемены направления вращения. Даже простейшая структура с одной переменой вращения -
спин, требует не только специального аппарата, но разнообразных образов, поясняющих суть происходящего (таков, например, «эксперимент» Дирака с ножницами). Что же касается более сложных структур - чисел - то они вообще не поддаются приемлемому теоретико-множественному описанию.
Теория сверхчисел является математической теорией. Однако она имеет существенные идейные пересечения с физической теорией - Бинарной системой комплексных отношений (БСКО) Ю.С. Владимирова [7]. Общность заключается, во-первых, в критическом отношении к теоретико-множественной концепции и основанной на ней теории точечного континуума. Возникает парадоксальная картина. Теория сверхчисел преодолевает теоретико-множественные проблемы путем существенного повышения абстракции - введения порядковой бесконечности. При этом, как показывает схема, приведенная на рис. 5, она на более высоком уровне возвращается к фундаменту математики -натуральным числам и конечным, дискретным, множествам, что характерно для БСКО. Более того, простейшее сверхчисло т2, в котором отражена одна перемена направления вращения, и структура 3x3 в БСКО оказываются тесно связанными.
Приведем общую схему, проясняющую эту связь.
Очевидно, что минимальное число элементов, необходимых для описания вращения в данном направлении, равно 3. Возьмем элементы I , ] , к , которые будем использовать для описания поворота в данном направлении, и элементы 11 , ^ , к! для описания поворота в противоположном направлении (рис. 6). Для определенности эти элементы можно считать мнимыми единицами, входящими в кватернион.
г г!
Рис. 6
Рис. 7
Процесс перехода изменения направления при повторном обороте можно представить следующим образом:
г ^ ] = 71 ^ ;
ч ^ ]1 = ] ^ £.■
Тот же процесс перехода можно изобразить в виде следующей структуры, - элемент поворота от а к в
(рис. 7).
Очевидно, что вся названная конструкция остается симметричной относительно переходов вращения через элементы I = 11 и к = к1. Более того, функция
Ф(гк гкп) = ^гар = 0, поскольку в сумме дает два
взаимно обратных вращения.
Соотношение Ф(гк1 ..... гкн) = 0 будет, очевидно,
инвариантным относительно любых перестановок. Следовательно, эта функция определяет фундаментальные симметрии, а приведенная выше схема и является структурой ранга 3x3 в теории БСКО. Именно на основе этой структуры в БСКО вводятся спиноры и строятся структуры более высоких рангов.
Дальнейшее развитие обеих концепций - БСКО и теории сверхчисел, в известной мере, параллельно: в БСКО осуществляется переход к структурам более высокого ранга, в теории сверхчисел рассматриваются более сложные структуры перемен направлений вращения. Связь между этими объектами уже гораздо менее очевидна.
Существует различие и в методологических подходах. БСКО можно отнести к теориям «кленовского» типа (построенной в традициях Эрлангенской программы Ф. Клейна), когда абстрактный объект вводится на основе некоторой группы преобразований. В БСКО такая группа заменяется фундаментальными симметриями, которыми определяют некоторую финитную структуру. Фундаментальным результатом БСКО является обоснование достаточности этих финитных структур для развития фундаментальных физических концепций.
Теорию сверхчисел можно рассматривать как обобщение теории вещественных чисел в плане расширения внутренней динамики вещественного числа (от «линейного» движения до вращения). В такое расширение попадают, в частности, комплексные числа и кватернионы, если рассматривать их с точки динамики динамики, т. е. вращения. Таким образом, динамический подход к расширению совокупности действительных чисел оказывается более сильным, чем подход алгебраический (поиск более широкого поля с приемлемыми алгебраическими операциями).
Теория сверхчисел внешне напоминает нестандартный анализ, в котором наряду со «стандарнтыми» вещественными числами присутствуют «нестандартные» -бесконечно малые числа. Следуя традициям теоретикомножественной концепции, нестандартный анализ трактует эти «бесконечно малые» как некие постоянные величины, которые не удовлетворяют аксиомам Архимеда. Таким образом, «динамика» нестандартного анализа оказывается фиктивной.
Методологию теории сверхчисел в определенной мере можно назвать «антиклейновской». Ее цель такая же, как и в наивной теории множеств - предъявить объект, а не определять его неявным образом через группу преобразований. Для этого пришлось существенно поднять «планку абстракции» и ввести порядковую бесконечность, при помощи которой можно предъявить вращение как математический объект. Принципиально важным фактом является то обстоятельство, что повышение абстракции не отдалило, а, напротив, приблизило теорию сверхчисел к реальному миру, который рассматривается физиками и именуется «материальным».
7. Вместо заключения
Вне рамок данной работы осталось достаточно много интересных проблем и разворотов мысли. В задачу автора входило лишь создание такой критической массы продуктивных идей, эффективных и комфортных методов (что, пожалуй, самое важное), чтобы теория могла развиваться дальше без его участия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векшенов С.А. Является ли «множество действительных чисел» множеством? // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2000. Т. 5, вып. 5. С. 519-535.
2. Векшенов С.А., Владимиров Ю.С. Об основаниях математики и физики / Метафизика - XXI, Бином, Лаборатория знаний, 2006.
3. Родионов Б.У., Векшенов С.А. Дуальная структура континуума и фазовое пространство // Фундаментальные исследования материи в экстремальных состояниях. М.: МИФИ, 2007. С. 63-64.
4. Векшенов С.А. Алгоритмическая вероятность в инфинитарной трактовке // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. Тамбов, 2000. Т. 5, вып. 5. С. 519-535.
5. Кантор Г. К обоснованию учения о трансфинитных множествах // Работы по теории множеств. М.: Наука, 1985. С. 188.
6. Вопенка П. Альтернативная теория множеств. Новосибирск: Изд-во института математики, 2004.
7. Владимиров Ю.С. Метафизика. М.: Бином, Лаборатория знаний,. 2002.
8. Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Кантора и теория множеств. М., 1999.
9. Родионов Б.У. «Холодные» многоядерные реакции // Проблемы холодной трасмутации ядер химических элементов и шаровой молнии. М., 2004. С. 189-197.
10. Штермер Х. Дробный квантовый эффект Холла. Нобелевская лекция // Успехи физических наук. 2000. Т. 170, № 3. С. 304-319.
БЛАГОДАРНОСТИ: Автор выражает искреннюю благодарность своему другу, профессору Б.У. Родионову, соавтору и вдохновителю многих идей, представленных в этой работе. Без его заинтересованного и вдохновенного участия данная работа была бы вряд ли написана.
Жене Елене и сыну Алексею автор выражает благодарность за поддержку во всех начинаниях, которые выходят далеко за рамки данной работы.
Поступила в редакцию 11 июня 2007 г.
